Lineaarvõrratused, ruutvõrratused ja murdvõrratused (1)

Lineaarvõrratused, ruutvõrratused ja murdvõrratused Lineaarvõrratus Ühe tundmatuga esimese astme ehk lineaarvõrratuseks nimetatakse võrratust kujul ax + b > 0 või ax + b 2. jagame saadud võrratuse mõlemaid pooli arvuga a (kui a Näide 1 2 x 6 0 2 x 6 x 3 Näide 2 x 9 4 x 3x 9 0 3x 9 x 3 Ruutvõrratus Ühe tundmatuga ruutvõrratuseks nimetatakse teise astme võrratust kujul ax2 + bx + c > 0 või ax2 + bx + c Arutelu lihtsustamiseks on kasulik võrratust teisendada nii (vajadusel teguriga ­1 korrutades), et pealiikme kordaja a > 0. Sel juhul avaneb funktsiooni graafikuks olev parabool alati ülespoole, mistõttu on vaja leida vaid ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid ning läbi nende skitseerida graafik .
Kui neid lahendeid pole, siis - võrratuse ax2 + bx + c > 0 (või 0) lahendihulgaks on hulk R - võrratuse ax2 + bx + c Lahendame võrratuse 6 + x ­ x2 parabooli , mis avaneb ülespoole.
-2 3 x Viirutame teisendusega saadud abivõrratuse positiivsuspiirkonna (x ­ teljest ülalpool oleva piirkonna). Jooniselt leitud abivõrratuse positiivsuspiirkond ongi lähtevõrratuse lahend . Antud võrratuse lahendihulk on X (;2) (3; ) Intervallimeetod Võrratusi kujul ( x x1 )( x x2 )( x x3 ) 0 kus x1 x2 x3 on võrratuse nullkohad , saab lahendada intervallimeetodil. Praktiliselt kujuneb võrratuse lahendamine intervallmeetodil järgmiseks: kanname võrratuse nullkohad (antud juhul x1, x2, x3 ) x ­ teljele, eeldades, et a > 0 (vastasel juhul korrutame lähtevõrratust ­1-ga), tõmbame läbi nende punktide joone, alustades paremalt ülalt, kui nullkoha järk on paaritu arv, läbime nullkohta lõigates x- telge, kui nullkoha järk on paarisarv , läbime nullkohta puudutades, võrratuse lahendihulga määrame graafikult. Näide 2 Näide Lahendame võrratuse x(x - 2)(x + 1) > 0. Lahendus Vastava funktsiooni y = x(x - 2)(x + 1) nullkohad on x = 0, x = 2, x = -1 ning kõik need on ühekordsed. Seega läbib abijoon neid punkte x- telge lõigates. alustame paremalt ülalt
-1 0 2 x
Antud võrratuse lahendamine tähendab funktsiooni y = x(x - 2)(x + 1) positiivsuspiirkonna leidmist . Näide 2
-1 0 2 x
Positiivsuspiirkonna moodustavad need x väärtused, mille korral funktsiooni graafiku skits asub ülalpool x- telge.
Antud juhul on positiivsuspiirkonnaks, aga seega ka vastava võrratuse lahendiks hulk X (1;0) (2; ) Näide 3 Näide Lahendame võrratuse x2(x + 2)(x - 1)3 Nullkoht x = 0 on paarisjärku, mistõttu abijoon sellel kohal puudutab x- telge. Nullkohad x = -2 ja x = 1 on aga paaritut järku, mistõttu abijoon läbib neid kohti x - telge lõigates.
-2 0 1 x Näide 3 Antud võrratuse lahendamine tähendab funktsiooni y = x2 (x + 2)(x - 1)3 negatiivsuspiirkonna leidmist.
-2 0 1 x
Antud juhul on negatiivsuspiirkonnaks, aga seega ka vastava võrratuse lahendiks hulk X (2;0) (0;1) Murdvõrratus Võrratust, mis sisaldab tundmatut murru nimetajas, nimetatakse murdvõrratuseks.
Murdvõrratus esitub kujul:
f ( x) 0 (või 0) g ( x) f ( x) 0 (või 0) g ( x) Murdvõrratus f ( x) Vaatame võrratust kujul 0 g ( x) selline võrratus on samaväärne seostega f ( x) g ( x) 0 g ( x) 0
Murdvõrratuse lahendamisel saab kasutada intervallimeetodit. Vaatame seda täpsemalt näidete varal. Näide 4 2 Näide Lahendame võrratuse 1. x 1 Lahendus Kanname kõik liikmed võrratuse ühele poolele 2 1 0 x 1 ja viime ühisele nimetajale 2 x 1 0 ehk x 1 3 x 0 x 1 Näide 4 Viimasest võrratusest saame samaväärsed seosed (3 x)( x 1) 0 x 1 0
Lahendame võrratuse (3 x)( x 1) 0 Kasutame intervallimeetodit, selleks esitame kõigepealt võrratuse vasaku poole sobival kujul.
(3 x)( x 1) 0 1 ( x 3)( x 1) 0 Näide 4 Vastava funktsiooni y = (x - 3)(x - 1) nullkohad on x = 3, x = 1 ning mõlemad on ühekordsed. Seega läbib abijoon neid punkte x- telge lõigates.
1 3 x
Antud võrratuse lahendamine tähendab funktsiooni y = (x - 3)(x - 1) positiivsuspiirkonna leidmist.
Antud juhul on positiivsuspiirkonnaks, aga seega ka vastava võrratuse lahendiks hulk X (;1) (3; )