Detailide tugevus paindel (0)

83
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL
6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL
6.1. Varda arvutusskeem paindel
Paindeülesannetes käsitletakse koormustena varrast otseselt või teiste detailide kaudu
painutavaid pöördemomente, põikkoormusi või muude koormuste põikkomponente
(Joon. 6.1).
Varda paindumine = varda telje kõverdumine koormuse toimel
Arvutusskeemi koostamine paindel
 
Arvutusskeem 
Tegelik konstruktsioon 
Lihtsustatud mehaaniline  süsteem
Ideaalne mehaaniline süsteem 
•  Võll on painduv  (aga ei väändu); 
Ei arvesta tühise mõjuga 
•  Alus on absoluutselt jäik; 
parameetreid 
•   Laagrid on absoluutselt jäigad. 
(Saint Venant’i printsiip) 
Tegelik konstruktsioon
Arvutusskeem paindel
F
xy - tasand
1
r
r
r
F
F2y
F = F + F
1
2
2 y
2 z
y
x
z ⎯ kesk-peateljestik
Võll
l1
l2
l
z
y
zx - tasand
F2z
Rihmaratas
Radiaal - tugilaager
x
x
F2
Rihmaratas
l1
l2
Radiaal-laager y
l
z
Joonis 6.1
Painde arvutusskeemis ei näidata ülesandes tühiseks loetud mõjureid, siin näiteks:
•  varda vääne (väänet analüüsitakse väändeülesandena ja hiljem tulemused
ühendatakse või on ülekantav võimsus rihmade pingutusjõududega võrreldes väike);
•  kõik vibratsioonid (võlli pöörlemisest või masina töörezhiimist tingitud);
•  võlli pöörlemise dünaamilised koormused (tsentrifugaaljõud jms.);
•  hõõrdumine laagrites;
•  varda, rihmarataste ja teiste detailide omakaalud.
Paindeülesande arvutusskeem
Peatasand  = ristlõike kesk-peatelje ja
tuleb tavaliselt koostada mõlemas
varda teljega määratud tasand 
peatasandis
(Joon. 6.2)
Priit Põdra, 2004
84
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL
Varraste peatasandid
xy-tasand
Peatasandid
z
z
Kesk-peateljed
x
Kesk-peateljed
y
x
xy-tasand
zx-tasand
y
zx-tasand
Peatasandid
Joonis 6.2
painutavad koormused või nende
Tasapinnaline paindeülesanne =
ehk
komponendid mõjuvad varda ühes
varras paindub vaid ühes peatasandis
peatasandis (xy-tasand või zx-tasand)
Ruumiline paindeülesanne =
painutavad koormused või nende komponendid
varras paindub mõlemas
ehk
mõjuvad varda mõlemas peatasandis (koormused
peatasandis
jagatakse peatasandites mõjuvateks komponentideks)
6.2. Painutava koormuse mõju vardale
Sale sirge varras (Joon. 6.3) on koormatud painutava koormusega (pöördemomentM  või
põikjõud F):
•  koormuse toimel varras paindub (varda telg  kõverdub);
•  igale koormuse väärtusele vastavad varda parameetritest (materjal ja geomeetria )
sõltuvad paindedeformtasioonid;
Painutatud vardad
v
F
ϕ
M
Pöördemoment
Põikjõud
Joonis 6.3
•  paindedeformatsioone iseloomustavad iga ristlõike pöördenurk algasendist ϕ ja
telje läbipaine v;
•  koormuse kasvades paindedeformatsioonid (antud olukorras) suurenevad;
Priit Põdra, 2004
85
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL
•  koormuse vähenedes paindedeformatsioonid vähenevad või kaovad täielikult
kui koormus kaob ( elastsus ).
•  ristlõiked pöörduvad algasendi (ja üksteise) suhtes (pea-
Puhas paine  =
tasandites);
varda tööseisund, •  varda telg kõverdub ja varda pikkus teljel ei muutu;
kus:
•  ristlõiked jäävad tasapinnalisteks ja nende pindala ei
muutu.
6.3. Sisejõud paindel
6.3.1. Paindemoment
Sirgele vardale on rakendatud painutav põikkoormus F  (Joon. 6.4):
•  põikkoormus tekitab detailis pöördemomendi ja see paindub (tekivad
paindedeformatsioonid, tekivad ka nihkedeformatsioonid, kuid neid analüüsitakse eraldi);
•  piisavalt tugeva koormuse F korral varras puruneb paindel (siin vaadeldakse
teoreetiliselt vaid painet ning ei arvestata olukorraga, kus varras võib juba varem puruneda
lõikel);
•  painet ja vastavat purunemist takistavad vardas  sisejõud, s.t. jõud, mis
mõjuvad varda osakeste vahel ja takistavad varda deformeerumist (annavad
vardale tugevuse) ning tasakaalustavad põikkoormuse F pöörava mõju;
Sisejõu olemus paindel
Põikkoormus tekitab
l
Konsoolne varras
pöördemomendi
Varrast painutav koormus
Zoom
F
Välisjõud
Tõmme
Sisejõudude teooria
M = Fl
Pöördemoment
Varda struktuuri
vaadeldakse homogeensena
Elementaarosakeste vaheline
M = Fl
mõju takistab varda
purunemist
Sisejõud
Surve
Joonis 6.4
Priit Põdra, 2004
86
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL
Eelnevast :
Sisejõud = keha osakestevaheliste jõudude (molekulaarjõudude)  resultant
Paindemoment =
Paindemoment M (varda peatasandis) tekib
osakestevaheliste (sise-) jõudude
sellespeatasandis mõjuvate ristlõike väliste
resultant paindel (Joon. 6.5)
pöördemomentide toimel
Painutatud varda paindemomentide suunad ja väärtused määratakse lõikemeetodiga.
Paindemomendi olemus
Indeks näitab
Mz
M
momendi telge
z
Koormus
x
Paindemoment Osakestevaheliste
jõudude resultant
xy-peatasand y
Osakestevahelised jõud
Joonis 6.5
Eelnevast:
Lõikemeetod: tasakaalus vardast eraldatud osa on ka tasakaalus
ehk
•  on võrdne ja vastupidine sellele ristlõikele
Varda ristlõike paindemoment:
mõjuvate välispöördemomentide summaga ;
(antud peatasandis)
•  mõjub antud lõike ühe kesk-peatelje suhtes.
MÄRGIREEGEL
Paindemoment on positiivne, kui
Paindemoment on negatiivne, kui
arvutusskeemil alumised kiud on
arvutusskeemil ülemised kiud on
tõmmatud (Joon. 6.6)
tõmmatud
Positiivne paindemoment
Negatiivne paindemoment
Ülemised
Ülemised kiud
Mz (+)
kiud
Mz (+)
Alumised
Mz (-)
Alumised
kiud
kiud
Mz (-)
Joonis 6.6
Paindemomendi märgireeglid on kokkuleppelised (ning kokku leppida on alati võimalik mitut
moodi), oluline on ühe ja sama ülesande lahendamisel kasutada ühte ja sama
märgireeglit.
Juhtudel, kui detail ei paikne arvutusskeemil horisontaalselt või kui tugevusanalüüsi
ülesanne on keerukam , võib kasutada teljestikega seotud ehk nn. ranget märgireeglit.
Priit Põdra, 2004
87
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL
RANGE MÄRGIREEGEL
Paindemoment on positiivne, kui
Paindemoment on negatiivne, kui
arvutusskeemil positiivsed kiud on
arvutusskeemil negatiivsed kiud on
tõmmatud (Joon. 6.7)
tõmmatud
Positiivne paindemoment
Negatiivne paindemoment
x
x
M
Negatiivsed
M
z (+)
kiud
z (-)
Negatiivsed
kiud
Positiivsed
kiud
Positiivsed
Mz (+)
kiud
Mz (-)
y
y
Joonis 6.7
6.3.2. Põikjõud
Sirgele saledale vardale on rakendatud telje ristsihis mõjuv koormus F (Joon. 6.8):
•  koormus mõjutab materjalikihte omavahel telje ristsihis nihkuma ⎯ varras
töötab lõikele (tegelikult töötab varras lõikele ja paindele koos, kuid siin käsitletakse vaid
nihke nähtusi);
Põiksisejõu olemus ja resultant paindel
Zoom
F
xy -peatasand
Välisjõud
Osakestevahelised jõud
F
Nihkedeformatsioon
Qy
x
Põikjõud
y
Sisejõud
F
Osakestevaheline vastasmõju, mis
Osakestevaheliste
Fy
takistab deformatsioone ja
jõudude resultant
Koormus purunemist  nihkel
Joonis 6.8
Priit Põdra, 2004
88
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL
•  varras deformeerub  ⎯ tekivad nihkedeformatsioonid koormuse sihis (samuti, kui
lühikese varda puhul, tekivad ka paindedeformatsioonid, kuid neid analüüsitakse eraldi);
•  piisavalt tugeva koormuse F korral varras puruneb lõikel (siin vaadeldakse
teoreetiliselt vaid lõiget ning ei arvestata olukorraga, kus varras võib juba varem puruneda
paindel);
•  nihet (ja ka painet, mida siin ei vaadelda) ja purunemist takistavad vardas sisejõud,
s.t. jõud, mis mõjuvad varda osakeste vahel ning tasakaalustavad
põikkoormuse F lõikava mõju.
Eelnevast:
Põikjõud Q = osakestevaheliste (sise-) põikjõudude resultant lõikel
(ühte moodi nii lühikeste, kui ka saledate varraste jaoks)
Põikjõu Q olemus nii painde-, kui ka lõikeülesanetes on samalaadne
(nihkedeformatsioonid ja purunemine lõikel)
MÄRGIREEGEL
Põikjõud on positiivne, kui ta
Põikjõud on negatiivne, kui ta
arvutusskeemil mõjutab materjali
arvutusskeemil mõjutab materjali
päripäeva (Joon. 6.9)
vastupäeva
Positiivne põikjõud
Negatiivne põikjõud
Q (+)
Q (+)
Q (-)
Q (-)
Mõju päripäeva
Mõju vastupäeva
Joonis 6.9
Põikjõu märgireeglid on kokkuleppelised (ning kokku leppida on alati võimalik mitut moodi),
oluline on ühe ja sama ülesande lahendamisel kasutada ühte ja sama märgireeglit.
Keerukamate paindeülesannete korral võib kasutada teljestikega seotud ehk nn. ranget
märgireeglit:
RANGE MÄRGIREEGEL
Põikjõud on positiivne, kui ta
Põikjõud on negatiivne, kui ta
positiivsel sisepinnal mõjub
positiivsel sisepinnal mõjub
positiivses suunas või negatiivsel
negatiivses suunas või negatiivsel
sisepinnal negatiivses suunas
sisepinnal positiivses suunas
6.3.3. Paindemomendi ja põikjõu epüürid. Näited
Eelnevast:
Sisejõu epüür = sisejõu graafik piki varda telge
Priit Põdra, 2004
89
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL
6.3.3.1. Näide. Üksik-põikkoormused
Koostada üksikkoormustega painutatud varda (Joon. 6.10) sisejõudude epüürid ja määrata
ohtlikud lõiked (kui varras on ühtlane)!
Lahenduskäik:
•  varda sisejõudude olukord (paindemoment M ja põikjõud Q) sõltub väliskoormuste
(aktiivsed koormused ja toereaktsioonid ) mõjust, mis määratakse lõikemeetodiga;
Arvutusskeem
F1 = 100kN
Lõige I
Lõige III
Lõige II
F
FB
Toereaktsioonid
A
C’
C’’
B’
B’’
D
A
F =
C
⎧
kN
 
60
B
⎨ A
F =
F
⎩
kN
 
10
B
2 = 30kN
300
300
200
Joonis 6.10
•  iga üksik-koormuse (jõud F) väärtus kutsub detailis esile sisejõu(dude) väärtuste
muutuse detaili materjalis . Seetõttu tuleb teha vähemalt üks lõige igasse
koormuste rakenduspunktidega määratud lõiku;
•  lõige I (FA ja F1 vahel, xI = 0 …300mm), analüüs vasakult poolt, kuna arvutamine
on lihtsam:
Lõige I
Tasakaalutingimused:   ∑ F = 0  ja  ∑M = 0
FA = 60kN
QI
MI
⎧Q = Q = Q = F = 60kN
I
A
C'
A
(+)
A
⎨M = F x = 60⋅ x
x
⎩ I
A I
I
I
Painde suund:
⎧x = 0 ⇒ M = M = 0
⎨ I
I
A
 ;
x = 0 m
3
⇒ M = M = 60⋅ .
0 3 =
( 
kNm
 
18
Alumised kiud tõmmatud
⎩
I
I
C
•  lõige II (F1 ja FB vahel, xII = 300 … 600mm), analüüs vasakult poolt:
F
Lõige II
1 = 100kN
∑F =
∑M =
F
Tasakaalutingimused:  
0  ja 
0
A = 60kN
QII MII
⎧Q = Q = Q = F − F = 100 −
 
60
kN
 
40
 
II
C'
B'
1
A
(−)
⎨
⎩M = F x − F x
0 3
30 40 x
II
A II
1 (
−
II
)= − ⋅
A
C
II
xII
⎧x = 0 m
3
⇒ M = M = 30 − 40 ⋅ .
0 3 =
( 
kNm
18
II
II
C
Painde suund:
⎨
x = 0 6
. m ⇒ M = M = 30 − 40 ⋅ 0 6
. = 6kNm (+)
II
II
B
Alumised kiud tõmmatud
⎩
•  lõige III (FB ja F3 vahel, xIII = 600 … 800mm), analüüs paremalt poolt, kuna
arvutamine on lihtsam:
Lõige III
Tasakaalutingimused:   ∑ F = 0  ja  ∑M = 0
MIII
D
⎧Q = Q = Q = F =
kN
 
30
III
B'
D
2
(−)
⎨
x
Q
⎩M = F 0 8
x
24 30x
III
2 (
− III ) =
−
III
III
III
F2 = 30kN
⎧x = .
0 6m ⇒ M
= M = 24 − 30 ⋅ .
0 6 = 6
 
kNm +)
Painde suund:
⎨ III
III
B
x = .
0 m
8 ⇒ M
= M = 24 − 30 ⋅ 0 8
. = 0
Alumised kiud tõmmatud
⎩ III
III
D
Priit Põdra, 2004
90
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL
•  arvutatud sisejõudude väärtused kantakse epüüridele (Joon. 6.11), põikjõu Q
epüür koosneb muutumatu väärtusega astmetest ja paindemomendi M epüür
koosneb sirgetest kaldlõikudest;
Varda sisejõudude epüürid
F
F
Painde iseloom
A = 60kN
FB = 10kN
1 = 100kN
D
A
C
B
F2 = 30kN
40
Põikjõu Q epüür, kN
30
Paindemomendi M epüür, kNm
60
6
18
Joonis 6.11
Vastus: Ohtlikud on suurima sisejõuga lõigud ja ristlõiked: suurim põikjõud on 60kN
lõigus FA ja F1 vahel ja suurim paindemoment on 18kNm ristlõikes C ⎯ kõige
ohtlikum on ühtlase varda ristlõige C, kus mõjuvad koos mõlema sisejõu
suurimad väärtused.
6.3.3.2. Näide. Joon-põikkoormus
Koostada joonkoormusega painutatud konsoolse varda (Joon. 6.12) sisejõudude epüürid ja
määrata ohtlikud lõiked (kui varras on ühtlane)!
Joonkoormus on pidevalt, teatud seaduspärasuse järgi, koormusjoonele laotunuks
taandatud koormus. Painutavad joonkoormused on näiteks detaili omakaal ,
vedelike ja gaaside rõhk, liiva ja teiste puisteainete kaalud, mitmesugused
jõuväljad jms. Joonkoormuste puhul eeldatakse, et koormuse intensiivsus
arvutusskeemi tasapinna ristsihis on võrdne arvutusskeemi väärtusega ning ei
muutu.
Arvutusskeem
Lõige
p = 100kN/m
A
x
B
L
300
Joonis 6.12
Priit Põdra, 2004
91
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL
Lahenduskäik:
•  varda koormus muutub piki telge ühtlaselt, järelikult ka sisejõu väärtus muutub
ühtlaselt ehk sisejõudude funktsioonid asukoha suhtes on pidevad . Analüüs
lõike paremalt poolt (xL = 0 … 300 mm), kuna arvutamine on lihtsam:
Lõige p = 100kN/m
Tasakaalutingimused:   ∑ F = 0  ja  ∑M = 0
xL
⎧Q = p .
0 3 x
30 100 x
L
( − L)= − ⋅
⎪
L
⎨
( .03− x
L )2
M = p
= 50⋅ .
0 3 x
L
( − L)2
M
⎪
L
Q
⎩
2
L
Painde suund:
⎧x = 0 ⇒ Q = Q =
 
kN
 
30
⎨ L
L
A
Ülemised kiud tõmmatud
⎩x = .
0 m
3 ⇒ Q = Q = 30 −100 ⋅ 0.3 = 0
L
L
B
⎧x = 0 ⇒ M = M = 50⋅ .
0 32 =
 
kNm
 
4.5
−)
⎪ L
L
A
⎨x = .
0 m
3 ⇒ M = M = 50 ⋅
L
L
B
(0.3−0. )32 = 0
⎪
⎪x = .
0 15m ⇒ M = M = 50 ⋅
L
L
C
(0.3−0.15)2 =1.
( 
kNm
 
13
−)
⎩
•  paindemomendi M epüür tuleb muutumatu intensiivsusega joonkoormuse p
mõjualas parabool . Selle parabooli väljajoonestamiseks arvutatakse väärtus ka
abipunktis C (mis tavaliselt võetakse joonkoormuse mõjuala keskele ).
•  arvutatud sisejõudude väärtused kantakse epüüridele, põikjõu Q epüür on
kaldsirge ja paindemomendi M epüür on parabool (Joon. 6.13);
Varda sisejõudude epüürid
p = 100kN/m
A
C
B
300
Painde iseloom
Põikjõu Q epüür, kN
30
4.5
Parabool
Abipunkt parabooli jaoks
1.12
Paindemomendi M epüür, kNm
Joonis 6.13
Vastus: Ohtlikud on suurima sisejõuga ristlõiked: suurim põikjõud on 30kN ristlõikes
A ja suurim paindemoment on 4.5kNm samuti ristlõikes A ⎯ kõige ohtlikum
on seega ühtlase varda ristlõige A, kus mõjuvad koos mõlema sisejõu suurimad
väärtused.
6.3.3.3. Näide. Üksik- ja joon-põikkoormuste koosmõju
Koostada üksik- ja joonkoormusega painutatud varda sisejõudude epüürid ja määrata
ohtlik ristlõige (kui varras on ühtlane)!
Priit Põdra, 2004
92
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL
Lahenduskäik:
•  varda sisejõudude olukord (paindemoment M ja põikjõud Q) sõltub väliskoormuste
(aktiivsed koormused ja toereaktsioonid) mõjust, need mõjud määratakse
lõikemeetodiga;
•  iga üksik-koormus kutsub detailis esile sisejõu(dude) muutuse, pideva
funktsiooniga joonkoormus tekitab detailis pideva funktsiooniga sisejõu(dude)
muutuse(d). Seetõttu tuleb teha vähemalt üks lõige igasse koormuste
rakenduspunktidega määratud lõiku;
Arvutusskeem
Lõige I
Lõige II
Lõige III
F1 = 100kN
F
Toereaktsioonid
F
B
A
p = 100kN/m
C’
⎧F =
kN
 
64
A
A
⎨
⎩F =
kN
 
56
B
C
B B’’
D
C’’
B’
F2 = 30kN
300
300
200
Joonis 6.14
•  paindemomendi M epüürid tulevad muutumatu intensiivsusega joonkoormuse
p mõjualas paraboolid. Nende paraboolide väljajoonestamiseks arvutatakse M
väärtused ka abipunktides E ja G (mis tavaliselt võetakse lauskoormuse mõjuala
keskele);
•  lõige I (FA ja F1 vahel, xI = 0 … 300 mm), analüüs vasakult, kuna arvutamine on
lihtsam:
Lõige I
FA = 64kN
Tasakaalutingimused:   ∑ F = 0  ja  ∑M = 0
Q
M
I
I
A
⎧Q = Q = Q = F = 64kN
I
A
C'
A
(+)
⎨
x
M = F x = 64 ⋅
I
⎩
x
I
A I
I
Painde suund:
⎧x = 0 ⇒ M = M = 0
⎨ I
I
A
Alumised kiud tõmmatud
⎩x = 0 m
3
⇒ M = M = 64⋅ .
0 3 = 19.2
( 
kNm +)
I
I
C
•  lõige II (F1 ja FB vahel, xII = 300 … 600mm), analüüs vasakult:
Lõige II
∑F =
∑M =
F
Tasakaalutingimused:  
0  ja 
0
1 = 100kN
F
p = 100kN/m
Q = F − F + p x −
⋅ x + ;
II
1
A
0
II
A = 64kN
3
100
6
II
MII
x − .
0 3 2
A
M = F x − F x
p
II
A II
1 (
− .
0
II
) ( II
3 −
2
C
QII
xII
= 64⋅ x −100⋅ x − .
0 3 − 50 ⋅ x − .
0 3 ;
II
( II
)2
II
Painde suund:
⎧x = 0. m
3 ⇒ Q = Q = 100 ⋅ 0.3 + 6 = 36
 
kN −)
II
II
C'
Alumised kiud tõmmatud
⎨
⎩x = 0.6m ⇒ Q = Q = 100 ⋅0.6 + 6 = 66
( 
kN −)
II
II
B'
⎧x = 0. m
3 ⇒ M = M = 64 ⋅ .
0 3 = 19.2
 
kNm +)
⎪ II
II
C
⎨x = 0.6m ⇒ M = M = 64⋅0.6 −100⋅0.3 − 50⋅0.32 = 4
 
kNm +)
II
II
B
⎪
2
⎩x = 0.45m ⇒ M = M = 64⋅0.45 −100⋅0.15 − 50⋅0.15 = .
12 7
 
kNm +)
II
II
E
Priit Põdra, 2004
93
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL
•  lõige III (FB ja F3 vahel, xIII = 600 … 800 mm), analüüs paremalt, kuna arvutamine
on lihtsam:
Lõige III p = 100N/m
Tasakaalutingimused:   ∑ F = 0  ja  ∑M = 0
Q = F − p
− x
⋅ x −
III
2
( .08 III) 100
50
M
III
III
D
0 8 −
2
x
Q
M = F
x
p
III
2 (0 8
. − III )
III )
−
III
F2 = 30kN
xIII
2
Painde suund:
= 30⋅( .
0 8 − x
− 50⋅ 0 8
. − x
III )
III )2
Alumised kiud tõmmatud
⎧x = 0.6m ⇒ Q = Q = 100 ⋅ 0.6 − 50 =
 
kN
 
10
−)
⎨ III
III
B'
⎩x = 0.8m ⇒ Q = Q = 100 ⋅ 0 8
. − 50 =
( 
kN
 
30
−)
III
III
D
⎧x = .06m ⇒ M = M = 30⋅0.2 −50⋅0.22 = 4
( 
kNm +
⎪
III
III
B
⎨x = .
0 8m ⇒ M = M = 0
III
III
D
⎪
2
⎩x = .
0 7m ⇒ M = M = 30 ⋅ .
0 1− 50 ⋅ 0.1 = .
2 5
 
kNm +)
III
III
G
•  arvutatud sisejõudude väärtused kantakse epüüridele, varda põikjõu Q epüüril
on iga koondjõu asukohas aste ning joonkoormuse mõju piirkonnas on epüür
lineaarne (Joon. 6.15), paindemomendi M epüür koosneb kahest paraboolist ja
kaldsirgest.
Varda sisejõudude epüürid
F
FB = 56kN
1 = 100kN
p = 100kN/m
FA = 64kN
A
C
E
B
G D
Painde iseloom
F2 = 30kN
66
Põikjõu Q epüür, [kN]
36
10
30
Paindemomendi M epüür, [kNm]
64
4
2.5
12.7
Abipunktid paraboolide jaoks
19.2
Joonis 6.15
Vastus: Ohtlikud on suurima sisejõuga ristlõiked: suurim põikjõud on 66kN ristlõikes B
ja suurim paindemoment on 19.2kNm ristlõikes C ⎯ need mõlemad on ühtlase
varda ohtlikud rsitlõiked.
6.3.3.4. Näide. Üksik-pöördemomendid
Koostada üksik-pöördemomentidega painutatud varda (Joon. 6.16) sisejõudude epüürid ja
määrata ohtlik ristlõige (kui varras on ühtlane)!
Üksik-pöördemoment on detaili teatud kohas painutav jõupaar, mille resultant
võrdub nulliga ja painutav olemus tuleneb jõudude paralleelsetest mõjusirgetest.
Priit Põdra, 2004
94
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL
Lahenduskäik:
•  varda sisejõudude olukord (paindemoment M ja põikjõud Q) sõltub väliskoormuste
(aktiivsed koormused ja toereaktsioonid) mõjust, need mõjud määratakse
lõikemeetodiga;
Arvutusskeem
FA
Lõige I
Lõige II
Lõige III
FB
M
Toereaktsioonid
1 = 100kNm
M 2 = 30kNm
C’
A
⎧F =
kN
 
117
C
B
D
A
C’’
⎨
⎩F =
kN
 
117
B
300
300
200
Joonis 6.16
•  lõige I (FA ja M1 vahel, xI = 0 … 300mm) analüüs vasakult poolt, kuna arvutamine
on lihtsam:
Lõige I
Tasakaalutingimused:  ∑ F = 0  ja  ∑M = 0
FA = 117kN
MI
⎧Q = Q = Q = F = 117kN
I
A
C
A
(+)
A
⎨
⎩M = F x = 117 ⋅ x
x
I
A I
I
I
Q I
⎧x = 0 ⇒ M = M = 0
Painde suund:
⎨ I
I
A
 ;
x = .
0 m
 
3
⇒ M = M = 117 ⋅ 0 3
. ≅
 
kNm
 
35
Alumised kiud tõmmatud
⎩ I
I
C'
•  lõige II (M1 ja FB vahel, xII = 300 … 600mm), analüüs vasakult:
FA = 117 kN
Lõige II
Tasakaalutingimused:  ∑ F = 0  ja  ∑M = 0
M 1 = 100kNm
MII
⎧Q = Q = Q = F =
kN
 
117
II
C
B
A
(+)
A
⎨
C
⎩M =M
− F x = 100 −117 ⋅ x
II
1
A II
II
xII
QII
⎧x = 0 m
3
⇒ M = M =100 −117 ⋅ .
0 3 ≅
( 
kNm
 
65
−)
Painde suund:
⎨ II
II
C''
 ;
⎩x = 0 6
. m ⇒ M = M = 100 − 117 ⋅ .
0 6 ≅
( 
kNm
 
30
−)
II
II
B
Ülemised kiud tõmmatud
•  lõige III (FB ja M2 vahel, xIII = 600 … 800 mm), analüüs paremalt, kuna arvutamine
on lihtsam:
Lõige III
Tasakaalutingimused:  ∑ F = 0  ja  ∑M = 0
M
⎧Q = Q = 0
III
D
III
D
xIII
⎨M = M = M =M =
( 
kNm
 
30
-)
M
⎩ III
B
D
2
2 = 30kNm
Painde suund:
Ülemised kiud tõmmatud
•  arvutatud sisejõudude väärtused kantakse epüüridele. Mõlema üksik-
pöördemomendi asukohas on paindemomendi M epüüril aste ning epüür
koosneb kald- ja rõhtsirgetest, põikjõud Q laotub tugede A ja B vahel ühtlaselt
(Joon. 6.17).
Priit Põdra, 2004
95
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL
Varda sisejõudude epüürid
Painde iseloom
F
M
A  117kN
FB = 117kN
1 = 100kNm
A
C
B
D
M 2 = 30kNm
Põikjõu Q epüür, kN
117
65
Paindemomendi M epüür, kNm
30
35
Joonis 6.17
Vastus: Ohtlikud on suurima sisejõuga ristlõiked: suurim põikjõud on 117kN lõigus FA
ja FB vahel ja suurim paindemoment on 65kNm ristlõikes C ⎯ kõige ohtlikum
on ühtlase varda ristlõige C, kus mõjuvad mõlema sisejõu suurimad väärtused.
6.3.3.5. Painde sisejõuepüüride tunnused
PRAKTILISED JÄRELDUSED
1.  Iga painutav üksikjõud-koormus F väljendub:
•  põikjõu Q epüüril astmena :
ƒ  tema mõjule vastavas suunas;
ƒ  tema väärtuse võrra;
•  paindemomendi M epüüril murdena;
2.  Iga painutav üksik-pöördemoment M
•  tema mõjule vastavas suunas;
väljendub paindemomendi M epüüril
•  tema väärtuse võrra;
astmena:
3.  Paindemomendi M väärtus varda otsas ei võrdu nulliga ainult siis kui selles
otsas mõjub üksik-pöördemoment (kas aktiivne koormus või toereaktsioon );
4.  Paindemomendi M väärtuste märk (+ või -) on seotud paindunud varda kujuga:
•  positiivse paindemomendiga alas on tõmmatud alumised kiud (või
positiivsed kiud range märgireegli järgi);
•  negatiivse paindemomendiga alas on tõmmatud ülemised kiud (või
negatiivsed kiud range märgireegli järgi);
5.  Joonkoormuse mõjul muutuvad sisejõudude väärtused susjuvalt;
6.  Kui paindemomendi M epüüri joonestamisel kanda positiivsed väärtused
allapoole, siis on ülevalt alla mõjuva joonkoormuse mõjualas paindemomendi
epüür nõgus (nagu samatüübilise koormuse toimel läbipaindunud traat ).
Priit Põdra, 2004
96
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL
6.3.4. Integraalseosed painutava joonkoormusega varda sisejõuepüüride arvutamiseks
Igasuguse seaduspärasuse järgi jaotunud joon-põikkoormusega (p  ≠  const ) tasakaalus
varda (Joon. 6.18) iga lõpmatult lühike lõik kohal x (pikkusega dx, mille vältel eeldatakse p =
const) peab ka olema tasakaalus.
Joon-põikkoormusega varras
Varda element
p ≠ const
Q (+)
p
M (-)
M + dM (-)
x
x
dx
A
y
Q + dQ (+)
Tasakaalutingimused (märke arvestades)
x
dx
⎧∑ F = 0 ⇒
− Q + (Q + dQ) + pdx = 0
⎧Q′ dQ
⎪
= − p
2
⎪
⎨∑
dx
M =
dx
0 ⇒
M
M
dM
Qdx
p
     ehk        ⎨
A
(− )− [− ( +
)]−
−
= 0
⎪
2
⎪ ′ = dM
M
⎪
Q
⎩
3
2
1
⎩
äike
Tühiselt v
dx
Joonis 6.18
⎪⎧Q(x) = − p(x)
∫
dx
Sisejõudude funktsioonid piki varda telge: ⎨⎪M(x)= Q(x)
⎩
∫
dx
kus: p(x) ⎯ joonkoormuse funktsioon varda teljesihilise koordinaadi x järgi;
Q(x) ⎯ põikjõu funktsioon varda teljesihilise koordinaadi x järgi;
M(x) ⎯ paindemomendi funktsioon varda teljesihilise koordinaadi x järgi.
PRAKTILISED JÄRELDUSED (joon. 6.19):
1.  Ilma joon-põikkoormuseta (p = 0) piirkonnas on:
•  varda põikjõu Q väärtus muutumatu (Q = const);
•  paindemomendi M väärtus muutub lineaarselt (M = f(x));
2.  Ühtlaselt jaotunud joon-põikkoormusega (p = const) piirkonnas muutub:
•  põikjõu Q väärtus lineaarselt (Q =f(x));
•  paindemomendi M väärtus ruutfunktsiooni järgi (M =f(x2));
3.  Igasuguse seaduspärasuse järgi jautunud joon-põikkoormusega piirkonnas
muutub:
•  põikjõu Q väärtus ühe võrra kõrgemas astmes funktsiooni järgi;
•  paindemomendi M väärtus kahe võrra kõrgemas astmes funktsiooni järgi;
4.  Põikjõu Q väärtus näitab paindemomendi M epüüri puutuja tõusunurka ja
suunda;
5.  Kohas varda teljel, kus põikjõu Q märk muutub (graafik läbib telge), on
paindemomendi M väärtus ekstremaalne;
Priit Põdra, 2004
97
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL
Joon-põikkoormus puudub
Joon- pikikoormus on muutumatu
 
 
p
p
 = const 
 = 0 
x 
x 
y 
Q epüür
y 
Q epüür 
Q = const
M epüür
Graafilised põhiseosed Q ja M epüüride vahel
 
∆M = A
Q epüür   
Q
Q epüür
Q epüür
AQ
M epüür 
M epüür
M epüür
∆M
M
max 
 αI (+) 
M
II (-) 
max
Mmax
Joonis 6.19
6.  Paindemomendi M juurdekasv (kui see juurdekasv on pidev, s.t. ei sisalda üksik-
momentkoormusi) võrdub põikjõu Q epüüri pindalaga samas vahemikus.
6.4. Normaalpingete laotus paindel
Sirge ühtlane varras (Joonis 6.20) on painutatud (koormatud pöördemomendiga M  või jõuga F ):
•  koormuse toimel varras paindub (kõverdub) peatasandites;
•  mahuelemenid muudavad kuju (ristlõiked pöörduvad, risttahukad kõverduvad);
•  ristlõike punktide normaaldeformatsioonid on erinevad (samas ristlõikes on nii
tõmme kui ka surve), kuid jagunevad lineaarselt (sest ristlõiked jäävad tasapinnalisteks);
•  varda pikkus teljel ei muutu (teljel deformatsioonid puuduvad);
•  ristlõike punktide normaalpinged on erinevad (σx ≠ const üle iga pinna A).
Neutraalkiht = materjali kiht tõmmatud ja surutud (pikenenud ja lühenenud) kihtide vahel,
mille pikkus ei muutu (mis ei deformeeru)
Nulljoon  =  varda neutraalkihi
Painutatud varda mingis ristlõikes pindalaga A:
lõikejoon ristlõikepinnaga
•  iga punkti suhtelise normaaldeformatsiooni ε
väärtus on võrdeline tema kaugusega
nulljoonest (koordinaadiga) y;
•  seega on ka iga punkti normaalpinge σ
võrdeline selle punkti kaugusega
σ = Ky ,   kus:   K   ⎯ võrdetegur;
nulljoonest y ( Hooke ’i seadus: σ = Eε):
Priit Põdra, 2004
98
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL
Painutatud varras
Painutatud varda mahuelement
 
Tõmmatud 
Mz 
Surutud
F
M
Neutraalkiht
z 
M
         
           
Ristlõike normaalpinge jaotus
Ristlõike normaalpinge epüür
 
Survepinge
σMz epüür
x
min
Nulljoon
z
z
x 
y 
y
σmax
y 
Tõmbepinge 
Joonis 6.20
•  kuna ristlõikes puudub pikijõud (Nx = 0, sest puuduvad pikikoormused), siis pikijõu
staatilise seoise abil saab avaldada:
N = σdA = K ydA = 0 , kuna K ≠ 0, siis   ydA = = S
x
∫
∫
∫
0
z
A
A
A
kus:  Sz    ⎯ pinna staatiline moment z-telje suhtes, [m3];
•  staatiline moment Sz = 0 vaid kesktelje suhtes, järelikult z on kesktelg:
Nulljoon läbib (antud juhul) ristlõikepinna keset (ristub varda teljega)
•  võrdeteguri K avaldise saab tuletada (Joon. 6.21) paindemomendi staatilisest
seosest (mis annab matemaatilise sõltuvuse pinna paindepingete ja nende resultandiks oleva
paindemomendi vahel);
•  ühes peatasandis mõjuv
M
paindemoment ei saa tekitada
(Mz)
M = σ
zdA = 0    ⇒   
z yzdA
∫
= 0 ,
y
∫ x
I
pinged teises peatasandis (ehk
A
A
z
paindemomendist M
M
z tulenevad pinged
z
ei saa tekitada paindemomenti M
kuna 
≠ 0,  siis   yzdA = = I
∫
0
y ja
I
yx
vastupidi):
z
A
kus:
(Mz)
⎯ paindemomendist Mz tulenev normaalpinge, [Pa];
(My)
⎯ paindemomendist My tulenev normaalpinge, [Pa].
Priit Põdra, 2004
99
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL
Paindemoment ja paindepinge
Paindemomendi staatiline seos
M =
ydA = K y 2
dA = KI ,
z
∫
∫
z
A
A
x
M 
M z
K =
z
millest:          
M
I
y
z
z
Joonis 6.21
•   tsentrifugaal -inertsmoment Iyz = 0 vaid peateljestiku suhtes, s.t. yz on
peateljestik;
Paindeülesannetes tuleb varrast analüüsida keskpeatasandites
(yz peab olema keskpeateljestik)
M
M
Paindepingete jaotus sirge varda ristlõikes:  
z
σ =
y    ja/või   
y
σ =
z
I
I
z
y
kus: σ
⎯ ristlõike punktide normaalpinge (kohal y või z), [Pa];
Mz, My   ⎯ ristlõike paindemoment peatelgede y ja z suhtes, [Nm];
Iz, Iy       ⎯ ristlõike telginertsimoment peatelgede y ja z suhtes, [m4];
y, z
⎯ punkti kaugus nulljoonest (+/- märgiga), [m].
Funktsioon σ  = f(y) (ja ka σ  = f(z)) on lineaarne ⇒ paindepinge epüüri moodustamiseks
on vaja vaid (Joon. 6.22):
•  määrata nulljoone (pinnakeskme, varda telje) asukoht,
•  arvutada pinge väärtus nulljoonest kõige kaugemas punktis (moodulilt suurim
pinge);
•  tõmmata sirge kaugeima punkti pingeväärtusest läbi nulli vastaval kesk-
peateljel.
Kolmnurk-ristlõige
Ümar-ristlõige
T-ristlõige
σ epüür |σ|
σ epüür
σ epüür
max
|σ|max
a
a
C
z
C
z
a
C
z
y
y
|σ|max
y
|σ|max
Joonis 6.22
Ristlõike moodulilt suurim paindepinge:
M
M
I
z
z
a =
 milles W
z
(tõmbepinge või survepinge)
max
I
W
z
a
z
z
Priit Põdra, 2004
100
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL
kus: Wz   ⎯ ristlõike (telg-)  tugevusmoment  (vastupanumoment) peatelje z suhtes,
[m3];
Iz     ⎯ ristlõike inertsimoment peatelje z suhtes, [m4];
a     ⎯ kaugeima punkti kaugus peateljest  z (nulljoonest), [m].
Tugevusmomentide avaldistes on vastava teljega risti olev mõõde ruudus  (Joon. 6.23).
Erinevate kujundite (ja profiilide) tugevusmomendid peatelgede suhtes on toodud
insenerikäsiraamatutes (ja tootekataloogides)
Ristküliku tugevusmoment
Kolmnurga tugevusmoment
Ringi tugevusmoment
b
a = D/2
a = h/2
a = 2h/3
h
h
z
C
z
D
C
C
z
y
y
b
y
⎧
3
bh
⎧
bh3
⎧
4
D
⎪I =
I =
I =
z
2
bh
⎪ z
2
bh
⎪ z
3
D
⎨
12   ⇒  W =
36   ⇒  W =
64   ⇒  W =
z
⎨
z
⎨
z
⎪
h
6
⎪
2
24
⎪
D
32
⎪a =
a = h
a =
⎩
2
⎪⎩
3
⎪⎩
2
Joonis 6.23
6.5. Nihkepingete laotus paindel
Siingi kehtivad
Prismaatiline (lühike või pikk) varras (Joon. 6.24) on koormatud
nihkepingete laotuste
y-peatelje sihilise põikkoormusega F:
eritingimused
•  koormuse F toimel tekib vardas y-peatelje sihiline
(niisamuti, kui väände korral)
põiksisejõud Qy (mis takistab varda nihkedeformatsioone
ja võimalikku läbilõikamist selles sihis);
•  koormuse F toimel tekib vardas alati ka paindemoment Mz, mis takistab varda
pooleks murdumist (purunemise mehhanism  ⎯ kas läbilõikamine või murdumine ⎯
sõltub sellest, kumb mõju domineerib );
•  sisejõud Qy laotub üle varda iga ristlõike funktsiooni τxy (see on lõikepinge) järgi;
•  igas varda pikilõikes mõjuvad ristlõikepingega τxy paarsed nihkepinged τyx
(nihkepinged τxy ristlõikes tekitavad paarsed nihkepinged τyx pikilõigetes);
•  pikilõigete nihkepingeid on hõlpsam analüüsida (kui ristlõigete nihkepingeid);
•  vardast eraldatakse (mõtteliselt) lõpmatult lühike lõik (varda otsast kaugusel xL)
pikkusega dx (mille ulatuses põiksisejõu Qy väärtus loetakse alati muutumatuks);
•  lõigu vasakpoolsel tahul mõjub paindemoment Mz > 0,
dM = Q dx ;
parempoolsel tahul aga  M + dM , milles (tasakaalutingimusest):
z
y
z
z
•  varda lõigust dx eraldatakse pikilõikega alumine osa (z- teljest kaugusel yL);
Priit Põdra, 2004
101
Tugevusanalüüsi alused  ⎯    6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL
Põik-koormatud varras
Ristlõike nihkepinged
l
τyx
F
Q epüür
z
τxy
F
x
Qy
M epüür
Fl
y
Vardast eraldatud lõigu sisejõud ja paindepinged
xL
dx
 
dx
σ epüürid
Mz
Mz + dMz
x
y L
F
Qy
σx
y
Qy
dx
σx + dσx
Lõigu ülemise osa tasakaal
Varda ristlõige
τ
A
yx
dN*
dN*
y L
y L
A*
Nulljoo
C
z
y L * y
*
N *
N
b
1
2
dx
dx
y
dA
A*
Joonis 6.24
•  eraldatud osa paralleelsete külgtahkude normaaljõud (normaaljõud on normaalpinge
resultant üle antud pinna) ei ole võrdsed 
N