Ruutvõrrandid (0)

Ruutvõrrandid.
Ruutvõrrandid esituvad kujul ax2 + bx + c = 0.
Ruutvõrrandid jagunevad taandamata ja taandatud ruutvõrranditeks:
 
Taandamata ruutvõrrand
Taandatud ruutvõrrand
ax2 + bx + c = 0
x2 + px + q = 0
 
Kui ruutvõrrandis ax2 + bx + c = 0 kas b = 0 või c = 0, siis on tegemist mittetäieliku
ruutvõrrandiga. Selliseid võrrandeid viisakas inimene ei lahenda eespool toodud
lahendivalemiga, sest neid saab lihtsamalt lahendada.
 
Näide 1. Lahendame võrrandid 1) 3x2 + 6x = 0, 2) 0,5x2 – 23 = 0, 3) –3x2 = 0.
1) Võrrandi 3x2 + 6x = 0 lahendamisel toome x sulgude ette, siis saame
x(3x + 6) = 0.
Kahe arvu korrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üks arvudest on null,
seega kas x = 0 või 3x + 6 = 0, millest x = –2.
Vastus: x1 = 0, x2 = –2.
 
2) Kui 0,5x2 – 23 = 0, siis 0,5x2 = 23, millest x2 = 46.
Järelikult
ja .
 
3) Seda tüüpi võrrandi lahenditeks on alati 0 ja 0.
Kui jagame võrduse –3x2 = 0 mõlemad pooled arvuga (–3), siis saame võrrandi x2 = 0, millest
x1 = x2 = 0.
 
Lineaar- või ruutvõrrandi lahendamisele taandub tavaliselt ka võrdekujuline võrrand.
 
Näide 2. Lahendame võrrandi .
Kasutame võrde põhiomadust: kui , siis ad = bc.
Võrrand teiseneb kujule
(3 + x)(3 + 2x) = (x – 1)(2x + 1), ehk
9 + 6x + 3x + 2x2 = 2x2 + x – 2x – 1, millest
10x =–10, ehk
x = –1.
Vastus: x = –1.
 
Lineaarvõrrandite ja ruutvõrrandite lahendeid pole põhimõtteliselt vaja kontrollida, sest lahendamise käigus ei saa lahendeid kaduma minna. Samuti pole võimalik võõrlahendite teke. See on nii vaid siis, kui kasutame samasusteisendusi. Järgmine näide on selle kohta, kuidas lahend võib vale lahendusviisi korral kaduma minna.
 
Näide 3. Lahendame võrrandi (x + 2)(x + 3) = (2x + 1)(x + 3).
Kuna võrrandi mõlemal poolel on üks ja sama tegur (x + 3), siis tekib kohe kiusatus sellega läbi
jagada. Nii saame võrrandi
x + 2 = 2x + 1, millest
x = 1.
 
Kui aga lahendame esialgse võrrandi teisiti, näiteks avame kõigepealt sulud ja seejärel lahendame
tekkinud võrrandi, siis saame hoopis rohkem lahendeid:
(x + 2)(x + 3) = (2x + 1)(x + 3),
x2 + 5x + 6 = 2x2 + 7x + 3, millest
x2 – 2x – 3 = 0.
Selle võrrandi lahendid on 1 ja (–3).
 
Kumb lahendus on siis õige? Kuhu kadus esimese lahenduse korral lahend (­–3)?
 
Esimene lahendus on vale, sest seal jagati võrduse pooled tundmatut sisaldava avaldisega, seda aga ei tohi teha. Sellise jagamise tulemusena kaovadki lahendid.
 
Leia ise, mis on võrrandi (x +1)(x–2)(x–3)(x–4) = (x–2)(x–3)(x–4) lahendid.
 
Ülesandeid

• Lahendada võrrandid:
  

1)
2)
3) x2 – 7x = 0 4) 5x2 = 4,2x
5) (6 – x)(2x – 5) + 30 = 0 6)
7) x2 = 9 8) 2x2 – 50 = 0
9) x2 + 4 = 0 10) x2 + 2x – 35 = 0 11) y2 + 3y – 18 = 0
12) 5z2 + 8z + 3 = 0 13) (3x – 1)(x + 2) = 20
Ruutavaldise lahutamine tegureiks
ax2 + bx + c = a( x – x1)(x – x2),
kus
Näide :

• Lahutada tegureiks:
  

x2 – 8x + 7
Lahendame ruutvõrrandi x2 – 8x + 7 = 0
x1=
ehk
x2 – 8x + 7 = (x – 7)(x – 1).
Ülesandeid

• Lahutada tegureiks:
  

1) x2 – 3x – 10 2) z2 + 15z – 54 3) 5y2 – 6y + 1 4) v2 + v

• Taandada murd :
  

1)
2)
3)
3