Põhivara 7. klass (7)

Põhivara 7. klass
Protsendi mõiste:
Ühte sajandikku osa mingist kogumist, tervikust nim. protsendiks (%).
Jagatise väljendamine protsentides:
Tihti on vaja teada, mitu % moodustab üks arv teisest.
Kahe arvu jagatise väljendamiseks protsentides leiame selle jagatise esmalt kümnendmurruna ning korrutame siis sajaga.
Näide: Arv 3 arvust 4 moodustab?
3 : 4 = 0,75
0,75 * 100 = 75%
Tekstülesannete lahendamine % abil:
Metsapäeval oli kavas istutada 2400 puud. Õpilased ületasid ülesande 16% võrra. Mitu puud istutati?
Antud ülesannet saab lahendada kahel viisil.
võimalus: 1% on 2400 : 100 = 24
16% on 16 * 24 = 384
16% 2400-st on 384
Kuna plaan ületati 16% võrra, mis vastab 384 puule, siis istutati 2400 + 384 = 2784 puud.
võimalus: Mitu puud on 16% ?
2400 puud on 100%
x puud on 16%
x = 2400 * 16/100 = 384
Mitu puud istutati?
2400 + 384 = 2784
Vastus: Istutati 2784 puud.
Reaalarvu absoluutväärtus:
| | - absoluutväärtuse märgid. Nt. |-5| = 5 ; |5| = 5
Arvteljel tähendab arvu absoluutväärtus sellele arvule vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist .
Teineteise vastandarvude absoluutväärtused on võrdsed.
Ratsionaalarvude liitmine ja lahutamine:
+(+a) = +a
+(-a) = -a
-(-a) = +a
-a(+a) = -a
Ratsionaalarvude korrutamine ja jagamine:
(+)*(+) = +
(+) : (+) = +
( - )* ( - ) = +
( - ) : ( - ) = +
( - ) * (+) = -
(+) : ( - ) = -
(+) * ( - ) = -
( - ) : (+) = -
Kui negatiivseid tegureid on paarisarv on korrutis positiivne.
Kui negatiivseid tegureid on paaritu arv on korrutis negatiivne.
Kahe samamärgilise arvu jagatis on positiivne.
Kahe erimärgilise arvu jagatis on negatiivne.
Arvu aste:
2³=2∙2∙2=8
a0=1, kui a≠0 , st iga arv astmes 0 on võrdne ühega (kui see arv ei ole 0).
1³=1
2³=8
3³=27
4³=64
5³=125
6³=216
7³=343
8³=512
9³=729
10³=1000
20=1
21=2
22=24
23=8
24=16
25=32
26=64
27=128
28=256
29=512
210=1024
Tehted astmetega:
1) am ∙ an = a m + n Näiteks: 2² ∙ 2³ = 22+3 = 25 = 32
Võrdsete alustega astmete korrutamisel võime astendajad liita ning saadud tulemusega astendada antud alust.
2) am : an = a m-n
Näiteks: 36 : 34 = 36-4 = 3² = 9
Võrdsete alustega astmete jagamisel võime jagatava astendajast lahutada jagatava astendaja ning saadud tulemusega astendada alust.
3) (a · b)n = an · bn Näiteks: (2 · 4)² = 2² · 4² = 64
Korrutise astendamisel võime astendada iga teguri eraldi.
4) (am)n = am × n Näiteks: (3²)5 = 3 2 × 5 = 310 = 59049
Astme astendamisel võime astendajad korrutada ning saadud tulemusega astendada antud alust.
5) Näiteks:
Murru astendamisel võime astendajad korrutada ning saadud tulemusega astendada antud alust.
Arvu 10 astmed:
Arvu 10 astmeid kasutatakse väga suurte või väga väikeste arvude kirjutamiseks.
1012
- tera
10-12
- detsi
109
- giga
10-9
- senti
106
- mega
10-6
- milli
103
- kilo
10-3
- mikro
102
- heto
10-2
- nano
10
- deka
10-1
- piko
Näiteks: 1 000 000 00 = 108 ; 0,000 000 1 = 10-7
Sarnaste liikmete koondamine :
Kui avaldises on liikmed, mis on ühesugused või erinevad ainult arvulise kordaja poolest, siis nimetatakse neid sarnasteks liikmeteks .
Näiteks: a + a + a = 3a
a * a * a * a = a4
a +b + a + a + b = 3a + 2b
xy + xy = 2xy
xy * xy = x2 * y2
3a + 4b + 2a + 5b = 5a + 9b
Sellist liikmete liitmist või lahutamist nimetatakse koondamiseks.
Kui avaldises on vastandarvud, siis need lihtsalt taanduvad. ( Tõmban maha / )
NB: Pane tähele märke!
Sulgude avamine:
Kui avaldises esinevad sulud , tuleb nendest vabaneda , seda teguviisi nimetatakse sulgude avamiseks.
Näiteks: 2*(5a + 6b) = 2*5a + 2*6b = 10a + 12b
(2x – 3y + 4z)3 = 3*2x – 3*3y + 3*4z = 6x – 9y + 12z
-(2b + 4c – 3a -1) = -2b – 4c + 3a + 1
NB: Miinus märk sulu ees muudab märgid sulu sees!
Võrrandid:
Võrrand on võrdus, mis sisaldab tundmatut suurust. Tundmatu väärtus on võrrandi lahend .
Võrrandil võib olla:

üks lahend
Nt: 2x = 10 | :2
x = 5

kaks lahendit
Nt: x2 = 9
x = √9
x1 = 3 x2 = -3

lahend puudub
Nt: x2 = -4
Lahend puudub (mitte ühegi ratsionaalarvu ruut ei ole negatiivne)
Lineaarvõrrand:
Lineaarvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax+b=0, kus a ja b on antud arvud ning x on tundmatu.
ax + b = 0  ax = -b | :a 
Näiteülesanne 1:
2(x - 3) + x + 6 = 3x
2x – 6 + x + 6 - 3x = 0
3x - 3x - 6 + 6 = 0
0 = 0
SAMASUS, seega lahenditeks on kõik reaalarvud .
Näiteülesanne 2:
17 + 5(x – 2) = 5x
17 + 5x – 10 -5x = 0
7 = 0
VASTUOLU, seega lahendid puuduvad.
Kui a≠0, siis võrrandil on üks lahend.
Kui a=0 ja b≠0, siis lahendid puuduvad.
Kui a=b=0, siis on lahendeid lõpmatult.
Võrrandi põhiomadused:
Võrrandi lahendamise käigus tehakse mitmesuguseid teisendusi, avatakse sulge jne; mille abil saadakse nagu uus võrrand, see peab aga jääma samaväärseks.
nt: 3(4 – 2x) – x = 2(x – 5) + 4
12 – 6x – x = 2x – 10 + 4

• Võrrandite pooli võib vahetada
  
• Võrrandi mõlemat poolt võib korrutada (jagada) ühe ja sama nullist erineva arvuga.
  

Võrrandi iga liikme võib viia võrdusmärgi ühelt poolt teisele poole. Siis muutub märk vastupidiseks.
nt: 12 – 6x – x = 2x – 10 + 4

• 6x – x - 2x = - 10 + 4 – 12
  
• 9 x = -18 | : (-9)
  

x = 2
Tekstülesannete lahendamine võrrandi abil:
Selleks, et koostada tekstülesande järgi võrrandit, peame aru saama selle sisust. Peame leidma sisu järgi mõiste, mida peame märkima tundmatuga.
Ülesanne:
Kooli viljapuuaias on õunapuid 3 võrra rohkem, kui pirnipuid. Kokku on 35 puud. Mitu õuna- ja pirnipuud on ?
pirnipuid on x
õunapuid on x+3
puid kokku on x + (x+3) = 35
Lahendame võrrandi: x + (x+3) = 35
2x = 35 – 3
x = 16
Murrukujulise võrrandi lahendamine:
Kui võrrandis esineb murde, siis vabaneme nendest. Korrutame võrrandi pooli murdude ühise nimetajaga.
Võrratus:
Matemaatilist avaldist , milles esinevad märgid nimetatakse võrratuseks.
a>b ( loe: a on suurem kui b)
Võrratusmärgid:
≤ - väiksem või võrdne
> - suurem
≥ - suurem või võrdne
Võrratuse omadused:
Kui võrratuse...

mõlema poolega liita või mõlemast poolest lahutada üks ja seesama arv, jääb võrratusmärk samapidiseks.
nt: 2 12

mõlemaid pooli korrutada või jagada ühe ja sama positiivse arvuga, jääb võrratusmärk samapidiseks.
nt: 8 4

mõlemaid pooli korrutada ühe ja sama negatiivse arvuga, siis märk muutub vastupidiseks.
nt: 8 -16 > -20
Võrratuse lahendamine:
Võrratust lahendame sarnaselt võrrandi lahendamisele. Esinevad mõningad erinevused:

tundmatul on mitu väärtust

rida omadusi, mis kehtivad ainult võrratuse kohta
Näide: 5x + 3 > 2x – 9
5x – 2x > -9 – 3
3x > -12 |: 3
x > - 4
Suhe ja mõõtkava:
Geograafilise kaardi nurgast leiame mõõtkava, kus on märgitud kahe arvu suhe.
nt: 1: 30000 st. et 1cm kaardil vastab 30000cm (300m) looduses.
Kahe arvu a ja b suhteks nimetatakse nende jagatist a:b.
Suhe näitab, kui mitu korda on üks suurus teisest suurem või missuguse osa ta teisest moodustab.
Võrre:
Tõest võrdust, mille mõlemad pooled on jagatised nimetatakse võrdeks. Võrde võime kirjutada kujul a : b = c : d
Võrde välisliikmete korrutis võrdub siseliikmete korrutisega. ad = bc
Võrdekujuline võrrand:
Olgu antud võrdus: 6 : 5 = 18 : x
Sellel võrdusel on võrde kuju, milles üks liige on tundmatu. Paneme selle kirja võrde põhiomaduse põhjal kirja:
6x = 5 * 18
6x = 90 | : 6
x = 15
Jagamismärgiga võrdust kontrolli murrukujulise võrrandiga!
Jäävad ja muutuvad suurused:
Jääv suurus: kui suuruse arvuline väärtus ülesande või nähtuse tingimustes ei muutu.
nt: 1h = 60 min
1 kg = 1000g
Muutuv suurus: kui arvuline väärtus ülesandes muutub: muutuvad suurused on omavahel seotud. Ühe suuruse väärtus sõltub teise suuruse väärtusest.
nt: auto sõidukiirus
õhutemperatuur
Võrdeline suurus:
Kui ühe positiivse suuruse kasvamisel või kahanemisel mõni arv korda kasvab või kahaneb teine suurus, siis need kaks suurust on võrdelised.
Vihikute arv
Makstav summa
Pöördvõrdelised suurused:
Kaks positiivset suurust on pöördvõrdelised siis, kui nad sõltuvad teineteisest nii, et ühe suurenemisel ( või vähenemisel ) mingi arv korda, teine väheneb ( või suureneb ) sama arv korda.
Ülesanne: Kahe linnavaheline kaugus on 180 km. Koostame tabeli millest on näha, kuidas sõiduaeg sõltub liikumisvahendi keskmisest kiirusest.
Kiirus (km/h)
15
20
30
40
45
60
75
80
90
Sõiduaeg (h)
12
9
6
4,5
4
3
2,4
2,25
2
teepikkuse valem: s = v * t ―> t = s : v
Pöördvõrdeliste suuruste vastavate väärtuste korrutis on jääv.
Näide:
Kaks ühesugust traktorit teevad sügiskünni ära kuue päevaga. Kui mitme päevaga teeksid sügiskünni ära kolm samasuguse tööviljakusega traktorit?
Traktorite arv
2
3
Päevade arv
6
x
2 · 6 = 3 · x
12 = 3x
x = 4
Graafikute lugemine:
Kui sõltuvus on esitatud graafikuna, siis graafikult saab välja lugeda palju huvitavat infot. Graafik esitatakse põhiliselt kahel teljel : horisontaal- ja vertikaalteljel.
Funktsioon: eeskiri , mis seab sõltumatu muutuja igale väärtusele vastavasse sõltuva muutuja ning ühe kindla väärtuse.
JRK.
NIMI
HINNE
1.
Mari Maasikas
...
Järjekorra number ja nimi on sõltumatud muutused, hinne on sõltuv muutus.
Võrdeline sõltuvus:
Kaht suurust, mille vastavate väärtuste suhe on jääv nimetatakse võrdeliseks suuruseks. Seda jäävat suhet nim. nende suuruste võrdeteguriks.
y = ax
Võrdelise suuruse graafik:
Kahe muutuja vahelist võrdelist seosest saame hea ülevaate, kui kirjutame selle seose graafiliselt. Võrdelise seose y = ax graafik on sirge, mis läbib kordinaatide alguspunkti.
Pöördvõrdelise sõltuvuse graafik:
Pöördvõrdelise sõltuvuse
graafikut nimetatakse hüperbooliks. Pöördvõrdelise sõltuvuse graafik koosneb kahest eraldi seisvast harust, mis asuvad kumbki eraldi veerandites. Tabeli koostamisel ei anna x väärtust 0, sest nulliga ei saa jagada.
Näide:
y =
x
-3
-2
-1
1
2
3
3
y
-0,(3)
-0,5
-1
1
0,5
0,(3)
-0,(3)
Rööpkülik:
Romb :
Trapets:
Püströöptahukas:
Hulknurga nurkade summa:
Püstprisma
Ruumala:
Külgpindala:
Täispindala:
Korrapärane püramiid
Ruumala:
Külgpindala:
Täispindala:
Silinder
Ruumala:
Külgpindala:
Täispindala:
Koonus
Ruumala:
Külgpindala:
Täispindala:

Kera
Ruumala:
Pindala:
4