Kolmnurga lahendamine (3)

3.5 KOLMNURGA LAHENDAMINE
Kolmnurk on üheselt määratud järgmiste andmetega , mis ühtlasi määravad ära ka sobivaimad lahendusvõtted:

• kaks külge ja nendevaheline nurk – lahendamist alustame koosinusteoreemi abil;
  
• üks külg ja selle lähisnurgad – lahendame siinusteoreemi abil;
  
• kolm külge – lahendamist alustame koosinusteoreemi abil;
  
• kaks külge ja pikema külje vastasnurk – lahendamist alustame siinusteoreemiabil.
  

Lisaks siinus - ja koosinusteoreemile tuleb arvesse võtta järgnevat:

• kolmnurga sisenurkade summa on 180o;
  
• kolmnurga kahe lühema külje summa on suurem kolmnurga kolmandast küljest;
  
• suurema külje vastas asub suurem nurk.
  

Kui ülesanne on lahendatud, tuleb kontrollida, kas need tingimused on täidetud.
Näide 1. Lahendame kolmnurga, kui a = 3 cm, b = 5 cm ja
= 40o.
Antud: a = 3 cm
b = 5 cm
= 40o
Leia c, ,
ja S,
│
1,0713
Nurga siinuse väärtuseks ei saa olla ühest suurem arv, järelikult selliste
andmetega kolmnurka ei ole olemas.
Pea meeles! Kui on antud kaks külge ja lühema külje vastasnurk, siis kolmnurk ei ole üheselt määratud.
Näide 2. Lahendame kolmnurga, kui a = 3 cm, b = 5 cm ja
= 25o.
Antud: a = 3 cm
b = 5 cm
= 25o
Leia c, ,
ja S,
Lahendus.
│
0,7044
= 44o 47'
Kuid ka nürinurk 180o – = 180o – 44o 47' = 135o 13' sobib lahendiks , sest
sin 135o 13' = sin 44o 47'.
Edasi tuleb ülesannet lahendada kahel erineval juhul.
D
A
B
C

Kolmnurgast ABC:
a = 3 cm, b = 5 cm,
= 25o ja 1 = 44o 47'.
1│1 = 180o – ( + 1) = 110o 13'
c1│
6,7 (cm)
S1│7 (cm2)

Kolmnurgast ADC:
a = 3 cm, b = 5 cm,
= 25o ja 2 = 135o 13'.
2│2 = 180o – ( + 2) = 19o 47'
c2│
2,4 (cm)
S2│2,5 (cm2)
Ülesanne 20. Lahenda kolmnurk.

b = 45 cm, c = 50 cm ja = 120o

a = 36 cm, c = 40 cm ja = 62o 24'

a = 15 cm, b = 25 cm ja c = 20 cm

b = 16 cm, c = 10 cm, = 330 36'
Ülesanne 21. Arvuta rööpküliku pikem diagonaal , kui rööpküliku küljed on 11 cm ja 15 cm ning nurk on 46o.
Ülesanne 22. Puu kõrguse mõõtmiseks märgiti maapinnal kaks punkti A ja B, mis asuvad puuga ühel sirgel ja on teineteisest 30 m kaugusel. Puu latv paistab neist punktidest vastavalt 28° ja 40° all. Leia puu kõrgus.
Ü C
lesanne 23. Puu kõrguse mõõtmiseks märgiti maapinnal kaks punkti A ja B, mis asuvad puuga ühel sirgel ja on teineteisest 9 m kaugusel. Puu latv paistab neist punktidest vastavalt 22° ja 32° all. Leia puu kõrgus.
Ülesanne 24. Jõe laiuse BD määramiseks märgiti BD sihis pikkus
AB = 30 m. Jõe teisel kaldal vee piiril kasvav puu DC paistab
punktist A 28°nurga alla ja punktist B 40°nurga all.
K 28°
40°
ui lai on jõgi ja kui kõrge on puu?
Ü A
B
D
lesanne 25. Jõe laiuse BD määramiseks märgiti BD sihis
pikkus AB = 30 m. Jõe teisel kaldal vee piiril kasvav puu
DC paistab punktist A 13°nurga alla ja punktist B 30° nurga all. Kui lai on jõgi ja kui kõrge on puu?
Ülesanne 26. Amsterdam – Berliin – Praha moodustavad kolmnurga, mille kaks nurka on 50° ja 110°.Berliinist
P A
B
D
rahasse on ligikaudu 280 km. Kui kaugel on Amsterdam Berliinist ja Praha Amsterdamist? Vastus andke 10 km täpsusega.
Praha
Ülesanne 27. 1)Kolm teed – magistraaltee, maantee ja külavahetee moodustavad kolmnurga ABC, milles ÐA = 20°, ÐB = 50° AB = 2 km. Kui pikk on teelõik AC?
2 külavahetee
) Kell 12.00 pööras liikluseeskirjade rikkuja punktis A magistraalteelt maanteele ja jätkas sõitu kiirusega140 ristmiku C suunas. Samal ajal (kell 12.00) alustas punktist B sõitu mööda külavaheteed ristmiku C suunas politseiinspektor, kes jõudis kohale 35 sekundiga . Kas politseiinspektor jõudis ristmikule C enne liikluseeskirjade rikkujat? Põhjenduseks esitage arvutused.
Ülesanne 28. Kaks mootorpaati väljusid merel samaaegselt punktist A erinevates suundades. Üks neist sõidab kiirusega 18
ja teine kiirusega 21 . Kui kaugel on paadid teineteisest kahe tunni pärast, kui on teada, et nad sõidavad mööda sirgjoonelisi marsruute, mille vaheline nurk on 65°.
Ülesanne 29. Kaks laeva väljusid sadamast ühel ja samal ajal kiirusega 30
ja 45 . Kolme tunni pärast olid need laevad teineteisest 120 km kaugusel. Leia nurk laevade kursside vahel, kui on teada, et mõlemad laevad liiguvad sirgjooneliselt.
Ülesanne 30. Veekogu laiuse mõõtmiseks kohal AB märgiti kaldale nn baas CB = 100 m. Seejärel mõõdetakse nurgad
ja . Arvuta veekogu laius AB, kui
= 81° ja
= 89°.
2 km
B
13