Kõverate varraste tugevus (0)

211
Tugevusanalüüsi alused ⎯    14. KÕVERATE VARRASTE  TUGEVUS
14. KÕVERATE VARRASTE TUGEVUS
14.1. Konksude tugevus paindel . Näide
14.1.1. Kõvera varda ohtlik ristlõige
Ühtlaselt kõver (varda telje kõverusraadius on  konstantne  R) ühtlane varras  (varda ristlõike kuju ja
pindala ei muutu) on koormatud painutava jõuga F (Joon. 14.1), sisejõudude analüüsiks
kasutatakse lõikemeetodit:
•  varda koormatud osas tehakse radiaallõige (lõikemeetod);
•  radiaallõigetes mõjuvad sisejõud: N (pikijõud), Q (põikjõud) ja M ( paindemoment );
•  sisejõudude epüürid on siinuselised (sinusoidi suurim ja vähim väärtus paiknevad
lõigul, mille kesknurk  on 90º);
Kõver varras
Ristlõike sisejõud
Arvutusskeem
Neutraalkiht
K
R0
N
R
Q
R
R
M
K
L
L
F
Lõige
F
Varda telg
F
Sisejõudude epüürid
F
FR
Q epüür
⎧N = F sin β
N epüür
⎪
⎨Q = F cos β
⎪
⎩M = FR sin β
M epüür
F
Joonis 14.1
•  ohtlik lõige on K       ⎯ seal mõjuvad kahe sisejõu (N ja M) suurimad väärtused
(β = 90º);
•  ohtlik lõige on ka L  ⎯ seal on põikjõu (Q) suurim väärtus;
•  homogeensete materjalide puhul lõige K on tunduvalt ohtlikum, kui lõige L.
14.1.2. Ristlõike paindepinge üldine avaldis
Algselt kõver prismaatiline varras on painutatud üksik-pöördemomendiga M  (Joon.14.2):
•  varras on painutatud ühtlaselt ( paindemomendi  M epüür on ühtlane);
•  koormuse toimel varda kõverus muutub;
Priit Põdra, 2004
212
Tugevusanalüüsi alused ⎯    14. KÕVERATE VARRASTE TUGEVUS
•  ristlõigetevaheliste (mõttelised) mahuelementide kuju paindemomendi toimel
muutub;
•  osad varda kihid on tõmmatud, osad on surutud (nende vahel paikneb neutraalkiht);
•  ristlõiked jäävad tasapinnalisteks ( Bernoulli  hüpotees);
•  varda neutraalkiht paikneb teljest “seespool”.
MÄRGIREEGEL: (ristlõike radiaaltelg y tuleb suunata kõveruskeskmest eemale)
Paindemoment on positiivne, kui
Paindemoment on negatiivne, kui
varda kõverus suureneb (raadius
varda kõverus väheneb (raadius
väheneb);
suureneb).
Puhtalt painutatud kõver varras
Kõvera varda painutatud mahuelement
M epüür
Neutraalkiht
y (+)
B
y
Telg
M
R
y
M
R0
e
C
R
φ∆
M
C’
M
Ristlõike paindepinge laotus
Ristlõike paindepinge epüür
y
Tõmbepinge
y
σM epüür σmax
A
z
Pinnakese
e
z
Nulljoon
R
Nulljoon
R 0
Survepinge
σmin
Joonis 14.2
Painutatud (algselt kõvera) vardalõigu ristlõikes:
•  iga kihi suhtelise deformatsiooni ε väärtus sõltub tema
CC'
(y + e) φ
ε
∆
kaugusest null-joonest  (y + e)  (y tuleb võtta märgiga +/-):
BC
(R + y)φ
kus: ε
⎯ valitud kihi suhteline joondeformatsioon;
y
⎯ valitud kihi koordinaat  (+/- märgiga, telje suhtes), [m];
R
⎯ varda telje kõverusraadius, [m];
∆φ ⎯ ristlõike pöördenurk paindemomendi toimel, [rad];
⎯ vaadeldava vardalõigu kesknurk, [rad].
e
⎯ nulljoone kaugus peateljest  (alati “sissepoole”), [m];
•   Hooke ’i seaduse (σ = Eε) abil saab ristlõike paindepinge
(y + e) φ
∆
= E
laotuse avaldise  (see on hüperbooli võrrand):
M
(R + y)φ
kus:
σM   ⎯ paindepinge, [Pa]; E  ⎯ materjali elastsusmoodul , [Pa].
Priit Põdra, 2004
213
Tugevusanalüüsi alused ⎯    14. KÕVERATE VARRASTE TUGEVUS
14.1.3. Neutraalkihi asukoht
Tasakaalus varda iga ristlõige on ka tasakaalus:
•  ühtlaselt painutatud varda ristlõikes pikijõud puudub (N = 0);
•  pikijõu staatilisest seosest ja painde-
∆φ y + e
N = σdA = 0  
E
dA = ;
pinge laotuse avaldisest tuleneb:
∫
ehk 
0
∫
R + y
A
A
•  kuna integraali ees olev avaldis
y +
ρ −
∆φ
e
R
dA = 0   ehk 
0 dA = 0 ,
E
≠ 0  
∫
∫
(sest varras on painutatud), siis:
R + y
A
A
kus: N
⎯  varda ristlõike pikisisejõud, [N];
ρ = R + y ⎯ kihi radiaalkoordinaat, [m];
R = R − e ⎯ varda neutraalkihi kõverusraadius (kus ε = 0), [m];
0
•  selle integraali arvutamise
Kõvera varda
= A
R
keerukus sõltub ritlõike kujust
neutraalkihi
0
∫ dA
( enamlevinud  ristlõigete jaoks on R
kõverusraadius:
0
A
avaldised toodud käsiraamatutes);
kus:  I   ⎯ ristlõike inertsimoment
Neutraalikhi asukoha
I
e ≅
peatelje suhtes, [m4];
ligikaudne avaldis:
RA
A ⎯ varda ristlõike pindala, [m2].
14.1.3.1. Ristkülik-ristlõige
Ristkülik-ristlõikega kõvera varda neutraalkihi raadiuse avaldises (Joon. 14.3):
•  ristlõike pindala väärtus:   A = bh ;
•   radiaalkoordinaat on piirides:  ρ = (R = R −
h
5
0
K
= +
min
) (R
R
h
5
0
max
Kõvera varda ristlõige
Nulljoone asukoht
y
max
A
dA
dA
R
d
Rmax
= b
= b ln
∫
∫
h
R
A
R
min
min
Nulljoon
z
seega
R max
R
h
R =
   R