puudutab x- telge. Nullkohad x = -2 ja x = 1 on aga paaritut järku, mistõttu abijoon läbib neid kohti x - telge lõigates. -2 0 1 x Näide 3 Antud võrratuse lahendamine tähendab funktsiooni y = x2 (x + 2)(x - 1)3 negatiivsuspiirkonna leidmist. -2 0 1 x Antud juhul on negatiivsuspiirkonnaks, aga seega ka vastava võrratuse lahendiks hulk X (2;0) (0;1) Murdvõrratus Võrratust, mis sisaldab tundmatut murru nimetajas, nimetatakse murdvõrratuseks. Murdvõrratus esitub kujul: f ( x) 0 (või 0) g ( x) f ( x) 0 (või 0) g ( x) Murdvõrratus f ( x) Vaatame võrratust kujul 0 g ( x) selline võrratus on samaväärne seostega f ( x) g ( x) 0
Võrratused NÄIDE 1. LINEAARVÕRRATUS x 1 a) Vabaneda murdudest ja sulgudest 0 |∙ (−5) 5 b) Viia tundmatud ühele ja vabaliikmed 𝑥−1>0 teisele poole võrdusmärki 𝑥>1 c) Koondada ja jagada tundmatu ees oleva 1 x kordajaga V: 𝑥 ∈ (1 ; ∞) 2. RUUTVÕRRATUS 3(5 x 11) x(5 x 11) a) Viia kõik liikmed vasakule poole 5𝑥 2 − 4𝑥 − 33 > 0 võrdusmärki, korrastada võrratus Nullkohad: 𝑥1 = 3; 𝑥2 = −2,2 b) Leida nullkohad c) Joonistada parabool ...
"või" "ja" "nii, et" nt. ={m/n m n } "ühisosa" ehk "ja" "ühend" ehk "või" "välja arvatud" Võrratuste lahendamine Lineaarvõrratus Näiteks: Graafiliselt: x+9>4x x+9-4x>0 x-4x>-9 -3x+9>0 -3x>-9 |:(-3) y= -3x+9 x<3 y>0 Vastus: x]-;3[ Ruutvõrratus Näiteks: 6+x-x2<0 y= 6+x-x2 y<0 Vastus: x]-;-2[]3; [ Kõrgema astme võrratus Näiteks: x5-x3-8x2+80 y= x5-x3-8x2+8 y0 Vastus: x]-;-1][1;2] Murdvõrratus Näiteks: x +1 0 x-2 x +1 y= x-2 y0 Vastus: x[-1;2[ Kokkuvõte ehk intervallmeetod Viin kõik võrratuse liikmed paremale poole; Leian võrratuse nullkohad ja katkevuspunktid; Joonestan x-telje ja kannan saadud punktid sinna; Uurin võrratuse avaldise märki igas saadud piirkonnas; Tõmban abijoone läbi nullkohtade ja katkevuspunktide; Vaatan võrratusemärki ja viirutan vastuseks sobiva piirkonna; Kirjutan vastuse välja.
milles a, b ja c on antud arvud ( ) ja x on tundmatu. MURDVÕRRAND JA VÕRRATUS Võrrandit, milles tundmatu asub ka murru nimetajas, nimetatakse murdvõrrandiks. Murdvõrrandi lahendamisel: 1) viime võrrandi kõik liikmed ühele poole võrdusmärki 2) viime kõik murud ühisele nimetajale 3) kasutame murru nulliga võrdumise tingimust: murd = 0 kui tema lugeja = 0 ja nimetaja ≠ 0 Murdvõrratus on võrratus, mis sisaldab muutujat murru nimetajas. JUURVÕRRAND JA VÕRRATUS Juurvõrrand on võrrand, milles muutuja esineb juuritavas. Näiteks ja on juurvõrrandid. Juurvõrrandi lahendamiseks tuleb muutujaga liikmed vabastada juurtest. Selleks astendatakse võrrandi mõlemat poolt juurijaga võrdse arvuga. Kui võrrandis on ainult üks juur, siis tuleb see jätta üksi võrrandi ühele poolele.
Seejärel tuleb ruutvõrratus viia tegurdatud kujule: (x-3)(x+1)>0 Siit saab välja kirjutada võrratuse lahendipiirkonnad x=]-;-1[ U ]3;[ Otspunkte ei võta kaasa, sest meil on range võrratus. Intervallmeetodi puhul tuleb meeles pidada, et kui teguri aste on paarisarv, näiteks (x+1)2, siis joon põrkab, mitte ei läbi intervalli. Murdvõrratus Murdvõrratusi on kõige kergem lahendada, saades aru, et kui kahe arvu korrutis on positiivne, on ka nende jagatis positiivne ning vastupidi. Tänu sellele võib jagatise asendada korrutisega ning kasutada samuti intervallmeetodit. Enne seda tuleb aga kõik liikmed viia vasakule poole ning viia ühisele nimetajale. Mitterange võrratuse puhul tuleb kindlasti juurde mainida, et ei tohi lubada
.......................................................................................19 Ühe muutujaga lineaarvõrratuse süsteem...............................................................................19 Ruutvõrratus........................................................................................................................... 20 Intervallide meetod.................................................................................................................20 Murdvõrratus.......................................................................................................................... 21 Absoluutväärtust sisaldav võrratus.........................................................................................21 III Trigonomeetria...................................................................................................................... 22 Täisnurkse kolmnurga trigonomeetria...............................................................
x2 ja x4 järgud aga paaritud. Niiviisi saadud kõverat võib vaadelda funktsiooni y = Pn ( x ) skitsina. Sellelt graafikult saab määrata võrratuse lahendid. an > 0 x x 1 x 2 x 3 x 4 2.13 Murdvõrratus Murdvõrratuseks nimetatakse võrratust kujul a n x n + a n -1 x n -1 + ... + a 0 >0 ( või < 0 ). bm x m + bm -1 x m -1 + ... + b0 Selline võrratus on samaväärne võrratusega (a x n n + an -1 x n -1 + ... + a0 ) ( bm x m + bm -1 x m -1 + ... + b0 ) > 0 ( või < 0 )
x2 ja x4 järgud aga paaritud. Niiviisi saadud kõverat võib vaadelda funktsiooni y Pn x skitsina. Sellelt graafikult saab määrata võrratuse lahendid. an 0 x x 1 x 2 x 3 x 4 2.13 Murdvõrratus Murdvõrratuseks nimetatakse võrratust kujul a n x n a n 1 x n 1 ... a 0 0 ( või 0 ). bm x m bm 1 x m 1 ... b0 Selline võrratus on samaväärne võrratusega a x n n an 1 x n 1 ..
3 3 Ruutvõrratus on võrratus kujul ax2 + bx + c > 0 või ax2 + bx + c < 0 Ruutvõrratuse lahendamiseks lahendatakse kõigepealt vastav ruutvõrrand ja seejärel saab kõige lihtsamalt joonise abil leida vajaliku lahendihulga. Näide. Lahendame võrratuse x2 – 4x – 5 < 0. Võrrandi x2 – 4x – 5 = 0 lahendid on (–1) ja 5. Kuna parabool avaneb ülespoole, siis pole lahendihulga leidmine raske: L = 1;5 . Murdvõrratus on võrratus, kus tundmatu esineb ka murru nimetajas. p(x) Murdvõrratused kujul 0 või q(x) p(x) 0 , kus q(x) ≠ 0 asendatakse q(x) samaväärse võrratusega p(x)q(x) > 0 (p(x)q(x) < 0) ja lahendatakse intervallide meetodiga. © Allar Veelmaa 2014 12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium 43 2 Näide
annaabi.ee 
