Teravnurga siinus ja koosinus Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuseks nim. selle nurga vastas kaateti ja a vastaskaatet hüpotenuusi suhet ning seda tähistatakse c . sin = hüpotenuus Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinuseks nim. selle nurga lähis kaateti ja b lähiskaatet hüpotenuusi suhet ning seda tähistatakse c . cos = hüpotenuus vastaskaatet hüpotenuus lähiska lähiskaatet Teravnurga tangens Täisnurkse kolmnurga teravnurga tangensiks nim. selle nurga vastas kaateti ja a
Teravnurga siinus, koosinus ja tangens a ja b on täisnurkse kolmnurga kaatetid, c on hüpotenuus. Teravnurga vastaskaatet on a ja lähiskaatet on b. a c Teravnurga vastaskaatet on b ja lähiskaatet on a. Teravnurkade ja summa + = 90°. b Teravnurga siinuseks nimetatakse selle nurga vastaskaateti ja hüpotenuusi suhet (jagatist). Nurga siinust tähistatakse sümboliga sin . a b sin = sin = c c Teravnurga koosiniseks nimetatakse selle nurga lähiskaatei ja hüpotenuusi suhet. Nurga koosinust tähistatakse sümboliga cos b a cos = cos = c c
Teravnurga siinus ja koosiinuse vaheline seos Matemaatika 9a . Siinus on ... ... vastaskaateti suhe hüpotenuusi . Koosiinus on ... ... lähiskaateti suhe hüpotenuusi. Siinuse ja koosiinuse vaheline seos ... ... (sin a)2 + (cos a)2 = 1, ehk ... ... sõnades ...siinus a ruut on võrdne koosiinus aga
TÄISNURKSE KOLMNURGA TRIGONOMEETRIA Täisnurkse kolmnurga teravnurkade summa on . Pythagorase teoreem: täisnurkses kolmnurgas kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenussi ruuduga. Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus on selle nurga vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe. Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinus on selle nurga lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. Täisnurkse kolmnurga teravnurga tangens on selle nurga vastaskaateti ja lähiskaateti suhe. Täisnurkse kolmnurga pindala võrdub kaatetite poolkorrutisega või hüpotenuusi ja sellele joonestatud kõrguse poolkorrutisega MIS TAHES KOLMNURGA TRIGONOMEETRIA Kolmnurga sisenurkade summa on . Kolmnurga külgede pikkused on võrdelised vastavate vastasnurkade siinustega. Kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest on lahutatud nende külgede ja
Phytagorase teoreem.
a2+b2=c2
Siinus.
sin =a/c sin =b/c
Teravnurga siinus on selle nurga vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe.
0
Matemaatika Trigonomeetria: täisnurkse kolmnurga lahendamine. a,b= kaatetid c= hüpotenuus +=90° =90°- või =90°- c2=a2+b2 c=a2+b2 a=c2-b2 b=c2-a2 Kolmnurga pindala: S=a*b/2 Teravnurga siinus on vastaskaateti ja Trigonomeetrilised funktsioonid: hüpotenuusi suhe(jagatis) sin=a/c sin=b/c Teravnurga kosinus on lähiskaateti ja cos=b/c cos=a/c hüpotenuusi suhe(jagatis) tan=a/c tan=b/a Teravnurga tangens on vastaskaateti ja lähiskaateti suhe(jagatis)
KORDAMINE 1. Lõpeta lause. Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus on selle nurga... Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinus on selle nurga... Täisnurkse kolmnurga teravnurga tangens on selle nurga... Kolmnurga elemendid on.... Kolmnurga lahendamiseks nimetatakse.... 2. Märgi täisnurk, kirjuta joonisele antud nurga vastaskaatet, lähiskaatet ja hüpotenuus, arvuta selle nurga siinus, koosinus ja tangens. 20 21 β 16 29 12 20 3
KERLI LOOPMAN 10 B GOOTIKA MÕISTEID TERAVKAAR kahest või mitmest keskpunktist konstrueeritud kaarekuju, kus kaare küljed moodustavad ühinedes teravnurga. N: Juuru Mihkli kirik, Rapla maakonnas. SAKRAALARHITEKTUUR - religioosne arhitektuur, näiteks kirikud, katedraalid, kloostrid jm selline. N: Jumalaema kirik Pariisis e. Notre-Dame, Ridala kirik, Lääne maakonnas. ROIDVÕLV- e ristvõlv e ristroidvõlv - diagonaalselt neljaks võlvisiiluks jaotatud võlvikuju, mis tekib kahe silindervõlvi ristuval lõikumisel. Kui servjoonte kohal siilude vahele roided paigutada, tekib ristroidvõlv. N: Paistu Neitsi Maarja kirik, Viljandi maakonnas.
Mongoolias, Kirde-Hiinas, Korea poolsaarel ja Jaapanis. Võrsed punakad, peened, läikivad, kaetud rohkete koorelõvedega. Võrsed lõpevad 2-3 munaja kuni 0,3 cm pikkuse tipupungaga. Lehed sügavalt kolmehõlmased, kahelisaagja servaga, keskmine hõlm suurem ja pikalt teritunud, pealt paljad, tumerohelised, alt helerohelised, paljad, sügisvärvus karmiinpunane. Õied rohekad või kollakad, lõhnavad, püstistes pööristes, 20...60 kaupa. Viljad roosad, 2...3 cm pikad, tiivad teravnurga all kokkukasvanud. Kasutatakse väga sageli haljastuses, vähenõudlik, põuakindel, dekoratiivne ja noorelt kiirekasvuline liik. Talub vähest varju ja on talvele vastupidav, eelistades siiski alati kasvada täisvalguses. Üsna niiskuslembene, talub hästi linnatingimusi, kuid ei talu mulla liigset soolsust. Nii Venemaal kui ka Ameerikas on laialdaselt kasutatud lumetõrjehekkide rajamiseks. Rajatakse vabakujulisi ja pügatud hekke. Lehtedest valmistati Hiinas musta värvi
puutujaks.(Näide36) 38. Hulknurka, millel on võrdsed küljed ja võrdsed nurgad, nimetatakse korrapäraseks hulknurgaks.(Näide37) Korrapärase hulknurga ümbermõõt võrdub külgede arvu n ja küljepikkuse a korrutisega P=an P1/P2=K Korrapärase hulknurga pindala võrdub poole ümbermõõdu ja apoteemi korrutisega S1/S2=K2 Sisenurkade summa (n-2)+180' 39.Täisnurkse kolmnurga kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga A2+B2=C2 40.Teravnurga siinus on selle nurga vastas kaateti ja hüpotenuusi suhe. Teravnurga koosinus on selle nurga lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. Teravnurga tangets on selle nurga vastaskaateti ja lähiskaateti suhe(Näide38) 41. Sk= p*H St= Sk+2*Sp V= Sp*H (Näide39) 42. V= 1/3Sp*H (Näide40) 43. Sp = r² Sk =2rh St =2rh+2r2 V = r2 h(Näide41) . 44. Sp = r² Sk = rm St = Sp + Sk V = 1/3 r²h (Näide42) 45. S = 4 r² V = 4 : 3 r³(Näide43) 46
Trigonomeetria valemid Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus, koosinus, tangens ja kootangens: Põhiseosed: Täiendusnurga valemid: Mõningate nurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtused: 0 1 1 0 0 1 - - 1 0 Iga nurk x esitub kujul:
A1 B1 C1 Paralleelsed k1 = k 2 , b1 b2 = A2 B2 C2 A1 B1 C1 Ühtivad k1 = k 2 , b1 = b2 = = A2 B2 C2 A1 B1 Lõikuvad k1 k 2 A2 B2 Ristuvad k1 k 2 = -1 A1 A2 + B1 B2 = 0 Sirgete vahelise teravnurga tangens Kahe sirge vahelise teravnurga tangensi saab leida valemi k 2 - k1 tan = 1 + k1k 2 abil. y y=k b1 x+b k 1x + 2 2 y= 0 x
Trigonomeetria Teravnurga puhul on sin vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe, tan vastaskaateti ja lähiskaateti suhe ning cos lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. y sin = r x cos = r y tan = x x cot = y Taandamisvalemid: II sin ( - ) = sin cos ( - ) = -cos tan ( - ) = -tan III sin ( + ) = -sin cos ( + ) = -cos tan ( + ) = tan IV sin (2 - ) = -sin cos (2 - ) = cos tan (2 - ) = -tan - sin (-) = -sin cos (-) = cos tan (-) = -tan Täiendusnurgad: sin = cos = cos (90° - ) cos = sin (90° - ) 1 tan = cot (90° - ) = tan(90°-) Eriväärtuste tabel: 0 30 45 60 90 180 270 360° ...
cos α = c = hü potenuus , cos β = c = h ü potenuus a vastaskaatet b l ä hiskaatet tan α = b = l ä hiskaatet , tan β = a = vastaskaatet Täiendusnurga valemid sin α = cos (90°- α) cos α = sin (90°- α) 1 tan α = tan(90 ° −α ) Nurga α kasvades sin α väärtused kasvavad, cos α väärtused kahanevad ja tan α väärtused kasvavad. Teravnurga siinuse, koosinuse ja tangensi vahelised seosed sin² α + cos ² α = 1 (sin α)² + (cos α)² = 1 sin α tan α = cos α 1 1 + tan² α = cos ² α
tan*cot=1 Taandamisvalmeid: a) sin(n*360°+)=sin b) IIv sin(180°)=sin cos(n*360°+)=cos =cos tan(n*360°+)=tan =tan cot(n*360°+)=cot =cot c)III veerand d)IV veerand e)nega nurk sin(180°+)=sin sin(360°)=sin sin()=sin =cos =cos cos()=cos =tan =tan an()=tan =cot =cot cot()=cot + + + + sin cos + tan/cot + sin=a/c Täisnurkse ga teravnurga siinus on vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe. cos=b/c ..koosinus on lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. tan=a/b ..tangens on vastaskaateti ja lähiskaateti suhe. cot=b/a ..kotangens on lähiskaateti ja vastaskaateti suhe.
1) ristprojekteerimisel, 2) paralleelprojekteerimisel? * 1) 0 m1 * 2) 0 m 7. Mis kujundiks projekteerub paralleelprojekteerimisel ring, kui ta on: 1) paralleelne kiirtega 2) paralleelne ekraaniga? * 1) Sirglõiguks * 2) Kaldprojektsioonis ellipsiks, ristprojektsioonis ringiks 8. Mis on sirglõigu kaldenurk? * Sirglõigu kaldenurk on teravnurk ekraani (sirge projektsiooni) ja sirge vahel 9. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? * 0 180 10. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. * Täisnurk projekteerub ristprojektsioonis täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb tasandil või on sellega paralleelne ja teine haar ei ole ekraaniga risti. 11. Nimetage objekti määravate jooniste saamise põhilised meetodid. * 1) Monge'i meetod * 2) Kvooditud ristprojektsiooni meetod * 3) Aksonomeetria meetod
1) paralleelne kiirtega 2) paralleelne ekraaniga? * 1) Sirglõiguks * 2) Kaldprojektsioonis ellipsiks, ristprojektsioonis ringiks 10. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? * Lõigu tõelise pikkuse ja tema kaldenurga koosinuse korrutisena 11. Mis on sirglõigu kaldenurk? * Sirglõigu kaldenurk on teravnurk ekraani (sirge projektsiooni) ja sirge vahel 12. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? * 0 180 13. Avaldada sirglõigu pikkus a, kui on teada tema paralleelprojektsiooni pikkus a' ja moondetegur m. * a=a'/m
1) paralleelne kiirtega 2) paralleelne ekraaniga? * 1) Sirglõiguks * 2) Kaldprojektsioonis ellipsiks, ristprojektsioonis ringiks 10. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? * Lõigu tõelise pikkuse ja tema kaldenurga koosinuse korrutisena 11. Mis on sirglõigu kaldenurk? * Sirglõigu kaldenurk on teravnurk ekraani (sirge projektsiooni) ja sirge vahel 12. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? * 0 180 13. Avaldada sirglõigu pikkus a, kui on teada tema paralleelprojektsiooni pikkus a' ja moondetegur m. * a=a'/m 14. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. * Täisnurk projekteerub ristprojektsioonis täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb
1) paralleelne kiirtega 2) paralleelne ekraaniga? * 1) Sirglõiguks * 2) Kaldprojektsioonis ellipsiks, ristprojektsioonis ringiks 10. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? * Lõigu tõelise pikkuse ja tema kaldenurga koosinuse korrutisena 11. Mis on sirglõigu kaldenurk? * Sirglõigu kaldenurk on teravnurk ekraani (sirge projektsiooni) ja sirge vahel 12. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? * 0 180 13. Avaldada sirglõigu pikkus a, kui on teada tema paralleelprojektsiooni pikkus a' ja moondetegur m. * a=a'/m 14. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. * Täisnurk projekteerub ristprojektsioonis täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb
# Sirgjoone ristprojektsiooni pikkus võrdub sirglõigu enda pikkuse ja kaldenurga koosinuse korrutisega. Sirgjoone kaldnurk teravnurk selle sirge ja tema ristprojektsiooni vahel Sirglõigu moondetegur sirgjoone paralleelprojektsiooni pikkuse ja sirglõigu tegeliku pikkuse suhe # Täisnurk projekteerub ristprojekteerimisel täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või on sellega paralleelne, teine haar aga pole selle ekraaniga risti. # Teravnurga ristporjektsioon võib nurga asendist tingitult olla piires 0 kuni 180 kraadi Projektsioonidele esitatavad nõuded: lihtsus, mõõdetavus, piltlikkus, objekti üheselt määratavus Kujutava geomeetria põhilised meetodid: # Monge'i meetod ehk mituvaade # aksonomeetria # kvooditud ristprojektsiooni meetod kvoot punkti kaugus ekraanist Monge'i meetod Gaspard Monge (1746- 1818) - Objektist tuletatakse mitu ristprojektsiooniga risti - Põhiekraan (xy-tasand) - Esiekraan (xz-tasand)
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Trigonomeetria Teravnurga puhul on sin vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe, tan vastaskaateti ja lähiskaateti suhe ning cos lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. Nurga veerand võetakse lõpphaara asukoha järgi ning on vastupäeva positiivne, päripäeva negatiivne. Taandamisvalemid võimaldavad taandada mistahes nurga radiaanideks. ja on teineteise täiendusnurgad 90°-ni, kui + = 90°. Siinusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=sinx. Tegu on paarisfunktsiooniga, periood on 2
põrandalt mördi kogumine 6. sisenurkade viimistlemine ja karsiiside tõmbamine 7. välisnurkade tegemine ja juhtlaudade eemaldamine 8. liivata tasanduskihi paigaldamine ja selle lihvimine 2. kirjelda sisenurga krohvimist. 1. viskame nurgale kaheltpoolt vedelat mörti 2. ühtlustame mördi kihi poolhõõruki tõmmetega nurgast seina poole 3. kontrollime nurga sirgejoonelisust kahe meetri pikkuse rihtlatiga, vertikaalsust nöörloodi või vaaderpassiga 4. teravnurga viimistleme pool- või profiilhõõrukiga kergelt edasi-tagasi tõmmates ja siludes krohvihõõrukiga 5. kumbernurgale visatud mördi tasandame poolhõõruki mitmekordsete tõmmetega kuni ristlõike saamiseni. Kontrollime nurki hiljem rihtlatiga. 3. kirjelda laepaneelide vuukide viimistlemist. 1. puhastame paneelivahelised vuugid kivistunud mördipritsmetest ja karestame ning niisutame paneelide servi. 2. seinale märgime vuugi keskme 3
Mehaaniline töö Jõu f mõju pikkusega s teel iseloomustatakse suurusega, mida nimetatakse tööks. Töö on skalaarne suurus, mis on võrdne rakenduspunkti poolt läbitud teepikkuse s korrutisega selle jõu liikumissuunalise projektsiooniga fs: A=fs s. Avaldis kehtib tingimusel, et fs jääb muutumatuks; see peab paika ka siis, kui keha liigub mööda sirget ning jõud moodustab selle sirgega püsiva nurga . Et fs = cos, saame, et A=f s cos. Kui jõud ja liikumise suund moodustavad teravnurga, on töö positiivne; kui nürinurga, on töö negatiivne. Kui = , on töö võrdne nulliga. Kui jõu liikumissuunaline projektsioon ei jää konstantseks, tuleb tee jagada elementaarlõikudeks ning seejärel kogu teel s tehtud töö leiame kui elementaartööde summa A=Ai fsi si . Kui kõik si lähenevad nullile, saab ligikaudsest võrdusest range: A= limsi ->0 fsi si = fsds . Töö ühikuks on töö, mille sooritab liikumise suunas mõjuv ühiku suurune jõud ühikulise
Normaalkruvipind tekib sirgjoone kruvijoonelisel liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab pinna telge täisnurga all. Pind on lõpmata ulatuslik nii telje kui moodustaja sihhis. Kuulub konoidide klassi. Rakendusena ruutkere. Ruutkeere s.o. keha, mis tekib ruudu kruvijoonelisel liikumisel, kui ruudu kaks külgsirget on telje ristlõikajad. Kaldkruvipind tekib sirgjoone kruvijoonelisel liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab pinna telge ühe ja sama teravnurga all. Pind lõikab ennast lõpmata palju kordi. Rakendusena kolmnurkkeere. Aksonomeetria Kujutamismeetodit, mille abil luuakse objekti piltlik kujutis, nimetatakse aksonomeetriaks. Akonomeetria jaotus: 1)teljestiku projektsiooni alusel: *paralleelaksonomeetria (rist-, kaldaksonomeetria) *tsentraalaksonomeetria 2)telgede moondetegurite vahekorra alusel: *isomeetriline e võrdmõõduline (isomeetria- mx=my=mz)- ristisomeetria, kaldisomeetria
ristprojektsiooni vahel. Kui cos=1; siis AB ll , siis A'B'=AB. Kui cos=0 (=90); siis AB on risti , siis A'B'=0. Sirglõigu moondetegur: sirgjoone projektsiooni pikkuse ja sirglõigu tegeliku pikkse suhe. 0m1 ; A'B'/ AB =m=cos. Ristprojektsiooni omadus: täisnurk projekteerub ristprojekteerimisel täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või on sellega paralleelne, teine haar aga pole selle ekraaniga risti. Teravnurga ristprojektsioon võib olla 0-st kuni 180-ni. Nõuded: lihtsus, mõõdetavus, piltlikkus, objekti üheselt määratavus. Kujutatava geomeetria põhilised meetodid: lisaandmete valikust lähtuvalt eristatakse järgmisi objekti määravate jooniste saamise meetodeid: *Monge'i ehk mituvaate meetod *Aksonomeetria meetod * Kvooditud ristprojektsiooni meetod. Sidejoon on alati risti kaksvaate teljega
kolmnurgad on sarnased 19.KNK - Kui ühe kolmnurga kaks külge ja üks nurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe külje ja ühe Nurgaga, siis need kolmnurgad on sarnased 20.NKN - Kui ühe kolmnurga kaks nurka ja üks külg on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe nurga ja ühe küljega, siis need kolmnurgad on sarnased 21.Võrdhaarse trapetsi diagonaalide omadus - Selle diagonaal poolitab trapetsi teravnurga 22.Paraleelsuse tunnus lähisnurkade järgi - Kaks sirget on paralleelsed parajasti siis, kui nende lõikumisel kolmanda sirgega tekivad lähisnurgad , mille summa on 180o 23.Paraleelsuse tunnus põiknurkade järgi - Kui kahte paraleeslet sirget lõigata kolmanda sirgega 24.Kolmnurga välisnurkade omadus - Välisnurkade summa võrdub täispöördega 25
asetsevad kõik kujundi tasandis 5. sirglõigu moondetegur - sirglõigu paralleelprojektsiooni pikkuse ja sirglõigu enda tõelise pikkuse suhe 6. sirglõigu moondetegur võib muutuda järgmistes piirides: 1) ristprojekteerimisel nullist üheni; 2) paralleelprojekteerimisel nullist lõpmatuseni 8. sirglõigu projektsiooni pikkus võrdub sirglõigu pikkuse ja kaldenurga koosinuse korrutisega. 9. sirglõigu kaldenurk ekraani suhtes on teravnurk sirglõigu ja tema projektsiooni vahel 10. teravnurga ristprojektsiooni suurus võib muutuda nurga asendist tingituna nullist 180 kraadini 11. täisnurk projekteerub ristprojekteerimisel täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või on sellega paralleelne ning teine haar pole ekraaniga risti 12. joonis peab olema lihtne, mõõdetav ja piltlik -- objekti määrav. 13. objekti määravate jooniste saamise põhimeetodid: monge'i meetod, aksonomeetria meetod, kvooditud ristprojektsiooni meetod. 14
Ühekatteline hüperboloid, Kahekatteline hüperboloid, Elliptiline paraboloid, Hüperboolne paraboloid. 84. Nimetage kõik teist järku joonpinnad. Kooniline pind, silindriline pind, puutujatepind. 85. Kuidas tekib harilik (kald-)kruvipind? Harilik kruvipind tekib sirgjoone kruvijoonelisel liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab pinna telge täisnurga all. Kaldkruvipind tekib sirgjoone kruvijoonelisel liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab pinna telge ühe ja sama teravnurga all. 86. Kuidas tekib tsükliline pind? Tsükliline pind tekib püsiva või muutuva raadiusega ringjoone liikumisel. Järelikult saab tsüklilise pinna iga punkti kohalt teha tasandilise lõike, mille kuju on ringjoon. 87. Milles seisneb aksonomeetria meetodi olemus? Kujutis konstrueeritakse punktide ristkoordinaatide järgi teljestiku kujutise baasil. Kujutamismeetodit, mille abil luuakse objektist piltlik kujutis, nimetatakse aksonomeetriaks. 88
1. (Nurgakraad) 10 on 1/90 osa täisnurgast ehk 1/360 osa täispöördest. 2. (Nurgaminut) 1' on 1/60 kraadist. 3. Teravnurga sin,cos,tan täisnurkses kolmnurgas- sin=a/c, cos=b/c, tan=a/b 4. Seosed ühe nurga sin,cos, tan jaoks- sin2+cos2=1, tan=sin/cos, 1+tan2=1/cos2 5. Täiendusnurga tri. funkt. sin=cos(90º-), cos=sin(90º-), tan=1/tan(90º-) 0o 30 o 45 o 60 o 90 o sin 0 1/2 2 /2 3 /2 1 cos 1 3 /2 2 /2 1/2 0
Taandamisvalemid Taandamisvalemid on valemid, mille abil saab mistahes nurga siinuse, koosinuse ja tangensi väärtuse leidmise taandada teravnurga juhule või siis negatiivse nurga siinuse, koosinuse ja tangensi leidmise taandada positiivse nurga juhule. 1. Taandamisvalemid II veerandi nurkade korral. Iga II veerandi nurga , kui 90° < < 180°, saab esitada kujul = 180° - , kus on positiivne teravnurk. Näiteks = 110° = 180° - 70°. y II veerandi nurkade korral kehtivad valemid: sin(180° - ) = sin
paberile, lõuendile või puidule. Selle sideaineks on munakollane, liim, mesi jm. Tempera teises tähenduses on temperavärvidega tehtud maal. N: Leonardo da Vinci, Valeri Vinogradov, Orest Kormasov Teravkaar - üks peamisi gooti arhitektuuri tunnusjooni, võimaldas ehitada kõrgemaid ja õhemaid müüre, kandesurve on suunatud rohkem allapoole mitte külgedele. Kahest või mitmest keskpunktist konstrueeritud kaarekuju, kus kaare küljed ühinedes moodustava teravnurga N: Praktiliselt kõik Eesti keskaegsed kirikud, linnused jm ehitised, Salisbury katedraali võlvid Triumfikaar - Vanas-Roomas võidukaile väejuhtidele püstitatud auvärav. Neid ehitati ka klassitsismiajal, eriti Prantsusmaal ja Venemaal. N: Vana-Rooma keisri auks püstitatud Arco di Augusto Triumfikaar, Arc de Triomf triumfikaar Barcelonas, Trofeekimp - ehitise kaunistus, kus mitmesugused relvad on omavahel ühendatud, kokku köidetud
Paralleelprojekteerimisel üldiselt võib moondetegur muutuda vahemikus (0; ) 7. Kui ring on paralleelne kiirtega, projekteerub ta sirgeks.Kui ring on paralleelne ekraaniga, prjekteerub ta ringiks. 8. Sirglõigu ristprojektsiooni pikkus võrdub sirglõigu enda pikkuse ja kaldenurga koosinuse korrutisega. A'B'=AB cos 9. Sirglõigu kaldenurk ekraani suhtes on teravnurk selle sirge ja tema ristprojektsiooni vahel. (0-90) 10. Teravnurga ristprojektsioon võib nurga asendist tingitult olla 0-180 11. Täisnurk projekteerub ristprojekteerumisel täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või on sellega paralleelne, teine haar pole aga ekraaniga risti. 12. Projektsioonidele esitatavad nõuded: - Lihtsus - Mõõdetavus - Piltlikkus - Objekti üheselt määratavus 13. Objekti määravate jooniste saamise põhilised meetodid:' - Monge`i meetod e mituvaate meetod - Aksonomeetria meetod
1) Ristprojekteerimisel 0 _< m _<1 2) paralleelprojekteerimisel? 0 _< m < lõpmatus 8. Mis kujundiks projekteerub paralleelprojekteerimisel ring, kui ta on: 1) paralleelne kiirtega- Sirge 2) paralleelne ekraaniga Ringiks , ellips 9. Mis on sirglõigu kaldenurk? Sirglõigu kaldenurgaks ekraani suhtes nimetatakse teravnurka selle sirge ja tema ristprojektsiooni vahel. 10. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? 0 180 kraadi 11. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. Täisnurk projekteerub ristprojekteerimisel täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või on sellega paralleelne, teine haar aga pole ekraaniga risti. 12. Nimetage objekti määravate jooniste saamise põhilised meetodid. Monge meetod, aksonomeetria meetod, kvooditud ristprojektsiooni meetod. 13. Missugustele koordinaatlõikudele vastavad põhi-, esi- ja külgkvoot?
2) Lõigu eestvaate pikkuse ja lõigu otspunktide esikvootide vahega
9. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga
ja tõelise pikkuse kaudu?
Lõigu tõelise pikkuse ja tema kaldenurga koosinuse korrutisena
10. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta
Täisnurk projekteerub ristprojekteerimisel täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või
on sellega paralleelne, teine haar aga pole ekraaniga risti.
11. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus?
Teravnurga ristrpojektsioon võib nurga asendist tingitud olla piires 0
7. Mis kujundiks projekteerub paralleelprojekteerimisel ring, kui ta on: a) paralleelne kiirtega? Sirglõiguks b) paralleelne ekraaniga? Ringiks 8. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? Sirglõigu ristprojektsiooni pikkus võrdub sirglõigu enda pikkuse ja kaldenurga koosinuse korrutisega. 9. Mis on sirglõigu kaldenurk? Teravnurk selle sirge ja tema ristprojektsiooni vahel. 10. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? 0-180 kraadi 11. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. Täisnurk projekteerub ristprojekteerimisel täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või on sellega paralleelne, teine haar aga pole selle ekraaniga risti 12. Missugustele nõuetele peavad joonised vastama? Joonises peab olema lihtusus, mõõdetavus ja piltlikkus. 13. Nimetage objekti määravate jooniste saamise põhilised meetodid. a) Monge`i meetod
Tõestamine vastuväiteliselt öeldakse, et esitatud väide ei kehti. Eeldusest ja väite eitusest lähtudes teisendatakse võrratust seni, kuni jõutakse vastuoluni eeldusega või mõne muu matemaatikast tuntud tõega. Sellest järeldatakse, et tehtud oletus väite mittekehtivusest oli väär ning seega peab väide olema tõene. 4.10 Nurga mõõtmine Nuri mõõdetakse nurgakraadides. Nurk 1 on 1/90 täisnurgast e 1/360 osa täispöördest. 1=60 ja 1=60=3600 4.11 Teravnurga siinus, koosinus ja tangens Nurga sin võrdub täiendusnurga koosinusega, nurga koosinus võrdub täiendusnurga sin, nurga tan võrdub täiendusnurga tan pöördväärtusega. Nurga a kasvades sin a väärtused kasvavad, cos a kahanevad ja tan a kasvavad. 4.12 Teravnurga siinuse, koosinuse ja tangensi leidmine 4.13 Teravnurkse kolmnurga lahendamine Iseloomustades treppi, mäenõlva jne tõusu seisukohalt kasutatakse tõusunurka e nurka objekti ja horisondi vahel või siis
1. Mis vahe on paralleel ja tsentraal ristprojektsioonis täisnurgaks, kui tema üks projekteerimisel? Tsentraal projekteerimisel haar asetseb tasandil või on sellega lähtuvad kujutamiskiired kõik ühest paralleelne ja teine haar ei ole ekraaniga punktist, paralleel projekteerimisel on risti. kujutamiskiired paralleelsed ja neil on ühine 11. Millistes piirides võib muutuda teravnurga siht. ristprojektsiooni suurus? 0<<180. 2. Kuidas jaguneb paralleel projektsioon ja 12. Mis kujundiks projekteerub ring paralleel mille poolest need alaliigid üksteisest projekteerimisel, kui ta on paralleelne erinevad? Paralleel projektsioon jaguneb kiirtega (paralleelne ekraaniga)? Sirglõiguks kaldprojektsiooniks ja ristprojektsiooniks
· Sibulkuppel sibulakujuline paisutusega kuppel, vanavene arhitektuur · Staatua ümarplastiline seisvat inimest kujutav skulptuur · Zanrimaal maal, millel kujutatakse sündmusi inimeste igapäevasest elust · Tahvelmaal transporditav pilt, mille aluseks on puuplaat või lõuend · Tempel pühakoda · Teravkaar gooti stiiline iseloomulik kaarekuju, kus kaare küljed omavahel ühinedes moodustavad ülal teravnurga · Termid avalik saun VanaRoomas · Triumfikaar algselt võidukaile Rooma väejuhtidele püstitatud auvärav · Tsikuraat astmeline torn mesopotaamia templiehituses · Tsunft sama ala käsitöölisi ühendav organisatsioon · Tugikaar gooti basiilikate kesklöövi välisseina ja tugipiilarite vahele laotud kaared, mille eesmärgiks oli ehitise tugevdamine · Tugipiilar gooti arh., piilaritaoline seinatugi võlvide külgsurve tasakaalustamiseks, paigutati väljaspoole
1) Paralleelne kiirega Sirglõiguks 2) Paralleelne ekraaniga? Kaldprojektsioonis ellipsiks, ristprojektsioonis ringiks 8. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? Lõigu tõelise pikkuse ja tema kaldenurga koosinuse korrutisena 9. Mis on sirglõigu kaldenurk? Sirglõigu kaldenurk on teravnurk ekraani (sirge projektsiooni) ja sirge vahel 10. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? Vahemikus 0 180 11. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. Täisnurk projekteerub ristprojektsioonis täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb tasandil või on sellega paralleelne ja teine haar ei ole ekraaniga risti. 12. Missugustele nõuetele peavad joonised vastama? Jooniselt nõutakse kolme omadust: lihtsust, mõõdetavust ja piltlikkust. 1) Kujutis on seda lihtsam, mida vähem jooni ta sisaldab ja mida lihtsamad need
Roidvõlv - e ristvõlv e ristroidvõlv - diagonaalselt neljaks võlvisiiluks jaotatud võlvikuju, mis tekib kahe silindervõlvi ristuval lõikumisel; lõikumiskohtadel moodustuvaid liiteid nimetatakse servjoonteks. Kui servjoonte kohal siilude vahele roided paigutada, tekib ristroidvõlv. Teravkaar - kahest või mitmest keskpunktist konstrueeritud kaarekuju, kus kaare küljed ühinedes moodustava teravnurga; iseloomulik gooti stiilile. Vööndkaar - võlvitud ruumikatte puhul toendeid (sambaid, piilareid või seinu) ühendav kaar, mis toetab võlvistikku ja liigendab teda võlvikuteks. Roie - raidkivist või tellistest laotud kitsas latitaoline kaar, mis võlvisiilude liitejoonel aitab võlvi kanda. Esineb peamiselt gooti võlvisüsteemis. Travee - ruumilõik, mis löövideks jaotatud hoonet kahe toendi (samba, piilari) laiuselt risti läbib.
1) Paralleelne kiirega Sirglõiguks 2) Paralleelne ekraaniga? Kaldprojektsioonis ellipsiks, ristprojektsioonis ringiks 8. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? Lõigu tõelise pikkuse ja tema kaldenurga koosinuse korrutisena 9. Mis on sirglõigu kaldenurk? Sirglõigu kaldenurk on teravnurk ekraani (sirge projektsiooni) ja sirge vahel 10. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? Vahemikus 0 180 11. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. Täisnurk projekteerub ristprojektsioonis täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb tasandil või on sellega paralleelne ja teine haar ei ole ekraaniga risti. 12. Missugustele nõuetele peavad joonised vastama? Jooniselt nõutakse kolme omadust: lihtsust, mõõdetavust ja piltlikkust. 1) Kujutis on seda lihtsam, mida vähem jooni ta sisaldab ja mida lihtsamad need
1) Paralleelne kiirega Sirglõiguks 2) Paralleelne ekraaniga? Kaldprojektsioonis ellipsiks, ristprojektsioonis ringiks 8. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? Lõigu tõelise pikkuse ja tema kaldenurga koosinuse korrutisena 9. Mis on sirglõigu kaldenurk? Sirglõigu kaldenurk on teravnurk ekraani (sirge projektsiooni) ja sirge vahel 10. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? Vahemikus 0 180 11. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. Täisnurk projekteerub ristprojektsioonis täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb tasandil või on sellega paralleelne ja teine haar ei ole ekraaniga risti. 12. Missugustele nõuetele peavad joonised vastama? Jooniselt nõutakse kolme omadust: lihtsust, mõõdetavust ja piltlikkust.
1o = rad ; 180 1 rad 57,3o . (kraadides) 0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o x (radiaanides) 0 3 2 6 4 3 2 2 3.2 Teravnurga trigonomeetrilised funktsioonid Täisnurkse kolmnurga teravnurkade trigonomeetrilised funktsioonid on järgmised. vastaskaatet a b Teravnurga siinus = ; sin = , sin = hüpotenuus c c lähiskaatet b a
vahe või 2) lõigu eestvaate pikkus ja lõigu otspunktide esikvootide vahe. 9. Sirglõigu ristprojektsiooni pikkus võrdub Lõigu tõelise pikkuse ja tema kaldenurga koosinuse korrutisena. 10. Lause täisnurga ristprojektsiooni kohta: Täisnurk projekteerub ristprojektsioonis täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või on sellega paralleelne ja teine haar ei ole ekraaniga risti. 11. Teravnurga ristprojektsiooni suurus muutub 0°...180°. 12. Ring projekteerub paralleelprojekteerimisel *sirglõiguks, kui ringi tasand ühtib kiirtega. *ringiks, kui ring on paralleelne ekraaniga (ristprojekteerimisel). *ellipsiks, kui ring on paralleelne ekraaniga (kaldprojekteerimisel) 13. Nimetage objekti määravate jooniste saamise meetodid. 1) Monge'i meetod, 2) kvooditud
Lihtsamad süsteemide lahendamisel es). murdvõrratused. rakendatavaid samasusteisendusi; Võrratusesüsteemi 3) lahendab lineaar-, ruut- ja d. murdvõrratusi ning lihtsamaid võrratusesüsteeme; 4) kasutab arvutit, lahendades Teravnurga siinus, võrratusi ja võrratusesüsteeme; koosinus ja 5) leiab taskuarvutil teravnurga tangens. trigonomeetriliste funktsioonide Täiendusnurga väärtused ning nende väärtuste trigonomeetrilised järgi nurga suuruse; funktsioonid. 6) lahendab täisnurkse Trigonomeetrilised kolmnurga;
) Torkav kuusk on meil haljastuses kahtlemata enim kasutatud kuuseliik. Kodumaaks on Põhja-Ameerika edelaosa, kasvades kaljumäestiku kesk-ja lõunaosas 1800-3300m kõrgusel. Moodustab metsi koos halli nulu (abies concolor), ebatsuuga ( Pseudotsuga menziezii) jt liikidega. Areaalis 25...30(40)m kõrguseks ja kuni 1m tüvediameetriga puu. Meil kuni 25m kõrgune ja 5...7m võra laiusega puu. Võra laikoonusjas kuni koonusjas, korrapärase kasvukujuga. Oksad tugevad, nooruses teravnurga all, hiljem horisontaalselt kasvavad. Eestis kasvamas pea kõikjal haljasaladel, paljudes vanades parkides ja aedades. Puudused: aeglasekasvuline, mullaviljakuse suhtes nõudlik, ei talu niisket mulda ega külgvarju, vanas easdekoratiivsus väheneb. Talub väga hästi linnatingimusi, on väga valgusnõudlik, haigustele vastupidav. Määramistunnused: Tüvi: koor hallikaspruun, väikeplaatjas, kestendav ja eralduv
1) paralleelne kiirtega? kahekordseks sirglõiguks. 2) paralleelne ekraaniga? ringiks. 8. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? Sirglõigu ristprojektsiooni pikkus võrdub lõigu enda pikkuse ja kaldenurga koosinuse korrutisega. 9. Mis on sirglõigu kaldenurk? Sirglõigu kaldenurgaks ekraani suhtes nimetatakse teravnurka selle sirge ja tema ristprojektsiooni vahel. 10. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? Võib olla nurga asendist tingitult vahemikus 0-180. 11. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. Täisnurk projekteerub ristprojekteerimisel täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või on sellega paralleelne, teine haar aga pole ekraaniga risti. 12. Missugustele nõuetele peavad joonised vastama? Joonised peavad olema objekti määravad. St, et peavad määrama üheselt objekti kõik omadused. Joonis peab olema lihtne, mõõdetav ja piltlik. 13
vahe või 2) lõigu eestvaate pikkus ja lõigu otspunktide esikvootide vahe. 9. Sirglõigu ristprojektsiooni pikkus võrdub Lõigu tõelise pikkuse ja tema kaldenurga koosinuse korrutisena. 10. Lause täisnurga ristprojektsiooni kohta: Täisnurk projekteerub ristprojektsioonis täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb tasandil või on sellega paralleelne ja teine haar ei ole ekraaniga risti. 11. Teravnurga ristprojektsiooni suurus muutub 0°...180°. 12. Ring projekteerub paralleelprojekteerimisel *sirglõiguks, kui ringi tasand ühtib kiirtega. *ringiks, kui ring on paralleelne ekraaniga (ristprojekteerimisel). *ellipsiks, kui ring on paralleelne ekraaniga (kaldprojekteerimisel) 13. Nimetage objekti määravate jooniste saamise meetodid. 1) Monge'i meetod, 2) kvooditud
on: 1) paralleelne kiirtega - Sirgeks 2) paralleelne ekraaniga Ringjooneks 10. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? See avaldub koosnius funktsiooni kaudu. A`B`=AB cos fii, (lõigu enda ja kaldenurga koosinuse vahel.) 11. Mis on sirglõigu kaldenurk? Sirglõigu kaldenurk on teravnurk sirglõigu ja tema ristprojektsiooni vahle. 12. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? 0 kuni 180 kraadi. 13. Avaldada sirglõigu pikkus a, kui on teada tema paralleelprojektsiooni pikkus a' ja moondetegur m. m=a´/a -> a=a´/m 14. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. Täisnurk projekteerub ristprojekteerumisel täisnurgaks siis kui tema üks haar asub ekraanil või on sellega paralleelne ja teine haar ei ole risti ekraaniga. 15. Missugustele nõuetele peavad joonised vastama?
1o rad ; 180 1 rad 57,3o . (kraadides) 0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o x (radiaanides) 0 3 2 6 4 3 2 2 3.2 Teravnurga trigonomeetrilised funktsioonid Täisnurkse kolmnurga teravnurkade trigonomeetrilised funktsioonid on järgmised. vastaskaatet a b Teravnurga siinus ; sin , sin hüpotenuus c c lähiskaatet b a
annaabi.ee 
