Matemaatiline analüüs I KT (lihtsam variant) (0)

Igas kontrolltöös on 4 küsimust, millest üks on valitud jämedas kirjas ( bold face) olevate teemade hulgast (see on kõige olulisem materjal), 2 küsimust on valitud ülejäänud teemadest ja viimase 4-nda küsimuse all on võimalik kirjutada omal valikul 1/4-1/2 lk teksti antud programmi ulatuses.
1. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusüuhik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvteljepunktidele seada vastavusse reaalarvud.
Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused.
Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a − ε, a + ε),
kus ε > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a − ε, a + ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljelon arvust a väiksem kui ε, st
|x − a| Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a − ε, a], kus ε > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a − ε, a] siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a v¨aiksem kui ε, st |x − a| Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku
[a, a + ε), kus ε > 0. Arv x kuulub arvu a parempoolsesse ümbrusesse [a, a + ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a väiksem kui ε, st
|x − a| Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M, ∞), kus
M > 0. Arv x kuulub lõpmatuse ümbrusesse (M, ∞) siis ja ainult siis, kui x > M. Suuruse miinus lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku
(−∞, −M), kus M > 0. Arv x kuulub miinus lõpmatuse ümbrusesse (−∞, −M)
siis ja ainult siis, kui x Tõkestatud hulga definitsioon.
Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a, b) nii, et A ⊂ (a, b).
2. Jääv ja muutuv suurus. Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks.
Suuruse muutumispiirkond . Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste
hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks.
Funktsiooni definitsioon. Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks
(ehk üheseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks.
Määramispiirkond ja väärtuste hulk.
Funktsiooni esitamine tabelina ja analüütiliselt.
Funktsiooni graafiku mõiste.
Graafiku omadused.
3. Paaris- ja paaritud funktsioonid.
Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = −f(x).
Perioodilised funktsioonid.
Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x).
Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks .
Kasvavad ja kahanevad funktsioonid.
Astmefunktsioon .
Astmefunktsioon on funktsioon kujul y = xa, kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a.
Eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid, nende määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud .
Trigonomeetrilised funktsioonid
y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x radiaanides antud argumendiga x
4. Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid .
Üksühene funktsioon – kujutis, mis seab igale argumendi x väärtusele oma määramispiirkonnast vastavusse ühe y väärtuse.
Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i.
Logaritmfunktsioon ja selle määramispiirkond, väärtuste hulk ning graafik.
Eksponentfunktsiooni y = ax pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon
Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste funktsioonide ahenditega.
Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud.
5. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon.
6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid.
Parameetriliselt antud joone mõiste.
7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste.
Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev.
Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon.
Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid.
Koonduvad ja hajuvad jadad.
Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks.
8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid.
Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim α = 0.
Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim |α| = ∞
9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu.
Funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste definitsioonid ja geomeetriline sisu. (Neid definitsioone küsin ainult lõpliku a ja b korral.)
10. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused).
Olgu α(x) ja β(x) lõpmatult kahanevad suurused protsessis x → a. See tähendab, et mõlemad need suurused lähenevad nullile, kui x → a.
Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused).
11. Pideva funktsiooni definitsioon. Pidevuse geomeetriline sisu.
Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus joone pidevust. Täpsemalt:
argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A = (a, f(a)) pidev joon (joonis 2.8).
12. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste.
Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks.
Katkevuspunktide liigitus.
13. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul.
14. Funktsiooni tuletise definitsioon. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted.
Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised .
15. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon.
Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena.
16. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni korral (tõestusi ei küsita).
Liitfunktsioon
17. Joone puutuja definitsioon.
Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x) (vt joonis 3.2, puutuja on seal tähistatud s-ga).
Joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi).
y − f(a) = p(x − a), kus p on s t˜ous.
Joone normaalsirge definitsioon.
Joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi).