Ruutvõrrand (2)

1.5 RUUTVÕRRAND

Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax2 + bx + c = 0, kus a  0.
Kordajad a, b ja c on reaalarvud ning x tundmatu (otsitav).
Ruutvõrrand on teise astme algebraline võrrand.
Ruutvõrrandi liikmeid nimetatakse järgmiselt:
ax2 – ruutliige , kus a on ruutliikme kordaja;
bx – lineaarliige , kus b on lineaarliikme kordaja;
c – vabaliige.
Ruutvõrrandi lahendivalem on
x =
()
Avaldist D = b2 – 4ac nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks.

• Kui D > 0, siis ruutvõrrandil on 2 erinevat lahendit.
  
• Kui D = 0, siis on ruutvõrrandil 2 võrdset lahendit.
  
• Kui D lahendid puuduvad.
  

Kui ruutliikme kordaja on negatiivne arv, siis enne võrrandi lahendamist korrutame mõlemaid pooli arvuga (–1) ja saame ruutliikme kordajaks positiivse arvu.
Ruutvõrrandi lahendite õigsust tuleb kontrollida, asendades lahendid algvõrrandis. Tekstülesande korral peab lahend sobima ka ülesande sisuga. Näiteks ei saa pikkus olla negatiivne, inimeste arv saab olla ainult naturaalarv jne.
Näide 14. Lahendame ruutvõrrandi 3x2 + 5x –2 = 0.
Lahendus.
Siin a = 3; b = 5 ja c = –2.
x =
x1 = x2 =
Ülesanne 12. Lahenda ruutvõrrandid.

4x2 – 4x – 3 = 0

2x2 – 7x + 3 = 0

–5x2 + 9x + 2 = 0

–4x2 + 4x – 1 = 0

3x2 – 2x + 5 = 0
Vastused. 1; –; 3; ; 2; –; ; lahendid puuduvad.
Kui ruutvõrrandis ruutliikme kordaja a = 1, siis sellist võrrandit nimetatakse taandatud ruutvõrrandiks. Taandatud ruutvõrrand on kujul x2 + px + q = 0. Lahendeid võib leida valemi () abil (siis tuleb arvestada varasemat tähistust), kuid lihtsam on kasutada järgmist valemit:
x = –
Diskriminant D =
Näide 15. Lahendame ruutvõrrandi –x2 + 4x +21 = 0.
Lahendus.
Ruutvõrrandit ei lahendata, kui x2 ees on negatiivne arv! Negatiivse arvu kaotamiseks korrutame ruutvõrrandi mõlemad pooled läbi (–1)–ga.
–x2 + 4x +21 = 0  (–1)
x2 – 4x – 21 = 0
Siin p = –4 ja q = –21.
x = –
x1 = 2 –5 = –3 x2 = 2 + 5 = 7
Ülesanne 13. Lahenda võrrand.

x2 – 4x – 12 = 0

x2 + 12x + 20 = 0

x2 + 11x + 24 = 0

–x2 + 8x – 16 = 0

–x2 + 6x – 10 = 0
Vastused: 6; –2; –10; –2; –8; –3; 4; lahendid puuduvad.
Mittetäielikud ruutvõrrandid.
Ruutvõrrandit, kus puudub lineaarliige või vabaliige või lineaar- ja vabaliige nimetatakse mittetäielikuks ruutvõrrandiks.
Mittetäielikke ruutvõrrandeid saab lahendada täieliku ruutvõrrandi lahendivalemi abil või järgmiselt:

Kui võrrandis ax2 + bx + c = 0 on b = 0 (puudub lineaarliige), siis saame võrrandi
ax2 + c = 0.
Selle lahendamiseks viime vabaliikme vastandmärgiga teisele poole võrdusmärki:
ax2 = –ca Mõlemad võrrandi pooled jagame läbi muutuja juures oleva arvuga.
x2 = – Nüüd võtame mõlemast poolest ruutjuure, saame:
x1,2 =  .
(Kui ruutjuure all on positiivne arv, siis ruutvõrrandil on 2 lahendit, mis erinevad
märkide poolest, kui negatiivne arv, siis lahendid puuduvad.)
Näide 16. Lahendame võrrandi 2x2 – 4,5 = 0
Lahendus.
2x2 = 4,5  2
x2 = 2, 25
x = = 1,5
x1 = –1,5 x2 = 1,5

Kui võrrandis ax2 + bx + c = 0 on c = 0 (puudub vabaliige), siis saame võrrandi
ax2 + bx =0.
Selle lahendamiseks toome x sulgude ette:
x(ax + b) = 0.
Kahe teguri korrutis on null, kui üks teguritest on null:
x = 0 või ax + b = 0
x1 = 0 ax = –b
x2 = –
Näide 17. Lahendame võrrandi 4x2 – 6x = 0.
Lahendus.
Kui võimalik, teeme ruutvõrrandi lihtsamaks!
4x2 – 6x = 0  2
2x2 – 3x = 0
x(2x – 3) = 0
x = 0 või 2x – 3 = 0
x1 = 0 2x = 3  2
x2 =
Ülesanne 14. Lahenda võrrand.

x2 – 36 = 0

x2 – 3x = 0

2x2 + 3x = 0

5x2 – 80 = 0

–3x2 + 7x = 0

x2 + 4 = 0

x2 – 2 = 0

x2 + 9x = 0
Vastused: 6; 0; 3; 0; –1; 4; 0; 2; lahendid puuduvad;  ; 0; –9.
Ülesanne 15. Leia kolm niisugust järjestikust paarisarvu, mille kahe väiksema arvu ruutude summa oleks võrdne kolmanda arvu ruuduga. (6; 8; 10 või –2; 0; 2).
Ülesanne 16. Leia kolm järjestikust paaritut arvu, kui on teada, et nende arvude ruutude summa on 155. (5; 7; 9 või –9; –7; –5).
Ülesanne 17. Pärast kooli lõpetamist vahetasid õpilased pilte. Kui palju oli lõpetajaid, kui on teada, et vahetati 462 pilti? (22 lõpetajat).
Ülesanne 18. Maleturniiril mängis iga mängija iga osavõtjaga ühe partii. Kui palju oli turniirist osavõtjaid, kui on teada, et mängiti 240 partiid ? (16 osavõtjat).
12