Küsimused. 1)Mis on lineaarsuse tingimus lineaarsuse plokk koodidel+ 2)Misasi on koodivektor- 3)Mis on sõnumivektor 4)Mis on veaparandusvektor 5)Milleks arvutatakse moodustaja maatriksit 7)Milleks arvutatakse veakontrolli maatriksit 8)Mis asi on sündroom. 9)Mis asi on Hammingi kaal 10)Mis asi on Hammingi distants(vahemaa) 11)Kuidas on seotud Hammingi kaal ja Hammingi minimaalne distants 12)Kuidas on koodi minimaalne distants seotud veaparanuds võimega. (seletada tingimus kuidas vigu parandada saab) 13)Hammingi koodi iseloomustus. 14)Mis vigasid saab parandada Hammingi koodi järgi (valemid). 15)Hammingi koodi teisendamise ylesanne. Vastused
Def1: m korda n maatriksiks A nimetame m korda n elemendist moodustatud arvtabelit, milles on m rida ja n veergu. Kui m=n, siis on tegemist ruutmaatriksiga, vastupidisel juhul on tegemist ristkülikmaatriksiga. Def2_Maatriksid on võrdsed, kui nad on sama järku ja nende kõik vastavad elemendid on võrdsed. Üherealist maatriksit nimetatakse vektoriks. Def3_2 sama järku maatriksi summaks nimetame maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksite kõigi vastavate elementide summa. Def:4 Maatriksi korrutiseks arvuga lambda nimetame sama järku maatriksit, mille elementideks on maatriksi kõigi elementide korrutised arvuga lambda. Def5: maatriksi vastandmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksi kõigi elementide vastandväärtused. Def6: Kahe sama järku maatriksi vaheks A-B nimetatakse sama järku maatriksit, mis loetakse võrdseks maatriksi A ja maatriksi
(MxN) järku maatriksite A ja B summaks nimetatakse samajärku maatriksit A+B, mille elementideks on lähtemaatriksite kõigi vastavate elementide summa. A(aij) + B(aij) = A+B(a ij+bij). (MxN) A korrutiseks arvuga nimetatakse samajärku maatrikisit ·A, mille elementideks on maatriksi A kõigi elementide korrutised selle arvuga A; ·A= ·a ij) ; A, ·AM(mxn) . Maatriksi A vastandmaatriksiks A nim sellist maatriksit mille elementideks on lähtemaatriksi A kõigi elementide vastand väärtused; -A=(-a ij) ; A, -AM (mxn) . (MxN) järku maatriksite A ja B vaheks nim sama järku maatriksit A-B mis loetakse võrdseks maatriksi A ja (-1)·B summa A-B=A+(-1)·B; A-B=(a ij-bij). (MxK) maatriksi A ja (KxN) B korrutist nim (MxN) järku maatriksiks A·B, milles i-nda rea ja j-nda veeru lõikekohal paiknev ühine element C ij saadakse A i-nda rea ja j-nda veeru kõigi vastavate elementide korrutisena ja saadakse
Maatriksarvutus: Def. 1 (m x n) järku maatriksit A nimetatakse m · n elemendist moodustatud tabelit, milles on m-rida ja n-veergu Def. 2 Maatriksid A ja B loetakse võrdseks, kui nad mõlemad on sama järku ja nende maatriksite kõik vastavad elemendid on võrdsed Def. 3 (m x n) järku A ja B järku maatriksite A ja B summaks nimetatakse sama järku maatriksit -> A+B, mille elementideks on lähtemaatriksite A ja B kõigi vastavate elementide summa. Def. 4 (m x n) järku Maatriksi korrutiseks arvuga lambda nimetame maatriksit, mille elementideks on maatriksi kõigi elementide korrutised arvuga lambda. Def. 5 (m x n) järku A vastandmaatiksiks (-A) nimetatakse sama järku maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksi A kõigi elementide vastandväärtused Def. 6 (m x n) järku maatrikiste A ja B vaheks nimetatame sama järku maatriksi (A-B), mis
1. Maatriksi definitsioon 2. Pöördmaatriksi definitsioon a) Maatriks on ristkülikukujuline tabel, mille ridade ja veergude lõikekohtades Ruutmaatriksi A pöördmaatrksiks nimetatakse maatriksit A-1, mis rahuldab asuvad mingi fikseeritud hulga elemendid. Enamasti eeldatakse, et selle hulga võrdusi elemente saab liita ja korrutada. Kõige sagedamini on selleks hulgaks reaal- või AA-1=A-1A-E. kompleksarvude hulk. Üldisemalt võib selleks hulgaks olla suvaline korpus või Pöördmaatriks eksisteerib ainult siis, kui maatriks A on regulaarne (determinant isegi assotsiatiivne ühikelemendiga ring. A ei tohi võrduda 0ga)
1. Def. 1 (m x n) järku maatriksit A nimetatakse m · n elemendist moodustatud tabelit, milles on m-rida ja n-veergu 2. Def. 2 Maatriksid A ja B loetakse võrdseks, kui nad mõlemad on sama järku ja nende maatriksite kõik vastavad elemendid on võrdsed 3. Def. 3 (m x n) järku A ja B järku maatriksite A ja B summaks nimetatakse sama järku maatriksit -> A+B, mille elementideks on lähtemaatriksite A ja B kõigi vastavate elementide summa. 4. Def. 4 (m x n) järku Maatriksi korrutiseks arvuga lambda nimetame maatriksit, mille elementideks on maatriksi kõigi elementide korrutised arvuga lambda. 5. Def. 5 (m x n) järku A vastandmaatiksiks (-A) nimetatakse sama järku maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksi A kõigi elementide vastandväärtused 6. Def
ehitatud rööptahuka ruumalaga ehk 3. Vektorite x, y, z segakorrutis võrdub nulliga parajasti siis, kui vektorid on komplanaarsed ehk kui nad asetsevad kas ühel tasandil või paralleelsetel tasanditel 3 Arvutamise valem koordinaatides Kolmele vektoritele ehitatud rööptahukas Maatriks Maatriksiks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksit, milles on m rida ja n veergu, nimetatakse täpsemalt (m, n)-maatriksiks. Maatriksi mõõtmed Arvupaari (m, n) nimetatakse selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Ruutmaatriksit mõõtmetega (n, n) nimetatakse ka n-järku maatriksiks. Kui on ruutmaatiks, siis näitab mitu rida ja veergu maatriksil on. Näiteks kolmandat järku ruutmaatriksil on 3 rida ja 3 veergu. Maatriksi elemendid Reaalarve, milledest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks
.. a 2 n . . . . a am2 ... a mn m1 A= . Lühemalt on võimalik maatriksit esitada kujul: aik A= mn . Maatriksi erikujud: 1. Kui m = n, siis nimetatakse maatriksit ruutmaatriksiks. Ruutmaatriksi võrdsete indeksitega elemendid aii moodustavad peadiagonaali ja peadiagonaaliga ristuvad elemendid moodustavad kõrvaldiagonaali. 2. Kui m = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks-reaks ehk üherealiseks maatriksiks; näiteks A = ( 3 5 2,6 7 ). 3
· Vektorkorrutis on distriutiivne
·
2. Maatriksid
Maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit.
Maatriksis on m rida ja n veergu.
Maatriksi reaindeks on ai ja veeruindeks on aj.
Maatriksi peadiogonaali elemendid on a11; a22; amn
Erikujulised maatriksid:
· Kui maatriksi Am*n kõik elemendid aij võrduvad 0ga, siis nim seda nullmaatriksiks.
Ridade ja veergude arvu m ja n nim põhiparameetriteks. Kui mn, siis nim maatriksit
ristkülikmaatriksiks. Kui m=n, siis ruutmaatriksiks.
· Kui ruutmaatriksi peadiogonaali element 0 ja kõik ülejäänud elemendid =0, siis nim
maatriksit diagonaalmaatriksiks. Kui diagonaalmaatriksi kõik elemendid on omavahel
võrdsed, siis nim seda skalaarmaatriksiks.
· Kui skalaarmaatriksi kõik peadiagonaali elemendid =1, siis nim seda ühikmaatriksiks.
Tähistatakse E.
· Kui ruutmaatriksi peadiagonaal all (või kohal) olevad elemendid on kõik 0 (akl=0; k
Tehted maatriksitega · kaks samadimensionaalset maatriksit on võrdsed, kui vastavad elemendid on võrdsed · maatriksi korrutamisel arvuga saadakse sama dimensiooniga maatriks, mille kõik elemendid on korrutatud selle arvuga · nullmaatriks · vastandmaatriks · kahe sama dimensiooniga maatriksi summa on vastava dimensiooniga maatriks, mille elemendid võrduvad liidetavate elementide summaga · maatriksi ja sama dimensiooniga nullmaatrik- si summa võrdub liidetava maatriksiga
Sel juhul asetseb parabooli fookus x-teljel ja juhtjoon on paralleelne y-teljega. y²=2px Maatriksid Ruutmaatriks ja ristkülikmaatriks Kui ühe ja sama vektori koordinaadid asetseksid ühes reas ning samanimelised koordinaadid ühes ja samas veerus, saame tabeli, mida nim maatriksiks ja tähistatakse A= (a11 a12... a1n)(a21 a22 ... a2n)...(am1 am2 ... amn) kui m=n siis saame maatriksi mida nim ruutmaatriksiks, ehk n²- maatriksiks. Kui mn siis nim maatriksit ristkülikmaatiksiks ehk mn-maatriksiks. Lühidalt tähistatakse maatriksit A= (aik) kus sümbol aik tähistab maatriksi mistahes elementi. I näitab elemendi asukohta ridades, indeks k-veergudes. Maatriksi elemendid võivad olla nullid aga ühegi elemendi asukoht ei tohi tühi olla. Maatriksite teisendamisel kasutatakse samaväärsusteisendusi, mistõttu teisendatud maatriksid on vaid samaväärsed. Samaväärsuse tähistamiseks kas. Märki ~ Maatriksi astak
Maatrikseid tähistatakse suurte tähtedega A, B, C, . . . Maatriksi üldkuju on: a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n . . . . a am2 ... a mn A= m1 . Lühemalt on võimalik maatriksit esitada kujul: A = ( aik ) mn. Maatriksi erikujud: 1. Kui m = n, siis nimetatakse maatriksit ruutmaatriksiks. Ruutmaatriksi võrdsete indeksitega elemendid aii moodustavad peadiagonaali ja peadiagonaaliga ristuvad elemendid moodustavad kõrvaldiagonaali. 2. Kui m = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks-reaks ehk üherealiseks maatriksiks; näiteks A = ( 3 5 2,6 7 ). 3. Kui n = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks-veeruks ehk
. . Maatriksi üldkuju on: a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n A= . . . . . a am2 ... a mn m1 Lühemalt on võimalik maatriksit esitada kujul: A = ( aik ) mn. Maatriksi erikujud: 1. Kui m = n, siis nimetatakse maatriksit ruutmaatriksiks. Ruutmaatriksi võrdsete indeksitega elemendid aii moodustavad peadiagonaali ja peadiagonaaliga ristuvad elemendid moodustavad kõrvaldiagonaali. 2. Kui m = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks-reaks ehk üherealiseks maatriksiks; näiteks A = ( 3 5 2,6 7 ). 3. Kui n = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks-veeruks ehk
Tehted maatriksitega: Liitmine [aij]+-[bij]=[aij+-bij], Skalaariga korrutamine k[aij]=[kaij], Korrutamine Am·n·Bn·p=Cm·p, Reaalarve, milledest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksiks nimetatakse ¨umarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on ristatavad read ja veerud. Maatriksit, mille ridade arv on v~ordne veergude arvuga, s.t. m = n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, mille ridade arv erineb veergude arvust, s.t. m 6= n, nimetatakse ristk¨ulikmaatriksiks. Ruutmaatriksit m~o~otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨arku maatriksiks. nimetame (m, n)-maatriksit nullmaatriksiks, kui selle maatriksi k~oik elemendid on nullid. Maatriksi A transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude ¨aravahetamisel. Maatriksi A transponeeritud maatriksi t¨ahiseks on AT.
Arve aij maatriksist nimetatakse maatriksi elementideks. Esimene indeks märgib reanumbrit, teine indeks veerunumbrit. Arvud a11 , a 22 ,..., a nn asuvad maatriksi A peadiagonaalil ja arvud a1n , a2 n-1 ,..., an1 - asuvad maatriksi A kõrvaldiagonaalil. Maatriksi reavektoriteks nimetatakse aritmeetilisi vektoreid. Maatriksi veeruvektoriteks nimetatakse aritmeetilisi vektoreid. (m× n) - maatriksite A = (aij ) ja B = (bij ) summaks nimetatakse (m× n) - maatriksit A + B = (cij ) , kus cij = aij + bij kõigi indeksite i ja j võimalike väärtuste korral. Maatriksi A = ( aij ) R m×n korrutiseks skalaariga c nimetatakse maatriksit m× n cA = c A = (cij ) R , kus cij = caij kõigi indeksite i ja j võimalike väärtuste korral. Maatriksi korrutamiseks arvuga c tuleb tema kõik elemendid läbi korrutada selle arvuga. 8. Maatriksite korrutise definitsioon
Tabel 2. Maatriks L 7.8 5.55 8.5 Tabel 3. Kaalumaatriks W 6 0 0 0 4 0 0 0 3 Lähtudes nendest andmetest ja kasutades kaalutud normaalvõrrandite lahendamiseks T −1 T mõeldud valemit X =( A WA ) A WL , leidsime maatriksi X (Tabel 4), mis koosneb T otsitavatest muutujatest x ja y. A tähistab maatriksi A transponeeritud maatriksit, st T −1 read ja veerud on omavahel ära vahetatud. Maatriks ( A WA ) tähistab aga transponeeritud maatriksi A, kaalumaatriksi W ja maatriksi A korrutise pöördmaatriksit. Selle saame kui kasutame Excel’I funktsiooni MINVERSE. Maatriksite omavahelisel korrutamisel on tähtis järjekord, seetõttu tuleb hoolikalt jälgida, et tehted toimuksid valemis ettenähtud järjestuses
süsteemi. Tema üldkuju on: (3) a 21 x2 + a 22 x 2 + ...a 2 n x n = b2 Arve a ij nimetatakse võrrandisüsteemi .................... a m1 x1 + a m 2 x 2 + ...a mn x n = bm kordajateks, arve b1 , b2 ,..., bm aga süsteemi vabaliikmeteks. Arve c1 , c 2 ,..., c n , mis rahuldavad süsteemi kõiki võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi lahendiks. Lineaarse võrrandisüsteemi (3) kordajatest moodustatud maatriksit nimetatakse süsteemi (3) maatriksiks. Maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veeruga tekkinud maatriksit nimetatakse süsteemi (3) laiendatud maatriksiks. 2. Substitutsiooni definitsioon, näide. Inversiooni definitsioon, näide. N-järku determinandi definitsioon. Determinandi defineerimisel kasutatakse substitutsiooni mõistet. n-ndat järku substitutsiooniks nimetatakse n esimese naturaalarvu 1,2,...,n iga ümberjärjestust i1 , i2 ,..., in , . Näide 1. Kolmandat
MAATRIKSID JA DETERMINANDID ~ 1. MAATRIKSI MOISTE. TEHTED JA NENDE OMADUSED ¨ 1.1. Uldm~ oisted Olgu R reaalarvude hulk. K~oike, mida saab teha reaalarvudega, eel- dame lugejale teadaolevaks. Definitsioon 1.1. Tabelit reaalarvudest, milles on eristatavad read ja veerud ning on paigutatud u ¨marsulgudesse, nimetatakse maatriksiks. Definitsioon 1.2. Maatriksit, millel on m rida ja n veergu, nime- tatakse t¨apsemalt (m, n)-maatriksiks. Arvupaari (m, n) nimetatakse selle maatriksi m~ o~ otmeteks. Definitsioon 1.3. Maatriksit, millel on ridade ja veergude arv v~ordne, s.o. m=n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, millel ridade ja veer- gude arv on erinev, s.o. m = n, nimetatakse ristk¨ ulikmaatriksiks. Ruut- maatriksit m~ o~ otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨
MAATRIKSID JA DETERMINANDID ˜ 1. MAATRIKSI MOISTE. TEHTED JA NENDE OMADUSED ¨ 1.1. Uldm˜ oisted Olgu R reaalarvude hulk. K˜oike, mida saab teha reaalarvudega, eel- dame lugejale teadaolevaks. Definitsioon 1.1. Tabelit reaalarvudest, milles on eristatavad read ja veerud ning on paigutatud u ¨marsulgudesse, nimetatakse maatriksiks. Definitsioon 1.2. Maatriksit, millel on m rida ja n veergu, nime- tatakse t¨apsemalt (m, n)-maatriksiks. Arvupaari (m, n) nimetatakse selle maatriksi m˜ o˜ otmeteks. Definitsioon 1.3. Maatriksit, millel on ridade ja veergude arv v˜ordne, s.o. m=n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, millel ridade ja veer- gude arv on erinev, s.o. m = n, nimetatakse ristk¨ ulikmaatriksiks. Ruut- maatriksit m˜ o˜ otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨
MAATRIKS: Maatriks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksi mõõtmed Maatriksit, milles on m rida ja n veergu nimetatakse täpsemalt (m,n)- maatriksiks ning arvupaari (m,n) selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Omadus, mis esineb ainult ruutmaatriksil: Näiteks Mat(n,n) nim. n-järku maatriksiks. Maatriksi elemendid nimetatakse reaalarve, milledest maatriks koosneb. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega: A, B,....X, Y, Z. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina
28.arvutamise valem koordinaatides- z1 z2 z3 29.Kolmele vektoritele ehitatud rööptahukas - Vektorite a,b,c segakottutise absoluutväärtus võrdub nende vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga |abc|=V rt ( a ,b , c ) 30.Maatriks- Maatriksiks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. 31.maatriksi mõõtmed-Maatriksit milles on m rida ja n veergu nimetatakse (m,n)-maatriksiks. Arvupaari (m,n) nimetatakse selle maatriksi mõõtmeteks 32.maatriksi järk- naturaalarvude paari m × n, kus m ja n on vastavalt maatriksi ridade ja veergude arvud. n rea ja veeruga ruutmaatriksi järguks loetakse lihtsalt arvu n. 33.maatriksi elemendid- Reaalarvud millest maatriks koosneb 34.maatriksi ja maatriksite hulga tähistused- Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega (A,B,...,X,Y,Z)
arvude tabelit a11 a12 K a1n a21 a22 K a2 n A= M M O M am1 am 2 K amn Arve aij maatriksist (1) nimetatakse maatriksi elementideks. Esimene indeks märgib reanumbrit, teine indeks veerunumbrit. Def. 2. Maatriksit A = ( aij ) m× n nimetatakse n-ndat järku ruutmaatriksiks, kui tema ridade arv m võrdub tema veergude arvuga n. Seejuures öeldakse, et arvud a11 , a22 , ... , ann asuvad maatriksi A peadiagonaalil ja arvud a1n , a2, n -1 , ... , an1 asuvad maatriksi A kõrvaldiagonaalil. Def. 4. Maatriksi (1) reavektoriteks nimetatakse aritmeetilisi vektoreid 1 = ( a11 ; a12 ; ..
Maatriksil on m rida ja n veergu, kus a11; a12; ...a1n; jne on maatriksi elemendid. Kui me räägime järkudest, siis esimest järku matriks on a, teist on a, a, a, a, kui räägime kolmandat järku siis a,a,a,a,a,a,a,a,a (9) Ruutmaatriksi ridade ja veergude arv on sama. Kui me räägime skalaariga korrutamisest, see tähendab lihtslat arv korrutame matriksiga Maatriksit, milles kõik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaatriksiks ja tähistatakse . Maatriksi vastandmaatriksiks nimetatakse maatriksit: + = + KOMMUTATIIVSUS ( + ) + = + ( + ) - ASSOTSIATIIVSUS (A + B) = aA + aB - DISTRIBUTIIVSUS ( + ) = + - DISTRIBUTIIVSUS 1= 0=0 Transponeeritud maatriks (AT) nimetatakse maatriksit, milles on võrreldes maatrksiga A read ja veerud välja vahetatud. 2
J ja K maatriksid, mis viime programmi Matrix ja arvutame uue parandite maatriksi X (Tabel 8). Kuna parandid dx=dy= 0, siis punkti B koordinaadid võrreldes esimese tasandusega ei muutu. Tabel 8. Parandite maatriks X 0.0000 0.0000 Leiame hälvete maatriksi V=JX-K (Tabel 9). Tabel 9. Hälvete maatriks V 14.709 - 1.66818 - 56.1556 8 -0.0465 0.00884 Järgnevalt saame leida kaaluühiku standardhälbe S0. Selleks on meil vaja hälvete maatriski transponeeritud maatriksit VT, kaalumaatriksit W ja hälvete maatriksit V. Lisaks suuruseid m (mõõtmiste arv) ja n (tundmatute arv). Tulemuseks saame S 0= 8,967. Viimase lähenduse andmete põhjal saame leida punkti B tasandatud koordinaatide täpsushinnangud Sx ja Sy. Selleks on meil vaja eelnevalt leitud kaaluühiku standardhälvet ning kovariatsioonimaatriksi Qxx (Tabel 10) peadiagonaali elemente. Täpsushinnanguteks saame Sx= 0,0694 ja Sy= 0,057. Tabel 10. Kovariatsioonimaatriks Qxx 0.00006 0
arvust atiivne (S) atiivne oht (S) Tee maatriks Tee vektor Lahenda Kustuta Ristkülik: Vali arv: Summa: 10 ektor Ruut: Max.el: Rida: Veerg: Sub Tee_Maatriks() Koostab vabalt valitud ridade ning veergude arvuga maatriksi töölehele. Sub Tee_Vek() Koostab vabalt valitud ridade arvuga vektori töölehele. PEAPROTSEDUUR Sub Lahenda() Loeb töölehelt maatriksi ning vektori VBA massiivi. Teeb If-protseduuriga kindlaks, kas maatriksit ei ole või ristkülik - või ruutmaatriksiga, annab teate ning kui maatriks on olemas, siis vastavalt käivitab, kas ristkülik- ruutmaatriksi alamprotseduurid. RISTKÜLIKU ALAMPROTSEDUURID: Sub max_el_igas (A(),m,n,maks(),rida(),veerg()) Parameetrid: massiiv A(), ridade arv m, veergude arv n, vektror maks(), vektor rida(), vektor veerg() Leiab iga rea maksimaalse elemendi ning kannab selle väärtuse vektorisse maks() vastavasse ritta, leiab s
1. MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): [ ] a = aij A = (aij ) = ij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element.
Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina 1. MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): A = (aij ) = [aij ] = aij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv.
MÄRKUS 2. Maatriksi Am × n veeru elemendid (2) on vaadeldavad m- mõõtmelise vektori koordinaatidena. Neid vektoreid on n tükki ja neid nimetatakse maatriksi VEERUVEKTORITEKS aj V = ( a1j , a2j , . . . , am j ), j = 1, 2, . . . , n. (4) Veeruvektor on vaadeldav (m×1)-maatriksina. 7 ERIKUJULISI MAATRIKSEID DEFINITSIOON 1. Kui maatriksi Am × n kõik elemendid aij võrduvad nulliga, siis nimetatakse maatriksit NULLMAATRIKSIKS. Maatriksi ridade ja veergude arvud m ja n on tema PÕHIPARA- MEETRID. Kui m n, siis on tegemist RISTKÜLIKMAATRIKSIGA. Kui m = n, siis on tegemist RUUTMAATRIKSIGA ja arvu n nimetatakse selle maatriksi JÄRGUKS. Ruutmaatriksi elemendid a11 , a22 , . . . , ann moodustavad tema PEADIAGONAALI ja elemendid a1n , a2 n-1 , . . . , an 1 vastavalt KÕRVALDIAGONAALI. DEFINITSIOON 2. Kui ruutmaatriksi peadiagonaali elemendid ei ole
MÄRKUS 2. Maatriksi Am × n veeru elemendid (2) on vaadeldavad m- mõõtmelise vektori koordinaatidena. Neid vektoreid on n tükki ja neid nimetatakse maatriksi VEERUVEKTORITEKS aj V = ( a1j , a2j , . . . , am j ), j = 1, 2, . . . , n. (4) Veeruvektor on vaadeldav (m×1)-maatriksina. 7 ERIKUJULISI MAATRIKSEID DEFINITSIOON 1. Kui maatriksi Am × n kõik elemendid aij võrduvad nulliga, siis nimetatakse maatriksit NULLMAATRIKSIKS. Maatriksi ridade ja veergude arvud m ja n on tema PÕHIPARA- MEETRID. Kui m n, siis on tegemist RISTKÜLIKMAATRIKSIGA. Kui m = n, siis on tegemist RUUTMAATRIKSIGA ja arvu n nimetatakse selle maatriksi JÄRGUKS. Ruutmaatriksi elemendid a11 , a22 , . . . , ann moodustavad tema PEADIAGONAALI ja elemendid a1n , a2 n-1 , . . . , an 1 vastavalt KÕRVALDIAGONAALI. DEFINITSIOON 2. Kui ruutmaatriksi peadiagonaali elemendid ei ole
ekraani punktid. • Värvikineskoobi ekraanil moodustub värviline kujutis kolme põhivärvi kooskiirgusest: punane (tähis R"red"), roheline (tähis G"green") ja sinine (tähis B"blue"). • Igal värvusel on oma elektronkiir ja luminofoorielemendid. PLASMATELER • Plasmateler on lameekraaniga televiisor, milles kasutatakse pildi loomiseks paljudest väikestest kambrikestest koosnevat maatriksit. • Pildi tekitamiseks ioniseeritakse kambrikestes sisalduv gaas elektrilaenguga. • Plasmaekraani iga kujutisepunkti kohta tuleb kolm pikslit punane, roheline ja sinine ning see annab enneolematu võimaluse värvimänguks. LCD • LCD ehk vedelkristallekraan on õhuke, lame elektrooniline ekraan, mis kasutab valgust muutvaid vedelkristalle. • Vastupidiselt arvatule on LCD ehk
ehk AX + Y = X. Maatriksvõrrandist on võimalik avaldada lõpptoodangu vektor, kui on teada kogutoodang ja tootmistehnoloogia, kuid ei ole teada, kui palju toodangut jääb lõpptarbijale: Y = X AX = (E A) X. Kui on vaja leida uus kogutoodangu vektor ning on teada uus lõpptoodangu vektor, siis saame avaldada võrrandist (E A) X = Y vektori X. Selleks peab korrutamavõrrandi vasakult maatriksiga (E A) ¹: (E - A) ¹ (E A) X = (E - A) ¹ Y ehk X = (E A) ¹ Y. Maatriksit (E A) ¹ tähistatakse tähega B ning nimetatakse täiskulukoefitsentide maatriksiks. ÜLESANNE · On antud kahe haruga osa maatriksbilansist: haru 1 2 lõpptoodang kogutoodang 1 400 220 880 1500 2 600 800 200 1600
KORDAMISKÜSIMUSED 2015/2016 Kõrgem matemaatika MTMM. 00.145 (6EAP) 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega. Kui aij on reaalarvud ning i = 1; 2;...;m ja j = 1; 2;...; n, siis tabelit: nimetatakse täpsemalt (m x n)-maatriksiks ja kasutatakse tähistusi Am x n või Amn. Arvupaari (m; n) nimetatakse maatriksi A mõõtmeteks. Tabelis paiknevaid arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. i reaindeks; j veeruindeks. reamaatriks (1 x n); veerumaatriks (m x 1); ruutmaatriks m = n Tähistused:
siinusvõnkumiseks nimetatakse mis tahes võnkumist, mida saab kirjeldada siinusfunktsiooni või koosinusfunktsiooni abil ja sellise võnkumise võrrandit nimetatakse harmoonilise võnkumise võrrandiks: x = A sin · Lõik- Lõik ehk sirglõik on sirge kaht punkti A ja B ühendav osa, punktid A ja B kaasa arvatud. Seda lõiku tähistatakse AB.[1] Punkte A ja B nimetatakse lõigu otspunktideks. Jordani maatriks- Jordani maatriksiks nimetatakse blokk- diagonaalset maatriksit, mis koosneb Jordani kastidest. Jordani kastiks nimetatakse ruutmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed, vahetult peadiagonaali kohal asuvad elemendid on ühed, ent ülejäänud elemendid on nullid. · Lemma- Lemma ehk abiteoreem on teoreem, millel pole küll iseseisvat tähtsust, kuid mis osutub vajalikuks vaadeldava matemaatilise teooria mõne teise teoreemi sõnastamisel. · Fundamentaaljada- Fundamentaaljadaks ehk Cauchy jadaks
a. mehaanika-elektroonika b. elektroonika-tarkvaratehnika c. tarkvaratehnika-mehaanika Küsimus 6 Kui suure osa (maksimaalselt) mehhatrooniliste bürooseadmete riketest põhjustasid eri tehnoloogiate negatiivsel sünergial põhinevad ilmingud? Vali üks: a. 10-15% b. 15-20% c. 20-25% d. 25-30% Küsimus 7 Milline probleem tekib sünergiapõhiste konstruktsioonimaatriksite töötlemisel, kui me ei ole suutnud olulisi siduseid ebaolulistest eristada? Vali üks: a. maatriksit pole võimalik matemaatiliselt töödelda b. maatriksis moodustatud siseplokid lähevad liiga suureks c. võib saada vale tegevuste järjekorra d. maatriks kukub kokku Küsimus 8 Millisesse allloetletud valdkonda kuulub tehniliste süsteemide teooria? Vali üks: a. projekteerimise filosoofia b. üldine projekteerimise metodoloogia c. eri projekteerimise metodoloogia Küsimus 9 Millise materjali kilo hind on loetelus kõige suurem? Vali üks: a. roostevaba teras
Nõelmaatriksprinterite puhul on traditsioonilisteks trükikvaliteedi näitajateks kujunenud järgmised veidi ebamääraselt defineeritud terminid: mustandikvaliteet (draft) liht- ehk normaalkvaliteet (near letter quality- NLQ) lahutusvõime kuni 240x216 dpi tähe- ehk esinduskvaliteet (letter quality -LQ) lahutusvõime kuni 360x360 dpi Selleks, et rahuldava kvaliteedi saamiseks printida nii suuri kui ka väikeseid tähti, vajatakse vähemalt 9x9- elemendiga maatriksit. Sellist maatriksit valmistada ja juhtida on keerukas, mistõttu praktikas kasutatakse 9 nõelast koosnevat veerumaatriksit, kus nõelad asetsevad kohakuti üksteise peal. Mida suurem on elementaarpunkte moodustav nõelmaatriks, seda parem on muidugi saadava kujutise kvaliteet. Kvaliteetsetes nõelmaatriksprinterites kasutatakse 24 nõela, mis harilikult paiknevad kolmes üksteise suhtes nihutatud 8- nõelases veerus. Suurendada märke moodustavate nõelte arvu suvalisel määral pole siiski
Nõelmaatriksprinterite puhul on traditsioonilisteks trükikvaliteedi näitajateks kujunenud järgmised veidi ebamääraselt defineeritud terminid: mustandikvaliteet (draft) liht- ehk normaalkvaliteet (near letter quality- NLQ) lahutusvõime kuni 240x216 dpi tähe- ehk esinduskvaliteet (letter quality -LQ) lahutusvõime kuni 360x360 dpi Selleks, et rahuldava kvaliteedi saamiseks printida nii suuri kui ka väikeseid tähti, vajatakse vähemalt 9x9- elemendiga maatriksit. Sellist maatriksit valmistada ja juhtida on keerukas, mistõttu praktikas kasutatakse 9 nõelast koosnevat veerumaatriksit, kus nõelad asetsevad kohakuti üksteise peal. Mida suurem on elementaarpunkte moodustav nõelmaatriks, seda parem on muidugi saadava kujutise kvaliteet. Kvaliteetsetes nõelmaatriksprinterites kasutatakse 24 nõela, mis harilikult paiknevad kolmes üksteise suhtes nihutatud 8- nõelases veerus. Suurendada märke moodustavate nõelte arvu suvalisel määral pole siiski võimalik,
Vali üks: a. sünergia ja kvaliteet on üksteisest sõltumatud b. on samaväärsed mõisted c. sünergia tõhustamine tõstab toote kvaliteeti d. kvaliteedi tõus kutsub esile sünergia tekke Küsimus 4 Õige Hinne 9,00 / 9,00 Flag question Küsimuse tekst Milline probleem tekib sünergiapõhiste konstruktsioonimaatriksite töötlemisel, kui me ei ole suutnud olulisi seoseid ebaolulistest eristada? Vali üks: a. maatriksit pole võimalik matemaatiliselt töödelda b. maatriksis moodustatud siseplokid lähevad liiga suureks c. võib saada vale tegevuste järjekorra d. maatriks kukub kokku Küsimus 5 Õige Hinne 9,00 / 9,00 Flag question Küsimuse tekst Milline loetletud valdkondadest ei sobi projekteerimisvaldkondade teooriasse? Vali üks: a. funktsioonide valdkond b. organite valdkond c. detailide valdkond d
kiud Fibroosne kõhrkude Kondrotsüüt Elastsete kiudude võrgustik Elastne kõhrkude Kõhrkoe arenemine · Viiendal embrüonaalarengu nädalal tulevaste kõhrede kohal mesenhüüm tiheneb, rakud kaotavad jätked, ümarduvad ja paigutuvad kõrvuti ning hakkavad tootma basofiilset intertsellulaarset substantsi; rakud (kondroblastid/kondrotsüüdid) produtseerides uut maatriksit tõukuvad üksteisest eemale · Ümbritsev mesenhüüm moodustab perikondri (excl. liigeskõhred) Kõhrkoe kasv · Kõhrkude kasvab interstitsiaalse ja apositsioonilise kasvu teel · Interstitsiaalne kasv - rakkude jagunemise kõhrkoe sees · Apositsiooniline kasv - perikondri sisemise kihi (kondrogeenne kiht) rakkude diferentseerumine kondroblastideks · Nimetatud kahel viisil toimub uue kõhre moodustumine kõhresiseselt (interstitsiaalne
Järgnevalt lühidalt paradigma mõistest... http://www.experimentaljetset.nl/archive/images/Modernism.gif 4 2.2.1. Paradigma mõistest Paradigma on raamistik/mudel, mille abil tõlgendame ja mõistame kogemust, oma elu. Paradigma selgitab, miks teeme teatud asju ja kuidas asjad peavad tehtud saama; nad on prillid, mille kaudu maailma näeme. Teadusfilosoof Kuhn on defineerinud paradigmat (Kreitzberg 1993:24) kui teadusharu või distsipliini maatriksit, mis koosneb järgnevatest elementidest: 5 1. sümboolsed üldistused need on väljendid, mida kasutatakse rühma liikmete poolt edukalt ilma kahtluse või eriarvamuseta; 2. metafüüsiline paradigma jagatud uskumused teatud mudelitesse (nt mida peetakse teaduslikuks tööks ja mida mitte); 6 3. väärtused (nt avastus, mis peab olema
-20 357 -21 396 -22 437 -23 480 -24 525 -25 572 ktsiooni väärtuste arvutamisel on vaja kasutada neid lahtri aadresse. c 3 25 Leia kahe maatriksi korrutis Selleks sisesta kaks sobivate mõõtmetega maatriksit, mida saab korrutada. 1 2 3 10 11 12 84 4 5 6 13 14 15 201 7 8 9 16 17 18 318 90 96 216 231 342 366
~ KORGEMA ¨O MATEMAATIKA EKSAMITO ¨ 1. variant1 Perekonnanimi, nimi, kuup¨ aev.......................... 1. Antud 2 LVS laiendatud maatriksit 2 Milline LVS on lahenduv 1 0 15 3 5 1 0 5 3 · esimene 5 0 1 5 0 5 ja 0 1 - 45 0 1
Küsimuse tekst Mitu protsenti õnnestus pingeanalüüsi tulemusena vähendada kettniiduki masti ja kanduri massi? Vali üks või enam: a. 50 - 60% b. 30 - 40% c. 20 - 30% d. 40 - 50% Küsimus 6 Valmis Hinne 6,00 / 6,00 Märgista küsimus Küsimuse tekst Milline probleem tekib sünergiapõhiste konstruktsioonimaatriksite töötlemisel, kui me ei ole suutnud olulisi seoseid ebaolulistest eristada? Vali üks või enam: a. võib saada vale tegevuste järjekorra b. maatriksit pole võimalik matemaatiliselt töödelda c. maatriks kukub kokku d. maatriksis moodustatud siseplokid lähevad liiga suureks Küsimus 7 Valmis Hinne 6,00 / 6,00 Märgista küsimus Küsimuse tekst Mis põhjustel satuvad seosed DSM maatriksis ülespoole diagonaali? Vali üks või enam: a. paralleelsete tegevuste korral b. järjestikkuste tegevuste korral c. on võimalik kõigil kirjeldatud juhtumeist d. tagasisidestatud tegevuste korral Küsimus 8 Valmis
ametikohal esineda võivad terviseohtlikud ohuolukorrad ja neid põhjustavad faktorid ning hinnata ohuolukorra tagajärgi ja toimumise tõenäosust. Riskianalüüsis on arvesse võetud töökohtade ja töövahendite kasutamisega seotud tervisriske. Analüüsi põhjal koostatakse tegevuskava riskide vähendamiseks töökeskkonnas. Lähtutud Töötervishoiu ja tööohutuse seadusest ja sellest tulenevatest määrustest. Käesolevas riskianalüüsis kasutatakse BS 8800 viie astme riskihindamise maatriksit (vt Tabel 1, 3 lk). 3 1 OHUTEGURITE KIRJELDUS Füüsikalised tegurid- valgustatus, õhutemperatuur ja -niiskus, ventilatsioon, müra. Keemilised tegurid- tolm, fenool. Bioloogilised tegurid- viirused, mikroorganismid, inimese endoparasiidid, hallitused. Psühholoogilised tegurid- stress, väsimus, pikaajaline istumine ja tegevusetus, silmade pingesolek.
Saadud süsteem on peaaegu alati teatud mõttes sümmeetriline, mis võimaldab kasutada erivõtteid, näiteks võrrandite jagamist/korrutamist. Antud süsteemi on lihtne lahendada vahetu asendusmeetodiga (jagamisel/korrutamisel tuleb lõpuks ka asendada !). I-st saame K 1 / 3 = w L 2 / 3 ning asendades II- e saame L 1 / 3= r ( w L 2 / 3) 2 , millest L = L* = 1 / (r w 2 ). Vahetulemusest K 1 / 3 = w L 2 / 3 saame K* = 1 / (r 2 w ). Hesse maatriksit tuleb tegelikult uurida punktis (L*, K* ), kuid vahel on praktilisem alustada üldkujul. Siin ülemine nurgaelement on (- 2/ 3) K 1 / 3 L - 5 / 3 < 0 ja det H = (1/ 3) K - 4 / 3 L - 4 / 3 > 0 ja seega tõesti maksimum . L * analüüs r suhtes tähendab leida osatuletis ¶L*/ ¶r , millest teha vajalikud järeldused.
Saadud süsteem on peaaegu alati teatud mõttes sümmeetriline, mis võimaldab kasutada erivõtteid, näiteks võrrandite jagamist/korrutamist. Antud süsteemi on lihtne lahendada vahetu asendusmeetodiga (jagamisel/korrutamisel tuleb lõpuks ka asendada !). I-st saame K 1 / 2 = w L 3 / 4 ning asendades II- e saame 2 L 1 / 4= r w L 3 / 4 , millest L = L* = 4 / (r2 w 2 ). Vahetulemusest K 1 / 2 = w L 3 / 4 saame K* = 8 / (r 3 w ). Hesse maatriksit tuleb tegelikult uurida punktis (L*, K* ), kuid vahel on praktilisem alustada üldkujul. Siin ülemine nurgaelement on (- 3/ 4) K 1 / 2 L - 7 /4 < 0 ja det H = (1/ 2) K - 1 L - 3 / 2 > 0 ja seega tõesti maksimum . Tingimus L *= K * kehtib, kui r = 2 w .
survetugevus,vastupidavus oksüdeerumisele ning tooraine odavus. Sisaldavad metallarmatuuri. Keraamilise KM valmistamiseks kasutatakse kolme põhimeetodit: pressimist järelpaagutamisega, kuumpressimist, lobrivalu järgneva paagutamisega. Keraamika puuduseks on haprus,omaduste ebastabiilsus,halb töödeldavus,termolöögikindlus. Kasutus: Konstruktsioonikeraamika(MgO ja Mo) Tööriistakeraamika(Mo, Niitkristallide kasutamine) Elektrokeraamika(volfraamtradiga armeeritud fajansskeraamika) Ker. Maatriksit saab tugevdada metallarmatuuriga 2 viisil: kasutades armatuuriks millel on maatriksist suurem elastsusmoodul VÕI kasutades armatuuriks materjali millel on maatriksiga võrreldes suurem joonpaisumine. 13.Süsinikkomposiitidel on väike tihedus,suur tõmbetugevus ja elastsusmoodul,hea termokindlus.Pidevate või diskreetsete kiududena süsinikarmatuur saadakse orgaaniliste kiudude kõrgtemperatuurse prolüüsi teel.Lähtematerjaliks on naturaalsed(tseluloos) või
Determinantide omadused, kõrgemat järku miinorit, siis _. . ._akak, kus a1, a2, . . . , ak on determinandi arendus rea (veeru) öeldakse, maatriksi astak on r. reaalarvud, nimetatakse vektorite järgi Maatriksi astaku hõlpsamaks a1, a2, . . . , ak lineaarseks l. omadus. leidmiseks teisendataks maatriksit kombinatsiooniks. Kui vektor on Determinant ei muutu kui tema read ja enne nii, et ta kõrgeimat järku esitatud mingite vektorite lineaarse veerud omavahel ümber paigutada. See nullist erinev miinor tuleks kombinatsioonina, siis öeldakse, et omadus väljendub determinantide ridade ja veergude samaväärsust. Seega maatriksi ülemisse vasakpoolsesse ta on arendatud nende vektorite
koordinaadid on x ja y, ja vastupidi, xy-tasandi iga punkti M x; ysaab vaadelda Liitmine: kompleksarvu x iy geomeetrilise kujutisena. m × n- maatriksite A = (aij) ja B = (bij) summaks nimetatakse m×n- Tasandit, millel kujutatakse kompleksarve, nimetatakse A+B= (cij), kus cij = aij + bij kompleksmuutuja z tasandiks maatriksit kõigi indeksite i ja j võimalike väärtuste korral. (joonisel on sümbol z ringi sees). Selle tasandi nendele Aritmeetiline vektor punktidele, mis asetsevad x-teljel, vastavad reaalarvud (y 0). Skalaarkorrutis: n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks vektoriks nimetatakse n arvu
1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine).
(ab)=a() , 1* Skalaarkorrutis on arv Omadused n-mõõtmeline aritm. ruumis skalaarkorrutise , 6. Maatriksi definatsioonid,lineaartehted ja nende omadused. (m*n) maatriks on m reast ja n veerust koosnev ristküliku kujuline arvude tab.,tähistatakse suurte tähtetega (A,B,C),arvud aijon maatriksite elemendid (kus i=1,2,3,...m rea indeks ja j=1,2,3...n-veeru indeks)kõigi (m*n) maatriksite hulk tähistatakse . Maatriksit A=aij - ruutmaatrikskui m=n ,eristatakse pea- ja kõrvaldiogonaale (a11,a12,a13...ann peadiogonaali elemendid) jan (a1n,a2n-1...an1 kõrvaldiogonaali elemendid). Diogonaalmaatriks on ruutmaatriks milles kõik elemendid mis ei ole peadiogonaalil on nullid(0) Maatriksi A=aij ridade elemente nimetatakse selle maatriksi reavektoriks (aritm. vektorid)=) , Maatriksi veeruvektorid on aritm.vektorid ) ,
annaabi.ee 
