Nende normaalvektorid on vastavalt n 1 = ( A1 ; B1 ; C1 ) ja n 2 = ( A2 ; B2 ; C 2 ) . 1. Tasandid on risti, kui nende normaalvektorite skalaarkorrutis on 0: n 1 n 2 = A1 A2 + B1 B2 + C1 C 2 = 0 . 2. Tasandid on paralleelsed, kui nende normaalvektorite vastavate koordinaatide jagatised on võrdsed ning tasandite võrrandite vabaliikmete jagatis ei ole eelmistega A1 B1 C1 D1 = = võrdne: 2 A B 2 C 2 D2 . 3. Tasandid ühtivad, kui nende normaalvektorite vastavate koordinaatide jagatised on võrdsed ning tasandite võrrandite vabaliikmete jagatis on ka eelmistega võrdne: A1 B1 C1 D1 = = = A2 B2 C 2 D2 . 4. Tasandid lõikuvad, kui ükski eelmistest tingimustest pole täidetud. Kahe tasandi
Lahendiks on aga ka vektorid (d; 7/5(1 + d); -1/5(1 + d), kus d on suvaline reaalarv. Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju Definitsioon Lineaarse võrrandisüsteemi kordajatest moodustatud maatriksit a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A = aij = am1 am 2 amn nimetatakse süsteemi (2) maatriksiks. Lisades maatriksi A parempoolsesse serva vabaliikmete veeru, saame süsteemi (2) laiendatud maatriksi: a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2 n b2 B= am1 am 2 amn bm Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju Defineerime veel maatriksid x1 b1 x2 b2 x= , b= .
lineaarsest võrrandist n tundmatu suhtes esitame detailselt kujul a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1, ......................... (1) am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm . DEFINITSIOON 2. Lineaarse võrrandisüsteemi (1) kordajatest moodustatud maatriksit nimetatakse selle SÜSTEEMI MAATRIKSIKS Am×n = || ai j ||, kus i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n. Maatriksit A, millele on lisatud nn VABALIIKMETE VEERG Bm×1 = (b1, . . . , bm )T, nimetatakse süsteemi (1) LAIENDATUD MAATRIKSIKS A|B. See on vastavalt parameetritega m×(n + 1). Kui tähistada tundmatute veergu Xn×1 = (x1, x2, . . . , xn )T, siis saab süsteemi (1) esitada MAATRIKSKUJUL AX = B. (2) DEFINITSIOON 3. Iga tundmatute komplekti X, mis muudab samasuseks kõik võrrandid süsteemis (1) või maatriksvõrrandi (2),
lineaarsest võrrandist n tundmatu suhtes esitame detailselt kujul a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1, ......................... (1) am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm . DEFINITSIOON 2. Lineaarse võrrandisüsteemi (1) kordajatest moodustatud maatriksit nimetatakse selle SÜSTEEMI MAATRIKSIKS Am×n = || ai j ||, kus i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n. Maatriksit A, millele on lisatud nn VABALIIKMETE VEERG Bm×1 = (b1, . . . , bm )T, nimetatakse süsteemi (1) LAIENDATUD MAATRIKSIKS A|B. See on vastavalt parameetritega m×(n + 1). Kui tähistada tundmatute veergu Xn×1 = (x1, x2, . . . , xn )T, siis saab süsteemi (1) esitada MAATRIKSKUJUL AX = B. (2) DEFINITSIOON 3. Iga tundmatute komplekti X, mis muudab samasuseks kõik võrrandid süsteemis (1) või maatriksvõrrandi (2),
· M mistahes reale/veerule võib liita/lahutada mistahes arvuga korrutatud rida/veergu · 2 suvalist rida/veergu võib omavahel ära vahetada DEF 2: m A mk0 kõrgeimat järku nim rank(A)=mk KRONEKER-CAPELLI TEOREEM: LVS on lahenduv siis ja ainult siis, kui võrrandite süst maatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed CRAMERI peajuhtum m= n ja D 0 Xn = Dn / D Lugejas olev det Dn tuletatakse det D kindla rea kinni katmisel ja selle asendamisel vabaliikmete veeruga. Kompleksarvud X2 + 1 = 0 X2 = -1 x=i i2 = -1 i = sqrt(-1) = =a+b*i kui b 0, siis on imaginaararv (kompleksarv) kui a = 0, siis on puhtimaginaararv kui b = 0, siis on reaalarv DEF 1: Kui hulga H korral on määratud teatav tehe või arvutusop f ning kui siis selle hulga H elementide a ja b korral on nendega sooritatud tehte f(a;b) tulemus uuesti hulga H element, siis öeldakse, et hulk H on vaadeldava tehte suhtes kinnine
.................... a m1 x1 + a m 2 x 2 + ...a mn x n = bm kordajateks, arve b1 , b2 ,..., bm aga süsteemi vabaliikmeteks. Arve c1 , c 2 ,..., c n , mis rahuldavad süsteemi kõiki võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi lahendiks. Lineaarse võrrandisüsteemi (3) kordajatest moodustatud maatriksit nimetatakse süsteemi (3) maatriksiks. Maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veeruga tekkinud maatriksit nimetatakse süsteemi (3) laiendatud maatriksiks. 2. Substitutsiooni definitsioon, näide. Inversiooni definitsioon, näide. N-järku determinandi definitsioon. Determinandi defineerimisel kasutatakse substitutsiooni mõistet. n-ndat järku substitutsiooniks nimetatakse n esimese naturaalarvu 1,2,...,n iga ümberjärjestust i1 , i2 ,..., in , . Näide 1. Kolmandat järku substitutsioone on 6: 1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 2, 3, 1; 3, 1, 2; 3, 2, 1
x1 = g (u; v) 10)mis on Crameri valem? Crameri reegel- Kui võrdse otsitavate ja võrrandite x2 = h(u; v) arvuga lineaarvõrrandite süsteemi maatriks A on regulaarne (D A0), siis on süsteemil üks lahend xj=Dj/DA (j=1,2,...,n) tingimus n=m Dj saadakse süsteemi determinandist D j-nda veeru a11a12 . .d1. .a1n - Aj 1 a21a22 . .d 2 . .a2n asendamisel vabaliikmete veeruga. xj = = Kui r=n siis on täidetud A A.............. an1an 2. .d n . .ann Crameri peajuhu tingimused *m=n *D ei=0-ga ning seega on süsgteemil üks lahend, mis esitatakse Crameri valemitega: xk = Dk /D (k=1,2,..n) Gauss-selle puhul maatriksi AL ridadele rakendatavate elementaarteisendustega teisendatakse allpool peadiagonaali asuvad elemendid
Crameri peajuhtum Determinandi abiga saab lahendada l.v.s, kus tundmatuid ja võrrandeid on sama palju. · Moodustame tundmatute ees olevatest kordajatest n- järku determinandi. · D 0, siis räägitakse Crameri peajuhtumist. · Crameri peajuhul on l.v.s üheselt määratud lahend, mis avaldub valemiga xn = Dn/D Determinant Dk tuletatakse süsteemi determinandist D k-nda veeru kinni katmisel ja selle asendamisel vabaliikmete veeruga, kusjuures ülejäänud veerud jäävad oma endistele kohtadele. D = 0, siis selleks, et l.v.s oleks lahend ka sellisel juhul, peavad kehtima tingimused D 1 = D2 = ...=Dn, sellisel juhul on l.v.s rohkem kui üks lahend. Determinanti on võimalik arendada tema suvalise rea/veeru järgi. Kompleks arvutus i2 = -1 = a + bi a-kompleksarvu reaalosa bi imaginaarosa
See teoreem kehtib meelevaldsete lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks, kus võrrandite ja tundmatute arvud on võrdsed. Lisaks peavad võrrandisüsteemid olema korrastatud. Kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriksi determinant on nullist erinev, siis avalduvad tundmatud murdudena, mille nimetajaks on süsteemi maatriksi determinant ja mille lugejad on maatriksi, mis saadakse süsteemi maatriksist vastava tunmatu kordajate veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinandid. Kui maatriks täidab Crameri teoreemi eeldusi, siis öeldakse, et tegemist on Crameri peajuhtumiga. Seega Crameri peajuhtumil 1) m=n, 2) |A| 0. Tähendab, Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend, mis avaldub valemitega x1=|A1|/|A| x2=|A2|/|A| .. xn=|An|/|A| Determinantide omadused, determinandi arendus rea (veeru) järgi Omadus 1. Transponeerimisel (ridade ja veergude ringivahetamisel) detrminant ei muutu
x3 x3 f(x) = 3 + 3 ( 3 + 3 )'= x2 + 0 = x2 x3 x3 ' f(x) = 3 - 5 ( 3 -5 ) = x2 - 0 = x2 x3 1 x3 1 f(x) = 3 + 2 ( 3 + 2 )' = x2 + 0 = x2 Funktsioonid, mis erinevad vabaliikmete poolest, annavad sama tuletise, seega on kõik ülaltoodud funktsioonid funktsiooni x2 algfunktsioonid. Kõik need funktsioonid saab kokku võtta nii, et tähistame vabaliikme (liidetava) konstandi C abil: x3 f(x) = 3 x3 x3 f(x) = 3 + 3 3 +C x3 f(x) = 3 - 5 x3 1 f(x) = 3 + 2 Kõikide nende algfunktsioonide argumentide x hulgad erinevad teineteisest maksimaalselt liidetava C
- süsteemi (1) maatriks, - süsteemi (1) laiendatud maatriks; - tundmatute veerg ehk tundmatute maatriks; - vabaliikmete veerg ehk vabaliikmete maatriks. Tähistades sümboliga Aj maatriksi A j-ndat veergu, s.t saab LVSi (1) esitada järgmisel kujul: 12. Crameri valemid. Vaatleme LVSi, kus 1) võrrandite arv = tundmatute arvuga ning 2) süsteemi maatriks on regulaarne e. det 0. LVS on siis kujul
parandada (ehk lõpmatus). 13. Milline seos on lineaarse planeerimise ülesande optimaalsete lahendite ja lubatavate baasilahendite vahel? Optimaalsed lahendid lineaarse planeerimise ülesande puhul on lubatavad baasilahendid kanoonilisel kujul (simpleksmeetidiga) 14. Millised on simpleksmeetdi puhul juhtveeru ja juhtrea valiku reeglid? Juhtveerg - sihifunksiooni kõige suurema absoluutväärtusega negatiivne arv Juhtrida - vabaliikmete ja juhtveeru elemendi minimaalne jagatis min(Va / Je) 15. Milline on simplekstabeli optimaalsuse tunnus? kui simplekstabelis sihifunktsioonile vastavas kordajate reas puuduvad negatiivsed kordajad, siis vastav baaslahend on optimaalne ja vabaliige sihifunktsioonile vastavas kordajate reas annab sihifunktsiooni optimaalse väärtuse 16. Mida näitavad simpleksmeetodi puhul lisamuutujate optimaalsed väärtused? See näitab ülejääki 17
simpleksmeetodiga? Viime baasist välja muutuja, mis omab esialgses baasilahendis absoluutväärtuselt suurimat negatiivset väärtust. Saame juhtrea. Otsime juhtveergu leides esimese rea märgitud elementide ja vastavate juhtrea elementide suhted, kus veerg, mis vastab maksimaalsele suhtele, valime juhtveeruks. Seejärel teisendused algses simplekstabelis niikaua kuni on täidetud opitmaalsuse tunnus. Tuleb saada vabaliikmete veergu ja sihifunktsioonile vastavasse kordajate ritta mittenegatiivsed arvud (va. Vabaliige b0).
Olgu Aik maatriksi elemendi aik alamdeterminant. Leiame maatriksi (Aik) ja transponeerime selle maatriksi. Sellist maatriksit nim adjengeeritud maatriksiks. Pöördmaatriksiks nim maatriksit 3. Lineaarsed võrrandisüsteemid Tundmatuid x1; x2; x3, ..., xn esimeses astmes sisaldavaid võrrandeid nim lineaarseteks. Korrastatud süsteem: Võrrandisüsteemi tundmatute kordajatest moodustnud maatriksit nim süsteemimaatriksiks. Maatriks A, millele on lisatud vabaliikmete veerg, nim süsteemi laiendatud maatriksiks. Iga tundmatute komplekti X, mis muudab samasuseks kõik võrrandid lineaarses võrrandisüsteemis nim lineaarseks võrrandisüsteemi lahendiks. Süsteemi lahend ei tarvitse olla üheselt määratud, ta võib sõltuda teatud arvust parameetritest. Selliseid nim süsteemi üldlahenditeks. Lahendid, mis saadakse parameetrie fikseerimise teel nim süsteemi erilahenditeks. 4. Kronecker-Capelli teoreem
x = 2 2 ........... x = n Süsteemi lahendiks nimetatakse suurusi n , mis rahuldavad antud süsteemi. Süsteemi on võimalik kirjutada maatriksite abil: A = (aik) süsteemi maatriks, mis koosneb tundmatute kordajatest, B = (bi) _ vabaliikmete maatriks-veerg, X = (xk) tundmatute maatriks-veerg. Nende maatriksite abil on lineaarse võrrandisüsteemi kuju AX = B. a. Antud võrrandisüsteemil võib leiduda ainult üks lahend, kui m = n ja DA 0. b. Süsteemil puudub lahend, kui võrrandid on vastuolulised. c. Süsteemil on lõpmata palju lahendeid,kui tundmatute arv on suurem võrrandite arvust või võrrandid on lineaarselt sõltuvad s.t
x = 2 2 Süsteemi lahendiks nimetatakse suurusi , ........... x n =n mis rahuldavad antud süsteemi. Süsteemi on võimalik kirjutada maatriksite abil: A = (aik) süsteemi maatriks, mis koosneb tundmatute kordajatest, B = (bi) _ vabaliikmete maatriks-veerg, X = (xk) tundmatute maatriks-veerg. Nende maatriksite abil on lineaarse võrrandisüsteemi kuju AX = B. a. Antud võrrandisüsteemil võib leiduda ainult üks lahend, kui m = n ja DA 0. b. Süsteemil puudub lahend, kui võrrandid on vastuolulised. c. Süsteemil on lõpmata palju lahendeid,kui tundmatute arv on suurem võrrandite arvust või võrrandid on lineaarselt sõltuvad
0 bi -90 juhtrida - negatiivsetest vabaliikmetest, väärtus suurim. 105 -63000 vseid kordajaid. bi 90 -75 juhtrida -135000 bi 15 tabel optimaalne, sest vabaliikmete seas pole negatiivseid kordajaid. 75 -142500 rral saaks 15 eurot kasumit rohkem samise korral tuleks kasumit 75 eurot jaoks oleks ühe ühiku võrra suurem, siis kasum ei muutuks ate jaoks oleks ühe ühiku võrra suurem, siis kasum ei muutuks essursside fiktiivne kogumaksumus 142000 a baastundmatutele vastavad 0-id. sialgne resursikogus 1 <= 100+2000 ss võib muutuda sellises vahemikus 1800-2200 ja siis säilib lahendi lubatavus.
vastandarvuga korrutatud juhtrida. Uues simplekstabelis varem valitud juhtveeru kõik elemendid peale juhtelemendi (see on +1) muutuvad nullideks ning see veerg on muutunud ühikveeruks ehk vastav tundmatu baasitundmatuks. Lahendid: 24. Need tundmatud, mille veerud ei ole ühikveerud, on baasivälised ehk vabad tundmatud ja nad võrduvad nullidega, baasitundmatute väärtused asuvad vabaliikmete veerus (vastava tundmatuga tähistatud reas). üks optimaalne lahend - kõik sihifunktsiooni reas olevad tundmatute kordajad on mittenegatiivsed ning nende nullilised väärtused kuuluvad ühikveerule 25. puudub optimaalne lahend - valitud juhtveerus pole ühtegi positiivset nullist erinevat elementi, sellisel juhul on sihifunktsiooni väärtus tõkestamata 26. rohkem kui üks optimaalne lahend optimaalses simplekstabelis sihifunktsiooni
0 bi -90 juhtrida - negatiivsetest vabaliikmetest, väärtus suurim. 105 -63000 vseid kordajaid. bi 90 -75 juhtrida -135000 bi 15 tabel optimaalne, sest vabaliikmete seas pole negatiivseid kordajaid. 75 -142500 rral saaks 15 eurot kasumit rohkem samise korral tuleks kasumit 75 eurot jaoks oleks ühe ühiku võrra suurem, siis kasum ei muutuks ate jaoks oleks ühe ühiku võrra suurem, siis kasum ei muutuks essursside fiktiivne kogumaksumus 142000 a baastundmatutele vastavad 0-id. sialgne resursikogus 1 <= 100+2000 ss võib muutuda sellises vahemikus 1800-2200 ja siis säilib lahendi lubatavus.
................................ a x + a x + · · · + a x = y k1 1 k2 2 kn n k Siin · aij on LVS-i kordajad, · yi on LVS-i vabaliikmed, · xi on LVS-i tundmatud. Tundmatute arv n ja v~orrandite arv k on s~ oltumatud. LVS-i korda- jate maatriksit A = (aij ) nimetatakse lihtsalt LVS-i maatriksiks. LVS-i maatriksi laiendamisel vabaliikmete veeruga (l¨ aheb viima- seks veeruks) saadakse LVS-i laiendatud maatriks a11 a12 . . . a1n y1 a21 a22 . . . a2n y2 .. .. . . .. .. . . . . . ak1 ak2 . . . akn yk LVS on ilmselt u ¨heselt m¨a¨aratud oma laiendatud maatriksiga. 1.2 Lahendi m~
-3 1 2 0 4 3 2 1 1. Crameri valemid ehk lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine determinantide abil. Dk Xk = , k = 1,2 ....n, DA kus DA on süsteemi maatriksi determinant ja Dk on determinant, milles süsteemi determinandis k- veerg on asendatud vabaliikmete veeruga. Crameri peajuht 1) vorrandisusteemi tundmatute arv m ja vorrandite arv n on vordsed, st nm ; 2) tundmatute kordajatest moodustatud determinant on nullist erinev. Carmeni peajuhul on vorrandisusteemil uksainus lahend ja tundmatud avalduvad determinantide jagatisena: Näide: Crameri valemite abil lahendada võrrandisüsteem: 2 x1 - 4 x 2 + 3 x3 = 1 x1 + 3 x 2 + 2 x3 = 4 . 3x - 5x + 4 x = 1 1 2 3 2 - 4 3 1 3 2
b1; ... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm. aij - kordajad; b1,...,bm - vabaliikmed Arve c1,...,cn, mis rahuldavad süsteemi kõiki võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi lahendiks Lineaarne võrrandisüsteem on maatrikskujul antav võrdusega Ax = b. A = || aij|| - lineaarse võrrandisüsteemi kordajatest moodustatud maatriks (süsteemi maatriks). x - maatriks x1 xn-ni üksteise alla paigutatult. b - maatriks b1 bm-ni üksteise alla paigutatult. B = ||A, b|| - maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veeruga tekkinud maatriks (süsteemi laiendatud maatriks) 10. Gaussi meetod. Teisendatakse süsteem Ax = b uuele kujule, millel on samad lahendid ning mille lahendeid on lihtne välja lugeda. Kasutatavad teisendused: 1. süsteemi mis tahes võrrandit võib korrutada nullist erineva skalaariga 2. süsteemi mis tahes võrrandile võib juurde liita mis tahes skalaari kordse mingi teise võrrandi samast süsteemist 3. võib muuta võrrandite järjekorda süsteemis
· Maatriksi rea elementide korrutamine 0-ist erineva arvuga. · Maatriksi rea elementidele mistahes arvkordsete teise rea vastavate elementide liitmine. Elementaarteisenduste tulemusena saadakse üksteisega sarnased maatriksid, mis vastavad omavahel ekvivalentsetele võrrandisüsteemidele. Ekvivalentsetel võrrandisüsteemidel on ühesugused lahendid. A = (aik) süsteemi maatriks, mis koosneb tundmatute kordajatest, B = (bi) _ vabaliikmete maatriks-veerg, X = (xk) tundmatute maatriks-veerg. Vabad tundmatud muutujad, mis üheski reas ei osutu juhtelementideks LINEAARV ÕRRANDIS ÜSTEEMI ÜLDLAHEND ERILAHENDI JA FUNDAMENTAALSÜSTEEMI KAUDU LVS-i lahendivektor lahendivektor on vektor a=(a1,a2 ,an) kui asendades a1=x1, siis tekib samasus...vms Erilahendivektor erilahend on 1 konkreetne lahend, st kui fikseerida vabad tundmatud Fundamentaalsüsteem - Homogeense lineaarvõrrandisüsteemi a11x1 + a12x2 + . .
Cramer. Def. Öeldakse, et lvs-i korral on tegemist Crameri peajuhuga, kui 1)tundmatute arv võrdub võrrandite arvuga 2)võrrsüs kordajate maatriksi determinant erineb nullist. Crameri peajuhul {a11x1+.. +a1nxn=b1 ..;.. an1x1+.. +annxn=bn kusjuures süsteemi maatriksi determinant D=/0. Crameri peajuhul on lvs-il üks lahend, mille saab valemiga Xi=Di/D, i=1...n kus Di on det, mis on saadud det-s D i-nda veeru asendamisel lvs-i vabaliikmete veeruga. LVS lahendamiseks kasutatakse põhiliselt meetodit, kus olemasolev lvs asendatakse uue lihtsama lvsiga, millel on sama lahendihulk. Def. Öeldakse, et kaks lvs-i on ekvivalentsed, kui neil on samad lahendihulgad. Eesmärgiks on saada selline lvs, kust lahend oleks kohe välja loetav. Uus lvs saadakse tundmatute järk-järgulise süstemaatilise elimineerimise teel. Selleks kasutatakse kolme liiki teisendusi, mida nim lvs elementaarteisendusteks:
lahendavuse ja lahendite arvu üle ning leida ka kõik esialgse süsteemi lahendid. Üldlahend sisaldab tundmatut C, mis võib omandada mis tahes reaalarvulisi väärtusi. Andes C-le mingi väärtuse, nt C=1, siis saame süsteemi ühe lahendi, mida nim erilahendiks. 8. Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju. Maatrikskujul antud võrrandisüsteemi lahendamisest. Tundmatute maatriks Ja vabaliikmete maatriks A on kordajate ehk süsteemimaatriks. AX=B X=A-1B Nt: 9. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga. Esimeses etapis viiakse laiendatud maatriks elementaarteisendustega astmelisele kujule. Ainult nullidest koosnev rida paikneb allpool neist ridadest, kus on nullist erinevaid elemente. Sellise rea võib ka kirjutamata jätta edaspidi. Rea nn juhtelemendiks on võetud rea kõige
fiktiivset tunnust; · vastasel juhul perfektne multikollineaarsus! · Väärtus, mille fiktiivne tunnus mudelis puudub: baasväärtus, referentsväärtus (base, control, reference category) · Fiktiivsete tunnuste kordajad: diferentsiaalsed vabaliikmed (differential intercept coefficients) · Ökonomeetria pakettides fiktiivse tunnuse nimetus tihti indicator variable ehk indikaatortunnus. · Fiktiivne tunnus, sest tegelikult ühe ja sama tunnuse erinevad väärtused 59. Diferentsiaalsete vabaliikmete tõlgendamine. 60. Kitsendused parameetritele, kitsendatud ja kitsendamata mudel. Üht fiktiivset tunnust tervest komplektist EI TOHI eemaldada. Üks fiktiivne tunnus ei ole eraldi tunnus, vaid üks väärtus. Terve tunnus on fiktiivsete tunnuste komplekt! Eemaldada võib terve komplekti. Kas neid kitsendusi võib panna? Või mudel halveneb oluliselt? Kitsendused kehtivad, kui erinevus nende mudelite kirjeldatavuse tasemes ei ole oluline. · Kui
Lineaarse vôrrandsüsteemi üldlahend: igale muutujale vastab konstante sisaldav avaldis, mis rahuldab süsteemi kôiki vôrrandeid. Nad vôivad olla omavahel avaldiste kaudu seotud. Lineaarse vôrrandsüsteemi erilahend: andes üldlahendi konstantidele väärtusi saab erilahendi. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju. Maatrikskujul antud võrrandisüsteemi lahendamisest. Lineaarse vôrrandsüsteemi maatrikskuju: AX=B; A=(aij), i=1,...,m ja j=1,...,n. X muutujate maatriks; B vabaliikmete maatriks; A kordajate e. süsteemimaatriks. Lineaarse vôrrandsüsteemi lahendamisest maatrikskujul. 8. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga. Lineaarse vôrrandsüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga: elementaarteisendusi kasutades tuleb tekitada lineaarse vôrrandisüsteemi laiendatud maatriksis peadiagonaali alla 0-d, ning alustades alumisest reast lugeda välja lahendid. 9. Koordinaatsüsteem sirgel. Ristkoordinaadistik tasandil
maatriksiga A = Ai j iga element on astmes i+j selle elemendi alam det. -1 1 ~ d) kirjuta välja pöördmaatriks A = ×A DA 10. Graameri reegel. Kui võrdse otsitavate ja võrrandite arvuga lineaarvõrrandite süsteemi maatriks A on regulaarne (DA0), siis on süsteemil üks lahend xj=Dj/DA (j=1,2,...,n) tingimus n=m Dj saadakse süsteemi determinandist D j-nda veeru asendamisel vabaliikmete veeruga. a11a12 . .d1. .a1n - Aj 1 a21a22 . .d 2 . .a2n xj = = A A.............. an1an 2. .d n . .ann 11. Tuletise mõiste ja sisuline tähendus, muutumise määr ja tuletis, tuletis ja kõvera kallak (st tõus või langus) Kui kohal x on f-ni y=f(x) muudu ja argumendi muudu jagatisel olemas piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile, siis nim seda piirväärtust antud f-ni tuletiseks kohal x ja tähistatakse f´(x). f ( x + x) - f ( x )
Lubatavad elementaarteisendused lineaarse võrrandisüsteemi laiendatud maatriksiga. Võimalike lahendite arv. Lineaarse võrrandisüsteemi üld- ja erilahend. Lineaarseks võrrandisüsteemiks n tundmatu x1,x2,...,xn suhtes nimetatakse lõplikust arvust lineaarsetest võrranditest koosnevat süsteemi: homogeenne süsteem kõik vabaliikmed on nullid laiendatud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis tekib süsteemi maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veerumaatriksiga B, st maatriksit: (A B) = maatriksi elementaarteisendused: Kahe rea (võrrandi) asukoha vahetamine rea (võrrandi) korrutamine/jagamine mis tahes nullist erineva arvuga ühele reale (võrrandile) mingi nullist erineva arvuga korrutatud sama maatriksi mõne teise rea (võrrandi) liitmine/lahutamine Süsteemi laiendatud maatriks tuleb teisendada astmelisele kujule (treppkujule), mille abil
Tähistades murru lugejas olevad determinandid vastavalt Dx; Dy ja Dz ning Kerge on kontrollida, et murru nimetajas on kolmerealise determinandi definit- murru nimetajas oleva determinandi D-ga, võime lineaarvõrrandisüsteemi siooni kohaselt võrrandisüsteemi determinant ning murru lugejas on süsteemi lahendid üles märkida järgmiselt: determinandi esimene veerg asendatud vabaliikmete veeruga. Järelikult on murru lugejas determinant Dx. Tundmatud y ja z leiame analoogiliselt. Dx Dy Dz Näide: Lahendame võrrandisüsteemi x0 ; y0 ja z 0 , kusjuures D 0. (**) D D D ¦ x yz 3
A = ( aij ) = 21 M M O M am1 am 2 K amn nimetatakse süsteemi (3) maatriksiks. Maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veeruga tekkinud maatriksit a11 a12 K a1n b1 a a22 K a2 n b2 B = 21
3. Vähimruutude meetod Meetodit kasutatakse ligikaudse sõltuvuse leidmiseks. Näiteks süsteemi puhul: Süsteemi kordajatest ning vabaliikmetest tuleb välja kirjutada veerummatriksid A1, A2, ... , An ja b. Uue süsteemi leidmiseks tuleb süsteemi igas reas vasakul pool korrutada vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriks esimese tundmatu veerumaatriksiga, seejärel teisega jne. Paremale poole jääb vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriksi korrutis vabaliikmete veerumaatriksiga. Märkused. 1) Saame võrrandisüsteemi lahendid, kui projekteerime parema poole b veergude ruumi. 2) Kui parem pool b kuulub veergude ruumi, on Ax = b täpne lahend leitav Gaussi meetodiga. 3) TEOREEM: Normaalvõrrandisüsteemil ATA = ATb on ühene lahend, kui maatriksi A veerud on lineaarselt sõltumatud. 4) Gaussi teisenduste korral vähimruutude lahend muutub, see pole vähimruutude ülesandes lubatud. 4. Kumerad hulgad
2) LVS (1) kordajatest moodustatud maatriksit nimetatakse süsteemi maatriksiks : a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... ... a am2 ... a mn A = (aij) = m1 . (6.3) Maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veeruga tekkinud maatriksit nimetatakse süsteemi laiendatud maatriksiks: a11 a12 ... a1n b1 a 21 a 22 ... a 2 n b2 ... ... ... ... ... a am 2 ... a mn bm m1 . (6.4) . x1
2) xn = cn LVS (1) kordajatest moodustatud maatriksit nimetatakse süsteemi maatriksiks : a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n A = (aij) = . (6.3) ... ... ... ... a am2 ... a mn m1 Maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veeruga tekkinud maatriksit nimetatakse süsteemi laiendatud maatriksiks: a11 a12 ... a1n b1 a 21 a 22 ... a2n b2 ... . (6.4) ... ... ... ... a am2 ... a mn bm m1 . x1
Väiksema nullide arvu korral algab hüppekaja sujuvalt nullist. Hüppekaja algusosa kasv aeglustub alati siis, kui poolusi on märgatavalt rohkem kui nulle. Suure pooluste ülekaalu korra võib hüppekaja teatava ligikaudsusega esitada algavana nulltasemelt hiljem. Piirväärtusteoreemist selgub ka, et aja piiramatul kasvamisel läheneb hüppekaja konstantsele väärtusele, mida nimetatakse süsteemi staatiliseks ülekandeteguriks ja mis väljendub ülekandefunktsiooni polünoomide vabaliikmete suhtena. Siirdeolukorra kestuse määrab kõige aeglasemalt sumbuv eksponentne komponent. Hüppekaja algosa ligikaudne avaldis kehtib ajani, mis on märgatavalt väiksem kõige kiiremini muutuvast eksponendist. 2.6. Hilistumine pidevaja süsteemides Hilistumine on signaalide lõplikust levimiskiiruse või muude põhjuste tõttu tekkiv nähtus, milles signaali hetkväärtused võivad reaalse süsteemi eri ruumipunktides omada kindlat ajanihet (hilistumisaega)
Väiksema nullide arvu korral algab hüppekaja sujuvalt nullist. Hüppekaja algusosa kasv aeglustub alati siis, kui poolusi on märgatavalt rohkem kui nulle. Suure pooluste ülekaalu korra võib hüppekaja teatava ligikaudsusega esitada algavana nulltasemelt hiljem. Piirväärtusteoreemist selgub ka, et aja piiramatul kasvamisel läheneb hüppekaja konstantsele väärtusele, mida nimetatakse süsteemi staatiliseks ülekandeteguriks ja mis väljendub ülekandefunktsiooni polünoomide vabaliikmete suhtena. Siirdeolukorra kestuse määrab kõige aeglasemalt sumbuv eksponentne komponent. Hüppekaja algosa ligikaudne avaldis kehtib ajani, mis on märgatavalt väiksem kõige kiiremini muutuvast eksponendist. Hilistumine pidevaja süsteemides- Hilistumine on signaalide lõplikust levimiskiiruse või muude põhjuste tõttu tekkiv nähtus, milles signaali hetkväärtused võivad reaalse süsteemi eri ruumipunktides omada kindlat ajanihet (hilistumisaega). Süsteemi mudelis kajastatakse seda
.. a2n A= . (2.6) .. .. .. .. . . . am1 am2 ... amn nimetatakse süsteemi (2.5) maatriksiks. Veeruvektoreid x ja b ni- metatakse vastavalt tundmatute ja vabaliikmete vektoriks: x1 b1 x2 b2 x= , b= . (2.7) .. .. .
n n -1 n- 2 d xv + d xv + d xv + ... + dxv + an n an-1 n-1 an- 2 n- 2 a1 dt a0 xv = dt dt dt m m -1 m- 2 g m d xmsis + g m-1 d mx-1sis + g m- 2 d mx- 2sis + ... + g1 dxdtsis + g 0 xsis dt dt dt Diferentsiaalvõrrandi lahendamine xv(t)=xvvl(t)+xvsl(t) xvvl(t) on vabaliikmete komponent, mis kajastab süsteemi muutumist juhul kui puudub väline toime või kui see on minimaalne. xvsl(t) on sundliikmete komponent, mis kajastab süsteemi parameetrite muutumist välise toime olemasolul. Diferentsiaalvõrrandi lahendamise etapid 1. Määratakse homogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahend 2. Määratakse mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi erilahend 3. Määratakse mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahend 4
= s ( s 2 + 16) s ( s 2 + 16) 8 2 s - 16 = - s 2 - 16 + Bs 2 + Cs Kuna kaks polünoomi on võrdsed, siis peavad olema võrdsed ka sama astmenäitajaga s ees olevad tegurid mõlemal pool võrrandit: s2 0 = -1 + B, siit B = 1 s 2=C Vabaliikmete võrdsus on kontrolliks. Märkus: peale osamurdudeks jagamist, kui osa tundmatuid õnnestub lugejas leida resiidide kaudu, saame alati võrrandeid rohkem kui tundmatuid. Seega on alati olemas ka kontrollimise võimalus: -1 s+2 -1 s 4 Y (s) = + 2 = + 2 + s ( s + 16) s ( s + 16) 2( s + 16) 2
Seep¨arast ka- sutame siin asjaolu, et kaks hulkliiget on samaselt v~ordsed parajasti siis, kui muutuja vastavate astmete kordajad on v~ordsed. V~ottes samasuse vasakul pool vastavad x astmed kokku, saame (A + B)x2 + (2A + C)x + 3A x + 1 Paremal pool ruutliige puudub, st selle kordaja v~ordub nulliga. Seega ruutliikmete kordajate v~ordsus annab meile v~orrandi A+B = 0. Lineaarliikmete kordajate v~ordsus annab teise v~orran- di 2A + C = 1 ja vabaliikmete v~ordsus kolmanda v~orrandi 3A = 1. Meil on kolmest v~orrandist ja kolmest tundmatust koosnev v~orrandis¨usteem A+B = 0 2A + C = 1 3A = 1, mille lahendamisel saame, et A = 1/3, B = -1/3 ja C = 1/3. Kasutades osamurdudeks lahutust (6.7), leiame x+1 1
annaabi.ee 
