Matemaatilise modelleerimise alused kordamisküsimused (0)

1. Mudel- on meie arusaam sellest, kuidas miski toimub (kuidas mingid protsessid toimuvad). Mudelid võimaldavad mõista reaalelu probleeme imiteerides tegelikke protsesse lihtsustatult.
Matemaatiline mudel on mudel, mis on koostatud kasutades matemaatilisi kontseptsioone (nagu funktsioonid, võrrandid, võrratused jm)
Modelleerimine - on teadus mudelite koostamisest ja analüüsist.
Milliseid eeliseid annab modelleerimine?Millega võrdleksin modelleerimist.
2. Subjektiivsuse kõrvaldamine (formaliseerimine) modelleerimisprotsessis, näide-
Staatiline mudel: Olgu meil vaja koostada mudel näiteks muruniiduki ostmiseks. Sõelale on jäänud 3 erinevate heade külgedega niidukit (odav niiduk , garantiiga niiduk, võimas rohukoguriga niiduk. Esiteks valime kriteeriumid, mida pidada antud otsuse korral oluliseks (hind, funktionaalsus, garantiitingimused, võimsus jne.) Koostame nende tähtsuse suhtes üksteisesse risttabeli Saaty skaala järgi (1-võrdselt tähtsad, 3-natuke parem, 5-oluliselt parem jne). Ühest suurem arv näitab, et rida on tähtsam kui veerg ja vastupidi. Nüüd leiame saadud tabeli iga rea geomeetrilise keskmise ja normeerime need ( jagades kogusummaga). Oleme leidnud kriteeriumide olulisuse. Järgmiseks olgu meil valida 3 toote vahel, koostame iga kriteeriumi kohta toodete hinnangute risttabelid, kus leiame taas geom . Keskmised ja normeerime need. Lõpuks koostame valikute kohta tabeli kuhu koondame lõpphinded, liidame need ja saame koguhinde, nt. Toote A hinnang=hinna olulisus*toote A hinnaväärtus+funkts. olulisus*toote A funktsionaalsusväärtus+... Parim valik sai kõige kõrgema hinde.
3. STELLA muutujate tüübid+kirjeldus (Mudeli elementide põhitüübid)-
1. põhimuutujad (energia, populatsioon , hind, temp...); 2. juhtimised (elemendid, mis kirjeldavad põhimuutujate muutumist. Kui mudel töötab ajas, siis nad muudavad põhimuutujaid iga ajasammu järel); 3. juhtimismuutujad; 4. Viitmuutujad
mudeli komponendi?

4. Mudeli koostamise põhietapid- 1. variant: 1. fikseerime protsessi võtmeelemendid ja vaatlustulemused; 2. määrame põhimuutujad abstraktse versiooni koostamiseks ; 3. määrame seosed põhimuutujate vahel; 4. käivitame mudeli; 5. vaatleme tulemusi
2. variant: 1. Reaalsed sündmused 2. Reaalsete sündmuste abstraktne versioon 3. Mudel 4. Tulemused, kokkuvõtted, ennustused
5. Dünaamiline mudel- protsessi mudel, kirjeldab muutusi reaalses või simuleeritud ajas, nt. Migratsioon , populatsioon, reostus jne. Eesmärgiks on välja tuua mitmeid erinevaid tulevikke dünaamilistele protsessidele.
Staatiline mudel- mingit nähtust antud ajahetkel kirjeldav mudel, nt. Busside sõiduplaan, Eesti kaart. Läheb vaja antud olukorras mingi otsuse vastuvõtmiseks (nt. Millist autot osta).
6. Pidevate ja diskreetsete protsesside modelleerimine- Pidevaid protsesse modelleeritakse programmiga Stella, diskreetseid protsesse programmiga Arena . Alati ei saa diskreetset protsessi pidevaga lähendada, ei ole ajasamm ette määratud.
NÄITED

7. Modelleerimise printsiibid
1.Probleemi püstitamine, mudeli eesmärgid.Suurem süsteem tuleb jagada alammudeliteks.
2.Määrame põhimuutujad, märgi ühikud; hoida lihtsust (põhimuutujaid mõõdukalt)
3.Vali juhtimismuutujad; hoia lihtsust(arvesta ainult peamisi arenguid)
4.Määra juhtimismuutujate parameetrid (ühikutega)
5.Hinda mudelit võimalike vastuolude mõttes. Vajadusel kasuta lisakitsendusi.
6.Määra mudeli tööaeg ja ajasamm.
7.Käivita mudel, testi ajasammu- muuda viimast senikaua 2 korda väiksemaks kuni tulemused ei erine oluliselt.
8.Varieeri parameetreid ekstreemsete väärtusteni, täiusta mudelit.
9.Võimalusel võrdle tulemust eksperimendiga.
10.Muuda parameetreid ja ka mudelit, et saada suuremat kompleksust ja vähendada erinevusi eksperimantaalsete tulemustega. Püstita uus küsimuste/probleemide hulk, korrata 1.-10.
8. Stiimuli vastavuse mudel (1. tüüp, näide)- ehk mõjutuse vastavuse mudel. Näiteks populatsiooni juurdekasvu arvutamine sõltumatu põhimuutujatest.
Iseendale viitav mudel (2. tüüp, näide)- Näiteks populatsiooni tase mõjutab oma kasvu määra.
9. Eesmärki otsiv mudel (3. tüüp, näide)-Näiteks on lõpp-populatsioon üheselt määratud eesmärk, mida otsime .
10. Eesmärki seadev mudel (4. tüüp, näide)-Näiteks püütakse määrata populatsiooni tihedust välismõjude korral. Kõige keerukam mudeli tüüp.
11. Dünaamilise mudeli järk-järguline arendamine (näide: populatsiooni mudel)-
Kirjeldame esialgu protsessi ja mudeli osi, mis protsessi mõjutavad. Algul arvestame ainult põhilisi juhtivaid jõude, kui need on modelleeritud, siis järkjärgult detaile.
Vaatleme nt. agraarühiskonda (10 isendit) ühikpindalaga saarel. Toit kontrollib populatsioonitaset(st. kui toit saab otsa, siis isendid surevad). Arukamad liikmed mõistavad, et toiduvarud lõppevad ja eeldame, et ühiskond hakkab seemneid külvama. Hiljem leitakse, et tööriistadega saab kergemini toota ja tekivad tööstused. Toimub industrialiseerimine.
Majanduse tsiviliseerumise modelleerimine: 1. Võtame kasutusele põhimuutuja „populatsioon“, mida kontrollib sissevool „sünnid“. „Sünnimäär“- uute inimeste arv olemasolevate kohta, sõltub populatsiooni tihedusest. Olgu nt. maksimaalseks elanike tiheduseks 200 ja ruumiprobleemideta sündivus 0,1. Kuna saare suurus on üks ühik, siis tihedus ja populatsioon on samad, aga erinevad ühikud. Ajasammuks määrame 1 ja simulatsiooni pikkuseks 100. Koostame mudeli ja paneme tööle. 2. Varudel põhineva toidu kasutamise mõju populatsiooni kasvule. Lisame eelmisele mudelile väljavoolu „ surmad “, mida kontrollib „ suremus “. Viimast reguleerime söödava toidu hulgaga inimese kohta. Toiduvarud on etteantud ja vähenevad monotoonselt. 3. Põllumajanduse lisamine mudelisse. Eeldame, et pool populatsiooni suudab toitu toota, põllumaa on fikseeritud. Majandusteadlased leidsid seose „toidu toodang“=A*tootjad^b, parameetrid A=5 ja b=0.3, tootjad=1/2*populatsioon. Mudel muutub järjest suuremaks , keerukamaks ja vähem loetavamaks (selle parandamiseks kasutame „vaime“) 4. Tööstuse lisamine mudelisse. Täiendame oma tootmisfunktsiooni lisades tööriistade tootmise kui sisendi põllumajanduslikku tootmisse. Põllumajanduse ja tööriistade tootmise vahel tuleb leida optimaalne vahekord (mis on defineeritud kui maksimaalne toidu tootmine näo kohta). Enne mudeli käivitamist tuleks prognoosida toidu ja populatsiooni kõverad. Tuleb leida tööjõu jaotus tööstuse ja põllumajanduse vahel nii, et populatsioon ei väheneks kunagi ja saavutaks lõpptaseme.
Mudel on keeruline ja on mitmeid tagasimõjuprotsesse, mille tugevus sõltub valitud parameetrite väärtustest. Seega on põhjust uurida mudeli tundlikkust muutes parameetrite väärtusi.
12. Juhuslikkus modelleerimisel. Põhimõisted, Stella funktsioonid- Kui ei saa mingit protsessi täpselt määrata siis jääb sisse teatav juhuslikkus- mingi juhuslik element võib määrata süsteemi käitumise suuna.
Mõisted: Juhuslik suurus- suurus, mis katse tulemusel omandab ühe oma võimalikest väärtustest (varem mitte teadaolev)
Diskreetne juhuslik suurus- kui juhusliku suuruse väärtuste hulk on lõplik või loenduv.
Ühtlane jaotus (UNIF(min,max))- pideva juhusliku suuruse jaotus, mille tihedusfunktsioon on konstantne . Praktikas esineb harva, näiteks bussi ooteaeg, ooteaeg valgusfoori taga.
Normaaljaotus (NORMAL)- pideva juhusliku suuruse jaotus, mida kirjeldab kaks parameetrit: keskväärtus ja standardhälve.
Kolmnurkjaotus (TRIA(min, mood, max)- PJS jaotus, mille korral tihedusfunktsiooni graafik on kolmnurkse kujuga. Jaotust kirjeldavaid parameetreid on kolm- murdjoone nurkpunktide väärtused.
RANDOM (0,1)- juhuslik arv 0 ja 1 vahel.
NÄIDE:
13. Mündi viskamise mudel- Juhusliku protsessi mudel. Viskame nt. 2000 korda münti. Modelleerime selle arvutil , kasutades juhuslike arvude generaatorit- igal viskel genereerime juhusliku arvu vahemikus (0,1), kui see on 0.5 kulliks. Põhimuutuja loendab , mitu korda esineb kiri rohkem, kui kull . Ajasamm DT=1, simulatsiooni aeg 2000.
14. Positiivne tagasimõju, mudel- süsteemi ühe komponendi muutus kutsub esile süsteemi teise (teiste) komponendi muutuse, mis omakorda võimendab esialgset komponendi muutust. On halb, see viib süsteemi tasakaalust välja. Nt. mudel, mis vastavalt juhusliku suuruse väärtustele lisab erinevate reeglite järgi anumasse palle. Positiivse tagasimõju mudelis lisatakse vastavat värvi pall juurde, kui tema osakaal on suurem juhusliku suuruse väärtusest.
Negatiivne tagasimõju, mudel- süsteemi ühe komponendi muutus kutsub esile süsteemi teise(teiste) komponendi muutuse, mis omakorda neutraliseerib esimese komponendi muutuse. On hea, viib süsteemi tasakaalu. Nt. mudel, mis vastavalt juhusliku suuruse väärtustele lisab erinevate reeglite järgi anumasse palle. Negatiivse tagasimõju mudelis lisatakse vastavat värvi pall juurde, kui tema osakaal on väiksem juhusliku suuruse väärtusest:
LISA_ROH = IF JS > ROH_OSA THEN 1 ELSE 0
15. Ekstreemumite leidimine Stella abil. Integraal , tuletis integraali kaudu- Ekstreemumeid saab leida mudeli „Tuletis integraali kaudu“ abil: 1. antakse juhtimisse ette funktsioon, mille ekstreemumit soovitakse leida. 2. Põhimuutujaks on „integraal“ väärtusega 0. 3. Määrata juhtimismuutuja „tuletis integraali kaudu“ väärtuseks: (integraal- viivitus )/DT, kus viivitus=DELAY(integraal,DT).
Määratud integraali leidmise mudel: Põhimuutujaks on integraal, juhtimises on funktsioon, mida soovitakse integreerida. Integraali rajad saab määrata Run Specsis ja numbriliseks meetodiks on R-K 2. Juhtimismuutuja T=0.
NÄITED:
16. Putuka elu kaheastmeline mudel- Jagame putuka eluae kahte staadiumi: muna ja täiskasvanu. Mudelis ongi siis põhimuutujaid 2: muna ja täiskasvanu. Kusjuures arvestame, et alguses on populatsioonis mune 0 ja täiskasvanuid 10.
Põhimuutujat „muna“ kontrollib sissevool „ munemine “, mis sõltub täiskasvanud putukate arvust: munemine=munevus*täiskasvanud, kus parameeter „munevus“=0.5 (st. pooled täiskasvanud munevad ). Väljavooludeks on „ munade hukkumine“ ja „ koorumine “: kus „munade hukkumine“=b1*mune (b1 on leitud parameeter, ühik 1 muna kohta päevas) ja „koorumine“=u1*mune (u1 on parameeter, 1/haudeperiood).
Põhimuutujat „täiskasvanud“ kontrollib sissevool „koorumine“. Väljavooluks on „ suremine “, mis on määratud parameetriga b2, mida omakorda mõjutab ekperimendist teada ellujäämise määr ühe päeva kohta (b2=Täiskasvanute suremise määr, 1/päev. päev=T=1=eksperimendi aeg).
Määratud on veel „munade ellujäävus“=0.7 ja „haudeperiood“=5 (kui kaua kestab haudumine , päevades), mis mõjutavad parameetreid u1 ja b1.
17. Ühe populatsiooni näide: Põhimuutujaks on populatsioon väärtusega 10, mida kontrollib sissevool „sünnid“=sündivus*populatsioon*(mahutavus-populatsioon), kus on eksperimendist leitud sündivuse määraks 0.0006 ja populatsiooni mahutavuseks määrame nt. 500.
Kahe populatsiooni (rööv-ja saakloom) mudel- Põhimuutujateks on röövlooma ja saaklooma populatsioonid. Olgu saaklooma surma ainsaks põhjuseks ärasöömine röövlooma poolt. Määrame kiskjate arvuks 900 ja saakloomade arvuks 9000. Kiskjate populatsiooni kontrollivaks sissevooluks on „kiskjate sünnid“ (loomi ajaühikus)=kiskjate sündivus*( kiskjad -kiskjate surmad), kus sündivuse määraks on 0.2. Väljavooluks on „kiskjate surmad“=0.1*kiskjad+0.9*(kiskjad-tarbimine/tarbimismäär) (normaalne suremus+alatarbinud kiskjad). „Tarbimismääraks“ on 1 (st. 1 saakloom ajaühikus kiskjate kohta) ja „Tarbimine“= min(saakloomad, tarbimismäär*kiskjad). Saakloomade populatsiooni kontrollib samuti sissevool „sünnid“, mida mõjutavad saakloomade arv, suremus, sündivus ja maksimaalne saakloomade arv, mis populatsioonis on antud mudelis lubatud:sündivuse määraks on 2, maksimaalne saakloomade arv=90000. Väljavooluks on „tarbimine“ (st. saakloomad surevad vaid siis kui röövloomad nad ära söövad).
18. Kaose mõiste, kirjeldus, võrdlus juhuslikkusega- Kaos - determineeritud korrapäratus, määramatuse (korralageduse) sünonüüm.
Bifurkatsioon
Näide
19. Verhulsti mudel- Modelleerib populatsiooni kasvu suletud piirkonnas) Lihtsaim mudel populatsiooni arvukuse kirjeldamiseks (kaos ökoloogias): xn+1=r*xn(1-xn) – seda valemit nim. ka logistiliseks võrrandiks. Siin xn on arvukus hetkel T ja xn+1 arvukus hetkel T+DT. Kasutatakse taandatud populatsiooni, jagatakse maksimaalse populatsiooniga, ehk x on nn dimensioonita populatsioon lõigus 0st 1-ni.
Meetodiks Euleri meetod, samm DT=1. Simulatsiooni pikkus algul 50 või 100. Andes ette x0 ja r saame arvutada populatsiooni igal järgneval ajahetkel. Kui r on küllalt väike sureb populatsioon välja. Kui r on pisut suurem, aga 3, siis toimub koondumine nullist erineva populatsiooni arvu juures. Kui aga 3 > 3.57 korral muutub protsess kaootiliseks. Tekib kaos.
POP=0.1
Muut=(r-1)*POP-r*POP^2
20.Feigenbaumi arvud- Kaks konstanti: ( koordinaat ) δ = 4.66920160910299067185320382... ja ( amplituut ) α = 2.502907875095892822283902873218...., mis kirjeldavad suhteid bifurkatsiooni diagrammil Need määravad, millisel r väärtusel tekib uus bifurkatsioon. Feigenbaumi arvud on universaalsed- nad kehtivad iga süsteemi puhul, kui ainult on tegemist perioodi kahendumisega.
Kaose võrdlus juhuslikkusega: Kui ei saa mingit protsessi täpselt määrata siis jääb sisse teatav juhuslikkus- mingi juhuslik element võib määrata süsteemi käitumise suuna. Kaoseni võime aga jõuda ka siis, kui mudel on kindlalt determineeritud, kõik tegurid ja parameetrid on määratud, ei sisalda juhuslikke funktsioone aga siiski tulemusena võib mudel kirjeldada näiliselt ebareeglipärase käitumisega protsessi.
Näide:
21. Paketi Stella poolt kasutatavad numbrilised meetodid, kirjeldus, näide- Euleri, Runge- Kutta 2. ja 4- järku meetodid.
Euleri meetod tähendab sisuliselt seda, et varem leitud väärtusele yi liidetakse otsa sammuga h korrutatud y tuletise väärtus antud punktis.
Algoritm : yi+1 = yi + h f (xi; yi). Valemi viga O(h2).
Näide: Aine lagunemise mudel
Runge-Kutta 2. järku meetod
Kaks varianti :
I) y1=y0+hf(x0 +;y0+);
II) k1=hf(x0;y0), k2=hf(x0+h;y0+k1) ja
y1=y0+
(k1+k2);
Mõlemil juhul valemite viga O(h3). Ka see meetod on graafiliselt selgitatav.
Näide Määratud integraali mudel
Runge-Kutta 4. järku meetod
k1=hf(x0;y0); k2=hf(x0+ ;y0+); k3=hf(x0+ ;y0+); k4=hf(x0+h;y0+k3);
y1=y0+( k1+2k2+2k3+k4).
Valemi viga O(h5). Viimast meetodit kasutatakse praktikas kõige enam.
Näide Keha jahtumise mudel
22. Keha viskamise mudel- Keha liikumine vertikaalsihis. Põhimuutujateks on „Kõrgus“ ja „Vertikaalkiirus“. „Kõrgusega“ määrame algkõrguse, kust keha visatakse ja „kiirusega“ määratakse keha liikumise algkiirus. Kõrguse juhtimises on vertikaalkiirus(Vy) ja kiiruse juhtimises on kiirendus=-9.8. Juhtimismuutujaks on kontoll, kas keha on maas? st. et kui keha on maha kukkunud, siis lõpeb mudeli töö (et keha ei saaks mudeli järgi maa alla kukkuda). Kasutada R-K 2. meetodit.
Keha liikumine elastse vedru mõjul- Vaadeldakse keha liikumist horisontaalsihis, hõõrdejõudu arvestamata.Võtame liikumisteljeks x-telje ja keha tasakaaluasendiks koordinaatide alguspunkti. Telje positiivne suund näiteks vedru väljavenitamise suund. Nüüd avaldub kehale vedu poolt mõjuv jõud F=-K*X, kus K on vedru jäikus ja X keha asukoha koordinaat. Miinusmärk tähendab, et kui keha koordinaat on positiivne (ehk vedru venitatud) siis jõud on suunatud X-telje negatiivses suunas ja vastupidi. (R-K 2. meetod)
Graafik:
23. Programm Mathcad võrdluses programmiga Stella- Mathcadis modelleeritakse kasutades Given -Solve blokki. Alguses defineeritakse parameetrite väärtused; siis Given blokis antakse väärtused võrranditele (DV) ja nende väärtustele mingites punktides. Lahendatakse (odesolve). Mathcad ei võimalda testida tundlikkust, simuleerida.
Stellas modelleerides lisatakse kõigepealt muutujad ja määratakse nende vahelised seosed. Siis antakse muutujatele väärtused. Stella teeb kõik arvutused Sinu eest, aga Mathcadis tuleb teha neid „käsitsi“, Stella võimaldab testida tundlikkust, hõlpsasti muuta parameetrite väärtusi ja simuleerib.
24.Diskreetne modelleerimine Arena abil. Millised võimalused,näide.
ntks elektroonikaseadme
25.Elektroonikaseadme tootmise mudel Arenas.
26.Tuletise, diferentsiaali ja kujutise mõiste, seos Stella mudelitega, näide.
27.Diferentsiaalvõrrandi mõiste, DV liigid, seos Stella mudelitega, näited(lahendusteta).
28.Diferentsiaalvõrrandi mõiste, seos pideva ülesandega, kus kasutatakse.