I I , kus G , ) , * , ... , IJ) , I on konstandid ja I 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis G+ ) + * + + IJ) IJ) + I I * L = G+ ) + * * ++ MJ) + M MJ) M Polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid kuuluvad elementaarfunktsioonide hulka. LIISI KINK 5 MATEMAATILINE ANALÜÜS I 6) Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetriliselt antud joone mõiste. Funktsiooni = ! ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on ja paremal pool
f´(x0) <->f(x) D(x0) DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x+)=limy/x, piirprotsessis x->0+ DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x-)=limy/x, piirprotsessis x->0- 1.11 Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Vaata näiteid vihikust! 1.12 Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 1.13 Kõrgemat järku tuletised DEF 1. Kui funktsioonil f´(x) eksisteerib tuletis, siis seda tuletist nim. funktsiooni y=f(x) teiseks tuletiseks ehk teist järku tuletiseks ja tähistatakse y´´ ehk f´´(x) ehk d2y/dx2 ehk d2f(x)/dx2 või (d2/dx2)f(x). Seega f´´(x)=[f´(x)]´. Analoogselt ka kolmandat järku tuletis jne. DEF 2. Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks nim. tuletist (n-1) järku tuletisest. F(n)(x)=[f(n-1)(x)]´. +LEIBNIZI VALEMI TÕESTUS ! 1
Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sinx, y =cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Näiteid elementaarfunktsioonide kohta: elementaarfunktsioon y = 5+7 tan x- /cos x on moodustatud põhilistest elementaarfunktsioonidest y = 5, y = 7, y = tan x, y = ja y = cos x lõpliku arvu 18 aritmeetiliste tehetega; elementaarfunktsioon y = arcsin (3x) on põhiliste elementaarfunktsioonide y = 3x ja y = arcsin x liitfunktsioon; Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid. n- astme polünoom on defineeritud avaldisega: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . .
1. Kasutatav sümboolika. Funktsiooni mõiste ja omadused. Elementaarfunktsioonid. 2. Jada piirväärtus. Arv e. 3. Funktsiooni piirväärtus. Joone asümptoodid. Lõpmata väikesed ja lõpmata suured suurused. Funktsiooni pidevus. Lõigul pidevate funktsioonide omadused. 4. Funktsiooni tuletis. Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetri-liselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 5. Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valem. Funktsiooni diferentsiaalid. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Lokaalne ekstreemum. 6. Keskväärtusteoreemid. L'Hospitali reegel. 7. Taylori valem polünoomi korral. Taylori valem. Taylori valemi jääkliige. 8. Joone puutuja ja normaal. Funktsiooni lokaalne ekstreemum. Joone kumerus ja nõgusus. Käänupunktid. 9. Funktsiooni uurimine. Iteratsioonimeetod. 10. Määramata integraal ja selle omadused
4. Detail on nihkunud nurga alla. Avad leitakse, kuid ülemine väike ava on suurele augule liialt lähedal. Programm annab veateate. 4 5. Detail on taas nihkunud nurga alla. Programm ei suuda tuvastada alumist väikest ava. Antakse veateade. Kokkuvõte Antud laboris uurisime masinnägemist. Labor sai edukalt läbi viidud - probleeme sel korral ei esinenud. Juhend oli väga põhjalik. Ülesandest õppisime Vision builderi elementaarfunktsioonide kasutamist. 5
d. Põhilised elementaarfunktsioonid y=, y=, y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx, y=, y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx, y=arccotx. e. Elementaarfunktsiooni mõiste Elementaarfunktsiooniks nim funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise teel. f. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. f.i. Polünoom kuulub elementaarfunktsioonide hulka ja on defineeritud avalisega , f.ii. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetriliselt antud joone mõiste. Parameetrilisel kujul antud funktsioon. Hüperboolsete trigonomeetrilistefunktsioonide ja areafunktsioonide definitsioonid (määramispiirkondi,väärtuste hulki ja graafikuid ei küsi). a. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid a.i
Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sinx, y =cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Näiteid elementaarfunktsioonide kohta: elementaarfunktsioon y = 5+7 tan x− /cos x on moodustatud põhilistest elementaarfunktsioonidest y = 5, y = 7, y = tan x, y = ja y = cos x lõpliku arvu 18 aritmeetiliste tehetega; elementaarfunktsioon y = arcsin (3x) on põhiliste elementaarfunktsioonide y = 3x ja y = arcsin x liitfunktsioon; Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid. n- astme polünoom on defineeritud avaldisega:
9) Funktsiooni piirväärtus. Ühepoolsed piirväärtused. 10) Funktsiooni pidevus ja katkevus. Esineb esimest ja teist liiki katkevusi kui on tegu mingi arvuga siis on esimest järku, kui lõpmatusega siis teist järku. 11) Funktsiooni tuletise mõiste. Lõikaja ja puutuja tõus. Lõikaja ja puutuja tõusud ja sellised asjd, blah, ei viici otsida seda. Loodan, et ei küsita mult :D 12) Funktsiooni tuletise füüsikaline tähendus. 13) Tuletise tehetega seotud omadused. 14) Elementaarfunktsioonide tuletised. 15) Tuletis kui funktsiooni muutumise kiirus. Protsentuaalne muutumise kiirus. Kaevake vihikutes, praxis sai tehtud seda jama küll =) 16) Funktsiooni diferentsiaal. 17) Diferentsiaali kasutamine ligikaudses arvutuses. 18) Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni tuletis Paras vikat osa, kes saab aru see saab, kes ei.. njah :D suht porno teema (get it? Hah! :D) 19) Ilmutamata funktsiooni tuletis.
elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooni definitsioon: Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Näiteid elementaarfunktsioonide kohta: elementaarfunktsioon y = 5+7 tan x- ex? cos x on moodustatud põhilistest elementaarfunktsioonidest y = 5, y = 7, y = tan x, y = ex ja y = cos x lõpliku arvu aritmeetiliste tehetega. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon: Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid. n- astme polünoom on defineeritud avaldisega P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn , kus a0, a1, a2, . . . , an-1, an on konstandid ja an = 0.
Täpsemalt: argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A = (a, f(a)) pidev joon (joonis 2.8). 12. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. 13. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. 14. Funktsiooni tuletise definitsioon. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 15. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. 16. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni korral (tõestusi ei küsita). Liitfunktsioon 17. Joone puutuja definitsioon. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP
1 () Kui lim () = 1, siis nimetatakse suurusi ja eksvivalentseteks. lõpmatult Polünoom kuulub elementaarfunktsioonide hulka ja on Suurus on lõpmatult kahanev ainult siis, kui suurus Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f on lõpmatult kasvav. kasvavateks suurusteks, märkides seda kujul ~. perioodiks. defineeritud avalisega = 0 + 1 + 2 ² + + -1 -1 +
NB! Kui ilmutamata kujul funktsioon on diferentseeruv punktis x ja esitatud nt kujul F(x,(y))=0 , siis saab võtta tuletist argumendi järgi nii: N. Lause 4. Kui siis Tõestus. Lause eeldusel saame Seda lauset on hea kasutada siis kui funktsioonilogaritmi lnf(x) on lihstam diferentseerida, kui funktsiooni f(x) ennast. N. Seejärel diferentseerin(võtan tuletise) mõlemaid pooli Võib tuua veel näiteid, nagu nt (2x ln ja siis dife, kerge tegelt) 1.12.Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised: 1. C'=0 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1.13 Kõrgemat järku tuletised DEF 1. Kui funktsioonil f´(x) eksisteerib tuletis, siis seda tuletist nim. funktsiooni y=f(x) teiseks tuletiseks ehk teist järku tuletiseks ja tähistatakse y´´ ehk f´´(x) ehk d 2y/dx2 ehk d2f(x)/dx2 või (d2/dx2)f(x). Seega f´´(x)=[f´(x)]´. Analoogselt ka kolmandat järku tuletis jne. DEF 2. Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks nim. tuletist (n-1) järku tuletisest. Näited: leian nt (3) tuletise
Näide 3.2 Kasutusele võetud sümboolikas on 2xdx = x2 + C, sest (x2 + C) = 2x ja sin xdx = - cos x + C, sest (- cos x + C) = sin x. 1 Funktsiooni f , millel on olemas määramata integraal, nimetatakse integreeruvaks funktsioo- niks. Määramata integraali leidmist funktsioonist f , nimetatakse selle funktsiooni integreeri- miseks. Elementaarfunktsioonide diferentseerimisel nägime, et elementaarfunktsiooni tuletis on üheselt määratud ja see avaldub samuti elementaarfunktsioonina. Elementaarfunktsioonide integreerimisel on olukord teine. Esmalt, kui funktsioonil leidub algfunktsioon, siis on algfunktsioone lõpmata palju. Teiseks, leidub küllalt palju elementaarfunktsioone, mille määramata integraal ei avaldu elementaarfunktsioonina. Selliste integraalide näiteks on 2
· Astmefunktsioon · Trigonomeetrilised funktsioonid · Arkusfunktsioonid · Konstantne funktsioon Def. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadus põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste,lahtutamiste,korrutamiste,jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid, n-astme polünoom on defineeritud avaldisega , kus on konstandid ja . Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 6. Def. Funktsiooni y=f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldus, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Def. Funktsiooni y=f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand
· Astmefunktsioon · Trigonomeetrilised funktsioonid · Arkusfunktsioonid · Konstantne funktsioon Def. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadus põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste,lahtutamiste,korrutamiste,jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid, n-astme polünoom on defineeritud avaldisega , kus on konstandid ja . Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 6. Def. Funktsiooni y=f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldus, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Def. Funktsiooni y=f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand
funktsiooni g väärtuse kohal f(x) ehk suuruseg[f(x)]. Seega on g f maaramispiirkond järgmine: Xgf = {x || x Xf , f(x) Yg} Põhilised elementaarfunktsioonid: konstantne, astme, eksponent, trigonomeetrilised funktsioonid ja nende pöördfunktsioonid. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid. Polünoom on hulkliige, mis on moodustatud muutujatest (ehk tundmatutest) liitmise, lahutamise ja/või korrutamise abil n- astme polünoom on defineeritud avaldisega P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn , kus a0, a1, a2, . . . , an-1, an on konstandid ja an = 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis R(x) =a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn b0 + b1x + b2x2 + . . . + bm-1xm-1 + bmxm . 6
(x;y) kohavektor moodustab x-telje pos. Suunaga nim. polaarnurgaks, kusjuures vastu
kellaosuti liikumise suunda mõõdetud nurk loetakse positiivseks ja kellaosuti liikumise
suunas mõõdetud nurk negatiivseks.
1.2 Elementaarfunktsioonid
1.Konstantne funktsioon y=c
2.Astmefunktsioon y=x
3.Eksponentfunktsioon y=ax
4.Logaritmfunktsioon y=logax
5.Trigonomeetrilised funktsioonid y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx
DEF 1. Elementaarfunktsiooniks nim. iga funkstiooni, mis on esitatav põhiliste
elementaarfunktsioonide kaudu.
DEF 2. Funktsiooni Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an nim. n-astme polünoomiks ehk
täisratsionaalseks funktsiooniks.
Algebra põhiteoreem: igal komplekssete kordajatega n-astme polünoomil Pn(x) on täpselt n
kompleksset nullkohta x1, x2,...,xn.
DEF 3. Ratsionaalfunktsiooniks ehks murdratsionaalseks funktsiooniks nim. kahe polünoomi
jagatisena esitatavat funktsiooni f(x)= Qm(x)/Pn(x)
DEF 4. Ratsionaalfunktsiooni nim. lihtmurruks, kui m
Tähised: y = f (x) , y = y (x), y = g (x) Võib olla x = x (t) x- funktsioon t- argument S=S (r) Kasvava funktsiooni korral vastab suuremale argumendi väärtusele suurem funktsiooni väärtus. Kahaneva funktsiooni korral vastab suuremale argumendi väärtusele väiksem funktsiooni väärtus. Funktsiooni esitusviisid on : 1) Analüütilised ehk valemiga 2) Tabeliga ehk arvuliselt 3) Graafiliselt ehk geomeetriliselt Joonis 3. Mõnede lihtfunktsioonide graafikud (põhiliste elementaarfunktsioonide), määramis – ja muutumispiirkonnad. Joonis 4. Ilmutatud funktsioon ja ilmutamata funktsioon Kui funktsioon on antud kujul y = f (x), siis öeldakse, et funktsioon on ilmutatud. Nt. y=x2+3x , y= sinx+cosx Kui funkts. on antud kujul F( x, y ) = 0, Kusjuures y=y(x), siis öeldakse, et funktsioon on ilmutamata ehk võrrandiga antud. Nt. x2 + y2 = 4 (ringjoon) ehk x2 + y2 – 4 = 0. Praegu saab siit y nö. „ilmutada“: y2 = 4 - x2 ehk y=± √ 4−x 2 Joonis 5. Nt
lõigul [a; b]. 14. Funktsiooni tuletise definitsioon. Funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 15. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. 16. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni korral (tõestusi ei küsita). 17. Joone puutuja definitsioon. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x) (vt joonis 3
3. lim xa- f(x) = f(a). Analoogiliselt defineeritakse ka paremalt pidev funktsioon. Vahemikus ja lõigul pidevad funktsioonid. Kui funktsioon f on pidev vahemiku (a,b) k~oigis punktides, siis ¨oeldakse, et see funktsioon on pidev vahemikus (a,b). Kui funktsioon f on m¨a¨aratud l~oigul [a,b], pidev vahemikus (a,b) ning l~oigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis ¨oeldakse, et see funktsioon on pidev l~oigul [a,b]. Elementaarfunktsioonide pidevus. k~oik elementaarfunktsioonid on oma m¨aa¨ramispiirkonnas pidevad 16. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. Kui leidub punkt x1 l~oigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt l~oigult kehtib v~orratus f(x1) f(x), siis nimetatakse arvu f(x1) funktsiooni f suuri- maks v¨a¨artuseks (absoluutseks maksimumiks) l~oigul [a,b]. Kui leidub punkt x2 l~oigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt l~oigult kehtib
pidev joon. ii) Lõigul pidev funktsioon Lõigul pideva funktsiooni defineerimisel lähtutakse samuti pidevuse geom. sisust: pideva funktsiooni graafik on pidev joon. Kui funktsioon f on määratud lõigul [a,b], pidev vahemikus (a,b) ning lõigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev lõigul [a,b] · Elementaarfunktsioonide pidevus Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonna punktides pidevad. See ei tähenda, et põhilistel el.f'idel ei ole katkevuspunkte, (nt. y=tanx) kuid need asuvad väljaspool funktsiooni määramispiirkonda. 18) · Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul 1 Kui leidub punkt x1 lõigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x1)f(x), siis
pidev joon. ii) Lõigul pidev funktsioon Lõigul pideva funktsiooni defineerimisel lähtutakse samuti pidevuse geom. sisust: pideva funktsiooni graafik on pidev joon. Kui funktsioon f on määratud lõigul [a,b], pidev vahemikus (a,b) ning lõigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev lõigul [a,b] · Elementaarfunktsioonide pidevus Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonna punktides pidevad. See ei tähenda, et põhilistel el.f'idel ei ole katkevuspunkte, (nt. y=tanx) kuid need asuvad väljaspool funktsiooni määramispiirkonda. 18) · Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul 1 Kui leidub punkt x1 lõigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x1)f(x), siis
. . . . . . . . . . . . 46 4.8 Pidevate funktsioonide omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5 Funktsiooni tuletis ja diferentsiaal 47 5.1 Keskmine kiirus ja hetkkiirus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.2 Tuletise definitsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.3 Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.4 Diferentseerimise reeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.5 Liitfunktsiooni tuletis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.6 Nähtuskäigu kiirus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.7 Kõrgemat järku tuletis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rangelt kasvav: piirkonnas A⊂X , kui iga x1 , x2 ∈ B korral ELEMENTAARFUNKTSIOONID F-n, mida on võimalik esitada põhiliste elementaarfunktsioonide kaudu, kasutades lõplik arv korda aritmeetilisi operatsioone ja liitf-ni moodustamist. x 1< x 2 ⟹ f ( x1 ) < f (x 2 ) . y=c y=x a y=ax Rangelt kahanev: piirkonnas
3) Analoogiliselt defineeritakse paremalt pidev funktsioon. Vahemikus ja lõigul pidevad funktsioonid Kui funktsioon f on pidev vahemiku (a,b) kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev vahemikus (a,b). Graafik on vahemikus (a,b) pidev joon. Kui funktsioon f on määratud lõigul [a,b], pidev vahemikus (a,b) ning lõigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev lõigul [a,b]. Elementaarfunktsioonide pidevus Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonna punktides pidevad. Määramispiirkondade kohal on graafikud pidevad jooned. See ei tähenda, et põhilistel elementaarfunktsioonidel poleks katkevuspunkte. Kuna elementaarfunktsioonid on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise kaudu ning nimetatud tegevuste puhul pidevus säilib, siis
Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid. n- astme polünoom on defineeritud avaldisega P(x) = a0 + a1x + a2x(2) + . . . + an-1x(n-1) + anx(n) , kus a0, a1, a2, . . . , an-1, an on konstandid ja an = 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis R(x) =(a0 + a1x + a2x(2) + . . . + an-1x(n-1) + anx(n)) / (b0 + b1x + b2x(2) + . . . + bm-1x(m-1) + bmx(m)) ( ) zna4it v stepeni 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetriliselt antud joone mõiste
x a 9.Funktsiooni tuletis. Tema füüsiline ja geomeetriline tõlgendus. Funktsiooni tuletis on matemaatilise analüüsi üks põhimõisteid. Funktsiooni tuletis mingil kohal näitab selle funktsiooni väärtuse muutumise kiirust funktsiooni argumendi muutumisel -- täpsemalt, funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. 10.Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised, liitfunktsiooni tuletis. tuletiste tabel: c = 0 x = 1 1 1 = - 2 x x ( x ) = 1 ( x ) = nx
suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a, b]. Kui leidub punkt x2 lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x2) ≤ f(x), siis nimetatakse arvu f(x2) funktsiooni f vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks) lõigul [a, b]. 14. Funktsiooni tuletise definitsioon. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. Funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtust argumendi muudu lähenemisel nullile nimetatakse funktsiooni tuletiseks kohal x ja ∆y lim tähistatakse f’(x): f ’(x) = ∆ x→ 0 ∆x Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv.
Punktis, kus funktsioon ei ole diferentseeruv, esineb tema graafikul murdepunkt. 5. Defineerida hulgas diferentseeruv funktsioon. Kui funktsioon f on diferentseeruv oma määramispiirkonna alamhulga D kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv hulgas D. Olgu f diferentseeruv hulgas D. Siis igale arvule x hulgast D vastab üks kindel reaalarv f′(x). Seega on f′ funktsioon, mis on määratud hulgas D. 6. Panna kirja põhiliste elementaarfunktsioonide ja hüperboolsete trigonomeetriliste funktsioonide tuletised. 7. Defineerida funktsiooni n-järku tuletis. Milline funktsioon on n korda diferentseeruv? Milline funktsioon on lõpmata arv kordi diferentseeruv? Funktsiooni y = f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n − 1 - järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n) . Lõplikku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n korda diferentseeruvaks. Kui funktsioonil on olemas kõik tuletised f(n), kus n = 1, 2, 3, .
dx 1 1 1 funktsiooni katkevuse punktis x = 0 , oleksime saanud vale tulemuse -1 x 2 = - x -1 = -1 - -1 = -2 mis on geomeetriliselt interpreteerides võimatu. NUMBRILISE INTEGREERIMISE VALEMID Määratud integraali arvutamine Newton-Leibniz'i valemi järgi ei osutu alati võimalikuks. Võib juhtuda, et integreeritava funktsiooni algfunktsiooni ei ole võimalik leida elementaarfunktsioonide kaudu ehk me ei oska seda teha. Kui integreeritav funktsioon on antud tabelina, arvutatakse määratud integraal ligikaudselt. RISTKÜLIKVALEM Olgu antud lõigul [a, b ] pidev funktsioon y = f ( x ) ja olgu vaja arvutada määratud integraal b I = f ( x ) dx , millele vastab kõverjoonelise trapetsi pindala. a b -a
-1 x x -1 1 -1 mis on geomeetriliselt interpreteerides võimatu. NUMBRILISE INTEGREERIMISE VALEMID Määratud integraali arvutamine Newton-Leibniz'i valemi järgi ei osutu alati võimalikuks. Võib juhtuda, et integreeritava funktsiooni algfunktsiooni ei ole võimalik leida elementaarfunktsioonide kaudu ehk me ei oska seda teha. Kui integreeritav funktsioon on antud tabelina, arvutatakse määratud integraal ligikaudselt. RISTKÜLIKVALEM Olgu antud lõigul [a, b ] pidev funktsioon y = f ( x ) ja olgu vaja arvutada määratud integraal b I = f ( x ) dx , millele vastab kõverjoonelise trapetsi pindala. a b -a
NT: Olgu antud kaks funktsiooni: y = f(x) ja y = g(x). Funktsioonide f ja g summa on defineeritud kui kujutis, mis seab muutujale x vastavusse muutuja y väärtuse valemiga y = f(x) + g(x). Funktsioonide f ja g summa loomulik tähis on f +g. Seega kehtib f ja g summa puhul seos y = (f + g)(x) = f(x) + g(x). Funktsioonide f ja g liitfunktsiooniks e kompositsiooniks f ◦ g nimetatakse nende funktsioonide järjest rakendamist (f ◦ g)(x) = f (g(x)). 25. Millised funktsioonid kuuluvad põhiliste elementaarfunktsioonide hulka? Mida nimetatakse elementaarfunktsiooniks? (lk 19) Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so. liitmise, lahutamise korrutamise, jagamise) ja liitfunktsiooni moodustamise teel. 26. Defineerida polünoom ja ratsionaalfunktsioon. (lk 20) Polünoom ehk algebraline hulkliige on matemaatikas hulkliige, mis on moodustatud
nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul pidevate funktsioonide omadused 14. Funktsiooni katkevuspunktid 15. Funktsiooni tuletise m~oiste, selle geomeetriline ja mehhaaniline t~olgendus 1 16. Pidevus ja diferentseeruvus 17. M~onede p~ohiliste elementaarfunktsioonide tuletised 18. Diferentseerimisreeglid 19. P¨o¨ordfunktsiooni tuletis 20. Liitfunktsiooni tuletis 21. Logaritmiline diferentseerimine 22. Ilmutamata funktsiooni tuletis 23
. . . . . . . . . 37 2.6 Funktsiooni piirv¨a¨ artuste omadused. . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.7 L~opmatult kahanevad, kasvavad ja t~okestatud suurused kui funk- tsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
. . . . . . . . . 37 2.6 Funktsiooni piirv¨a¨artuste omadused. . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.7 L~opmatult kahanevad, kasvavad ja t~okestatud suurused kui funk- tsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
selle koonduvus. 5.8 M¨ a¨ aratud integraali ligikaudne arvutamine Newton-Leibnizi valemi kasutamine m¨a¨aratud in- tegraali arvutamiseks n~ouab integreeritava funktsiooni algfunktsiooni leid- 2 sin x 1 mist. On aga suhteliselt lihtsaid funktsioone, n¨aiteks e-x , ja , mil- x ln x lel elementaarfunktsioonide hulgas algfunktsioon puudub ja Newton-Leibnizi 16 y yk-1 S yk R y = f (x) P Q a xk-1 xk b x valem ei ole rakendatav
funktsiooni muut kohal a Siis Teoreem Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev Tõestus Kuna punktsi a diferentseeruv funktsioon on määratud punktis a siis on täidetud pidevuse esimene tingimus. Tuleb veel tõestada, et eksisteerib ja võrdub -ga · Tuletis, kui funktsioon Kui funktsioon on diferentseeruv alamhulga D kõikides punktides on ta diferentseeruv hulgas D · Põhilised elementaarfunktsioonide tuletised 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 19. · Funktsiooni diferentsiaali mõiste Funktsiooni diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise ja argumendi muudu korrutist. Tähistatakse tähisega df või dy. Seega definitsiooni kohaselt 20. · Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid 1. 2. Tõestus
lim xa (x)= 0. Lõpmata väikeseid funktsioone = (x) ja = (x) nimetatakse ekvivalentseteks piirprotsessis x a, kui ( x ) lim xa ( x ) = 1. Kirjutame (x) ~ (x), x a. 9. Funktsiooni pidevus (antud punktis, antud hulgal, kõikjal ). Katkevuspunktid. Elementaarfunktsioonide pidevus oma määramispiirkonnas Olgu antud funktsioon y = f ( x ) , x X ja olgu a X . Funktsiooni pidevus antud punktis Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a, kui lim f ( x ) = f ( a ) . Kui x a funktsioon f on pidev piirkonna X igas punktis, siis öeldakse, et funktsioon f on pidev piirkonnas X. Antud hulgal Kõikjal 10. Funktsiooni tuletis. Pidevus ja diferentseeruvus
toodud tabelis. Ühtlasi näitab tabel kätte võimaluse kuidas loogilist NING-EI elementi saab asendada loogikalülitusega mis koosneb VÕI-EI elementidest. Boole'i ehk loogikafunktsioonide teisendamiseks eraldatakse nende hulgast nn elementaarfunktsioonid. Nendeks on esiteks kõik mõeldavad kahe muutuja funktsioonid, sealhulgas eespool vaadeldud inversioon, disjunktsioon ja konjunktsioon; kahe muutuja funktsioone on kokku 16. Teiseks kuuluvad elementaarfunktsioonide hulka kõik rohkem kui kahe argumendiga funktsioonid, milles argumendid on omavahel seotud kas ainult disjunktsiooni- või ainult konjunktsioonitehtega. Boole'i funktsiooni standardesituseks on tema normaalkuju. Loogikafunktsiooni normaalkuju koosneb elementaarkonjunktsioonidest (konjunktsioonitehte abil seotud otsestest või inverteeritud muutujatest, kus iga muutuja esineb vaid üks kord). Kui loogikafunktsioon on esitatud elementaarkonjunktsioonide disjunktsioonina,
Pöördfunktsioon. Seaduspärasust või teisendust, mis igale X elemendile x seab vastavuse ühe hulga Y elemendi y nim. argumendi x funktsiooniks ja kirjutatakse y=f(x) Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks on kõigi nende argumendi x väärtuste hulk, mille korral funktsioon omab mõtet ja on lõpliku väärtusega. Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna. Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks y=f[g(x)]=f*g(x)
8 pöördfunktsiooni pidevusest: Olgu funktsioon f : D → R intervallis D rangelt monotoonne ja pidev. Siis tema pöördfunktsioon f−1 on intervallis f (D) pidev. 20. Elementaarfunktsioonid. Piirväärtused (*) Selgitada, mis on elementaarfunktsioonid Funktsioone, mis saadakse põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete rakendamisel ja liitfunktsioonide moodustamisel, nimetatakse elementaarfunktsioonideks. Teada teoreemi 4.9 elementaarfunktsioonide pidevusest: Iga elementaarfunktsioon on oma määramispiirkonnas pidev. Tõestada, et Lähtume võrratustest (4.3), neist saame, et ehk Kuna koosinusfunktsioon on pidev kohal a = 0, siis ning lause 3.6 kohaselt 4.3 - Seosega määratud funktsioon f : D → R, kus D := (−1, 0)∪(0,∞) , on esitatav funktsioonide u = (1 + x)1/x ja y = ln u liitfunktsioonina. Kuna (s.t
Pöördfunktsioon. Seaduspärasust või teisendust, mis igale X elemendile x seab vastavuse ühe hulga Y elemendi y nim. argumendi x funktsiooniks ja kirjutatakse y=f(x) Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks on kõigi nende argumendi x väärtuste hulk, mille korral funktsioon omab mõtet ja on lõpliku väärtusega. Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna. Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks y=f[g(x)]=f*g(x)
z = f(a,b,c,...). Kahendmuutujad a,b,c,... on selle funktsiooni argumendid. Boole´i funktsioonide hulgast eraldatakse nn elementaarfunktsioonid, millisteks on kõikmõeldavad kahemuutujafunktsioonid, sealhulgas inversioon, konjunktsioon ja disjunktsioon. Kokku on neid 16, kuid osa neist on sümmeetrilised, ei teisenda muutujat loogikaliselt või on tehniliselt püsiühendus või katkestuskoht ahelas. Seega väheneb loogilisi tehteid tegevate elementaarfunktsioonide arv ja nende sooritamiseks vajalike iseseisva tähendusega loogikaelementide arv 9-le. Samuti kuuluvad elementaarfunktsioonide hulka kõik rohkem kui kahe argumendi funktsioonid, milles argumendid on omavahel seotud kas ainult konjuktsiooni- või disjunktsioonitehtega. Loogikafunktsioone saab analoogiliselt reaalarvude algebraga esitada mitmel viisil: algebralise avaldisena, oleku- ehk tõeväärtustabelina või Karnaugh´ kaardina, mis kujutab endast olekutabeli graafilist kujutust
-1 -2 -3 -4 Definitsioon 1. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse iga funktsiooni, mida on v~oimalik esitada p~ ohiliste elementaarfunktsioonide kaudu, kasutades l~oplik arv korda aritmeetilisi operatsioone (liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine) ja liitfunkt- siooni moodustamist. Definitsioon 2. Funktsiooni Pn (x) = a0 xn + a1 xn-1 + . . . + an-1 x + an (a0 = 0), kus a0 , a1 , . . . , an-1 , an on konstandid ja n N ning x on muutuja, nimetatakse n-astme pol¨ unoomiks ehk t¨ aisratsionaalseks funktsiooniks. Konstante a0 , a1 , . . . , an nimetatakse pol¨
x→a x→a x−a Niisiis, kui f on diferentseeruv kohal a, on f punkti a ümbruses lähendatav lineaarfunkt- siooniga T1 . Kõrgemat järku polünoomidega lähendamist punkti a ümbruses (kasutades sobivat järku diferentseeruvust) uuritakse alapeatükis „Taylori valem“ (vt. 4.3). Tuletise definitsioonist lähtudes leitakse lihtsamate elementaarfunktsioonide tuletised. Näiteks, 1) konstantse funktsiooni f : R → R, x 7→ c puhul f ′ (x) = 0 iga x ∈ R korral (kontrollige!)z, 2) (cx + d)′ = c iga x ∈ R korral (kontrollige!)z, 3) (xn )′ = nxn−1 iga x ∈ R korral (kontrollige!)z. Seevastu absoluutväärtusega määratud funktsioonil x 7→ |x| ei ole punktis a = 0 tuletist (veenduge!)z. Näide 4.1. Leiame eksponentfunktsiooni f : R → R, x 7→ ex tuletise
k 25 Joonis 1.5. De Morgani seaduse tõestus kontaktskeemide abil Boole'i ehk loogikafunktsioonide teisendamiseks eraldatakse nende hulgast nn elementaarfunktsioonid. Nendeks on esiteks kõik mõeldavad kahe muutuja funktsioonid, sealhulgas eespool vaadeldud inversioon, disjunktsioon ja konjunktsioon; kahe muutuja funktsioone on kokku 16 (tabel 1.5). Teiseks kuuluvad elementaarfunktsioonide hulka kõik rohkem kui kahe argumendiga funktsioonid, milles argumendid on omavahel seotud kas ainult disjunktsiooni- või ainult konjunktsioonitehtega. Tabel 1.5 a b f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15 "0" & a b ⊕ ∨ ~ b a & "1"
~ lopmata ~ suured suurused. Funktsiooni pidevus. Loigul pidevate funktsioonide omadused. Funktsiooni tuletis. Liitfunktsiooni tuletis. Po¨ ordfunktsiooni ¨ tuletis. Parameetri-liselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata ~ funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Pohiliste elementaarfunktsioonide tuletised. ~ Korgemat ¨ jarku tuletised. Leibnizi valem. Funktsiooni diferentsiaalid. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Lokaalne ekstreemum. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 3 / 25 Diferentsiaalarvutus II Keskva¨ artusteoreemid. ¨ L'Hospitali reegel. Taylori valem polunoomi
annaabi.ee 
