Detailide pikkedeformatsioonid (0)

145
Tugevusanalüüsi alused ⎯   9. DETAILIDE PIKKEDEFORMATSIOONID
9. DETAILIDE PIKKEDEFORMATSIOONID
9.1. Koormatud varda mingi punkti siire
Eelnevast :
Deformatsioon  (kui nähtus) = detaili (keha, varda) kuju ja mõõtmete muutus
(koormuse mõjudes)
Deformeerumise  käigus detaili (keha,
Punkti siire  = punkti asukoha (koordinaatide)
varda) punktide asukohad muutuvad
muutus (on määratud algasukohast lõppasukohta
(ehk siirduvad) (Joon. 9.1)
suunatud vektoriga)
Sirge varda deformatsioon ja punktide siirded
Punkti algasukoht
Punkti algasukoht
Punkti lõppasukoht
B
C
Punkti lõppasukoht
F
Varda  pikenemine
Punkti B siire
ehk punkti C siire
Kõvera varda deformatsioon ja punktide siirded
B
Punkti algasukoht
F
Punkti algasukoht
Punkti lõppasukoht
B’
C
Punkti lõppasukoht
Punkti C siire
C’
Joonis 9.1
Deformatsioonide suurenedes suurenevad pingete ja sisejõudude väärtused. Kui sisejõu
väärtus ületab lubatava suurima väärtuse, siis tekib avarii (materjali  voolamine või  purunemine ).
9.2. Ühtlaselt tõmmatud ühtlane varras
Eelnevast:
Fl
( Hooke ’i
Ühtlaselt tõmmatud ühtlase varda (Joon. 9.2) pikenemine:  l
∆ = l =
seadus)
A
EA
Priit Põdra, 2004
146
Tugevusanalüüsi alused ⎯   9. DETAILIDE PIKKEDEFORMATSIOONID
Ühtlaselt tõmmatud ühtlane varras
N epüür, N
u epüür, m
Siirde epüür
x B
uB
Punkti B siire
B
u B
Lineaarne funktsioon
l
F
∆
l
l
Varda pikkuse
F
∆
Ühtlane tõmme
muutus
x
Joonis 9.2
Ühtlaselt tõmmatud ühtlase varda punkti
N
N
u =
x  ehk  u =
x
(koordinaadiga x) siire:
EA
B
B
EA
kus: u ⎯ varda punkti siire (punkti B siire on uB), [m];
x ⎯ selle punkti koordinaat  (xB), [m];
∆l ⎯ varda pikenemine (vaba otsa siire), [m];
l ⎯ varda pikkus (vaba otsa koordinaat x), [m];
N ⎯ varda sisejõud (N = F kogu vardas ), [N];
F   ⎯ varda pikikoormus [N];
A   ⎯ varda ristlõike pindala, [m2];
σ   ⎯  pikkepinge  (σ = N/A), [Pa];
E   ⎯ varda materjali elastsusmoodul , [Pa].
Punkti siire on tavaliselt seda suurem, mida kaugemal ta asub deformeeruva
detaili/süsteemi liikumatust kinnituskohast.
9.3. Astmeliselt muutuv tõmme ja surve
9.3.1. Astmeliselt koormatud ühtlane varras
Astmeline koormus = punktkoormuste
Iga ühtlase sisejõuga lõiku
vaadeldakse kui ühtlaselt
koostoime  ⇒ astmeline sisejöu epüür
koormatud ühtlast varrast
Varda pikkuse muutus = ühtlaselt koormatud lõikude pikkuste muutuste summa
Priit Põdra, 2004
147
Tugevusanalüüsi alused ⎯   9. DETAILIDE PIKKEDEFORMATSIOONID
 kus: n   ⎯ ühtlase (muutumatu)
Astmeliselt koormatud ühtlase
n
∆
1
l =
∑ Ni l ,
sisejõuga
varda pikkuse muutus (Joon. 9.3):
i
E i=1 A
vardalõikude arv.
Astmeliselt koormatud ühtlane varras
N epüür, N
u epüür, m
l 1
Tõmme
Lõik pikeneb
B
uB
N
F
1
1
l 2
Surve
Lõik lüheneb
F2  (> F3)
C
uC u
N
K
2
K
Punkti K siire
l 3
Lõik pikeneb
Tõmme
N3
u
D
D = ∆l
F3
Joonis 9.3
Astmeliselt koormatud ühtlase varda punkti siirde määramiseks:
•  sisejõu N epüür
koostatakse lõike-
N = F ( +) ;  N = F − F ( −) ;  N = F − F + F ( +) ;
3
3
2
3
2
1
3
2
1
meetodiga:
•  vardal on kolm ühtlase sisejõuga lõiku (l = l1 + l2 + l3);
•  siirdeepüüri väärtused
murdekohtades on
N
N
N
1
u =
l ; 
2
u = u +
l ; 
3
l
∆ = u = u +
l ;
lõikude pikkusmuutude
B
1
EA
C
B
2
EA
D
C
3
EA
summad :
•  iga vabalt valitud punkti K siirde uK saab mõõta siirdeepüürilt.
9.3.2. Astmeline varras
Iga ühtlase sisejõuga ühtlast lõiku vaadeldakse eraldi kui ühtlaselt koormatud
ühtlast varrast
 kus: n   ⎯ ühtlase (muutumatu)
Astmelise varda pikkuse
n
∆
1
l =
∑ Ni l ,
sisejõuga ühtlaste
muutus (joonis 9.4)
i
E i=1 Ai
vardalõikude arv.
Varda pikkuse muutus = ühtlaselt koormatud ühtlaste lõikude pikkuste
muutuste summa
Priit Põdra, 2004
148
Tugevusanalüüsi alused ⎯   9. DETAILIDE PIKKEDEFORMATSIOONID
Astmeliselt koormatud astmeline varras
A epüür, m2
N epüür, N
u epüür, m
l 1
A1
Lõik pikeneb
F
B
1
uB
N1
l 2
Lõik lüheneb
uC
l 3
C
A2
uD
uK
D
F
N
2 (> F3)
A3
2
Punkti K siire
l 4
K
Lõik pikeneb
N3
E
F
A4
3
uE = ∆l
Joonis 9.4
Astmeliselt koormatud ühtlase varda punkti siirde määramiseks:
•  sisejõu N epüür koostatakse lõikemeetodiga:
•  vardal on neli ühtlase sisejõuga ühtlast lõiku (l = l1 + l2 + l3 + l3);
•  siirdeepüüri väärtused murdekohtades on lõikude pikkusmuutude summad:
N
N
N
N
1
u =
l ;    
2
u = u +
l ;   
2
u = u +
l ;   
3
l
∆ = u = u +
l ;
B
1
EA
C
B
2
EA
D
C
3
EA
E
D
4
EA
1
2
3
4
•  iga vabalt valitud punkti K siirde uK saab mõõta siirde epüürilt.
9.4. Sujuvalt muutuv tõmme ja surve
9.4.1. Muutuva tõmbe ja surve põhivõrrand
PROBLEEM:
Teada on astmelise varda punktide siirded astmeliselt muutuva koormuse korral;
Vaja on arvutada punktide siirdeid nii sujuvalt muutuva telgkoormuse kui ka
sujuvalt muutuva ristlõikepinnaga varda korral
Sujuvalt muutuvate pikikoormuse ja ristlõikepinnaga varras (Joon. 9.5):
•  lõigu BC pikkus (punktid B koordinaadiga x
−
B ja C koordinaadiga xC):  l
x
x ;
BC
C
B
•  koormuse toimel punkt B siirdub uB ja punkt C siirdub uC võrra (varras pikeneb);
•  lõigu BC pikkuse muut (pikenemine):  l
∆
= u − u ;
BC
C
B
Priit Põdra, 2004
149
Tugevusanalüüsi alused ⎯   9. DETAILIDE PIKKEDEFORMATSIOONID
•  kui lõik BC on piisavalt lühike, saab seda vaadelda kui ühtlaselt koormatud
ühtlast lõiku (muutumatud ristlõike pindala A ja sisejõu väärtus N, lineaarne siirdeepüür u);
∆
−
•
l
u
u
  lühilese lõigu BC suhteline joondeformatsioon: 
BC
C
B
ε =
l
x − x
BC
C
B
•  lõigu BC koondudes ühte punkti: 
l
= dx → 0 ; u − u → du
BC
C
B
u − u
du
•  punkti suhteline joondeformatsioon: ε =
C
B
lim
= u (′x);
l →0
BC
x − x
dx
C
B
x
•  punkti siire on suhtelise deformatsiooni integraal : u = ∫ dx
ε ;
0
Sujuvalt koormatud varras
Lühike lõik BC
N epüür, N
u epüür, m
N epüür,
u epüür,
B
uB
x B
x C
C
uC
NBC
B
uB
x
u
Ühtlane N
Lineaarne u
C
C
Ühtlane A
Suhteline pikenemine punktis
Muutuv N
u − u
C
B
du
ε = lim
= u (′x)
Muutuv A
l
→0
BC
x − x
dx
x
Mittelineaarne u
C
B
Joonis 9.5
Tõmbe ja surve ( pikke ) põhivõrrand: 
ε = u′
(punkti siirde tuletis võrdub tema suhtelise joondeformatsiooniga)
•  punkti siirde
Varda punkti
1 N
arvutusvalemi saab
siire pikkel
u = ∫εdx  ehk  u = ∫ dx ;
Hooke’i seaduse abil
E A
(üldjuhul):
σ = ε
N
E   ehk  ε =
AE
kus:
u
⎯ punkti siirde funktsioon  u = f (x) , [m];
x
⎯ punkti koordinaat, [m];
E
⎯ materjali elastsusmoodul, [Pa];
N
⎯ varda sisejõu funktsioon  N = f (x) , [N];
A
⎯ varda ristlõikepindala funktsioon  A = f (x), [m2].
Priit Põdra, 2004
150
Tugevusanalüüsi alused ⎯   9. DETAILIDE PIKKEDEFORMATSIOONID
9.4.2. Vertikaalse varda pikkuse muutus omakaalu toimel
Eelnevast:
Varda omakaal  avaldub teljesihilise joonkoormusena:  p = gA
kus:
p   ⎯  joonkoormus , [N/m];
ρ   ⎯ materjali tihedus, [kg/m3];
g   ⎯  raskuskiirendus , [m/s2];
A  ⎯ varda ristlõikepindala [võib
olla ka muutuja  A = f(x)], [m2].
Varda omakaal tekitab varda ristlõigetes
sisejõu (x-telje alguspunkt on võetud varda
N = p(l − x)    ehk   N = ρ (
gA l − x)
kinnitatud otsas):
Omakaaluga tõmmatud varda (Joon. 9.6) pikkus muutub mitteühtlaselt (ülemised osad
pikenevad vähem, kui alumised):
•  varda punktide siire (vastavalt põhivõrrandile) omakaalu toimel avaldub:
1 N
ρg
⎛
2
⎞
u =
dx =
(l − x)
g
x
dx =
lx −
+ C
∫
∫
   (see on parabool );
E A
E
E ⎜⎜
⎟⎟
⎝
2 ⎠
•  integreerimiskonstant arvutatakse piiritingimusest: 
 
kui x =
 
siis
 ,
0
u = 0 :
u(
2
g ⎛
⎞
x = 0)
0
l ⋅ 0 −
+ C = 0
⎜⎜
   ⇒      C = 0 ;
E
2 ⎟⎟
⎝
⎠
2
2
ρ ⎛
⎞ ρ
•
g
x
gl
  varda pikenemine omakaalu toimel (x = l):
l
∆ =
lx −
E ⎜⎜
2 ⎟⎟
2E
⎝
⎠
kus:   m   ⎯ varda mass, [kg].
Ühtlase varda pikkuse
mgl
l
∆ =
muutus omakaalu toimel:
2EA
Omakaaluga koormatud varras
Joonkoormus
N epüür, N
u epüür, m
p = gA
Sisejõu jagunemine
N = ρ (
gA l − x)
Punkti siire
p
g
ρ ⎛
2
x ⎞
u =
l
⎜⎜lx −
⎟⎟
E ⎝
2 ⎠
Varda pikenemine
gl 2
l
∆ = 2E
x
∆l
Joonis 9.6
Priit Põdra, 2004
151
Tugevusanalüüsi alused ⎯   9. DETAILIDE PIKKEDEFORMATSIOONID
9.4.3. Sujuvalt muutuva ristlõikepindalaga varras. Näide
Varda ristlõike pindala ja pikisisejõud
x
muutuvad sujuvalt mingi matemaatiliste
Iga vabalt valitud
B
1
N
u =
B
∫ dx
punkti B siire
funktsioonide järgi:  A = f (x) ning
E
A
0
N = f (x)  (Joon. 9.7):
Koondjõuga  kooniline varras
Joonkoormusega paraboolvarras
l
l
B
B
p = const
F
x
x
D = f(x)
D = f(x2)
x
x
B
uB
B
uB
N epüür, N
N epüür, N
N = f(x)
A epüür, m2
A epüür, m2
A = f(x2)
A = f(x4)
Joonis 9.7
Integreerimine :
•  analüütiline, kui N = f(x) ja A = f(x) on lihsalt integreeritavad;
•  numbriline, kui N = f(x) ja A = f(x) integreerimine on raske või võimatu.
x N
NB!    Integraal    ∫ dx   =  varda pikkepinge epüüri pindala lõigus (0…x)
A
0
x
NB! Integraal  ∫ Ndx    = varda pikijõu epüüri pindala lõigus (0…x)
0
9.4.3.1. Näide. Surutud lühike tugi
Arvutada lühikese tüvikoonusekujulise toe kadevõime ja pikkuse muutus (Joon. 9.8)
survekoormuse mõjul!
Materjal: Al-sulam [σ]Surve = 80MPa; E = 70GPa.
Priit Põdra, 2004
152
Tugevusanalüüsi alused ⎯   9. DETAILIDE PIKKEDEFORMATSIOONID
Lahenduskäik:
•  tüvikoonus on ühtlaselt survekoormatud ning
N
kandevõime arvutatakse vähimale ristlõikepinnale
≤ σ
max
[ ]Surve
A
rakendatud tugevustingimusest:
min
π ⋅ 04
0
2
ehk   F = N ≤ A
⋅
⋅
≈
min [
80 106 100480N 100kN
Surve
4
Surutud tugi ja sisejõu epüür
Tüvikoonuse geomeetria
F
N epüür, kN
D0
A0
∅40
y
A
x
i
h
350
Di
x
A
100
D
∅200
Joonis 9.8
•  tüvikoonuse ristlõike läbimõõt Di on
D = D + 2x tanα , milles
koordinaadi x lineaarne funktsioon:
i
0
D − D
200 − 40
tan
0
α =
= 0.228 ≈ 0.23   ehk    D = 04
0
+ 46
0
x , [m];
2h
2 ⋅ 350
i
•  tüvikoonuse ristlõikepindala Ai on
2
D
läbimõõdu D
i
i ja ka koordinaadi x
A =
, [m2];
i
( 46
0
x + 04
0
)2
funktsioon:
4
4
•  tüvikoonus-toe pikkuse muutus võrdub tipu vertikaalsiirdega:
h
h
35
0
∆ = N
4
4
1
h
∫ dx = N ∫
dx
N ⎡
⎤
E A
E
2
46
0
04
0
46
0
46
0
04
0
0
0
x
E
x
i
) =
⎢−
⎣
⋅ (
⎥
⎦ 0
4 ⋅100 ⋅103 ⎡ ⎛
1
1
⎞⎤
− ⎜
−
⎟ =
9 ⎢
2
2
⎥
π ⋅ 70 ⋅10 ⎣ ⎝ 46
0
⋅ 35
0
+ 46
0
⋅ 04
0
46
0
⋅ 0 + 46
0
⋅ 04
0
⎠⎦
= 079
0
⋅10−3 m ≈ 08
0
mm .
Tugevuskontroll:
•  suurim pinge selles toes :
N
4 ⋅100 ⋅103
6
79 ⋅106 Pa ≤ σ
max
[ ]
80MPA
A
π ⋅ 04
0
2
Surve
min
Tugevustingimus on täidetud
Vastus: Selle Al-sulamist toe kandevõime on 100 kN ning tugi lüheneb selle koormuse
toimel 0.08 mm võrra.
Priit Põdra, 2004
153
Tugevusanalüüsi alused ⎯   9. DETAILIDE PIKKEDEFORMATSIOONID
9.5. Jäikustingimused
Jäikustingimus = piirang detaili
l
∆ ≤ [ l
∆ ]  ja/või   u ≤ [u]  ja/või   ε
= max ≤
max
[ε]
(varda) deformatsioonile
E
kus: [∆l] ⎯ varda lubatav pikkuse muutus (pikenemine või lühenemine), [m];
[u]
⎯ varda mingi punkti lubatav siire, [m];
[ε]
⎯ varda lubatav suhteline joondeformatsioon.
Jäikustingimus on tavaliselt tingitud detaili (varda)
Jäikustingimus on vähem
ja/või konstruktsiooni töötingimustest ja/või
range, kui
kasutusvaldkonnast. Sõltumata sellest, kas
tugevustingimus
jäikustingimused on sätestatud või ei, tuleb alati
teha tugevusarvutus .
Priit Põdra, 2004

Document Outline

• 9 DETAILIDE PIKKEDEFORMATSIOONID
  • 9.1. Koormatud varda mingi punkti siire
  • 9.2. Ühtlaselt tõmmatud ühtlane varras
  • 9.3. Astmeliselt muutuv tõmme ja surve
    • 9.3.1. Astmeliselt koormatud ühtlane varras
    • 9.3.2. Astmeline varras
  • 9.4. Sujuvalt muutuv tõmme ja surve
    • 9.4.1. Muutuva tõmbe ja surve põhivõrrand
    • 9.4.2. Vertikaalse varda pikkuse muutus omakaalu toimel
    • 9.4.3. Sujuvalt muutuva ristlõikepindalaga varras. Näide
      • 9.4.3.1. Näide. Surutud lühike tugi
  • 9.5. Jäikustingimused