Ai-reaindeksj- veeruindeks I= 1, 2, .....m j= 1, 2, ......n A=( a11 a12 a13 ....a1n) ( a21 a22 a23....a2n) ( a31 a32 a33 ....a3n) m=n (ruutmaatriks) nxn n2- maatriks mn (ristkülikmaatriks) Maatriksi seda osa, kus paiknevad elemendid a11 ; a22 ; a33 ..... akk nimetatakse maatriksi peadiagonaaliks. Maatriksi seda osa, kus paiknevad elemendid a1n ; a2n-1 ; a3n-2 .... akn(k-1) nimetatakse maatriksi kõrvaldiagonaaliks. a11 priviligeeritud element. Tehted maatriksiga Def 2 : maatriksid A ja B loetakse võrdseks, kui nad on sama järku ( ühepalju ridu ja veerge) ja nende kõik vastavad elemendid on võrdsed . A: (pxq) B: (rxs) p=r q=s Def 3 : (mxn) järku maatriksite A ja B summaks nimetatakse sama järku numbrite A + B, mille elemendiks on lähte maatriksite kõigi vastavate elementide summa. A+B=(aij + bij) A,B; A+B Mmxn Def 4 : (mxn) järku maatriksi A korrutiseks arvuga µ nimetatakse sama järku maatriksi µA,
maatrikseid nimetatakse 0-teguriteks Mõiste 6: Baasmaatriksisks nimetatakse (m x n) järku maatrikseid ij, milles i-nda rea ja j- nda veeru ühine element on arv 1 ning kõik ülejäänud elemendid on võrdsed 0-ga Mõiste 7: Sümmeetriliseks nimetatakse ruutmaatsiksit, kui transponeeritud maatriks on võrdne algmaatriksiga (on peadiagonaali suhtes sümmeetriline) Mõiste 8: Kaldsümmeetriliseks nimetatakse ruutmaatriksit, kui on täidetud tingimus, et pöördmaatriks võrdub transponeeritud maatriksiga. Mõiste 9: Nilpotentseks nimetatakse ruutmaatriksit, kui maatriks astmel n võrdub nullmaatriksiga. Arv n on vähim naturaalarv, mille korral võrdus on tõene ja seda nimetatakse nilpotentsuse astmeks. Mõiste 10: Idempotentseks nimetatakse ruutmaatriksit, kui tema korrutis iseendaga annab tulemuseks iseenda, s.t. maatriks A on idempotentne, kui A*A = A. Mõiste 11: Involutiivseks nimetatakse ruutmaatriksit, kui on rahuldatud tingimus, et pöördmaatriks võrdub algmaatriksiga.
Tabel 3. Arvutatud ja mõõdetud nurgad teodoliitkäigus Arvutatud ( Mõõdetud ( ° ) ° ) Nurk maatriksiga K oleks ühikuline vastavus. Prototüüpvõrrand nurga BIF (Backsight-Instrument-Foresight) on: Maatriksi J esimene rida kujuneb , teine rida ja kolmanda rea elemendid võrrandiosa järgi. Viimased kaks rida maatriskis on joonelised elemendid. Need tulenevad jone IJ prototüüpvõrrandist: Tabel 4. Maatriks J - 103.33 113.84 28 8 63.411 233.33 59 94
· maatriksi korrutamisel arvuga saadakse sama dimensiooniga maatriks, mille kõik elemendid on korrutatud selle arvuga · nullmaatriks · vastandmaatriks · kahe sama dimensiooniga maatriksi summa on vastava dimensiooniga maatriks, mille elemendid võrduvad liidetavate elementide summaga · maatriksi ja sama dimensiooniga nullmaatrik- si summa võrdub liidetava maatriksiga · maatriksi ja tema vastandmaatriksi summa võrdub nullmaatriksiga Korrutada saab kaht maatriksit, millest esimese teguri veergude arv võrdub teise teguri ridade arvuga. Maatriksite korrutise iga element on esimese teguri mingi reavektori skalaarkorrutis teise teguri mingi veeruvektoriga. Tegurite järjekorra muutmisel ei pruugi korrutis eksisteerida või on korrutis erinev. aijT = a ji aijT AT aij A
rahuldatud tingimus, et pöördmaatriks võrdub algmaatriksiga. Ruutmaatriks on idempotentne, kui A^2=A, see on ruutvõrrand millel on lõpmata palju lahendeid. Ruutmaatsiksit nimetakase sümmeetriliseks, kui on rahuldatud tingimus, et transponeeritud maatriks on võrdne algmaatriksiga... st on peadiagonaali suhtes sümmeetriline. Ruutmaatriksit nimetatakse kaldsümmeetriliseks, kui on täidetud tingimus, et pöördmaatriks võrdub transponeeritud maatriksiga. Ruutmaatriksit nimetatakse nilpotentseks, kui on täidetud tingimus, et maatriks astmel n võrdub nullmaatriksiga. Arv n on vähim naturaalarv, mille korral võrdus on tõene ja seda nimetatakse nilpotentsuse astmeks. Nullmaatriksist erinevaid maatrikseid, milliste korrutis aga on nullmaatriks, nimetatakse nulliteguriteks. Kahte maatriksit nimetatakse sarnasteks maatriksiteks, kui leidub teatav regulaarne maatriks C nii, et on täidetu tingimus A*C=C*B A=C*B*C^-1. Võrdsussarnasuse erijuht
ij on arv 1 ning kõik ülejäänud elemendid on võrdsed 0-ga 14. Mõiste 7: Sümmeetriliseks nimetatakse ruutmaatsiksit, kui transponeeritud maatriks on võrdne algmaatriksiga (on peadiagonaali suhtes sümmeetriline) A^T = A. 15. Mõiste 8: Kaldsümmeetriliseks nimetatakse ruutmaatriksit, kui on täidetud tingimus, et pöördmaatriks võrdub transponeeritud maatriksiga. A^T = -A 16. Mõiste 9: Nilpotentseks nimetatakse ruutmaatriksit, kui maatriks astmel n võrdub nullmaatriksiga. Arv n on vähim naturaalarv, mille korral võrdus on tõene ja seda nimetatakse nilpotentsuse astmeks. 17. Mõiste 10: Idempotentseks nimetatakse ruutmaatriksit, kui tema korrutis iseendaga annab tulemuseks iseenda, s.t. maatriks A on idempotentne, kui A*A = A. 18
isegi assotsiatiivne ühikelemendiga ring. A ei tohi võrduda 0ga) Maatriksi A=(aij) transporneeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit AT=(aij), Kui maatriksis on m rida ja n veergu, siis öeldakse, et tegemist on ( )- s.t et maatrikis read kirjutame veergudena. indat järku maatriksiga või lihtsalt ( )-maatriksiga. Selline maatriks näeb välja järgmine: 3. Mida oskad öelda maatriksi kohta, kui tema determinant võrdub nulliga? Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega. Igale ruutmaatriksile saab vastavusse seada selle maatriksi determinandi.
Koosnevad väliskihtides kõvematest lehtmaterjalidest (klaasplast, Al, vineer jt) Koosnevad pehmematest sisekihtidest (vahtplast, kummi, kärgmaterjal) Tehnokeraamika põhigruppideks on: oksiidkeraamika mitteoksiidkeraamika segakeraamika Miks on keraamilised materjalid reeglina haprad? keraamika sisaldab klaasfaasi keraamika kristallivõre on kovalentsidemetega keraamika sisaldab poore Komposiitmaterjale liigitatakse maatriksi järgi? metallmaatriksiga plastmaatriksiga keraamilise maatriksiga süsinikmaatriks Komposiitmaterjalide armeerimisel kasutatavate klaaskiudude peamised valmistamisviisid on? Klaaskiudude tõmbamine klaasimassit läbi tõmbesilma Klaasikiudude tõmbamine kuumutatud klaasitoorikust Klaasikiud pikkusega kuni 50 mm saadakse sulatatud klaasimassi pihustamisel õhu-, gaasi- või aurujoaga. Komposiitmaterjalide mehaaniliste omaduste määratamisel tuleb arvestada järgmiste kitsendustega?
Vali üks või enam: a. 1 MN/m2 = 1 MPa b. 1 bar = 1 atm c. 1 bar = 100 000 Pa d. 1 Pa = 1 psi Küsimus 11 Milliste kiudude puhul kasutatakse pinna aktiveerimist enne apreteerimise alguseni? Vali üks või enam: a. süsinikkiud b. klaaskiud c. kevlarkiud Küsimus 12 Kõige levinumad täiteained on? Vali üks või enam: a. erinevad metallid b. kaltsiumkarbonaat c. mullad d. vilgukivid Küsimus 13 Apretti sidustatakse kõigepealt... Vali üks või enam: a. maatriksiga b. sarrusega c. üheaegselt mõlemaga Küsimus 14 Milline on Alumiiniumi elastsusmoodul? Vali üks või enam: a. 69,2 GPa b. 69200 Pa c. 41,52 GPa d. 41520 Pa Küsimus 15 Milline on boorkiu tihedus? Vali üks või enam: a. 2360 kg/m3 b. 0,94 g/cm3 c. 2,36 kg/cm3 d. 0,94 kg/m3 Küsimus 16 Kõige levinumad apretid on: Vali üks või enam: a. polüestervaigud b. silaanid c. epoksüvaigud d. täiteained Küsimus 17
Score: 10/10 5. Mis on kermis? Student Response Value Correct Answer Feedback A. klaasi eriliik 0% B. karbiidide ja oksiidide baasil materjal 100% C. mitte keraamika 0% D. konstruktsioonikeraamika 0% Score: 10/10 6. Komposiitmaterjale liigitatakse maatriksi järgi? Student Response Value Correct Answer Feedback 1. metallmaatriksiga 25% 2. plastmaatriksiga 25% 3. keraamilise maatriksiga 25% 4. süsinikmaatriks 25% Score: 10/10 7. Komposiitmaterjalide armeerimisel kasutatavate klaaskiudude peamised valmistamisviisid on? Student Response Value Correct Answer Feedback 1. Klaaskiudude tõmbamine klaasimassit läbi tõmbesilma 33% 2. Klaasikiudude tõmbamine kuumutatud klaasitoorikust 33% 3. Klaasikiud pikkusega kuni 50 mm saadakse sulatatud klaasimassi pihustamisel õhu-, gaasi- või aurujoaga. 34% 4
1. Arvutada: DA = ; DA = . 4 3 -5 1 2 -3 4 1 1 4 2 -1 0 2 2 3 2 -1 0 5 1 -1 6 5 2. Arvutada: DA = -3 1 2 0 ; DA = 4 3 2 1 . Pöördmaatriks. Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks A-1 nimetatakse maatriksit, mis antud maatriksiga korrutamisel vasakult või paremalt annab ühikmaatriksi: AA-1 = A-1A = E. Pöördmaatriksi leidmise algoritm: 1. Leida DA;; DA 0, kui DA = 0, siis A-1 ei eksisteeri; 2. Arvutada Dik; Dki 1 D 3. Leida A = A -1 = D A ( Dki ) ; 4. Kontroll: AA-1 = E. Näide: 1 2 0 3 7 1
3 2 -1 0 2 3 4 3 -5 1 2 -3 4 1 1 4 2 -1 0 2 2 3 2. Arvutada: DA = 2 -1 0 5 ; DA = 1 -1 6 5 . -3 1 2 0 4 3 2 1 Pöördmaatriks. Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks A-1 nimetatakse maatriksit, mis antud maatriksiga korrutamisel vasakult või paremalt annab ühikmaatriksi: AA-1 = A-1A = E. Pöördmaatriksi leidmise algoritm: 1. Leida DA;; DA 0, kui DA = 0, siis A-1 ei eksisteeri; 2. Arvutada Dik; Dki 1 3. Leida A-1 = = DA ( Dki ) ; DA 4. Kontroll: AA-1 = E. Näide: 1 2 0
järelpaagutamisega, kuumpressimist, lobrivalu järgneva paagutamisega. Keraamika puuduseks on haprus,omaduste ebastabiilsus,halb töödeldavus,termolöögikindlus. Kasutus: Konstruktsioonikeraamika(MgO ja Mo) Tööriistakeraamika(Mo, Niitkristallide kasutamine) Elektrokeraamika(volfraamtradiga armeeritud fajansskeraamika) Ker. Maatriksit saab tugevdada metallarmatuuriga 2 viisil: kasutades armatuuriks millel on maatriksist suurem elastsusmoodul VÕI kasutades armatuuriks materjali millel on maatriksiga võrreldes suurem joonpaisumine. 13.Süsinikkomposiitidel on väike tihedus,suur tõmbetugevus ja elastsusmoodul,hea termokindlus.Pidevate või diskreetsete kiududena süsinikarmatuur saadakse orgaaniliste kiudude kõrgtemperatuurse prolüüsi teel.Lähtematerjaliks on naturaalsed(tseluloos) või sagedamini tehiskiud (viskoos, polüamiid). Süsinik KM omadused ebastabiilsemad kui teistel KM-del. Kasutatakse kõrgtemperatuursetel tehnikal ja tribotehnikas.
-) Ribosoomides toimub valgu süntees. -) Spooridel toimub ainevahetus maksimaalselt aeglaselt. -) Valguse puudumisel muutuvad kloroplastid leukoplastideks. -) Seened on heterotroofsed organismid. -) Tuumasisest plasmat nimetatakse karüoplasmaks. -) Ainetranspordiks läbi rakumembraani vajatakse täiendavat energiat, siis kui transport toimub aktiivselt (tahkete ainete transport). -) Kloroplast on täidetud stroomaga./Mitokonder on täidetud maatriksiga. -) Plastiidid esinevad ainult taimerakkudes./Plasmiidid esinevad ainult bakterirakkudes. -) Bakterid tagavad looduses ainete ringluse. -) Prokarüootse raku ehituses puudub rakutuum. -) Mükoplasmat võib pidada üheks kõige pisemaks üherakuliseks organismiks. -) Tsentrosoom esineb peamiselt loomarakkudes. * 3. Osa Leidke kõige õigem vastusevariant (kirjutan vaid õiged vastused) (1p) -) Kromoplastide värvus tuleneb nendes organellides esinevatest: karotinoididest.
- adsorbtsioon. 15. Kus kasutatakse tselluloosi? Paber, papp, puuvill, ravimitööstus, tsellofaan, nitrotselluloos, karboksümetüültselluloos, nanotselluloos 16. Mis rolli mängib ligniin puidus? Lingiin on fenoolpropaanse varieeruva struktuuriga biopolümeer, mis liidab rakuseina tervikuks ja annab sellele jäikuse 17. Mida teevad hemitselluloosid puidus? Nad on liimaineks, mis liidab tselluloosi lineaarseid molekuliahelaid ligniini maatriksiga ja on taimele tagavara energiaallikaks 18. Mis roll on malts- ja lülipuidul? Maltspuit: tüve väline, heledama värvusega osa ; koosneb vedelikke juhtivatest rakkudest ; kevadpuidu rakud sisaldavad palju niiskust ; imab ja kaotab vett kiiresti ; asustatakse kiiresti kahjuritega . Lülipuit: tüve sisemine, vahel tumedama värvusega osa; koosneb surnud rakkudest, mis annavad puule tugevuse; ei võta osa vedelike transpordist; sisaldab tunduvalt
an1 ann xn yn xn ehk AX + Y = X. Maatriksvõrrandist on võimalik avaldada lõpptoodangu vektor, kui on teada kogutoodang ja tootmistehnoloogia, kuid ei ole teada, kui palju toodangut jääb lõpptarbijale: Y = X AX = (E A) X. Kui on vaja leida uus kogutoodangu vektor ning on teada uus lõpptoodangu vektor, siis saame avaldada võrrandist (E A) X = Y vektori X. Selleks peab korrutamavõrrandi vasakult maatriksiga (E A) ¹: (E - A) ¹ (E A) X = (E - A) ¹ Y ehk X = (E A) ¹ Y. Maatriksit (E A) ¹ tähistatakse tähega B ning nimetatakse täiskulukoefitsentide maatriksiks. ÜLESANNE · On antud kahe haruga osa maatriksbilansist: haru 1 2 lõpptoodang kogutoodang 1 400 220 880 1500
RAHVUSVAHELISE PROJEKTIJUHTIMISE KÄSIRAAMAT 10. peatükk PROJEKTI HINDAMINE Selles peatükis käsitletakse projektitsükli viimast faasi. Räägime programmide/projektide hindamise olemusest, peamistest kriteeriumidest ning seostest loogilise maatriksiga. Samuti käsitleme hindamise erinevaid ajastamise võimalusi. Projekti hindamine on kindlatele kriteeriumidele tuginev projekti tulemuste ja mõju analüüs püstitatud eesmärgi kontekstis. Hindamist teostatakse selleks, et: kogemuste põhjal õppida, mis õnnestus ja mis mitte; kaaluda, kas projekti kavandamiseks ja elluviimiseks on paremaid mooduseid; kontrollida, kas täideti projekti üldised ja otsesed eesmärgid;
m× n cA = c A = (cij ) R , kus cij = caij kõigi indeksite i ja j võimalike väärtuste korral. Maatriksi korrutamiseks arvuga c tuleb tema kõik elemendid läbi korrutada selle arvuga. 8. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks Maatriksi mille reavektoriteks on 1 , 2 ,..., m , korrutiseks maatriksiga mille veeruvektorid on 1 , 2 ,..., p , nimetatakse maatriksit kus i j tähistab vektorite i ja j skalaarkorrutist. Maatriksite korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel on järgmised: 1. maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne, s.t. leiduvad sellised maatriksid A ja B, et AB BA ; 2. maatriksite korrutamine on assotsiatiivne, s.t. A (BC)= (AB) C alati, kui vaadeldavad maatriksid on korrutatavad; 3. liitmine ja korrutamine on seotud
Katalüsaatorid 8 Modifikaator 9 Kasutatud allikmaterjalid 10 Maatriks Maatriks annab materjalile vormi, monoliitsuse ning tagab koormuse ümberjaotumise armatuuri elementide (kiudude) vahel. Maatriksi koostise järgi eristatakse komposiitmaterjale järgmiselt: metallmaatriksiga (MMKM), sh ka dispersioontugevdatud ja pseudosulamid, plastmaatriksiga (PMKM), keraamilise maatriksiga (KMKM) ja süsinikmaatriksiga (SMKM). Komposiitmaterjali maatriks Komposiitide maatriksid on tavalised isotroopsete omadustega materjalid, mida kasutatakse ka mittearmeeritud kujul: metallid ja nende sulamid, plastid, keraamika või grafiit. Plastmaatriks Polümeerplastkomposiitide peamine eelis, võrreldes teiste komposiitmaterjalidega, on valmistamise lihtsus, tehnoloogilisus, odavus ja madal tihedus. Puuduseks on piiratud töötemperatuur, suhteliselt madal nihketugevus ja jäikus
Nad ei küsi rohkem kui neil vaja on. Mitte midagi rohkemat. Kõik on värske. Külmikus pole mõtet midagi hoida kui võib saada kõike suvalisel ajal. Pole mõtet küsida rohkem, sest see tähendab kadusid ja see ei meeldi Maatriksile. A: Ja kuidas see toimub? Istutad seemne ja mõtled sellest, millal see valmib? D: Umbes nii. Istutad seemne, kastad seda vee-taolisega, täidad selle valguse ja armastusega ja seejärel palud selle ühendust universaalse Maatriksiga, millelt seeme saab kõik vajalikud andmed selleks, kuidas valmida tähtajaks mida sul vaja on. Sellel momendil süttib seemne sees valgus ja hakkab voolama väljapoole helenduva niidina, mis ühendub Maatriksiga. Nii algab protsess. A: Mis juhtub taimega siis, kui sa oled viljad ära korjanud? D: Ta jääb, kuid tulevasi vilju kasutatakse ainult kui seemneid. Hiljem see kuivab ja sa palud, et ta laguneks kiiresti algelementideks, millest loodud oli, et mitte tekitada ballasti planeedile.
Majandusmatemaatika ja Statistika (RP089) 4 5 4 5 4 5 4*4+5*(-6) 4*5+5*2 -14 30 2 A = -6 2 = -6 2 * -6 2 = -6*4+2*(-6) -6*5+2*2 = -36 -26 DETERMINANDID -on seotud maatriksitega. Determinandiks nimetatakse ruutmaatriksite vastavat arvu, mis on leitud teatud eeskirja kohaselt. Tähis on D, kui seostame maatriksiga siis DA. a11 a12 1. DA = a21 a22 = a11*a22 a12*a21 a11 a12 a13 2. DA = a21 a22 a23 = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a21*a32*a13 - a31*a22*a13 a21*a12*a33 a32*a23*a11 a31 a32 a33 Determinantide reegel (Sarruse reegel) + * * * + * * * + * + * , * * + , + * *
Süsteemi karakteristiline determinant on ehk (19.2) Karakteristilise võrrandi juures k on maatriksi A omaväärtused. Vaatleme omaväärtuste k erinevaid variante: 1. , reaalsed ja sama märgiga . Sel juhul on iseäraseks punktiks sõlm. ebastabiilne sõlm stabiilne sõlm 2. , reaalsed ja erineva märgiga . Iseärases punktis on sadul, mis on alati ebastabiilne. 3. , reaalsed ja võrdsed. Maatriks A on ekvivalentne diagonaalse maatriksiga. Sel juhul on iseäraseks punktiks tähtsõlm. ebastabiilne tähtsõlm stabiilne tähtsõlm 4. , reaalsed ja võrdsed. Maatriks A on ekvivalentne maatriksiga: Iseäraseks punktiks on mitteregulaarne sõlm. ebastabiilne mitteregulaarne sõlm stabiilne mitteregulaarne sõlm 5. Komplekssed omaväärtused Iseäraseks punktiks on fookus. ebastabiilne fookus stabiilne fookus 6. Puhtimaginaarsed omaväärtused Iseäraseks punktiks on tsenter, mis on alati stabiilne
eest- lakitakse, värvitakse, pulbervärvitakse, kaetakse erinevate plastpinnakatetega. Üks olulisi meetodeid- anodeerimine- elektrolüüsi teel muudetakse pindmine metallikiht oksiidiks- suurendab pinna vastupidavust korrosioonile. Lisaks võimaldab see dekoratiivset erivärvi katet, kui kasutada toonimist. Pinna passiveerimiseks ja korrosiooni eest kaitsmiseks kas. ka kromaatimist(lennunduses). 20.Al-maatriksiga komposiitmaterjalid- Komposiitmaterjalid, milles Al või sulamid (peamiselt Al- Si ja Al-Cu) on maatriksiks. Armatuuriks kasutatakse peamiselt Al2O3, SiC, SiO2, B, BN, B4C (igasugused keraamilised kiud ja osakesed/pulbrid). Al kasutamise eelised -tihedus, elektrijuhtivus, soojusjuhtivus, vanandamine jne. Armatuur parandab täiendab maatriksi omadusi(sõltub armatuuri materjalist, paigutusest ja vormist st näiteks kas on kasutatud
43. Mida kujutavad endast BMC ja SMC massid? BMC (Bulk Moulding Compound) kujutab endast taignasarnast massi, mis sisaldab armatuuri ja täiteaineid ning mille kõvenemine toimub vormimisoperatsiooni käigus. SMC (Sheet Moulding Compound) kujutab endast mõne millimeetri paksust termoreaktiivvaigul põhinevat painduvat leht-toorikut, mis sisaldab armatuuri ja täiteaineid. 44. Mida kujutab endast pultrusioonimeetod? Tooge protsessi skeem! Pultrusiooniprotsess seisneb maatriksiga immutatud lõpmata pikkade armatuurikiudude tõmbamises läbi kuumutatava matriitsi. Matriits annab profiilile kuju ja selles toimub vaigu kõvenemine. Valmistatav toode peab olema vähemalt sel määral kõvenenud, et pidada vastu tõmbejõule, mida rakendab tõmbemehhanism. Peale tõmbemehhanismi tükeldatakse profiil soovitud pikkusega tükkideks. 45. Peate valmistama õõnsa, õhukeseseinalise nelinurkse ristlõikega komposiitmaterjalist toru, mis peab olema suure paindejäikusega
x ECR (efficient consumer response) mudel on raamistik, mida kasutatakse tarneahela protsesside kaardistamiseks ja mõõdistamiseks tarneahela. (V tarbija nõudluse) x Üht osa logistika evolutsioonist on kirjeldatud kui liikumist täielikult integratsioonilt hajususe suunas. (V hajususelt täieliku integratsiooni suunas) 12. Parima strateegia tarneahela jaoks sõltub ilmselt tarneahela tüübist. Üks võimalus tarneahela tüüpide eristamiseks on alljärgneva maatriksiga, kus ühel teljel on tarneahela läbimise aeg (kas pigem lühike või pikk läbimisaeg) ning teisel teljel nõudluse prognoositavus (kas kergemini prognoositav või raskemini prognoositav). Vastavalt sellele jaotusele tuua välja neli strateegilist lähenemist (siin juhuslikus järjekorras): 1. agile; quick response, 2. lean; plan and optimise, 3. hybrid; de-couple through postponement, 4. kanban; continuous replenishment. Milline strateegia sobib millisesse maatriksi segmenti
varases lapsepõlves, toimudes peamiselt S. aureus'e ja Haemophilus influenzae poolt. Teismelise eas ja varases täiskasvanueas asendub teiste bakterite koloniseerimine kroonilise infektsiooniga P. aeruginosa poolt. Mikroskoopilised analüüsid tsüstilise fibroosi haigete rögast näitavad, et P. aeruginosa moodustab biofilmisarnaseid struktuure, mis koosnevad kobaras olevatest bakteritest, ümbritsetud tihke maatriksiga. Homoseriinlaktooni quorum sensing'u signaalid haigete rögas on kooskõlas quorum sensing'u profiiliga P. aeruginosa biofilmis 10 kasvavate isenditega. Algselt haigete kopsust isoleeritud P. aeruginosa on mitte- mukoosne. Mukoossed isolaadid esinevad kroonilise infektsiooni korral. Uuringud näitavad, et peremehe põletikuline vastus soodustab infektsiooni muutumist mukoosseks. P
PMMA - kõva, jäik ja kõrge löögisitkusega Ta on väga läbipaistev. Reklaamitahvlid, teemärgid, valgustid, lennukiaknad, autotuled, tuuleklaasid, kabiinid, kuplid PET- sitke ja tugev Hea steriliseerida ja korduvkasutada. Tekstiilkiud, kiled- isolatsioonikiled 13. Komposiitmatejalide liigitus maatriksi koostise ja armeerivate elementide kuju järgi: Maatriksi koostise järgi eristatakse: - metallmaatriksiga (MMKM) - plastmaatriksiga (PMKM) - keraamilise maatriksiga (KMKM) - süsinikmaatriksiga (SMKM) Armeerivate elementide kuju järgi liigitatakse: - pulbrilise armatuuriga - diskreetse või pideva kiudarmatuuriga - kihtstruktuuriga 14. Tehnokeraamika liigitus koostise, kasutusvaldkonna järgi: —ehituskeraamika: tellised, katusekivid —tarbekeraamika: sanitaartehnika, portselan- ja fajansstooted —klaas ja klaaskeraamika: klaastooted, kuumutus- ja optikaseadmed
.. 0 Paneme t¨ahele, et nullmaatriksi t¨ahistamiseks kasutame arvu 0 (null). Lugeja peab kontekstist m~oistma, millal on tegemist arvuga 0 ja millal nullmaatriksiga. Seda mugavat kahem~ottelist t¨ahistust on t¨ ulikas v¨altida. Sel- guse huvides v~oib nullmaatriksi j¨arku n¨aidata ka t¨ahistuses, nt 0k × n on k × n-j¨arku nullmaatriks. Nullmaatriksi j¨arku tavaliselt ei ekponeerita, see selgub kontekstist. N¨aiteks nullmaatriksi liitmis- el mingi teise maatriksiga peavad summa eksisteerimiseks j¨argud olema u ¨hesugused. Lause 1 (nullmaatriksi neutraalsus). A + 0 = A = 0 + A T~ oestus. T~oepoolest (A + 0)ij = aij + 0ij = aij + 0 = aij = 0 + aij = 0ij + aij = (0 + A)ij 4 II. Maatriksarvutus 1.7 Vastandmaatriks Maatriksi A vastandmaatriksiks nimetatakse maatriksit -A := (-1)A
F1 F2 x1 0,94331 -0,28039 x2 0,70669 -0,16156 x3 0,92825 -0,30210 x4 0,38926 0,91599 x5 0,32320 0,93608 Faktorlaadungite maatriksi korrutamisel oma transponeeritud maatriksiga saame reprodutseeritud korrelatsioonimaatriksi R7 , mille peadiagonaali elementideks on kommunaliteetide väärtused. Kuna kommunaliteedi väärtused on peadiagonaali elementideks, siis esimese muutuja kommunaliteet on võrdne peadiagonaali esimese liikme väärtusega. 0,96845 0,71193 0,96034 0,11035 0,04241 0,71193 0,52552 0,70480 0,12709 0,07717 0,96034 0,70480 0,95292 0,08461 0,01722
registreeritakse. 39.Ioonide allikad (vähemalt kolm) Elektroonne ionisatsioon - suhteliselt väikesed lenduvad molekulid; sisestatakse kromatograafi või süstla abil; ioonide allikas laguneb molekul fragmentideks. Elektropihustus - polaarsed mitte lenduvad ühendid; sisestatakse kromatograafi või süstla abil; Tekivad mitmekordselt laetud ioonid; Töötab atmosfääri rõhul. Ionisatsioon maatriksi abil - suured molekulid; Proov segatakse tahke maatriksiga; saab ioniseerida väga suuri molekule. 40.Massianalüsaatorid (vähemalt kaks) Lennuaja analüsaator - ioonide allikast satuvad ioonid väljavabasse piirkonda, mille iga mass läbib erineva ajaga. Kvadrupool - koosneb neljast vardast, mis moodustavad filtri kanali. Varrastele on rakendatud alalis- ja vahelduvpinge. Ioonid, mis satuvad kanalisse, ostsileeruvad välja mõjul mööda x ja y telge. Ioonlõks 41.Tandem massispektromeetria põhimõte = mitu massianalüsaatorit üksteise järgi
nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude äravahetamisel. Maatriksi A transponeeritud maatriksi tähiseks on A T . ● sümmeetriline maatriks Maatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks, kui AT = A ● kaldsümmeetriline maatriks Maatriksit A nimetatakse kaldsümmeetriliseks, kui AT = −A. Tehted maatriksitega: ● maatriksite võrdsus Me nimetame maatriksit A = (aij ) võrdseks maatriksiga B = (bkl), kui neil maatriksitel on samad mõõtmed ning ühesugustel kohtadel on võrdsed elemendid aij = bij . Maatriksite A ja B võrdsust tähistame A = B. ● Liitmine ● Lahutamine Sama põhimõte nagu liitmisel. ● arvuga korrutamine Ehk kõik liikmed korrutatakse sama kordajaga läbi. ● maatriksite korrutamine Korrutise AB eksisteerimiseks peab maatriksi A veergude arv võrduma maatriksi B ridade arvuga
A = 2 m× n , M m mille reavektoriteks on 1 , 2 , ... , m , korrutiseks maatriksiga B = ( 1 2 K p ) n× p , mille veeruvektorid on 1 , 2 , ... , p , nimetatakse maatriksit 1 1 1 2 K 1 p 2 1 2 2 K 2 p
Siit järeldub, et det A-1 = 1 / det A = (det A) -1 0. Muuhulgas saime lause tõestamisel järgmise omaduse: Omadus 1. Maatriksi ja pöördmaatriksi determinandid on teineteise pöördarvud e. det A -1 = (det A) -1. Vaatleme ka teised pöördmaatriksi omadused. -1 Omadus 2. Maatriksi A pöördmaatriksi pöördmaatriks ( A-1 ) langeb kokku maatriksiga A: -1 -1 Tõestus. Selleks, et kehtiks ( A ) = A , peab kehtima AA -1 = A -1 A = E . See võrdus on aga rahuldatud, kuna A-1 on A pöördmaatriks. Omadus 3. Ühikmaatriks on iseenda pöördmaatriksiks: E -1 = E . Tõestus. Kehtib, kuna EE = E. Omadus 4. Kui A ja B on sama järku regulaarsed ruutmaatriksid, siis on regulaarne ka AB, kusjuures ( AB)-1 = B -1 A-1. Tõestus
avaldumist suguvõsas, patsiendi kehal, peanahal, samuti sõrme ja varbaliigeste psoriaatilist kahjustust. Enamasti võetakse kinnituse saamiseks küüne biopsia. Enne ravi alustamist tuleks diagnoosis kinnitust saada. Seos küüne psoriaasi ja psoriaatilise liigesekahjustuse vahel Mõistmaks tugeva korrelatsiooni küüne psoriaasi ja psoriaatilise liigesekahjustuse vahel, tuleks vaadelda inimese anatoomiat. Esinev põletikulisus sõrme liigestes on vahetus läheduses küüne maatriksiga ning see mõjutabki küünte psoriaatilist muutumist. Muutuste liigitamine Muutused liigitakse vastavalt kahjustuse asukohale. Sõrmkübara fenomen ehk punktiformne düstroofia. In. k nail pitting Normaalsel küüneplaadil avalduvad sügavad lohukesed. Kõige sagedasem muutus küünte psoriaasi puhul. Defekti põhjuseks on vigastus küüne maatriksis. Esineb 97%-l juhtudest. Sõrmkübara fenomen ehk punktiformne düstroofia. In. k nail pitting 2. Õlilaigu fenomen. In. k
elemendi asukohta ridades, indeks k-veergudes. Maatriksi elemendid võivad olla nullid aga ühegi elemendi asukoht ei tohi tühi olla. Maatriksite teisendamisel kasutatakse samaväärsusteisendusi, mistõttu teisendatud maatriksid on vaid samaväärsed. Samaväärsuse tähistamiseks kas. Märki ~ Maatriksi astak Kui maatriksis leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor, kuid mitte ühtki nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis maatriksi astak on r. Kui tegemist on mn-maatriksiga siis ei saa moodustada miinorit, millisel oleks enam kui m rida või enam kui n veergu, seega rm rn. Maatriksi astaku hõlpsamaks leidmiseks teisendatakse maatriksit enne nii et ta kõrgemait järku nullist erinev miinor tuleks maatriksi ülemisse vasakpoolsesse nurka. Selleks vajatakse järgmisi elementaar-teisendusi. Need on: 1. maatriksi rea/veeru korrutamine nullist erineva teguriga a; 2. ühele reale/veerule k-kordse teise rea veeru liitmine; 3. maatriksi kahe rea veeru ümberpaigutamine
Diskreetsed kiud tugevdavad küll vähem, kui takistavad materjali purunemist. Pidevarmeerimist kasutatakse konstruktsioonimaterjalides, mis töötavad normaaltemperatuuril, diskreetest armeerimist hapra (keraamilise) maatriksi sitkuse tõstmiseks. Maatriks on KM plastne ja elastne faas, mis annab materjalile vormi, monoliitsuse ning tagab koormuse ümberjaotumise armatuuri elementide vahel. Maatriksi koostise järgi eristatakse: metallmaatriksiga (MMKM), plastmaatriksiga (PMKM), keraamilise maatriksiga (KMKM), süsinikmaatriksiga (SMKM). 6. Tehnokeraamika: üldised eelised ja puudused. Tehnokeraamika all mõeldakse rasksulavate ühendite baasil saadud tööriista- ja eriomadustega konstruktsioonimaterjale. Sellega eristatakse tehnokeraamika ühelt poolt ehituskeraamikast (tellised, seina- ja põrandaplaadid jt) ja teiselt poolt tarbekeraamikast (fajanss-, portselan-, savinõud jt). Tehnokeraamilised materjalid on väga erinevate
kõrgeimat järku miinor (determinant) erineb nullist Kronecker-Capelli teoreem. Lineaarvõrrandite süsteem on lahenduv siis ja ainult siis, kui süsteemi maatriksi astak on võrdne laiendatud maatriksi astakuga. Lahenduvuse uurimiseks moodustatakse laiendatud maatriks ja kontrollitakse, kas süsteemimaatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed 5. Pöördmaatriks, p.leidmine, p.abil ülesannete lahendamine Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks A-1 nimetatakse maatriksit, mis antud maatriksiga korrutamisel vasakult või paremalt annab ühikmaatriksi: AA-1 = A-1A = E. Pöördmaatriksi leidmise algoritm: 1. Leida DA;; DA 0, kui DA = 0, siis A-1 ei eksisteeri; 2. Arvutada Dik; Dki 1 3. Leida A-1 = = ( Dki ) ; DA DA 4. Kontroll: AA-1 = E. Näide: 1 2 0
koosneb fosfolipiidididest (pead on hüdrofiilsed ja jalad hüdrofoobsed) membraanis on veel glükoproteiinid, millel on retseptoorne funktsioon kolesterool annab membraanile teatava jäikuse valgud - võtavad märkimisväärse osa membraani mahust o ainete transport o ioongradiendi teke o signaalide vastuvõtt ja edastamine o seondab membraani tsütoskeletiga o seondab ekstratsellulaarse maatriksiga Veel on rakumembraanis pumbad, kandjad, kanalid o pumbad - energia toel transpordivad aineid ja ühendeid rakku ja rakust välja. Kindlustvaad konts gradiendi o Kandjad e transport valgud - liiguvad mööda konts gradienti, o Kanalid - avades ja sulgedes kanaleid saab kiiresti toimetada transporti piki konts gradienti. Ioonide liikumine läbi membraani mõjutab membraani el potensiaali. seega muutused kanalite
ATP-d,sünteesib erinevaid valke, rasvu, süsivesikuid ja nende ühendeid. 16. Rakkudevahelised liidused)-Tiheliidused,nt peensoole epiteelis takistavad: vees lahustunud molekulide difundeerumist läbi epiteelirakkude,membraanvalkude difundeerumist. Ankurliidused nt naha epiteelis annavad epiteelkoele mehhaanilised omadused, ühendavad rakkude tsütoskelettide elemente,ühenduvad ekstratsellulaarse maatriksiga. Aukliidused-võimaldavad väikestel molekulidel vahetult liikuda ühest rakust teise. rakuväline aine (EMT)-Sünteesitakse fibroblastide poolt ja moodustab ekstratsellulaarseid membraane: Kollageen – peamine valk, kolm keerdunud ahelat :Elastiin, Fibronektiin,Laminiin 17. Rakutsükkel-on kõrgelt organiseeritud sündmuste jada, mille tulemusena toimub rakkude jagunemine ja paljunemine* tsükli käigus DNA replikeerub
( + ) = + - DISTRIBUTIIVSUS 1= 0=0 Transponeeritud maatriks (AT) nimetatakse maatriksit, milles on võrreldes maatrksiga A read ja veerud välja vahetatud. 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. Kui maatriksil on rida veergu ning maatriksil on rida ja veergu, siis maatriksi korrutiseks maatriksiga (kirjutatakse ) nimetatakse niisugust maatriksit , millel on rida ja veergu Korrutamise omadused: 1) Kui = , siis = ning = ; 2) ; 3) ( + ) = + ; 4) () = (). 5) () = () = (). lineaarsete tehete: + = + KOMMUTATIIVSUS ( + ) + = + ( + ) - ASSOTSIATIIVSUS (A + B) = aA + aB - DISTRIBUTIIVSUS ( + ) = + - DISTRIBUTIIVSUS 1= 0=0 Ruutmaatriksit, mille peadiagonaali elementideks on ühed ja kõik ülejäänud
10. Gaussi meetod. Teisendatakse süsteem Ax = b uuele kujule, millel on samad lahendid ning mille lahendeid on lihtne välja lugeda. Kasutatavad teisendused: 1. süsteemi mis tahes võrrandit võib korrutada nullist erineva skalaariga 2. süsteemi mis tahes võrrandile võib juurde liita mis tahes skalaari kordse mingi teise võrrandi samast süsteemist 3. võib muuta võrrandite järjekorda süsteemis Mugavuse tõttu teostatakse teisendusi süsteemile vastava laiendatud maatriksiga. Teisenduse eesmärk - avaldada osa tundmatuid ülejäänute kaudu. Saadud tabeli abil kirjutatakse välja lahend Kõigi lahendite hulk L = {0 + c11 + c22 + ... + cnn, c1,...,cn R} 11. Võrrandisüsteemi Ax = b pseudolahend. Pseudolahendite seos tavaliste lahenditega. Vahel Ax = b ei oma lahendit, aga on vaja leida x, mis teatud mõttes rahuldab kõige paremini süsteemi Ax = b Süsteemi Ax = b pseudolahendiks nimetatakse süsteemi A TAx = ATb mis tahes lahendit
vastandarvud. Maatriksi A vastandmaatriksi tähiseks on -A. Transponeeritud maatriks Maatriksi A transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude äravahetamisel. Maatriksi A transponeeritud maatriksi tähiseks on AT. m×n-maatriksi A transponeeritud maatriks AT on n×m-maatriks , kus Omadused: Sümmeetriliseks maatriks - nimetatakse ruutmaatriksit A, mis langeb kokku oma transponeeritud maatriksiga: Sümmeetrilise maatriksi A = (aij) kõikide elementide puhul kehtib seega . Näiteks järgmine 3×3-maatriks on sümmeetriline: Kaldsümmeetriline maatriks on selline ruutmaatriks, mille transponeeritud maatriks ühtib selle vastandmaatriksiga, mille korral kehtib võrdus AT = -A Tehted maatriksitega. Maatriksite võrdsus - Me nimetame maatriksit A võrdseks maatriksiga B, kui neil maatriksitel on samad mõõtmed ning ¨uhesugustel kohtadel on võrdsed elemendid
Täh A-1. Igal ruutmaatriksil ei ole pöördmaatriksit. Ruutmaatriksil A leidub pöördmaatriks A-1 siis kui selle determinant on nullist erinev. Transponeeritakse alamdeterminante. Nt: detA = -45 7. Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste, normaalkuju, laiendatud maatriks. Lubatavad elementaarteisendused lineaarse võrrandisüsteemi laiendatud maatriksiga. Võimalike lahendite arv. Lineaarse võrrandisüsteemi üld- ja erilahend. Lineaarseks võrrandisüsteemiks n tundmatu x1,x2,...,xn suhtes nim lõplikust arvust lineaarsetest võrranditest koosnevat süsteemi: Laiendatud maatriks: · Kahe rea asukoha vahetamine · Rea korrutamine mis tahes nullist erineva arvuga · Ühele reale minig nullist erineva arvuga korrutatud sama maatriksi mõne teise rea liitmine.
• Emotsioonid välja! • Hinnangulised/suunavad küsimused välja! • Prestiiziviited välja ! • Eitused välja! • Liiga isiklikud küsimused välja! • Tingimuslikud küsimused välja! • Arvesta vastaja kompetentsipiire! • Üks küsimus korraga! Lihtlaused! SKAALADE VALIK • Igaüks peab leidma (ühe) koha vastamiseks - näide mitmetähenduslikust skaalast • Vastamatajätmise võimalus! • Piisav diferentseerimine! • Maatriksiga liialdamine! KODEERIMINE • Vastustele arvulised väärtused! • Numbrid vastusevariantide ees või maatriksis • Vabade vastuste kodeerimine • Ankeedi kodeerimissõbralik kujundus! PROOVIKÜSITLUS • Prooviküsitlus: väike rühm (5-15) + kokkulepitud tagasiside • Tagasiside: arusaamine, skaalade sobivus, maht ja keerukus • Peale prooviküsitlust - ankeedi lõppversioon VALIM • Valim: sihtrühma esindav kogum küsitletavaid
(näit. kõvasulamites), vaid kiuline. Näiteks tuleb ühesuguse tugevusega kermise valmistamisel viia sellesse 3 korda vähem metallikiudu kui sama koostise korral metallipulbrit. Keraamilise maatriksi tugevdamist metallarmatuuriga saab realiseerida kahel viisil: a) kasutades armatuuriks materjali, millel on suurem elastsusmoodul kui maatriksil, b) kasutades armatuuriks materjali, millel on maatriksiga võrreldes suurem joonpaisumistegur. Esimesel juhul annab elastsem maatriks deformeerimisel suurema osa pingetest üle jäigale arma- tuurile, teisel juhul tekivad survepinged keraamilises maatriksis jahtumise käigus armatuuri suurema kaha- nemise tõttu. Keraamilise komposiitmaterjali näitena võib tuua volframtraadiga armeeritud fajansskeraamika (50% kaoliini, 30% ränioksiidi, 20% päevakivi), mida kasutatakse elektriisolaatorite valmistamiseks.
o loogilisele l vastav potentsiaal vaid juhul, kui kõigis püstjuhtmetes on samuti kõrge potentsiaal. Vastupidisel juhul, kui kas või ühes neist on madal potentsiaal, langeb rõhtjuhtme potentsiaal samuti 0. Seega realiseerib iga rõhtjuhe loogilist NING-funktsiooni, mille sisendite arv vastab püstjuhtmetega ühendatud dioodide arvule. Maatriksi erinevate võimalike NING-funktsioonide arv vastab aga rõhtjuhtmete arvule. Nagu jooniselt näha, saab suhteliselt lihtsa maatriksiga, mil on homogeenne struktuur, asendada suurt hulka diskreetseid loogikaelemente. Maatriksi M1 väljundsignaalideks on konjunktsioonid, mis on omakorda disjunktiivse ehk VÕI-maatriksi M2 sisendsignaalideks. Maatriksis M2 kasutatakse rõht- ja püstjuhtmete ristumiskohtadel ühenduselementidena transistore, mille kollektorid on ühendatud toiteallika plussklemmiga, baasid maatriksi rõhtjuhtmetega ja emitterid püstjuhtmetega. Püstjuhtmed on takistite kaudu ühenduses ka toiteallika 0-klemmiga
4. Pesaja grafiidiga malm (malleable cast iron, malleable iron) on tuntud kui termpermalm mis tuleneb sõnast tempertama ehk sitkemaks muutma. Tekib valgemalmi termotöötluse, lõõmutuse abil. Vaba grafiiti sisaldavaid malme liigitatakse metalse maatriksi struktuurist olenevalt: 1. Feriitseteks 2. Feriitperliitseteks 3. Perliitseteks Malmi omadused sõltuvad metallsest faasi struktuurist ja grafiidi osakeste sisaldusest ja kujust. Võrreldes metallse maatriksiga on grafiidi tugevus tühine, seega võib vaadelda vaba grafiitiga malmi kui poorset terast. Halvimad omadused on liblelise grafiidiga mailmil. Grafiidiosakeste kuju mõjutab malmi plastsust, vähemal määral tõmbetugevust. Samal ajal kõvadus ja survetugevus ei muutu. Malmi saab ka karastada, normaliseerida jne. Termotöötlusel grafiidiosakeste kuju ei muutu. 12
(m,n)-maatriksit X-Y=X+(-Y) 46.maatriksi arvuga korrutamine- Reaalarvu ja mistahes mõõtmetega maatriksi korrutiseks nimetatakse maatriksit, mille elemendid saadakse maatriksi vastavate elementide läbikorrutamisel arvuga. Tähiseks on nt. Kui korrutatakse maatriksit A 2-ga siis 2A a11 ⋯ a 1q 47.maatriksi korrutamine maatriksiga-maatriksite ( A= ⋯ ⋯ ⋯ a p 1 ⋯ a pq ) ja ( ) ( ) b11 ⋯ b1 r c 11 ⋯ c 1 r
. . , n. (B) JÄRELDUS. Avaldised (A) ja (B) on seda lihtsamad, mida rohkem nulle ja ühtesid esineb reas (veerus), mille järgi arendust teha, sest seda vähem on vaja arvutada alamdeterminante määravaid miinoreid. DETERMINANDI ARVUTAMINE 1) Saavutada elementaarteisendustega mingisse ritta (veergu) ainult üks nullist erinev element. 13 2) Arendada determinant selle rea (veeru) järgi. MAATRIKSI ASTAK Iga maatriksiga Am×n seotakse parameeter r = rank A , mida nimetatakse selle maatriksi ASTAKUKS. See võrdub maatriksi rea- ja veeruvektorite hulkade mõõtmega ja võimaldab leida nende hulkade baasid. DEFINITSIOON 1. Fikseeritud r min(m, n) puhul nimetatakse maatriksi Am×n r-JÄRKU MIINORIKS r-järku determinanti Mr , mis on moodustatud maatriksi r väljavalitud rea ja veeru lõikekohtadel asuvatest elementidest. DEFINITSIOON 2. Kui maatriksil Am×n leidub vähemalt üks nullist erinev
. . , n. (B) JÄRELDUS. Avaldised (A) ja (B) on seda lihtsamad, mida rohkem nulle ja ühtesid esineb reas (veerus), mille järgi arendust teha, sest seda vähem on vaja arvutada alamdeterminante määravaid miinoreid. DETERMINANDI ARVUTAMINE 1) Saavutada elementaarteisendustega mingisse ritta (veergu) ainult üks nullist erinev element. 13 2) Arendada determinant selle rea (veeru) järgi. MAATRIKSI ASTAK Iga maatriksiga Am×n seotakse parameeter r = rank A , mida nimetatakse selle maatriksi ASTAKUKS. See võrdub maatriksi rea- ja veeruvektorite hulkade mõõtmega ja võimaldab leida nende hulkade baasid. DEFINITSIOON 1. Fikseeritud r min(m, n) puhul nimetatakse maatriksi Am×n r-JÄRKU MIINORIKS r-järku determinanti Mr , mis on moodustatud maatriksi r väljavalitud rea ja veeru lõikekohtadel asuvatest elementidest. DEFINITSIOON 2. Kui maatriksil Am×n leidub vähemalt üks nullist erinev
annaabi.ee 
