Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? 22. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem, tõestust ei küsi). 23. Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon. Panna kirja lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus (põhjendust ei küsi). Panna kirja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused (põhjendusi ei küsi). Teoreemile 4.2 vastupidine väide ei kehti, igas kriitilises punktis ei tarvitse ekstreemumit olla. Funktsioonil võib olla selliseid kriitilisi punkte, milles ekstreemumit ei ole. 24. Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem ilma tõestuseta). Joone käänupunkti definitsioon. 25. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Esitada valemid
1) kui f (x) > 0 (s.t. f kasvab) punkti a vasakpoolses ümbruses ja f (x) < 0 (s.t. f kahaneb) punkti a parempoolses ümbruses, siis funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum. 2) kui f (x) < 0 (s.t. f kahaneb) punkti a vasakpoolses ümbruses ja f (x) > 0 (s.t. f kasvab) punkti a parempoolses ümbruses, siis funktsioonil f on punktis a lokaalne miinimum. 3) kui f (x) on punkti a vasakpoolses ja parempoolses ümbruses ühe ja sama märgiga, siis punktis a lokaalset ekstreemumit ei 10 ole. Ekstreemumi piisavad tingimused Maksimum Miinimum y = f (x) y y = f (x) y f´(x)>0 f´(x)<0 f´(x)<0 f´(x)>0 0 a- a a+ x 0 a- a a+ x
Statsionaarne punkt võib olla ainult määramispiirkonna sisepunktis. Öeldakse, et punkt P0 R on kriitiline punkt, kui ta on kas n 1) statsionaarne punkt; 2) vähemalt üks esimest järku osatuletis selles punktis ei eksisteeri või on ± lõpmatus. Teoreem: Funktsioonil f võib lokaalne ekstreemum olla vaid tema kriitilises punktis. Üheski kriitilises punktis ei pruugi leiduda lokaalset ekstreemumit. Lokaalseid ekstreemume saab leida alati definitsiooni abil kriitilisi punkte kontrollides. Teoreem: Olgu antud funktsioon f ( x, y , z ,...) , mis on kaks korda diferentseeruv statsionaarses punktis P0. Leiame determinandid: A1 = f xx ( P0 ) f xx ( P0 ) f xy ( P0 ) f xz ( P0 ) f xx ( P0 ) f xy ( P0 ) A3 = f yx ( P0 ) f yy ( P0 ) f yz ( P0 ) ...
Funktsiooni kriitilisteks punktideks (ehk esimest järku kriitilisteks punktideks) nimetatakse funktsiooni argumendi väärtusi, mille korral tuletis võrdub nulliga või lõplik tuletis puudub. Teoreem: Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Siinkohal tuleb rõhutada seda, et teoreemile vastupidine väide ei kehti. See tähendab, et igas kriitilises punktis ei tarvitse ekstreemumit olla ehk funktsioonil võib olla selliseid kriitilisi punkte, kus ekstreemumit ei ole. Teoreem: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. 1) Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2) Kui aga läbides punkti x 1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum.
ning siis
1) juhul kui on paaritu arv, on funktsioonil punktis range lokaalne ekstreemum, kusjuures
korral on punktis range lokaalne maksimum ja korral range lokaalne
miinimum,
2) juhul kui on paarisarv, ei ole funktsioonil punktis lokaalset ekstreemumit.
Funktsioonil on punktis lokaalne maksimum parajasti siis, kui leidub selline positiivne arv , et 0<|x-a|
kasvab(kahaneb) rangelt punktis x. Lause 4.(Fermat' teoreem). Kui funktsioonil f(x) on punktis x lokaalne ekstreemum ja funktsioon f(x) on diferentseeruv punktis x, siis funktsiooni tuletis selles punktis on null: Täestus. Olgu selles punktis x väitevastaselt f'(x)0. Seega f'(x)>0 või f'(x)<0 ja lausse 3 põhjal on funktsioon f(x) selles punktis x vastavalt kas rangelt kasvav või kahanev ning järelikult ei ole sel funktsioonil selles punktis x lokaalset ekstreemumit. See vastuolu on tingitud väitevastasest eeldusest. Järelikult f'(x)=0 1.16 Keskväärtusteoreemid: Lause 1 (Rolle'i teoreem). Kui funktsioon f(x) on pidev lõigul ja diferentseeruv vahemikus (a, b) ning f(a)=f(b), siis vahemikus (a, b) leidub selline punkt c, et , st . Lause 2 (Cauchy keskväärtusteoreem). Kui funktsioonid on pidevad lõigul ja diferentseeruvad vahemikus (a, b) kusjuures ning , see tähendab, et Lause 3 (Lagrange'i keskväärtusteoreem)
(a) >0 korral range lokaalne miinimum, f’(a)=C1,→C1=f’(a) 2) juhul kui n on paarisarv, ei ole funktsioonil f (x) punktis a lokaalset f’’’(a)=3*2*1C3, →3=[1/(1*2*3)]*f’’’(a) ekstreemumit. ............ Tõestus: Funktsioonil on punktis a lokaalne maksimum parajasti siis, kui leidub selline f(n)(a)=(n-1)(n-2)*…*3*2*1Cn→Cn=[1/(1*2*3*…*n)]*f (n)(a), positiivne arv δ, et 0 <|x -a|<δ∆y ≤0: Asendades C1,C2,…,Cn valemisse (1)
f(x) väärtused lõigu otspunktides on erinevad. Järelikult ei olnud oletus, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b, õige. Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima või vähima väärtuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv absoluutne ekstreemum on ühtlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste põhjal diferentseeruv punktis c. Järelikult, Fermat’ teoreemi põhjal saame f ′(c) = 0. Rolle’i teoreemi geomeetriline sisu. Teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile joon, mille otspunktid A(a, f(a)) ja B(b, f(b)) asuvad x-telje suhtes samal kõrgusel. Teoreem väidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c, mille korral funktsiooni
3 y = 0 parajasti siis kui x = 0 või x = 12. y (0) < 0 st punktis (0, 0) on lokaalne maksimum. y (12) = 0 st pole teada kas selles punktis on lokaalne ekstreemum. x 4) kasvamis ja kahanemispiirkonnad y 0 (x = 12 või x-8 0) (x > 8või x 0); ] - ; 0] ja ]8; [ - kasvamispiirkonnad. Viimane ütleb, et punktis x = 12 ei ole lokaalset ekstreemumit. 5) kumeruspiirkonnad y 0 x - 12 0(x = 8) x 12(x = 8) Järelikult piirkonnas ] - ; 8] ja ]8; 12[ on funktsioon kumer ja piirkonnas ]12; [ on funkt- sioon nõgus. 7) asümptoodid x2 (x - 9) lim = - x8- 2(x - 8)2 x2 (x - 9) lim = -
Tõestus. tuletis selles punktis on null. Olgu selles punktis x väitsevastaselt f´(x)≠0. Seega f´(x) >0 või f´(x)<0 ja funktsioon f(x) on selles punktis x vastavalt kas rangelt kasvav või kahanev ning järelikult ei olesel funktsioonil selles punkis x lokaalset ekstreemumit. See vastuolu on tingitud väitevastasest eeldusest. f´(x)=0. 17. Rolle´i teoreem. Kui funktsioonil f on pidev lõigul [a;b] ja diferentseeruv vahemikus (a;b) ning f(a)=f(b), siis vahemikus (a;b) leidub selline punkt c, et f´(c)=0. Tõestus. Esiteks selle väite lisatingimusel f(a)=f(b)=0
Larange teoreemi põhjal leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c, mille korral Selle võrduse paremal poolel olev tuletis kuna eeldasime positiivsust vahemikus (a,b). On ka vahe järelikult on ka millest järeldub soovitud võrratus . Teine väide tõestatakse analoogiliselt. 7. Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon. Panna kirja lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Tarvilik tingimus kui funktsioon f omab punktis x1 lokaalset ekstreemumit siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Funktsiooni kriitiline punkt Funktsiooni argumendi väärtused, mille korral tuletis võrdub nulliga või lõplik tuletis puudub. Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus (I). Olgu funktsiooni f kriitiline punkt. 1. Kui läbitakse punkti vasakult paremale ja funktsiooni märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2
vedu (m ja n on kauplused ja laod) 31. Defineerida kahe muutuja funktsiooni lokaalne maksimum ja miinimum. Funktsioon on lokaalne maksimum (miinimum) kui see asub kogupiirkonnast valitud lõigust suuremas (väiksemas) kohas. 32. Defineerida kahe muutuja funktsiooni globaalne maksimum ja miinimum antud piirkonnas D. 33. Millised on tarvilikud tingimused selleks, et kahe muutuja funktsioon z = f (x, y ) omaks lokaalset ekstreemumit punktis P (x * , y * ) ? Lokaalne ekstreemum on sellisel juhul, kui selles punktis on lokaalne maksimum või miinimum Punktis on osatuletis = 0 või puudub 34. Mis on võrdlev staatika? Ettevõtte kasum avaldub funktsiooni z = f (x, y ) abil, mis sisaldab positiivseid parameetreid a ja b ning kus x ja y on kahe erineva toote tootmismahud. On teada, et kasum saavutab maksimumi, kui x = 2a − b ja y = a + 3b . Milliste a ja b väärtuste korral omab see lahend mõtet? Leida
täidetud iga c (a, b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M m. Funktsioon võib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a, b] otspunktis või vahemikus (a, b). Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima või vähima väärtuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv absoluutne ekstreemum on ühtlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste põhjal diferentseeruv punktis c. Järelikult, Fermat' lemma põhjal saame f(c) = 0. Teoreem on tõestatud. Rolle'i teoreemil on lihtne geomeetriline sisu. See on järgmine. Nimelt teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile joon, mille otspunktid A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)) asuvad x-telje suhtes samal kõrgusel. Teoreem
Seevastu neljandas ekstreemumpunktis koordinaatidega (d, f(d)) ei ole graafik sile, seega f(d) puudub. Võtame piirväärtuse: Siinkohal tuleb rõhutada seda, et teoreemile vastupidine väide ei kehti. See tähendab, et igas kriitilises punktis ei Võrratused ja näitavad, et f(x1) 0 ja f(x1) 0. See on võimalik vaid siis, kui f(x1) = 0. Seega on lemma tõestatud tarvitse ekstreemumit olla ehk funktsioonil võib olla selliseid kriitilisi punkte, kus ekstreemumit ei ole. juhul, kui x1-s on Teoreem: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. lokaalne miinimum. Analoogiliselt saab käsitleda ka juhtu, kui x1-s on lokaalne miinimum
on 0 või puudub. Kahe muutuja f-nil z=(x; y) võib olla lok ekstr ainult kriitilises punktis. Z=(x; y) stats punktideks nim punkte kus selle f-ni osatuletised võrduvad nulliga {z/x=0; z/y=0 *Olgu Po(xo; yo) üks f-ni z=(x; y) stats punkt siis A=2z/x2Po; C=2z/y2Po; B=2z/xyPo. Teoreem: (1) Kui AC-B2>0 ja A<0 siis on 2 muutuja f-nil stats punktis Po lok max. (2) Kui AC- B2>0 ja A>0 siis on 2 muutuja f-nil stats punktis Po lok min. (3) Kui AC-B2<0 siis z=(x; y) punktis Po ekstreemumit e ole. (4) Kui A-C-B2=0 siis pole millegi põhjal järeldusi teha. Kahe muutuja f-ni suurim ja vähim väärtus antud piirk-s z=(x; y) on pidev piirkonnas D mis peab olema kinnine (sisaldab rajajoont) ja tõkestatud (ümber on tõmmatud lõpliku raadiusega ringjoon mille keskpunktiks on koord alguspunktid). Tõkestatud, kinnises piirk omab pidev 2 muutuja f-n alati suurimat ja vähimat väärtust ning omandab ka suurima ja vähima väärtuse kas kriitilises punktis või piirkonna rajajoonel.
tingimus f(a) = f(b) teoreemi sõnastuses!). Tekib vastuolu. Järelikult ei olnud oletus, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b, õige. Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima või vähima väärtuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv absoluutne ekstreemum on ühtlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste põhjal diferentseeruv punktis c. Järelikult, Fermat' lemma põhjal saame f(c) = 0. 11. Caucy teoreem (tõestusega). Teoreem. Kui funktsioonid f ja g on lõigul [a, b] pidevad, vahemikus (a, b) diferentseeruvad ja iga x (a, b) korral kehtib võrratus g(x) 0, siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et = Tõestus: Defineerime järgmise funktsiooni: F(x) = f(x) (g(x) - g(a)) . Arvutame: F(a) = f(a) · (g(a) - g(a)) = f(a),
2) juhul kui on paarisarv, ei ole funktsioonil punktis lokaalset ekstreemumit. kuju: Tõestus: Olgu järgnevalt argumendi x väärtus fikseeritud. Otsime Taylori valemi jääkliiget 𝑅𝑛 (x) kujul: Funktsioonil on punktis lokaalne maksimum parajasti siis, kui leidub selline positiivne 𝑝 𝑅𝑛 (x) = H(x − a) , 𝑘𝑢𝑠 𝐻 𝑜𝑛 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡
On hea, viib süsteemi tasakaalu. Nt. mudel, mis vastavalt juhusliku suuruse väärtustele lisab erinevate reeglite järgi anumasse palle. Negatiivse tagasimõju mudelis lisatakse vastavat värvi pall juurde, kui tema osakaal on väiksem juhusliku suuruse väärtusest: LISA_ROH = IF JS > ROH_OSA THEN 1 ELSE 0 15. Ekstreemumite leidimine Stella abil. Integraal, tuletis integraali kaudu- Ekstreemumeid saab leida mudeli ,,Tuletis integraali kaudu" abil: 1. antakse juhtimisse ette funktsioon, mille ekstreemumit soovitakse leida. 2. Põhimuutujaks on ,,integraal" väärtusega 0. 3. Määrata juhtimismuutuja ,,tuletis integraali kaudu" väärtuseks: (integraal-viivitus)/DT, kus viivitus=DELAY(integraal,DT). Määratud integraali leidmise mudel: Põhimuutujaks on integraal, juhtimises on funktsioon, mida soovitakse integreerida. Integraali rajad saab määrata Run Specsis ja numbriliseks meetodiks on R-K 2. Juhtimismuutuja T=0. T integraal f unktsioon
Kui M=m siis on funktsioon lõigul konstantne, mis tähendab, et tema tuletis Kui siis võib funktsioon oma ekstreemumi saavutada lõigu [a,b] otspunktis või vahemikus (a,b). Kui ekstreemumid saavutatakse otspunktides siis on x-i väärtus ühes otspunktis M ja teises m, mis läheb vastuollu tingimusega . Funktsioon peab saavutama vähemalt ühe oma ekstreemumitest vahemikus (a,b). Vahemikus (a,b) asuv absoluutne ekstreemum on ühtlasi ka lokaalne ekstreemum omab funktsioon lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on funktsioon diferentseeruv selles punktis, mistõttu fermat'lemma põhjal saamegi Geomeetrliline sisu Teoreemi eeldustel on funktsiooni sile joon, mille otspunktid asuvad x telje suhtes samal kõrgusel. Teoreem väidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt c, mille korral funktsiooni tuletis on null e graafiku puutuja on paralleelne x teljega. Caucy teoreem Kui funktsioonid f ja g on: · Lõigul [a,b] pidevad
(vt tingimus f(a) = f(b) teoreemi sõnastuses!). Tekib vastuolu. Järelikult ei olnud oletus, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b, õige. Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima või vähima väärtuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv absoluutne ekstreemum on ühtlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste põhjal diferentseeruv punktis c. Järelikult, Fermat' lemma põhjal saame f(c) = 0. Teoreem on tõestatud. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Rolle'i teoreemil on lihtne geomeetriline sisu. See on järgmine. Nimelt teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile joon, mille otspunktid A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)) asuvad x-telje suhtes samal kõrgusel. Teoreem
miinimum. Geomeetriliselt tähendab lause 6.1 väide seda, et kui kohal a diferentseeruval funktsioonil on selles punktis lokaalne ekstreemum, siis tema graafikule punktis (a, f (a)) võetud puutuja on paralleelne x-teljega Defineerida funktsiooni statsionaarse punkti mõiste: Punkti a ∈ D nimetatakse diferentseeruva funktsiooni f : D → R statsionaarseks punktiks, kui f′ (a) = 0 Tuua näide funktsioonist, mille statsionaarses punktis ei ole lokaalset ekstreemumit: Kuupfunktsioon f : R → R, f (x) := x3 on igas punktis x ∈ R diferentseeruv ning f′ (x) = 3x2. Seega on 0 funktsiooni ainuke statsionaarne punkt, kuid f (0) = 0 ei ole funktsiooni f lokaalne ekstreemum. Nimelt on tal punkti 0 igas ümbruses Uδ (0) = (−δ, δ), kus δ on suvaline positiivne arv, nii negatiivseid kui ka positiivseid väärtusi: f (x) = x3 < 0, kui x < 0 ja f (x) = x3 > 0, kui 0 < x. Niisiis ei ole kuupfunktsioonil ühtegi lokaalset ekstreemumit. 26
Piisavad tingimused kahe muutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi olemasoluks: Olgu M0 kahe muutuja funktsioon z=f(x,y) statsionaarne punkt. 1. Kui AB-C2>0 ja A<0, siis on kahe muutuja funktsoonil statsionaarses punktis M0 lokaalne maksimum. 2. Kui AB-C2>0 ja A>0, siis on kahe muutuja funktsoonil statsionaarses punktis M0 lokaalne miinimum. 3. Kui AB-C2<0, siis kahe muutuja funktsoonil statsionaarses punktis M0 lokaalset ekstreemumit ei ole. 4. Kui AB-C2=0, siis on kahe muutuja funktsoonil statsionaarses punktis M0 võib olla lokaalne ekstreemum, kuid võib ka mitte olla (sel juhul on vaja täiendavat uurimist). 16. Kahe muutuja funktsiooni globaalsed ekstreemumid. Funktsioonil f on punktis P0D globaalne maksimum, kui piirkonna D igas punktis P kehtib võrdus f(P)f(P0). Funktsioonil f on punktis P0D globaalne miinimum, kui piirkonna D igas punktis P kehtib võrdus f(P)f(P0).
Seejärel võtame teised osatuletised ning ka segatuletised ja arvutame nende väärtused statsionaarsetes punktides. Saadud numbrite põhjal koostame 2x2 determinandi , kus a11=z''xx ; a12=a21=z''xy ; a22=z''yy statsionaarses punktis. Kui D>0, siis ekstreemumpunkt leidub, ekstreemumpunkti liik selgub, kui vaatame z''xx märki , kui see on positiivne , siis on tegemist miinimumpunktiga , kui negatiivne , siis maksimumpunktiga. Kui D<0 , siis ekstreemumit ei leidu ja kui D=0 , siis meie meetodid meile vastust ei anna ja vaja on täiendavat uurimist. Lisatingimusega ekstreemumülesanne- Kui meil on antud funktsioon z=f(x;y) koos lisatingimusega g(x;y), siis on lahendamiseks kaks võimalust: 1. Üldjuhul koostame uue funktsiooni w=f(x;y)+g(x;y) ja esialgse funktsiooni ekstreemunid w x' = 0
Näiteks :z = x2- y2 punktis (0;0). Def: Punkte (x0;y0), kus funktsiooni esimest järku osatuletised võrduvad nulliga nimetatakse statsionaarseteks punktideks. Teoreem: Kui funktsioonil z = f(x, y) leiduvad esimest ja teist järku osatuletised statsionaarses punktis (x0;y0), siis on ekstreemumi olemasoluks selles punktis piisav tingimus z '' 2 z '' 2 - ( z '' ) 2 > 0 xy W(x0;y0) = x y . Kui W väärtus < 0, siis antud punktis pole ekstreemumit, kui W= 0, siis ekstreemumi olemasolu on lahtine (nii või teisiti) ja peame kasutama teisi meetodeid. z x'' 2 z 'y' 2 Kas ekstreemum on maksimum või miinimum selgitatakse või märgi järgi: z x'' 2 > 0 min z x'' 2 < 0 max ja (sama oli ka ühe muutuja korral). Lisatingimusega ekstreemumülesanne.
tarvilik lokaalse ekstreemumi olemasoluks, st mujal kui kriitilises punktis kahe muutuja funktsioonil lokaalset definistsioonist ei sõltu piirväärtus piirkonna D osapiirkondadeks jaotamise viisist. Seega võime esimeseks D, mille rajajoon Г on tükiti sile, siis kehtib Greene valem: ∮Г 𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 = ∬𝐷 (𝑌𝑥 − 𝑋𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦, kusjuures ekstreemumit ei ole. Aga see tingimus ei ole piisav ekstreemumi olemasoluks. Näites 2 vaadeldud funktsiooni 𝜕𝑧 𝜕𝑧 jaotusjooneks valida piirkondade D1 ja D2 ühise rajajoone. Jaotades piirkonda D edasi suvalisel viisil, tekivad rajajoont Г läbitakse positiivses suunas
funktsiooni esimest järku osatuletised on nullid või ei eksisteeri. Vastavaid punkte nimetatakse kriitilisteks või statsionaarseteks punktideks. Tõestus. Vaatleme kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) . Sellel funktsioonil saab olla ekstreemum punktis P vaid siis kui ka ühe muutuja funtksioonidel g ( x ) = f ( x, y 0 ) ja h( y ) = f ( x 0 , y ) on ekstreemumid punktides x0 ja y 0 vastavalt. Kuid g ( x ) saab omada punktis x0 ekstreemumit vaid siis kui g ( x 0 ) on null või ei eksisteeri. Analoogselt h( y 0 ) on null või f f ei eksisteeri. Kuid g ( x ) = ja h ( y ) = . x y Seega need osatuletised punktis P on nullid või ei eksisteeri. M.O.T.T. 15. Kahe muutuja funktsiooni ekstreemumi piisavad tingimused. Vaatleme funktsiooni z = f ( x, y ) Def. 15.1.
). Tekib vastuolu. J¨arelikult ei olnud oletus, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu ots- punktides a ja b, ~oige. Funktsioon f(x) peab v¨ahemalt u¨he oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima v~oi v¨ahima v¨a¨artuse) saavutama vahemikus (a,b) asuvas punktis. T¨ahistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a,b) asuv absoluutne ekstreemum on u¨htlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste p~ohjal diferentseeruv punktis c. J¨arelikult, Fermat' lemma p~ohjal saame f'(c) = 0. Teoreem on t~oestatud. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile joon, mille otspunktid A = (a,f(a)) ja B = (b,f(b)) asuvad x-telje suhtes samal k~orgusel. Teoreem v¨aidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c, mille korral funktsiooni tuletis on null, st funktsiooni
kasutatakse ekstreemumi olemasolu piisavaid tingimusi: kui funktsiooni y = f ( x ) tuletis üleminekul väärtusest x = x0 (liikudes vasakult paremale) muudab märki plussilt miinusele (või vastupidi), siis x0 on maksimumkoht (miinimumkoht), f ( x0 ) on funktsiooni maksimum (miinimum) ja punkt ( x0 ; f ( x0 ) ) funktsiooni graafiku maksimumpunkt (miinimumpunkt). Kui tuletis märki ei muuda, siis funktsioonil ei ole sellel kohal ekstreemumit. Funktsiooni ekstreemumkoha olemasolu ja liigi kindlakstegemisel võib kasutada ka teist tuletist f ( x ) . Kui x 0 on maksimumkoht, siis peavad olema täidetud tingimused: f ( x0 ) = 0 ja f ( x0 ) < 0 . Kui x 0 on miinimumkoht, siis peavad olema täidetud tingimused: f ( x0 ) = 0 ja f ( x0 ) > 0 . Kui osutub, et f ( x0 ) = 0 , siis peab ekstreemumkoha kindlakstegemiseks kasutama
Kui vaadelda ainult kõverate tipulähedasi osi, on graafik järgmine (joonis 2.4). Toodud diagramm on kahemõõtmeline. Reaalses kristallis sõltub aatomite vaheline kaugus suunast, seega E = f(p) on erinevates suundades erinev. On veel põhjusi, miks sõltuvus on keerulisema kujuga. Reaalses kristallis võivad esineda järgmised olukorrad: 1) juhtivustsooni ja valentstsooni ekstreemumid ei ole kohakuti; 2) sõltuvusel E = f(p) võib olla mitu ekstreemumit; 3) ühele ja samale impulsile võib vastata mitu energia väärtust. Illustratsiooniks on toodud Si tsoonidiagramm kahes eri suunas (joonis 2.5). Iseloomulk on, et tsoonide ekstreemumid ei ole kohakuti. Võrdluseks GaAs-s on need kohakuti. See asjaolu määrab ära mõned olulised pooljuhtmaterjali optilised omadused. Kui elektron liigub elektriväljas, siis ta muudab nii oma koordinaati kui ka energiat, minnes ühelt nivoolt teisele (joonis 2.13a)
a. Funktsiooni argumendi väärtusi, mille korral tuletis võrdub nulliga või lõplik tuletis puudub, nimetatakse selle funktsiooni kriitiliseks punktiks(esimest järku kriitiliseks punktiks) b. Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus: Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. c. Tarviliku tingimuse põhjendus: Funktsioonil võib olla sellised kriitilisi punkte, kus ekstreemumit ei ole. d. Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I d.i. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt d.i.1. Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. d.i.2. Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni
(vt tingimus f (a) = f (b) teoreemi s~onastuses!). Tekib vastuolu. J¨arelikult ei olnud oletus, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu ots- punktides a ja b, ~oige. Funktsioon f (x) peab v¨ahemalt u ¨he oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima v~oi v¨ahima v¨a¨artuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis. T¨ahistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv ab- soluutne ekstreemum on u ¨htlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste p~ohjal diferentseeruv punktis c. J¨arelikult, Fermat' lemma p~ohjal saame f (c) = 0. Teoreem on t~oestatud. Rolle'i teoreemil on lihtne geomeetriline sisu. See on j¨argmine. Nimelt teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f (x) graafik sile joon, mille otspunktid A = (a, f (a)) ja B = (b, f (b)) asuvad x-telje suhtes samal k~orgusel. Teoreem v¨ aidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a, b) v¨ahemalt u
(vt tingimus f (a) = f (b) teoreemi s~onastuses!). Tekib vastuolu. J¨arelikult ei olnud oletus, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu ots- punktides a ja b, ~oige. Funktsioon f (x) peab v¨ahemalt u ¨he oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima v~oi v¨ahima v¨a¨artuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis. T¨ahistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv ab- soluutne ekstreemum on u ¨htlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste p~ohjal diferentseeruv punktis c. J¨arelikult, Fermat' lemma p~ohjal saame f (c) = 0. Teoreem on t~oestatud. Rolle'i teoreemil on lihtne geomeetriline sisu. See on j¨argmine. Nimelt teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f (x) graafik sile joon, mille otspunktid A = (a, f (a)) ja B = (b, f (b)) asuvad x-telje suhtes samal k~orgusel. Teoreem v¨aidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a, b) v¨ahemalt u
kasutatakse ekstreemumi olemasolu piisavaid tingimusi: kui funktsiooni y f x tuletis üleminekul väärtusest x x0 (liikudes vasakult paremale) muudab märki plussilt miinusele (või vastupidi), siis x0 on maksimumkoht (miinimumkoht), f x0 on funktsiooni maksimum (miinimum) ja punkt x0 ; f x0 funktsiooni graafiku maksimumpunkt (miinimumpunkt). Kui tuletis märki ei muuda, siis funktsioonil ei ole sellel kohal ekstreemumit. Funktsiooni ekstreemumkoha olemasolu ja liigi kindlakstegemisel võib kasutada ka teist tuletist f x . Kui x 0 on maksimumkoht, siis peavad olema täidetud tingimused: f x0 0 ja f x0 0 . Kui x 0 on miinimumkoht, siis peavad olema täidetud tingimused: f x0 0 ja f x0 0 .
nimetatakse funktsiooni f kriitiliseks punktiks. Olgu funktsioon f pidev kriitilises punktis a. Siis kehtivad väited 10 Kui punkti a läbimisel (positiivses suunas) f (x) märk muutub "+" "-", siis on funktsioonil f punktis a lokaalne maksimum. 20 Kui punkti a läbimisel (positiivses suunas) f (x) märk muutub "-" "+", siis on funktsioonil f punktis s a lokaalne miinimum. 30 Kui punkti a läbimisel f (x) märk ei muutu, siis punktis a ekstreemumit ei ole. 6. Joone kumerus, nõgusus, käänupunktid Jooneks y = f (x) nimetame funktsiooni f graafikut. Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a,b). Siis igas punktis P =(x, f(x)) on joonel y = f (x) olemas puutuja. Definitsioon 11. Joont y = f (x) nimetatakse kumeraks (nõgusaks) vahemikus (a,b), kui selle joone puutuja on igas punktis P =(x, f(x)), x(a,b), ülalpool (allpool) joont. Teoreem.19 Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a,b).
lim f ( y ) = f (a ) lim f ( x ) = f (x ) f (a ) f ( x ) x (a, a + ) y a - y a - Kuna f ( x ) f (a ) x (a - , a ) (a, a + ) , siis f (a ) = max f ( x ) x (a - , a ) (a, a + ) Teoreem: Olgu n korda diferentseeruval funktsioonil järgmine omadus f (a ) = f (a ) = ... = f (n -1) (a ) = 0 ja f (n ) (a ) 0 . Kui n on paaritu (s.t. n = 2 p + 1 ), siis pole funktsioonil f kohal a lokaalset ekstreemumit. Kui n on paarisarv (s.t. n = 2 p ), siis juhul kui f (n ) (a ) < 0 on funktsioonil f kohal a lokaalne maksimum. Juhul kui f (n ) (a ) > 0 on funktsioonil f kohal a lokaalne miinimum. Tõestus: Tõestus baseerub Taylori valemil. Taylori valem funktsiooni f esimese tuletise jaoks: x 2 x n - 2 x n -1 f (a + x ) = f (a ) + f (a )x + f (a ) + ... + f (n -1) (a ) + f (n ) (a ) + (x )
Siis kehtivad väited 10 Kui punkti a läbimisel (positiivses suunas) f (x) märk muutub "+" "-", siis on funktsioonil f punktis a lokaalne maksimum. (maksimumpunkti läbides läheb funktsiooni kasvamine üle kahanemiseks). 20 Kui punkti a läbimisel (positiivses suunas) f (x) märk muutub "-" "+", siis on funktsioonil f punktis s a lokaalne miinimum. (miinimumpunkti läbides läheb funktsiooni kahamine üle kasvamiseks). 30 Kui punkti a läbimisel f (x) märk ei muutu, siis punktis a ekstreemumit ei ole. 20. Joone kumerus ja nõgusus2, käänupunktid . Joone asümptoodid. Kumerus ja nõgusus: Joont y = f (x) nimetatakse kumeraks (nõgusaks) vahemikus (a,b), kui selle joone puutuja on igas punktis P =(x, f(x)), x(a,b), ülalpool (allpool) joont. Teoreem . Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a,b). Kui f (x) < 0 ( f (x) > 0) iga x(a,b) korral, siis on antud joon kumer (nõgus) selles vahemikus. Tõestus. Olgu f (x) < 0 iga x ( a, b) korral
tingimus f(a) = f(b) teoreemi sõnastuses!). Tekib vastuolu. Järelikult ei olnud oletus, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu ots- punktides a ja b, ˜oige. Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima või vähima väärtuse) saavutama vahemikus (a,b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a,b) asuv absoluutne ekstreemum on ühtlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste põhjal diferentseeruv punktis c. Järelikult, Fermat’ lemma põhjal saame f’(c) = 0. Teoreem on tõestatud. Rolle’i teoreemi geomeetriline sisu. Teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile joon, mille otspunktid A = (a,f(a)) ja B = (b,f(b)) asuvad x-telje suhtes samal kõrgusel. Teoreem väidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt c, mille korral funktsiooni tuletis on null, st funktsiooni
Funktsiooni ekstreemumi piisavad tingimused: * Kui f´ (x)> 0 (f - kasvab) punkti a vasakpoolses ümbruses ja f´ (x)< 0 (f - kaheneb) punkti a parempoolses ümbruses {lokaalne max} 2 * f´(x)<0 (f-kaheneb) punkti a vasakpoolses ümbruses ja f´ (x)>0 (f-kasvab) punkti a parempoolses ümbruses {lokaalne miinimum} 3 * kui f´(x) on punkti a vasakpoolses ja parempoolses ümbruses ühe ja sama märgiga, siis punktis a lokaalset ekstreemumit ei ole. 0 33. Funktsiooni graafiku asümptoot, asümptootide liigid, teha selgitav joonis. Kui funktsiooni y=f(x) argumendi kaugenemisel lõpmatusse või lähenemisel mingile piirvärtusele selle funktsiooni graafikuks oleva joone kaugus mingist sirgest läheneb nullile,siis seda sirget nimetatakse selle funktsiooni grafiku asümptoodiks. Asümptooti võrrandiga x=a nimetatakse püst- ehk vertikaalasümptoodiks.
x0, y0 0 ja 2f x2 x0, y0 0, 2f 2) funktsiooni f miinimum, kui A 0 ja x2 x0, y0 0, 3) funktsioonil f ei ole ekstreemumit, kui A 0, 4) funktsioonil f võib olla ekstreemum, kui A 0. z x 2x 1 0 Näites 7 z , kust kriitiliseks punktiks tuleb punkt 1, 2 . y 2y 2 0 2z 2z 2z x2
Lause (Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused) Kui leidub selline > 0, nii et Kui funktsiooni f (x) korral f (a) = . . . = f (n) (a) = 0 ja f (n+1) (a) = 0 ning f (n+1) (x) C(a), siis 1) juhul kui n on paaritu arv, on funktsioonil f (x) punktis a range lokaalne ekstreemum, kusjuures f (n+1) (a) < 0 korral on punktis a range lokaalne maksimum ja f (n+1) (a) > 0 korral range lokaalne miinimum, 2) juhul kui n on paarisarv, ei ole funktsioonil f (x) punktis a lokaalset ekstreemumit. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 8 / 16 Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused ~ Toestus Funktsioonil on punktis a lokaalne maksimum parajasti siis, kui leidub selline positiivne arv , et 0 < |x - a| < y 0. Paneme kirja Taylori valemi
statsionaarseks punktiks. Definitsioon 4. Funktsiooni f (x) kriitiliseks punktiks nimetatakse selle funktsiooni statsionaarset punkti, v~oi punkti, kus tuletis puudub. Kasutades viimast definitsiooni, saame ekstreemumi olemasoluks tarvili- ku tingimuse u ¨mber s~onastada j¨argmiselt. Kui funktsioonil f (x) on punktis x0 lokaalne ekstreemum, siis x0 on funkt- siooni f (x) kriitiline punkt, st mujal kui kriitilises punktis funktsioonil lo- kaalset ekstreemumit olla ei saa. See tingimus on ekstreemumi olemasoluks tarvilik, kuid mitte piisav. Funktsiooni y = x3 tuletis y = 3x2 v~ordub nulliga, kui x = 0, st x = 0 on funktisooni y = x3 kriitiline punkt, kuid sellel funktsioonil punktis x = 0 ekstreemumit ei ole. Teoreem 2. Olgu x0 funktsiooni f (x) kriitiline punkt ja olgu funktsioon diferentseeruv x0 u ¨mbruses (x0 - ; x0 + ). Siis kehtivad v¨aited. 1) Kui x0 vasakpoolses u¨mbruses (x0 -; x0 ) on f (x) > 0 ja parempoolses u
Graafiline mõtteviis aitab ka aru saada sellest, miks tuletise nullkohad on nõnda olulised. Nimelt näeme, et tuletis on võrdne nulliga täpselt kohtades, kus puutuja- sirge on paralleelne -teljega – ehk teisisõnu kohtades, kus funktsioonil on kogu tuletis oma ümbrusest suurem või väiksem väärtus. Selliseid kohti nimetatakse ekstree- mumiteks. Ekstreemumit, mis on mingil väiksel alal kõige suurema väärtusega, nimetatakse maksimumpunktiks ning madalamat punkti miinimumpunktiks. Ekstreemumite uurimine on päris oluline, kuna tänapäeval on ikka kombeks kõike kas maksimeerida või minimeerida: majandusteadlased tahavad maksimeerida kasumit, vormeli-insenerid tippkiiruseid ja õpilased uneaega.
annaabi.ee 
