Ruutvõrrandi lahendamine (2)

Ruutvõrrandi lahendamine
Ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendivalem on

Võrrandi lahendamiseks asendame lahendivalemisse a, b ja c väärtused.
Näide 1. Lahendame ruutvõrrandi 5x2 + 6x + 1 = 0.
Selles võrrandis a = 5, b = 6 ja c = 1.
Asendame need arvud lahendivalemisse, saame
Siit
Näide 2. Lahendame ruutvõrrandi 2x2 + x - 15 = 0.
Selles võrrandis a = 2, b = 1 ja c = -15.
Asendame need arvud lahendivalemisse, saame
Siit
Näide 3. Lahendame ruutvõrrandi 4x2 - 20x + 25 = 0.
Selles võrrandis a = 4, b = -20 ja c = 25.
Asendame need arvud lahendivalemisse, saame
Sellel võrrandil on kaks võrdset lahendit x1 = x2 = 2,5.
Näide 4. Lahendame ruutvõrrandi 2x2 + 3x + 20 = 0.
Selles võrrandis a = 2, b = 3 ja c = 20.
Asendame need arvud lahendivalemisse, saame
Sellel võrrandil puuduvad lahendid, sest negatiivsest arvust ei saa ruutjuurt leida.
Kui a on negatiivne arv, on kasulik enne lahendivalemisse asendamist võrrandi mõlemaid pooli -1-ga jagada (või korrutada).
Näide 5. Lahendame ruutvõrrandi -3x2 - 5x + 2 = 0.
-3x2 - 5x + 2 = 0 │: (-1)
3x2 + 5x - 2= 0
a = 3, b = 5 ja c = -2
Näide 6. Lahendame ruutvõrrandi x2 - 2x - 3 = 0.
Selles võrrandis a = 1, b = - 2 ja c = -3.
Asendame need arvud lahendivalemisse, saame
Siit
Kuna a = 1, siis x2 - 2x - 3 = 0 on taandatud ruutvõrrand, mida on otstarbekam lahendada taandatud ruutvõrrandi lahendivalemi abil.
Taandatud ruutvõrrandi x2 + px + q = 0 lahendivalem on
Näide 7. Lahendame ruutvõrrandi x2 - 2x - 3 = 0 taandatud ruutvõrrandi lahendivalemi abil.
Selles võrrandis p = -2 ja q = -3.
Kui asendame p ja q väärtused lahendivalemisse, siis saame
Seega x1 = 1 + 2 = 3 ja x2 = 1 - 2 = -1.
Näide 8. Lahendame ruutvõrrandi x2 + 8x + 13 = 0.
p= 8 ja q = 13
Taandatud ruutvõrrandeid saab lahendada ka peast , kasutades taandatud ruutvõrrandi lahendite omadusi:
x1 + x2 = -p
x1 ∙ x2 = q
Näide 9. Lahendame peast ruutvõrrandi x2 - 7x + 10 = 0.
Selles võrrandis p = -7 ja q = 10.
Võrrand lahendid x1 ja x2 peavad täitma tingimusi: x1 + x2 = 7 ja x1 ∙ x2 = 10.
Need arvud, mille summa on 7 ja korrutis on 10, on 5 ja 2.
Seega x1 = 5 ja x2 =2.
Sama tulemuseni jõuame ka lahendivalemi abil:
Seega x1 = 3,5 + 1,5 = 5 ja x2 = 3,5 – 1,5 = 2.
Ruutvõrrandeid, milles puudub lineaarliige või vabaliige, nimetatakse mittetäielikeks ruutvõrranditeks. Neid on kasulik lahendada lihtsamalt (lahendivalemit kasutamata).
Näide 10. 2x2 – 4,5 = 0, on mittetäielik ruutvõrrand, milles puudub lineaarliige.
Võrrandi lahendamiseks avaldame kõigepealt x2, siis x.
2x2 – 4,5 = 0 │: 2
x2 - 2,25 = 0
x2 = 2,25
x =
x = 1,5
x1 = 1,5 ja x2 = -1,5
Näide11. 2x2 – 3x = 0 on mittetaäelik ruutvõrrand, milles puudub vabaliige.
Võrrandi lahendamiseks esitame vasaku poole korrutisena.
Selleks toome x sulgude ette.
x(2x – 3) = 0
Et korrutis oleks null, peab kas x = 0 või 2x – 3 = 0.
Lahendame võrrandi 2x – 3 = 0.
2x = 3│: 2
x = 1,5
Seega x1 = 0 ja x2 = 1,5.
Lahenduskäigu võime esitada järgmiselt:
2x2 – 3x = 0
x(2x – 3) = 0
x = 0 või 2x – 3 = 0
2x = 3 │: 2
x = 1,5
x1 = 0 ja x2 = 1,5
Näide 12. 5x2 = 0 on mittetäielik ruutvõrrand, milles puuduvad nii lineaarliige kui ka
vabaliige.
5x2 = 0 │: 5
x2 = 0
x1 = x2 = 0
Sageli tuleb võrrandit lihtsustada ja teisendada normaalkujule.
Näide 13. Võrrandi 9x + x2 = – 14 lahendamiseks teisendame võrrandi normaalkujuliseks.
Selleks viime – 14 võrrandi vasakule poolele ja muudame liikmete järjekorda nii,
et esimesena on ruutliige (x2-ga liige), teisena lineaarliige (x-ga liige) ja
viimasena vabaliige. Võrrandi paremal poolel on 0.
Peame meeles, et üleviidava liikme märk muutub vastupidiseks.
Saame võrrandi x2 + 9x + 14 = 0.
Lahenda see võrrand.
Näide 14. Lahendame võrrandi 3x(x+2) + 9 = (x - 1)2.
Avame sulud. 3x2 + 6x + 9 = x2 – 2x + 1
Viime kõik liikmed vasakule poolele. 3x2 + 6x + 9 - x2 + 2x – 1 = 0
Koondame 2x2 + 8x + 8 = 0 │: 2
x2 + 4x + 4 = 0
Lahenda see võrrand.