Detailide tugevus tõmbel ja survel (0)

12
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    2. DETAILIDE TUGEVUS TÕMBEL JA SURVEL
2. DETAILIDE TUGEVUS TÕMBEL JA SURVEL
2.1. Detaili arvutusskeem tõmbel ja survel
Iga tugevusanalüüs algab
Arvutusskeem ei arvesta  tühiseks loetud mõjureid,
arvutusskeemi koostamisega
s.t. näiteks antud juhul (Joon. 2.1): aluse vibratsioon,
tuule mõju, varda kõikumise dünaamika, hõõrdumine
sharniirides, kinnitusavade asend ja mõõtmed. jne.
Arvutusskeemi koostamine
Arvutusskeem
Tegelik  konstruktsioon
Lihtsustatud mehaaniline süsteem
Ideaalne mehaaniline süsteem
•   Varras on deformeeruv;
Ei arvesta tühise mõjuga
•  Alus on absoluutselt jäik;
nähtusi ja parameetreid
•  Sidemed on absoluutselt jäigad.
(Saint Venant’i printsiip)
Tegelik konstruktsioon
Ideaalne meh. süsteem
Arvutusskeem tõmbel
Vibratsioon
A
l
Tuul
Varras
Šarniir
Tõmmits
F
F
Taandatud koormus
Olulise mõjuga tõmbekoormus
Koormus
( pikikoormus )
Kõikumine
Joonis 2.1
Konstruktsiooni tugevust analüüsitakse mehaanilises süsteemis
Mehaaniline süsteem sisaldab:
•  vardaks taandatud analüüsitav konstruktsioon või selle osa (detail, element);
•  deformeerumatu alus (kuhu konstruktsioon toetub ja/või kinnitub);
•  sidemed (toed), mis takistavad konstruktsiooni liikumisi  (ning
toereaktsioonide skeem);
•  koormavad jõud ja momendid .
Mehaanilise süsteemi
Arvutusskeem = ideaalse mehaanilise süsteemi
alusel koostatakse
graafiline kujutis koos mõõtmete ja muude
arvutusskeem
tugevusanalüüsiks vajalike andmetega
Priit Põdra, 2004
13
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    2. DETAILIDE TUGEVUS TÕMBEL JA SURVEL
PROBLEEM:
Liigselt lihtsustatud arvutusskeem ⇒
Liigselt keerukas
arvutustulemuste lai määramatus (konstruktsiooni
arvutusskeem ⇒ mahukas
puudulik töökindlus ja/või ebaökonoomsus)
arvutustöö
Arvutusskeemi koostamine (lihtsustuste hulk) on kogemuslik!!
2.2. Pikikoormuse mõju vardale
Deformatsioon  = detaili (tarindi, keha,
Elastsus  = materjali omadus koormuse
varda) kuju ja mõõtmete muutus
vähenedes taastada detaili esialgsed kuju
(koormuste mõjudes)
ja mõõtmed (osaliselt või täielikult)
Enamus konstruktsioonimaterjale (teras, alumiinium, puit,  betoon , jne) loetakse koormuse
teatud piirides täielikult elastseteks (s.o. kehtib  Hooke ’i seadus) .
Klassikaline tugevusõpetus käsitleb vaid elastseid deformatsioone
2.2.1. Pikideformatsioon
Sirge ja ühtlane varras on tõmmatud koormusega F (Joon. 2.2):
•  jõu F väärtuse suurenedes venib varras pikemaks (surve puhul läheb samaväärselt
lühemaks);
•  igale jõu F väärtusele vastab teatav pikenemine ehk pikideformatsioon ∆l;
•  jõu F vähenedes deformatsioon ∆l väheneb osaliselt või kaob täielikult;
Tõmmatud varras
Sirge varda pike
F
l
(+)
Ristlõiked
Deformatsioon
(-)
F
l
F
∆
Joonis 2.2
Priit Põdra, 2004
14
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    2. DETAILIDE TUGEVUS TÕMBEL JA SURVEL
•  varda pikkuse muutuse ∆l väärtus vastava koormuse F väärtuse mõjudes sõltub
materjali omadustest ja ristlõike pindalast;
•  varda pikkuse muutuse ja seda esile kutsunud koormuse väärtuste sõltuvus on
lineaarne  (Hooke’i seadus).
Tõmme ⇒ varras pikeneb (∆l võrra)
Surve ⇒ varras lüheneb (∆l võrra)
MÄRGIREEGEL:
Pikenemine on positiivne (+)
Lühenemine on negatiivne (-)
Pikideformatsioon = varda telje sihiline deformatsioon (pikenemine ja/või lühenemine)
(ka joondeformatsioon, normaaldeformatsioon, pikkedeformatsioon , lahknemine)
Varda tõmme ja surve =
•  varda pikkus muutub (teatud juhtudel ka mitte);
= Pike =
•  varda telg jääb sirgeks ;
varda tööseisund, kus (Joon. 2.2):
•  ristlõiked jäävad paralleelseteks ja risti teljega .
2.2.2. Põikdeformatsioon
Varda deformeerimisega paiknevad materjali osaksesd ringi — pikkuse muutudes
muutub ka ristlõike pindala (mõnikord ka kuju):
•  tõmmatud varda pikenemisega kaasneb ristlõike pindala vähenemine;
•  surutud varda lühenemisega kaasneb ristlõike pindala suurenemine (Joon. 2.3).
Tõmme
Surve
l
∆l
l
D
D
F
F
F
F
1
1
∆
D
l
D
Joonis 2.3
Absoluutne põikdeformatsioon =
D
∆
Suhteline põikdeformatsioon: ε '=
varda läbimõõdu muutus:  D
∆ = D − D
1
D
kus: D1   ⎯ varda läbimõõt pikikoormuse mõjudes, [m];
D    ⎯ varda algläbimõõt, [m];
∆D   ⎯ varda absoluutne põikdeformatsioon (pinge mõjumise sihiga risti), [m];
Priit Põdra, 2004
15
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    2. DETAILIDE TUGEVUS TÕMBEL JA SURVEL
MÄRGIREEGEL:
Läbimõõdu suurenemine on
Läbimõõdu vähenemine on negatiivne
positiivne
 
laiuse
 
suhteline muutus
ε′
Isotroopsetele
Poisson’i tegur  =
  ehk    µ = −
materjalidele
 
pikkuse
 
suhteline muutus
ε
teoreetiliselt:
(”-” näitab, et ε ja ε’ on alati vastasmärgilised)
µ = 0.25
2.3. Sisejõud tõmbel ja survel
2.3.1. Sisejõudude olemus
Sirgele vardale BC (Joon. 2.4) on rakendatud tõmbav teljesihiline koormus F:
•  varras venib pikemaks ( deformeerub );
•  piisavalt suure väärtusega jõu puhul varras puruneb;
•  pikenemist ja purunemist takistavad vardas  sisejõud, s.t. jõud, mis mõjuvad
varda osakeste vahel.
Sisejõudude olemus
Sisejõudude teooria
Zoom
B
Varda struktuuri vaadeldakse
Välisjõud
F
homogeensena
A
Sisejõud
Elementaarosakeste vaheline
mõju resultant takistab varda
purunemist koormuse väärtustel
C
F/A 
F = mg
≤ σ
m
U
Välisjõud
Joonis 2.4
Detaili tugevusolukord on
Kui sisejõud ei suuda koormuste mõjudes
määratud sisejõudude
enam tagada detaili kuju- ega mahu-
olekuga !!!
kindlust , siis algab purunemine ehk avarii
Tahke keha sisejõud = jõud keha osade
•  säilitavad tema terviklikkust;
(elementaarosakeste) vahel, mis:
•  annavad talle mahu- ja kujukindluse.
Priit Põdra, 2004
16
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    2. DETAILIDE TUGEVUS TÕMBEL JA SURVEL
Tugevusanalüüsi oluline ülesanne = arvutada varda sisejõudude väärtused
ehk
kuidas väliskoormuste kombinatsioon mõjutab materjali siseolukorda
ehk
kui “tugevate” jõududega osakesi üksteisest eemale rebitakse (kokku surutakse)
Sisejõudude teooria (Augustin Louis Cauchy 1789...1857) tugevusõpetuses eeldab, et:
•  sisejõud = molekulaarjõudude teatav resultant
•  kehade materjal on homogeenne ja pidev (sõltumata tegelikust struktuurist).
JÄRELDUSED:
1.  Sisejõudude suunad ja väärtused on koormustest tingitud ja ka sõltuvad
koormustest;
2.  Sisejõud takistavad deformatsioone ja purunemist ⇒ ristlõike sisejõu väärtus
on selle ristlõike vastupidavuse mõõduks (välisjõudude mõju all);
3.  Kui sisejõud (välisjõududest põhjustatud) mõnes ristlõikes on liiga suur, siis
materjal puruneb (kui mitte mujal, siis antud ristlõikes kindlasti);
Tõmbe-sisejõud = piki-sisejõu suund
Surve-sisejõud = piki-sisejõu suund
on lõikepinnast välja
on lõikepinna sisse
2.3.2. Lõikemeetod
Lõikemeetod = meetod sisejõudude määramiseks tugevusõpetuses
(käsitleb sisejõudusid mõtteliste välisjõududena)
Eelnevast :
Keha on tasakaalus = temale mõjuvate kõikide välisjõudude resultandid
ja pöördemomentide resultandid on nullid
Sisejõudude analüüsi metoodika (Joon. 2.5) poolitab varda (konstruktsiooni) mõtteliselt:
•  analüüsitav varras on tasakaalus (varras BC);
•  varras lõigatakse mõttes pooleks (lõikega telje punktis D) ja analüüsitakse alumise
osa tasakaalu (analüüsoda võib ka ülemist osa ⎯ tulemus tuleb sama);
•  alumine osa tuleb tasakaalustada lõikepinna sisejõududega ⎯ jõud F tirib seda
allapoole ( tegelikus olukorras aga ta  liikuda ei saa, kuna on ülemise osa küljes kinni);
•  tegelikult hoiab selle lõikepinna (osakestevaheline) sisejõud N teda F-i mõjul
liikumast (kui purunemist pole, siis varda alumine osa ei saa liikuda);
•  tasakaalunõude tõttu on sisejõud N on arvuliselt võrdne F-ga;
•  kui koormusi oleks mitu, siis oleks sisejõu N väärtus võrdne vaadeldavale
(alumisele) osale mõjuvate koormuste (välisjõudude ja toereaktsioonide) resultandiga
(arvestades tasakaaluvõrrandisse +/- märke vastavate jõudude suundade järgi);
•  kui sisejõu N väärtus tuleks nii suur, et ületab detaili vastupanuvõimet (see
sõltub nii materjali tugevusest kui ka detaili ristlõike pindalast), siis detail puruneb.
Priit Põdra, 2004
17
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    2. DETAILIDE TUGEVUS TÕMBEL JA SURVEL
Tasakaalus varras
Mõtteline lõige
Varda lõike alumine osa
Arvutusskeem
Sisejõud
ND
B
Lõige
D
B
C
Lõige
D
Välisjõud
F
C
C
∑ F = 0 ⇒ N = F
D
(+)
m
F = mg
Joonis 2.5
Lõikemeetodi Eeldus    = tasakaalus kehast mõtteliselt eraldatud
idee üldiselt
r
osa on ka tasakaalus;
⎪⎧∑ F = 0
(Joon. 2.6):
⎨
r
Järeldus = sisejõu väärtuse saab leida selle osa
⎪⎩∑M = 0
tasakaalutingimus(t)est:
Tasakaalus varda lõige
Varda tasakaalutingimus
F1
F3
∑ r
r
r
F = ∑ F + ∑ F = 0
Lõige
Vasak
Parem
Lõike tasakaalutingimused
F5
⎧
F
∑ r r
F + F
= 0
F2
4
⎪
Sise,v
⎨Vasak r
r
F3
F1
⎪ ∑ F + F
= 0
Lõikepind
⎩
Sise,p
Parem
Vasak pool (v)
Lõike sisejõudude seos
Parem pool (p)
r
r
F
F5
Sise,v
FSise,p
F
F
= F
4
Sise,v
Sise,p
F2
∑ rF    ⎯ lõike vasakpoolsele osale rakendatud välisjõudude resultant [N];
Vasak
∑ rF    ⎯ lõike parempoolsele osale rakendatud välisjõudude resultant [N];
Parem
r
F
   ⎯ lõike sisejõud vasakpoolsel  sisepinnal  
Sise,v
(vasakpoolse osa sisejõud) [N];
r
F
   ⎯ lõike sisejõud parempoolsel sisepinnal 
Sise,p
(parempoolse osa sisejõud) [N];
Joonis 2.6
r
r
Lõikest vasakule ja lõikest paremale poole jäävate lõikepindade
⎧F
F
Sise,v
∑
⎪
sisejõud saab avaldada vastava poole koormuste ja sisejõu summa
⎨
Vasak
r
r
r
F
F
Sise,p
∑
võrrandist 0
∑ F = :
⎪⎩
Parem
Priit Põdra, 2004
18
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    2. DETAILIDE TUGEVUS TÕMBEL JA SURVEL
PRAKTILISED JÄRELDUSED:
1.  Lõikega eraldatud varda osadele mõjuvad sisejõud on
r
r
F
= F
võrdvastupidised:
Sise,v
Sise,p
2.  Varda mistahes lõikes mõjuv sisejõud on arvuliselt
r
r
r
F
F
F ;
Sise
∑ = ∑
võrdne kummagi poole välisjõudude resultandiga:
Vasak
Parem
3.  Kasulik on arvutada sisejõud sellelt poolt, kus arvutuskäik tuleb lihtsam.
2.3.3. Jõudude mõju sõltumatuse printsiip
Sisejõudude analüüsi aluseks tugevusõpetuses on:
Jõu mõju sõltumatuse
Lisatud koormusest põhjustatud sisejõu ja
printsiip:
deformatsiooni muutused ei sõltu konstruktsioonile
 (summeerimisprintsiip,
(selle elemendile, detailile) varem rakendatud koormusest
superpositsiooni printsiip)
(Joon. 2.7)
Jõu mõju sõltumatuse printsiip
F
F
2
2
Välisjõud
Välisjõud
F
Välisjõud
F1
F1
N = F
N = F1 + F2
N = F1 - F2
Sisejõud
Sisejõud
Sisejõud
Joonis 2.7
Koormuste süsteemi mõju (konstruktsioonile) = üksikute koormuste mõjude summa
2.3.4. Sisejõudude epüürid. Näited
Sisejõud ei pruugi varda pikkuse ulatuses olla
Sisejõu epüür = sisejõu graafik
pidevalt ühe ja sama väärtusega.
piki varda telge
Sisejõudude epüürid arvutatakse lõikemeetodiga, nende joonestamisel lähtutakse
reeglitest ja soovitustest (Joon. 2.9):
•  ei joonestata välja graafiku telgi ,
•  väärtused antakse epüüri iseloomulikes punktides,
•  positiivsed väärtusd kantakse vastava telje positiivses suunas (kui
arvutusskeemil on teljed määratud);
•  väärtuste märgid tuuakse epüüri pinnal või arvväärtuste ees;
Priit Põdra, 2004
19
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    2. DETAILIDE TUGEVUS TÕMBEL JA SURVEL
•  epüüri võib viirutatada väärtuste pealekandmise sihis;
•  kujutatava suuruse nimetus ja mõõtühik antakse epüüri pealkirjas (või
epüüri tiitlis epüüri kõrval).
MÄRGIREEGEL:
Tõmbe-sisejõud on positiivne (+)
Surve-sisejõud on negatiivne (-)
2.3.4.1. Näide. Üksik-pikikoormused
Määrata sisejõu (pikijõu) jagunemine vardas ning ühtlase varda ohtlikud ristlõiked!
Varda sisejõu avaldis on pidev iga kahe üksikkoormuse vahel (Joon. 2.8) ⎯ need
määratakse lõikemeetodiga (Eeltingimus: varras peab olema tasakaalus, s.t. ΣF = 0).
Arvutusskeem
Lõige I
Lõige II
Lõige III
Lõige IV
F1 = 30N
F2 = 70N
F3 = 130N
F4 = 160N
F5 = 130N
100
40
190
40
Joonis 2.8
Lahenduskäik:
•  lõige I (F1 ja F2 vahel, xI = 0 … 100 mm), analüüs vasakult poolt, kuna arvutamine
on lihtsam:
Lõige I
Tasakaalutingimus:      ∑ F = 0 :
xI
N
F
I = FI = 30N (+)   (tõmbejõud);
1 = 30N
NI
(NI väärtus ei sõltu koordinaadist xI)
•  lõige II (F2 ja F3 vahel, xII = 100 … 140 mm), analüüs vasakult poolt:
Lõige II
∑F =
x
Tasakaalutingimus:    
0 :
II
F
N = F + F = 30 + 70 = 100N  (+);
F
2 = 70N
N
II
1
2
1 = 30N
II
(NII väärtus ei sõltu koordinaadist xII)
•  lõige III (F3 ja F4 vahel, xIII = 140 … 330 mm), analüüs paremalt poolt:
Lõige III
x
Tasakaalutingimus:       ∑ F = 0 :
III
F4 = 160N
F
N
N = F − F = 160 −130 = 30N (-)
5 = 130N
III
III
4
5
(survejõud)
(NIII ei sõltu koordinaadist xIII)
•  lõige IV (F4 ja F5 vahel, xIV = 330 … 370 mm), vaatleme  paremat poolt:
Priit Põdra, 2004
20
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    2. DETAILIDE TUGEVUS TÕMBEL JA SURVEL
Lõige IV
x
∑F =
IV
Tasakaalutingimus:      
0 :
NIV
F5 = 130N
NIV = F5 = 130N (+)
(NIV ei sõltu koordinaadist xIV)
•  arvutatud sisejõudude väärtused kantakse epüürile (Joon. 2.9):
Varda pikijõu N epüür, [N]
F1 = 30N
F2 = 70N
F3 = 130N
F4 = 160N
F5 = 130N
30
30
100
130
Joonis 2.9
Vastus: Ohtlikud on suurima sisejõuga lõigud, suurim tõmbe-sisejõud on 130N lõigus
F4 ja F5 vahel ja suurim surve-sisejõud on 30N lõigus F3 ja F4 vahel.
PRAKTILISED JÄRELDUSED:
1.  Iga üksikjõu mõju avaldub
2.  Teist tüüpi koormuste puudumisel
jõuepüüril astmena :
kahe üksikjõu vahelisel vardalõigul
•  tema mõjule vastavas suunas;
sisejõu väärtus ei muutu.
•  tema väärtuse võrra;
2.3.4.2. Näide. Varda omakaal
Määrata sisejõu (pikijõu) jagunemine ühtlases vardas, arvestades varda massist tingitud
gravitatsioonijõudu ning määrata ohtlik ristlõige!
Materjal: teras, tihedus ρ = 7800 kg/m3, varda ristlõike
Arvutusskeem
pindala A = 1 cm2, raskuskiirendus  g = 9.81 m/s2:
Vertikaalse varda sisejõud muutub raskusjõu toimel
sujuvalt nullist vabas otsas kuni suurima väärtuseni
kinnituskohas (Joon. 2.10) — muutuse seaduspärasus
määratakse lõikemeetodiga 
A
(eeltingimus: varras peab olema
g
tasakaalus, s.t. ΣF = 0)
Lahenduskäik:
1000
Lõige
•  kogu varda või mõne selle osa kaal
(raskusjõud) [N] on arvutatav
F = Ax g
ρ ,
seosega:
G
L
    
kus:    xL   — vaadeldava ühtlase (A = const )
vardaosa pikkus, [m];
Joonis 2.10
Priit Põdra, 2004
21
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    2. DETAILIDE TUGEVUS TÕMBEL JA SURVEL
•  paigutades lõike varda vabast otsast kaugusele lx, analüüsitakse lõikest
allapoole jäävat osa:
N
Lõike alla jääva vardaosa kaal on:
Lõige
4
F = A gx = 10−
⋅7800⋅ 81
9
⋅ x = 651
7
x ≈ 65
7
x ;
{G
L
L
L
{L
[N]
[m]
x L
F
∑F =
G = AρgxL
Tasakaalutingimus:      
0 :
  N = FG = 7.65xL , [N] (+)  (tõmbejõud)
•  sisejõu funktsioon  N = A gx
 on lineaarne
L
lõikest allapoole jääva vardaosa pikkuse x
 
siis
 ,
0
N =
L
⎧
 
Kui x =
0
L
⎨
suhtes (Joon. 2.11) — järelikult on N-i epüür
⎩l =
 
siis
 
m,
1
N = 7.65  
N
siin sirge:
Vastus: Varda ohtlik ristlõige on tema kinnituskohas
Varda pikijõu N epüür, [N]
ning pikisisejõu väärtus on seal 7.65 N
x
7.65
PRAKTILISED JÄRELDUSED:
1.  Sirge varda omakaal on olemuselt
pikijoonkoormus (FG = pl, [N/m]:
p = A g
p
2.  Iga ühtlase joonkoormuse mõju
const
avaldub pikisisejõuepüüril kaldsirgena:
•  tema mõjule vastavas suunas;
•  tema koguväärtuse võrra
koormusjoone algusest lõpuni.
Joonis 2.11
2.3.5. Integraalseosed joonkoormusega varda pikijõuepüüride arvutamiseks
Ühtlase või mitteühtlase joon-pikikoormusega (px = p(x)  ≠ const) tasakaalus varda (Joon.
2.12) iga lõpmatult lühike lõik kohal x (pikkusega dx, milles px = const) on ka tasakaalus.
Joonkoormusega varras
Varda lõpmatult lühike element
Tasakaalutingimus
∑ F = 0⇒
N(x + dx) = N + dN
(N + dN ) = N + p dx
x
px
 millest
px ≠ const
dx
px = const
dx
dN
p =
= N′  ehk
x
N(x) = N
x
dx
x
Sisejõu funktsioon piki telge:     N(x) = px (x)
∫
dx
Joonis 2.12
Priit Põdra, 2004
22
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    2. DETAILIDE TUGEVUS TÕMBEL JA SURVEL
Joonkoormusest tekkinud piki-sisejõu avaldis on
selle joonkoormuse avaldise integraal
PRAKTILISED JÄRELDUSED (Joon. 2.13):
1.  Varda piirkonnas, kus joon-pikikoormus px = 0, on sise-pikijõu N väärtus
muutumatu (epüür on sirge ja paralleelne teljega);
2.  Varda piirkonnas, kus joon-pikikoormuse väärtus px = const, muutub sisejõu N
väärtus lineaarselt (epüür on sirge ja kaldu telje suhtes).
3.  Varda piirkonnas, kus joon-pikikoormuse väärtus px ≠ const, muutub sisejõu N
väärtus kõverjooneliselt.
Joon-pikikoormus puudub
Joon-pikikoormus on muutumatu
p
p
x = const
x = 0
x
x
N epüür
px epüür
N = const
N epüür
Joonis 2.13
2.4. Normaalpinged pikkel
2.4.1. Pinge kui taandatud sisejõud
Pinge = sisejõu intensiivsus mõttelise sisepinna mingis punktis
(pinnaühiku kohta tulev sisejõud ehk sisejõu tihedus lõikepinna mingis punktis)
Pinged jagunevad oma olemuselt (Joon. 2.14):
•  normaalpinged = kui sisejõu mõjumise siht ühtib antud lõike normaali sihiga;
•  nihkepinged = kui sisejõu mõjumise siht on lõike normaali sihiga risti.
Normaalpinge
Nihkepinge
F Välisjõud
F
Normaaliga risti
Välisjõud
sisejõud
Normaalisihiline
sisejõud
Sisepinna normaal
Sisepinna normaal
(varda telg)
(varda telg)
Joonis 2.14
Priit Põdra, 2004
23
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    2. DETAILIDE TUGEVUS TÕMBEL JA SURVEL
Pikkepinge (tõmbepinge või  survepinge ) = normaalpinge
2.4.2. Pikkepinge ja selle laotus
Bernoulli  hüpotees:
Varda deformeerumisel jäävad kõik selle ristlõiked
(Joonis 2.15)
tasapinnalisteks
Ühtlane sirge varras on tõmmatud koormusega F:
•  koormuse toimel varras pikeneb;
•  varda ristlõigetevahelised mahud deformeeruvad võrdselt (kõik mõttelised
külgvaate risttahukad muutuvad ühepalju);
•  ristlõigetevahelised mahud deformeeruvad ühtlaselt (risttahukad jäävad
risttahukateks);
•  iga ristlõike kõigi punktide normaaldeformatsioonid on võrdsed (deformeerunud
risttahukate otspinnad on jäänud paralleelseteks algsete risttahukate otspindadega);
•  antud ristlõike kõigi punktide normaalpinged on (Hooke’i seaduse σ = εE mõjudes)
võrdsed (σx = const üle iga ristlõikepinna A)
Ristlõikepinnal jaotunud sisejõu (pikijõu) resultant:
N = σdA = σA
∫
(see on pikijõu N staatiline seos)
A
kus:
σ   ⎯ ristlõike kõigi punktide
N   ⎯ ristlõike piki-sisejõud, [N];
pikke -pinge, [Pa];
A   ⎯ ristlõike pindala, [m2].
Tõmmatud varras
Ristlõike normaalpinge jaotus
Ristlõike normaalpinge epüür
σx epüür
σx = const
A
z
N
x
y
N/A
F
Joonis 2.15
Pikkepinge (tõmbepinge või survepinge) laotub üle varda ristlõike
= N
= const
ühtlaselt (kõigis varda ristlõike punktides on üks ja sama väärtus):
A
Priit Põdra, 2004
24
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    2. DETAILIDE TUGEVUS TÕMBEL JA SURVEL
Pikkepinge:
•  jaotub pidevalt (ei katke kusagil) üle ristlõikepinna A (see on eeldus);
•  mõjub varda ristlõike normaali (varda telje) sihis;
•  näitab materjalikihte üksteisest eemalerebiva tõmbejõu (või üksteisele lähendava
survejõu) intensiivsust sisepinna igas (ja ka üksikus) vaadeldavas punktis.
MÄRGIREEGEL (Joon. 2.16):
Tõmbepinge on positiivne (+)
Survepinge on negatiivne (-)
Tõmme
Surve
 
N
σ epüür
F
F
Α 
σ =         (
+) 
Lõige
Α 
Lõige 
Α 
σ epüür
N
m 
F = mg
σ =         (−) 
        
Α 
Joonis 2.16
PRAKTILISED JÄRELDUSED:
1.  Ühtlase pingejaotuse korral (σ = const) pikkepinge σ resultant N rakendub läbi
ristlõikepinna keskme  (piki varda telge) ning muud sisejõud puuduvad;
2.  Et tekiks ühtlane pingejaotus peab kõigi pikikoormuste resultant F rakenduma
piki varda telge (puhta pikke tingimuseks  ongi, et varda teljesihiliste koormuste resultant
rakenduks piki varda telge).
2.5. Nihkepinged pikkel
2.5.1. Pinged pikikoormatud varda kaldlõikes
Ühtlase ja sirge varda (ühtlasel) teljesihilisel tõmbamisel (Joon. 2.17):
•  pikisisejõu N epüür on ühtlane kogu varda ulatuses väärtusega N = F;
•  ristlõikes I, mille pindala on A, mõjub vaid pikijõud N ja
= N
= const ;
normaalpinge laotus on ühtlane ning väärtusega:
A
•  kaldlõikes II ( kaldenurk ristlõikepinna suhtes on φ) mõjub
⎧N = F cosφ
x
(tasakaalunõudest lähtuvalt) lisaks normaalisihilisele
⎨
Q = F sinφ
pikisisejõule N
y
x ka veel lõikepinnasihiline põiksisejõud Qy:
⎩
•
A
  kaldlõike II pindala AKald saab avaldada ristlõike pindala kaudu:   A
Kald
cosφ
Priit Põdra, 2004
25
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    2. DETAILIDE TUGEVUS TÕMBEL JA SURVEL
Ühtlaselt tõmmatud varda lõigete sisejõud
Lõige II
Lõige I
Lõige I
N
F
F
y
Q
Lõige II
y
N epüür
N
F
F
N
x
x
Joonis 2.17
•  nii kaldlõike II (pikijõule Nx vastav) normaalpinge σx kui ⎧σ = Nx = F cos2φ
ka (põikjõule Q
x
y vastav) nihkepinge τy  laotuvad üle
⎪⎪
A
A
kaldlõikepinna ühtlaselt 
Kald
(kõigis punktides on ühe ja sama
⎨
Q
y
F
väärtusega normaalpinge ning ühe ja sama väärtusega
⎪τ =
sin φ
2
y
nihkepinge ⎯ kuna varras on ühtlselt  koormatud : N = const):
⎪⎩
A
2A
Kald
•  nii normaalpinge σx kui ka nihkepinge τy väärtused sõltuvad lõikepinna
kaldenurga φ väärtustest;
•  survekoormuse korral on pingeolukord põhimõtteliselt samasugune, kui
tõmbekoormuse korral ⎯ vaid sisejõudude ja ka pingete suunad on vastavalt
vastupidised.
2.5.2. Pikikoormatud varda suurim nihkepinge
Lõike kaldenurk saab muutuda piirides φ = -90° … 90°, ning pingete vastavad väärtused
piirkonnas φ = 0 … 90° on toodud järgnevas tabelis (piirkonnas φ = -90° … 0 on paindepinge
vastavad väärtused samad ja nihkepinge väärtused vastasmärgiga):
Lõike kaldenurk ristlõike suhtes φ, [°]
Pinge
0 (ristlõige)
15
30
45
60
75
90 (pikilõige)
σx
F/A
0.93F/A
0.75F/A
0.5F/A
0.25F/A
0.07F/A
0
τy
0
0.25F/A
0.43F/A
0.5F/A
0.43F/A
0.25F/A
0
Tõmmatud ja/või surutud detaili nihkepingete suurimad väärtused on
sisepindadel , mis on ristlõike suhtes 45° kaldu
Ühtlaselt tõmmatud ja/või surutud vardalõigu:
•  ristlõike (φ = 0) punktides nihkepinge puudub (τ = 0) ning
N
mõjub suurima väärtusega normaalpinge:
max
A
•  pikilõike (φ = 90°) punktides nii normaalpinge kui ka nihkepinge
puuduvad (σ = 0 ja τ = 0);
•  lõikes, mis on 45° ristlõike suhtes kaldu (φ = 45°)
N
τ
mõjub suurima väärtusega nihkepinge:
5
0
max
A
kus: N
⎯ sama asukoha ristlõike pikisisejõud, [N].
Priit Põdra, 2004
26
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    2. DETAILIDE TUGEVUS TÕMBEL JA SURVEL
2.6. Tugevusarvutused tõmbel ja survel
2.6.1. Lubatavad pinged
Lubatav pinge = konkreetse ülesande (koormusseisundi)
[σ ] σ
τ
lim
 
lim
τ =
puhul ohutuks loetud pinge:
ja   [ ]
S]
[S]
kus: [σ]; [τ] ⎯ lubatav normaalpinge ja lubatav nihkepinge, [Pa];
σlim; τlim ⎯ materjali piirseisundile vastavad normaal- ja nihkepinge
(piirpinged, saadud vastavate teimidega), [Pa];
[S]
⎯ nõutav ( normatiivne )  varutegur .
ir 
voolavuspi σ
ir 
voolavuspi τ
Sitketele materjalidele:
[σ ]=
Y    ja   [τ ]
Y
S]
[S]
r 
tugevuspii σ
r 
tugevuspii τ
Rabedatele materjalidele: [σ ]=
U
U    ja   [τ ] =
S]
[S]
2.6.2. Tugevustingimused
Tugevustingimus  = pingete väärtused ei tohi ületada lubatavate pingete väärtusi mitte
üheski detaili punktis
Enamiku materjalide (v.a. paljud terased)
lubatavate tõmbe- ja survepingete
⇒
tõmbe tugevusomadused ja surve
väärtused ei pruugi olla võrdsed:
tugevusomadused ei ole võrdsed
[σ ]
≠ σ
Tõmme
[ ]Surve
Kõik pikke tugevustingimused peavad detaili jaoks olema samaaegselt täidetud:
⎧σ
≤ σ
Tõmme
[ ]
(tõmbe korral)
Ristlõigetes:
⎨
Tõmme
ja  kaldlõigetes 45º:   τ ≤ [τ ]
⎩σ
≤ σ
Surve
[ ]
(surve korral)
Surve
ehk
Pikikoormatud detaili igas
N
[⎧σ ]
(tõmbe korral)
≤
N
⎨ Tõmme
ning    
≤ [τ ]
punktis:
A
[⎩σ]
(surve korral)
Surve
2A
kus:
σTõmme  ⎯ suurim tõmbe-
[σ]Tõmme ⎯ lubatav tõmbepinge, [Pa];
pinge väärtus
[σ]Surve   ⎯ lubatav survepinge, [Pa];
detailis, [Pa];
[τ]
⎯ lubatav nihkepinge, [Pa].
σSurve    ⎯ suurim survepinge väärtus detailis, [Pa];
τ
  ⎯ suurim nihkepinge väärtus detailis, [Pa];
Priit Põdra, 2004
27
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    2. DETAILIDE TUGEVUS TÕMBEL JA SURVEL
Lubatav pinge antakse alati positiivse arvuna !!! (kuigi survepinge loetakse negatiivseks)
Kui materjali vastupanuvõime nihkele
deformatsioon ja purunemine toimuvad
( nihketugevus ) on väiksem kui tõmbele
⇒
materjaliosade nihkumise tagajärjel
ja/või survele (tõmbe- ja/või  survetugevus )
(tasapinnas, mille kaldenurk on 45°) (Joon. 2.18)
Deformeeruva detaili pinnale tekivad siis diagonaalsed nn. Lüders’i jooned.
Tõmbepurunemine nihkepinnas
Survepurunemine nihkepinnas
≈ 45°
F
≈ 45°
F
Tõmbepurunemine ristlõikepinnas
F
Joonis 2.18
Eelnevast:
Materjalidele tavaliselt: τY = (0.56 … 0.6)σY  ja   τU = (0.5 … 1)σU
σY, σU   ⎯ materjali voolavuspiir ja tugevuspiir tõmbel, [Pa]
Ühtlaselt pikikoormatud ühtlase varda (varda lõigu) jaoks:
•  saab lubatava nihkepinge
⎧τ Y
esitada lubatavate normaal-
6
0
...
56
0
⎪⎪
e
elastsetel
ele)
materjalid
S
pingete kaudu:
[τ] [ ] (
)[ ]
= ⎨
⎪τ U =
1
...
5
0
σ (rabedatele
ele)
materjalid
⎩[S] (
)[ ]
⎪
•  ohtliku kaldlõike (45° kaldu)
N
⎧
6
0
...
56
0
)[σ ](
e
elastsetel
ele)
materjalid
jaoks saab nüüd nihke
τ =
≤ ⎨
tugevustingimused:
2A
⎩
)1
...
5
0
[σ](rabedatele
ele)
materjalid
•  nihke ja pikke tugevustingimuste võrdlus näitab, et enamasti on pikke
tugevustingimus nihke omast rangem (v.a. mõningad rabedad materjalid):
N
⎧
2
1
...
12
1
)[σ ](
e
elastsetel
ele)
materjalid
ƒ  nihke tugevustingimus: 
≤
A
⎨
2
...
1
)[σ ](rabedatele
ele)
materjalid
N
ƒ  pikke tugevustingimus:
≤ [σ ].
A
Pikke tugevustingimus on
N
tavaliselt rangem, kui nihke ⇒ Tõmbe ja surve tugevusanalüüs
σ =
≤ [σ ]
põhineb pikke tugevustingimusel:
tugevustingimus
A
τ
Tugevustingimus varutegurite järgi:
S =
lim ≥ [S]   ja samaaegselt    S = lim ≥ [S]
τ
max
max
Priit Põdra, 2004
28
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    2. DETAILIDE TUGEVUS TÕMBEL JA SURVEL
kus: S
⎯ tegelik varutegur;
σmax, τmax ⎯ vardas tekkiv suurim pinge (normaalpinge või nihkepinge), [Pa].
2.6.3. Tugevusarvutus pikkele. Näited
Eesmärk:
Kõigis detaili punktides peavad tugevustingimused olema täidetud
Pikke tugevustingimus = varda tõmbepinge ei tohi ületada lubatavat tõmbepinget ja
(samaaegselt) survepinge ei tohi ületada lubatavat survepinget
Pikijõuga  F koormatud ühtlase sirge varda (Joon. 2.19) tugevusanalüüs tuleneb pikke
tugevustingimusest, millest avaldatakse antud ülesandes otsitav parameeter .
NB! Tõmmatud (ja surutud) varda ristlõike kõik punktid on võrdohtlikud, s.t.
tugevusõpetuse metoodikad ei võimalda pikke korral tuvastada ristlõike ohtlikku punkti
Tõmmatud varras
Surutud varras
Tugevustingimused
Lõige
Lõige
 
≤ σ
Tõmme
[ ]Tõmme
N
N
≤ σ
Surve
[ ]
A
Surve
ehk
A
⎧N ≤ [
A σ ]
⎪
N
F
⎨A ≥
F 
⎪⎩
[σ]
F
F
Ümar-ristlõige
Rõngas-ristlõige
Ruut-ristlõige
Ristkülik-ristlõige
σ epüür
σ epüür
σ epüür
σ epüür
D
D
A
A
A
A
h
d
a
A =
( 2 2
D − d );
4
b
2
D
A =
d
c =
2
A = a ;
b
4
D
A = bh ;   c =
h
4N
4N
N
N
D ≥
D ≥ π( 2
1− c )
a ≥
h ≥
π [σ ]
[σ ]
[σ ]
c[σ ]
D   ⎯ ristlõike diameeter , [m];
b, h  ⎯ ristlõike alus ja kõrgus, [m];
d   ⎯ rõngasristlõike sisediameter, [m];
a      ⎯ ruutristlõike küljepikkus, [m];
Joonis 2.19
Priit Põdra, 2004
29
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    2. DETAILIDE TUGEVUS TÕMBEL JA SURVEL
2.6.3.1. Näide. Üksik-pikikoormused
Arvutada ühtlase sirge varda (Joon. 2.20) läbimõõt!
Materjal: teras, [σ]Tõmme = 100 MPa, [σ]Surve = 10 MPa;
Lahenduskäik:
•  suurim survejõud on lõigus EG: NSurve = 30N (-);
•  suurim tõmbejõud on lõigus GH: NTõmme = 130N (+);
•  et tõmbetingimus
4N
4 ⋅130
oleks täidetud:
D ≥
π[σ ]
= .
0 00129m ≈ .
1 mm
5
π ⋅100⋅106
Tõmme
•  et survetingimus oleks
4N
4 ⋅30
täidetud:
D ≥
π[σ ]
m
00195
0
≈ .0mm
2
π ⋅10⋅106
Surve
•  selleks, et mõlemad tugevustingimused oleks täidetud:   D = 2mm .
Tugevuskontroll:
•  suurim tegelik tõmbepinge vardas (kui D = 2 mm):
N
4 ⋅130
Tõmme
4
41 ⋅106 Pa ≈ 42MPa