taustsüsteemiks. Kui keha asend valitud taustsüsteemis ei muutu, siis keha on selle taustsüsteemi suhtes paigal. -Pidevat joont, mille joonistab liikuv punkt antud taustsüsteemi suhtes nim punkti trajektooriks. -Kahe ajahetke vahet nim ajavahemikuks. -Punkti kiirendust iseloomustab punkti kiiruse muutmist aja hetkel. -Millega võrdub punkti kiirendus? Punktikiirendus antud hetkel võrdub kiirusvektori tuletisega aja järgi. -Millega võrdub punkti kiirus? Punkti kiirus antud hetkel võrdub selle punkti kohavektori tuletisega aja järgi. -Puutekiirendus iseloomustab kiiruse (mooduli v) muutumist. (Kiiruse mooduli v'ga samal sirgel!) -Normaalkiirendus iseloomustab kiirusvektori v suuna muutumist. (Kiiruse mooduli v'ga risti!) -Kui puutekiirendus on kiirusega samasuunaline, siis on punkti liikumine kiirenev, kui aga vastusuunaline, siis on liikumine aeglustuv. §7
y = f (x) y' = f ' (x) c 0 Kontstandi tuletis on null. x 1 Argumendi tuletis on üks. x² 2x x³ 3x ² x nx -¹ Astmete tuletis on astendaja korrutatud ühe võrra väiksema astendaja astmega. f (x) + g (x) f '(x) + g '(x) Summa tuletis on liidetavate tuletiste summa. f (x) · g (x) f '(x) · g (x) + g '(x) · f (x) Korrutise tuletis on esimese teguri tuletis korruatatud teise teguriga liita teise teguri tuletis korrutatud esimese teguriga. f (x) f '(x) · g (x) - g '(x) · f (x) Murru tuletis on murd mille nimetajaks on g (x) [ g (x) ] ² eelmise nimetaja ruut, lugejas on lugeja tuletis ...
Cauchy keskväärtusteoreem:Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a,b] ja diferentseeruvad 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑓´(𝑐) vahemikus (a,b),kusjuures g´(x)≠0,siis leidubvahemikus (a,b) punkt c, et 𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎)=𝑔´(𝑐) 7. L’Hospitali reegel. 8. Taylori valem. Jääkliikme kujud. Maclaurini valem. 9. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Seos tuletisega. TEOREEM- Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f′(x) > 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis f on kasvav vahemikus (a, b). 2. Kui f′(x) < 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis f on kahanev vahemikus (a, b). 10. Lokaalsed ekstreemumid. Statsionaarsed ja kriitilsed punktid. Tarvilikud ja piisavad tingimused. Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus
suhtes Sx=SiYi - x telje suhtes. Raskuskeskme määramise meetodid: sümmeetria võte, tükeldamise võte Liikuva punkti trajektoor: joon mida mööda keha liigub Punkti kiirendus: liikuva punkti kiirenduseks antud hetkel nim. Kiiruse tuletist aja järgi. 1 m/s 2 Trajektoori puutuja ja normaalisihilised komponendid: puutekiirendus ja normaalkiirendus Puute- ja normaalikiirenduse suurused ja suunad: puutekiirenduse suurus võrdub absoluutväärtuselt kiiruse suuruse tuletisega aja järgi ja on suunatud mööda trajektoori puutujat. Normaalkiirendus on suunatud mööda trajektoori normaali tema kõverustsentri poole, tema suurus võrdub kiiruse ruudu ja trajektoori kõverusraadiuse suhtega. Dünaamika põhiseadused (Newton): 1.(inertsi seadus) masspunkt, millele ei mõju jõude, püsib paigal või liigub ühtlaselt sirgjooneliselt. 2.(määrab jõu ja kiirenduse vahelise sõltuvuse) masspunktile mõjuv jõud annab
1. Funktsiooni diferentseeruvuse geomeetriline tõlgendus. 11. Kumerus, nõgusus, käänupunktid. Seos teist järku tuletisega. Funktsiooni diferentsiaal on kõverjoonele y = f(x) tõmmatud puutuja ordinaadi muut, mis vastab Oeldakse, et funktsiooni f(x) graafik on kumer punktis a (tapsemini punktis (a, f(a))), kui leidub punkti a argumendi numbrile x=dx. selline -umbrus, et funktsiooni f(x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a - , a + ) allpool 2. Funktsiooni kõrgemat järku tuletised
Inertsimoment iseloomustab jäiga keha inertsi pöörlemiskiiruse muutmise suhtes. 10. Esitage seos nurkkiirenduse ja joonkiirenduse vahel. v = ω ∙ r ja sellest tuletis 11. Sõnastage pöördliikumise dünaamika põhiseadus. Jäiga keha dünaamika põhiseaduse järgi võrdub keha välisjõudude peamoment ehk kõigi kehale rakendatud jõudude moment liikumatu punkti suhtes M keha impulsimomendi sama punkti suhtes L tuletisega aja järgi: dL/dt = M. 12. Lahendage võrrandisüsteem (3), leides niidi pinged. Lahendada viimast vist....
- Funktsiooni tuletis on funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus
argumendi muudu lähenemisel nullile. Funktsiooni tuletise väärtus mingis punktis näitab selle
funktsiooni muutumise kiirust selles punktis.
-
5. Joone puutuja võrrand ja selle tuletamine. Selgitav joonis!
- y-y0=k*(x-x0) k=tan =f'(x0)
6. Funktsiooni kasvamispiirkond, kahanemispiirkond ja ekstreemumid.
Kasvamispiirkonna, kahanemispiirkonna ja ekstreemumite seosed funktsiooni
tuletisega.
- Funktsiooni kasvamispiirkond on selline osa määramispiirkonnast, milles suuremale
argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus. x1
s f (t ) Kirjutada punkti liikumise seadus ristkoordinaatides. x f1 (t ) y f 2 (t ) z f 3 (t ) Defineerida punkti liikumise kiirus. Kirjutada ka valem. Punkti liikumise kiirus on selle punkti kohavektori tuletis aja järgi. ds v s dt Milline on punkti kiirusvektori moodul, siht ja suund? Kirjutada ka kiirusvektori vektorvalem. Punkti kiirusvektori moodul on võrdne kaarepikkuse tuletisega aja järgi. Kiirusvektor on trajektoori sihis ja on suunatud mööda trajektoori puutujat liikumise suunas. dr v r dt Defineerida täpselt punkti liikumise kiirus ja kiirendus. Kirjutada ka valemid. ds v s dt
.............................. 19. aine, mida toiduks tarvitatakse - ..................................... 20. ventilatsiooniga kapp laboratoorseteks töödeks - .................... 21. suurima koormusega kellaaeg - ..................................... 22. kõrgem kool - ...................................................... 23. loogelised sulud - .................................................. 24. kartulitest valmistatud puder - ....................................... 3. Asenda liitsõna tuletisega ja vastupidi. Märgi püstkriipsuga liite ja liitsõna piir. anderikas - ......................... võimla - ............................... söögisaal - ......................... haigla - ............................... naislaulja - .......................... lumetu - ............................... kolmekaupa - ....................... saagikas - ............................. kohvipood - ........................
2 2 asinx+bsinx=0 asinx+bcosx+csinxcosx=0 Tuletis (x²)´=2x (u±v)´=u´±v´ (1/x)´=-1/x² (uv)´=u´v+uv´ c´=0 (u/v)´=u´v-uv´/v² x´=1 (x)=1/2x n n-1 (x)´=n x x Liitfunktsioon e. funktsiooni funktsioon y=f(x)-lihtfunktsioon y=sin(x-3)-liitfunktsioon. Liitfunktsioon koosneb sisemisest- ja välimisest funktsioonist. Liitfunktsiooni tuletis on võrdne välisfunktsiooni tuletisega sisemise funktsiooni kohal, mis on korrutatud sisemise funktsiooni tuletisega. [f(x)]´=f´(g(x)) x (g(x))´ sinx´=cosx cosx´=-sinx tanx´=1/cos²x cotx´=-1/sin²x X x x x x (loga)´=1/xlna (a)´= a x lna e=e (lnx)´ =1/x Puutujatõus ja puutujavõrrand tõusunurk I ja III sirge on teravnurk II ja IV sirge on nürinurk k - tan on tõus. Tõusunurga tangens k=tan =y2-y1/x2-x1
v a v1 v2 Joonis 4b. Kiirusvektori suund muutub, suurus ei muutu (v1 = v2). Kiirendusvektor on risti kiirusvektoriga. Punkt liigub ühtlase kiirusega piki ringjoont. Kuidas arvutada kiirenduse komponente? Tangentsiaalkomponendiga on lihtne tegu on kiiruse suuruse muutumisega ja seda saab avaldada tuletisega kiiruse suurusest dv 2 2 2 at = , kus v = v x + v y + v z dt Normaalkomponendi arvutamise valemi tuletame joonise 5 järgi. v2 v1 s R O v1 v v2 v
Muutuja y on x funktsioon, kuid ta ei sõltu temast vahetult, vaid ühe teise funktsiooni kaudu. Liitfunktsiooni tuletise leidmiseks eraldi valemeid ei eksisteeri, seega me tähistame funktsiooni nii, et me selle tuletist leida oskaks. Tuletise leidmiseks tuleb nummerdada arvutusetapid seespoolt väljapoole ning tuletise leidmist alustame väljast poolt sisse. Selleks, et funktsiooni tuletis ei muutuks, tuleb asendatud funktsiooni osa tuletisega kogutuletis läbi korrutada. Liitfunktsiooni tuletis arvutatakse järgmise valemi järgi: yx = yz zx . Korrutise tuletise (tõestus) (u*v)'=u'v+v'u Tõestus: y+y=(u+u)(v+v) y = ( u + u )( v + v ) - ( uv ) = uv + vu + uv y uv + vu + uv = x x y uv + vu + uv uv vu lim = lim = lim + lim + x 0 x x x 0 x 0 x x 0 x uv + lim x 0 x
rahasumma väärtus tulevikus. 19. Milliseid funktsiooni punkte nimetatakse funktsiooni kriitilisteks ja statsionaarseteks punktideks? Punkte x X, kus f `(x) = 0 , nimetatakse funktsiooni y = f(x) statsionaarseteks punktideks. Funktsiooni statsionaarseid punkte ja neid punkte, kus funktsiooni tuletis on lõpmatu või ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni y = f(x) kriitilisteks punktideks. 20. Kirjeldada marginaaltoodangu kahanemise seadust. Kuidas see on seotud funktsiooni teist järku tuletisega? Marginaaltoodangu kahanemise seadus: Tootmise kasvades lisatoodang, mida saadakse muutuvressursi (tooraine, tööjõud jm) iga täiendava ühiku pealt, teatud ressursihulgast alates kahaneb. Selgitus. Olgu Q = f(x) toodangufunktsioon, st funktsioon, mis väljendab toodangu väljalaske sõltuvust kasutatud muutuvressursi kogusest. Siis väljendab lisatoodangut, mis saadakse antud muutuvressursi kogusele x täiendava ühiku lisamisel, ligikaudu marginaaltoodang f'(x). Seega leidub selline
punkte, kus funktsiooni tuletis on lõpmatu või ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni y=f(x) kriitilisteks punktideks. Kirjeldada marginaaltoodangu Marginaaltoodangu kahanemise seadus. kahanemise seadust. Kuidas see Tootmise kasvades lisatoodang, mida on seotud funktsiooni teist järku saadakse muutuvressursi täiendava ühiku tuletisega? pealt, teatud ressursihulgast alates kahaneb Selgitus. Olgu Q = f (x) toodangufunktsioon. Siis väljendab lisatoodangut, mis saadakse antud muutuvressursi kogusele x täiendava ühiku lisamisel, ligikaudu marginaaltoodang f ′( x). Seega
Jne Punktmasside süsteemi liikumishulk: Kogu töö A=(Fx*dx+Fy*dy+Fz*dz) Pöörlev 4)Kaalu ja massi erinevuse mõiste k=mi*vi k=m*vc k=m*vc=m*ac=Fi liikum: dA=Mz*dz Kogu töö A=Mz*dz m=P/g=>P=m*g (vc-süsteemi keskmine kiirus) Igasugune jõud Jõu võimsuseks nim ajaühikus tehtud tööd. Jõudude mõju sõltumatuse print:F mõju võrdub liikumishulga esimese tuletisega aja Võimsus on töö muutumise kiirus punktmassi liikumisele ei sõltu sellest, kas järgi. N=dA/dt=F*dr/dt=F*v punktile on rakendatud peale antud jõu veel teisi Inertsimoment on ristlõikepinda iseloomustav N=Fx*vx+Fy*vy+Fz*vz jõude. Kui punktm-le on rakendatud n jõudu, siis suurus Pöörlev liikum: N=Mz*z =2**n/60, n-
9. Difvõrrandi definitsioon Vaatame diferentsiaalvõrrandit x(t) - 1 = 0. Eelmisest näitest teame, et x(t) = t + C1, ja seega võrrandi üldlahend on x(t) = t2/2 + C1t + C2. Esimest järku diferatsioonivõrrandiks nim võrrandit, mis seab sõltumatut muutujat x otsitava funktsiooniga y=f(x) ning funktsiooni tuletisega y' 11. Cauchy ülesanne F (x,y,y')=0, Diferentsiaalvõrrandit koos hulga algtingimustega nimetatakse algväärtustega ülesandeks ehk Cauchy ülesandeks. dy kus y'= Ülesanded, kus on vaja leida selliseid DV F(x,y,y')=0 lahendeid, mis
Def2 DV y`=f(x,y) nim. homogeenseks, kui f(x,y) on 0-astme homogeenne f-n: F(tx,ty)=f(x,y), t>0 HDV y`=f(x,y) taandub muutujate (x,u) suhtes eraduvate muutujatega DV asendusega u=y/x. Saab kasutada ka asendust v=x/y, siis on muutujad (y,u) Lineaarve DV DV nim. Lineaarseks, kui ta on lineaarne otsitava f-I ja selle tuletise suhtes. Esimest järku lineaarse DV üldkuju on A(x)y`+B(x)y+C(x)=0. Siin A(x) ja B(x) on võrrandi kordajad ning C(x) on vabaliige. Tuletisega liige on võrrandi pealiige. Kui A(x) ei 0 0-ga, siis võime võrrandi mõlemad pooled pealiikme ees oleva kordajaga läbi jagada. y`(x)+B(x)/A(x)*y+C(x)/A(x)=0 Kui asendame B(x)/A(x)=p(x) jaC(x)/A(x)=-q(x) saame võrrandi viia kujule Y`+p(x)y=q(x), kui q(x)=0, siis on tegu LDV (võrrandi puudub vabaliige), kui aga q(x) ei=0, siis tuleb LmitteHDv Bernoulli võrrand y`+p(x)y=q(x)ya kus (- , ) . Kui = 0 või = 1 , siis on tegi L võrrandiga
98. Kas punkti normaalkiirendus võib olla null juhul, kui punkti kiirus on nullist erinev? Jah, võib küll keha sirgjoonelisel liikumisel. 99. Millega on võrdsed punkti kiiruse ja kiirenduse projektsioonid Descartes'i koordinaattelgedel? Kiiruse projektsioonid koordinaattelgedel on võrdsed punkti vastavate koordinaatide esimeste tuletistega aja järgi. Kiirenduse projektsioonid koordinaattelgedel on võrdsed kiiruse projektsioonide esimeste tuletisega aja järgi ehk vastavate koordinaatide teise tuletisega aja järgi. 100. Kirjutada valemid punkti kiiruse suuna ja kiiruse mooduli määramiseks. Vx=Akcos(kt+epsilon) 101. Kirjutada valemid punkti kiirenduse suuna ja kiirenduse mooduli määramiseks. ax=-Ak^2sin(kt+epsilon) 102. Kirjutada valemid punkti kiirenduse suunanurkade määramiseks. 103. Mida nimetatakse loomulikuks teljestikuks punkti liikumisel trajektooril?
98. Kas punkti normaalkiirendus võib olla null juhul, kui punkti kiirus on nullist erinev? Jah, võib küll keha sirgjoonelisel liikumisel. 99. Millega on võrdsed punkti kiiruse ja kiirenduse projektsioonid Descartes'i koordinaattelgedel? Kiiruse projektsioonid koordinaattelgedel on võrdsed punkti vastavate koordinaatide esimeste tuletistega aja järgi. Kiirenduse projektsioonid koordinaattelgedel on võrdsed kiiruse projektsioonide esimeste tuletisega aja järgi ehk vastavate koordinaatide teise tuletisega aja järgi. 100. Kirjutada valemid punkti kiiruse suuna ja kiiruse mooduli määramiseks. Vx=Akcos(kt+epsilon) 101. Kirjutada valemid punkti kiirenduse suuna ja kiirenduse mooduli määramiseks. ax=-Ak^2sin(kt+epsilon) 102. Kirjutada valemid punkti kiirenduse suunanurkade määramiseks. 103. Mida nimetatakse loomulikuks teljestikuks punkti liikumisel trajektooril?
siis leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt c nii, et Tõestus: Lagrange'i teoreem on Cauchy teoreemi erijuht. e. Lagrange'i teoreemi geomeetriline sisu Punktidest A=(a,f(a)) ja B=(b,f(b)) läbi tõmmatud lõikaja tõus võrdub suhtega Viime paralleellükkega sirge t uude asendisse nii, et saadud uus sirge t' oleks joone y=f(x) puutuja. Tähistame puutepunkti x-koordinaadi c-ga. Kuna funktsiooni graafiku puutuja tõus võrdub funktsiooni tuletisega vaadeldavas punktis, siis sirge t' tõus on on f'(c). Kuna sirged t ja t' on paralleelsed, siis on nende tõusud omavahel võrdsed, seega Korrutades b-a-ga saame valemi Lagrange'i teoreem väidab, et sileda joone lõikaja saab paralleellükkega viia selle joone puutujaks. (JOONIS) 26. Sõnastada ja tõestada l'Hospitali reegel tüüpi määramatuse korral a. Sõnastus: Olgu funktsioonid f ja g diferentseeruvad punkti a mingis ümbruses,
dt jõu rakenduspunkti nihe ds, siis dA=fds ning võimsuse saame punkti suhtes M keha impulsimomendi sama punkti suhtes L kujul: tuletisega aja järgi: dL/dt = M. See seadus kehtib ka jäiga keha Ühikud: 1W= J/ s; 1hj= 736 W. pöörlemisel massikeskme ümber, sõltumata sellest, kas massikese on paigal või liigub vabalt.
Magnetilise induktsiooni voog , mis läbib traat raami pindalaga S, on võrdeline raami pinnanormaali ja magnetilise induktsiooni vektori vahelise nurga koosinusega. =BScos Kui raam pöörleb konstanse nurkkiirusega, muutub nurk võrdeliselt ajaga:=t Magnetilise induktsiooni voog muutub seetõttu harmooniliselt =BScost Elektromagnetilise induktsiooni seaduse kohaselt võrdub induktsiooni emj magnetilise induktsioonivoo muutumise kiirusega s.t. magnetilise induktsiooni voo tuletisega aja järgi, võetuna miinusmärgiga: e=-=-BS(cost)'=BSsint= msint, kus m=BS on induktsiooni emj amplituutväärtus. Edaspidi hakkame uurima elektromagnetilisi sundvõnkumisi, mis tekivad vooluahelas sagedusega sinusoidaalse või kosinusoidaalse seaduse järgi harmooniliselt muutuva pinge mõjul:u=UMcost kus UM on pinge amplituutväärtus. Kui pinge muutub seadusega , hakkab voolutugevus vooluahelas sama sagedusega muutuma. Voolutugevuse faas ei pruugi aga pinge faasiga tingimata kokku langema
Siire telje sihis (u) Varda telje punktide teljesihilisi siirdeid põhjustab ainult pikijõud. Pööre ümber varda telje (x) Põhjustab ainult väändemoment Pööre ümber ristlõike peatelje (y) Toimub nii põikjõu kui ka paindemomendi mõjul Siire risti varda teljele (w) Telje punkti siiret telje ristsihis nimetatakse ka varda läbipaindeks. Elastne joon kõverdunud telg, seos w=f(x) elastse joone võrrand y (x)=w`(x) ehk telje pööre võrdub siirde tuletisega. Algparameetrid: algsiire ja algpööre. Integreerimiskonstandid nii ka algparameetrit leitakse rajatingimusest s.t w(x) ja y(x) teadaolevatest väärtustest. Paindemomendi ja põikjõu osatähtsuse võrdlus tala läbipainetes (Mõjutab nii paindemoment kui ka põikjõud.) Põikjõust tingitud siirded on paindemomendist põhjustatud siiretest oluliselt väiksemad. Elastse joone dv w```(x)= -My(x)/EIy(x) Tala elastsejoone universaalvõrrand (Siirete leidmisel piirdume paindemomendi mõjuga)
Trajektoor on kõver, mida punktmass joonistab liikudes.
Kohavektor r määrab üheselt ära keha asukoha ristkoordinaadistikus.
Teepikkus on kõigi antud vahemikus läbitud trajektoorlõikude summa.
2. Kiirus. Ühtlane ja ühtlaselt muutuv liikumine.
Kiirus on vektor/vektoriaalne suurus, mis iseloomustab punktmassi asukoha muutumist
ajavahemikus.
Keskmine kiirus -
vahemikus (a, b) diferentseeruv, siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(b) - f(a) = f´(c)(b - a) . Lagrange'i teoreemi geomeetrilist sisu vaatleme jooniselt 3.8. Punktidest A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)) läbi tõmmatud lõikaja t tõus võrdub suhtega Viime paralleellükkega sirge t uude asendisse nii, et saadud uus sirge t oleks joone y = f(x) puutuja. Tähistame puutepunkti x-koordinaadi c-ga. Kuna funktsiooni graafiku puutuja tõus võrdub funktsiooni tuletisega vaadeldavas punktis, siis sirge t tõus on f(c). Kuna sirged t ja t on paralleelsed, siis on nende tõusud omavahel võrdsed, seega Korrutades b - a-ga saame valemi (3.26). Kokkuvõttes: Lagrange'i teoreem väidab, et sileda joone lõikaja saab paralleellükkega viia selle joone puutujaks. Kõrgemat järku tuletised. Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv hulgas D. Siis on tema tuletis f hulgas D määratud funktsioon. Oletame, et f on samuti diferentseeruv hulgas D
punktideks? Statsionaarsed punktid: Punkte x E X, kus f'(x)=0, nimetatakse funktsiooni y=f(x) statsionaarseteks punktideks. Kriitilised punktid: Funktsiooni statsionaarseid punkte ja neid punkte, kus funktsiooni tuletis on lõpmatu või ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni y=f(x) kriitilisteks punktideks. 2. Kirjeldada marginaaltoodangu kahanemise seadust. Kuidas see on seotud funktsiooni teist järku tuletisega? Tootmise kasvades lisatoodang, mida saadakse muutuvressursi täiendava ühiku pealt, teatud ressursihulgast alates kahaneb. Olgu Q=f(x) toodangufunktsioon. Siis väljendab lisatoodangut, mis saadakse antud muutuvressursi kogusele x täiendava ühiku lisamisel, ligikaudu marginaaltoodang f'(x). Seega leidub selline väärtus x00 et marginaaltoodangufunktsioon kahaneb piirkonnas [x0;[. Siis f''(x)0, mistõttu toodangufunktsioon on kumer alates väärtusest x0. 3
päripäeva ehk negatiivses suunas pöörlemisel vaatleja poole. Vektor v kujutab mõlemal juhul pöörleva ratta välisserval asuva punkti joonkiirust, vektor r raadiusvektorit. Samamoodi on vektoriseloom ka nurkkiirusel ja kiirendusel. Nurkkiiruse vektoriks nimetatakse niisugust vektorit, mille moodul võrdub nurkkiirusega kui pöördenurga tuletisega aja järgi, suund ühtib pöördenurga vektoriga. Et kolm vektorit , v ja r on omavahel risti ja nende moodulid on seotud valemiga v = r , siis vektorkorrutise definitsiooni kasutades võime kirja panna nurkkiiruse ja joonkiiruse vahelise seose vektorkujul: v =×r . (2.24) Siit ajalist tuletist arvutades saaksime valemit (1
Operatsioonisüsteem on programm, mis käitub vahendajana arvutikasutaja ja riistvara vahel. Eesmärkideks on korraldada kasutaja programmide tööd, teha arvutisüsteemi kasutamine mugavaks, organiseerida efektiivne riistvara töö Programmeerimiskeeled: ADA, Java, C, C++, Pascal, PHP, COBOL, Basic CAD tootemudelid võimsuse kasvamise järjekorras: 2D mudel, 2,5D mudel, 3D traatmudel, 3D pinnamudel, 3D tahkekehamudel, funktsionaalne mudel, tolerantsi mudel, füüsilised mudelid Pideva teise tuletisega splainid: Selline kõver tagab, et etteantud sõlmpunktides on pidevad nii funktsioon ise kui ka tema esimene ja teine tuletis. Annab sileda pinna ja ja on sobiv aerodünaamiliste profiilide konstrueerimisel NURBS Non-uniform rational vasis spline. Suurem B-spline üldistus kirjeldamaks peaaegu kõiki jooni ja kujusid, lubab sõlmpunkte ebaühtlaselt paigutada, CAD süsteemides kasutatakse peamiselt vabapindade kirjeldamiseks. Paindlikkus ja täpsus lubab NURBS
Operatsioonisüsteem on programm, mis käitub kui vahendaja arvutikasutaja ja riistvara vahel. Eesmärgid: korraldada kasutaja programmide tööd; teha arvutisüsteemi kasutamine mugavaks; organiseerida efektiivne riistvara töö 16. Nimetada 5 programmeerimiskeelt. C; C++; Basic; Java; JavaScript 17. Loetleda erinevad CAD tootemudelid. 2D-mudel; 2 1/2D-mudel; 3D- traatmudel; 3D-pinnamudel; tolerantsi mudel; füüsilised mudelid 18. Pideva teise tuletisega splainid. Nende kasutamise põhjused. Selline kõver tagab, et etteantud sõlmpunktides on pidevad nii funktsioon ise, kui ka tema esimene ja teine tuletis: y(-)=y(+) y'(-)=y'(+) y''(-)=y''(+) Kuna selline kõver annab küllaltki sileda pinna on see sobilik kasutamiseks aerodünaamiliste profiilide konstrueerimisel. 19. Mis on NURBS? NURB = Non-Uniform Rational B-spline ·Suurem B-spline üldistus kirjeldamaks peaaegu kõiki jooni ja kujusid
1. Milliseid funktsiooni punkte nimetatakse funktsiooni kriitilisteks ja statsionaarseteks punktideks? Statsionaarsed punktid: Punkte x e X, kus f´(x)=0, nimetatakse funktsiooni y=f(x) statsionaarseteks punktideks. Kriitilised punktid: Funktsiooni statsionaarseid punkte ja neid punkte, kus funktsiooni tuletis on lõpmatu või ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni y=f(x) kriitilisteks punktideks. 2. Kirjelda marginaaltoodangu kahanemise seadust. Kuidas see on seotud funktsiooni teist järku tuletisega? Tootmise kasvades lisatoodang, mida saadakse muutuvressursi täiendava ühiku pealt, teatud ressursihulgast alates kahaneb. Olgu Q=f(x) toodangufunktsioon. Siis väljendab lisatoodangut, mis saadakse antud muutuvressursi kogusele x täiendava ühiku lisamisel, ligikaudu maginaaltoodang f´(x). Seega leidub selline väärtus x00 et marginaaltoodangufunktsioon kahaneb piirkonnas [x0;[. Siis f´´(x)0, mistõttu toodangufunktsioon on kumer alates väärtusest x0. 3
Kasutusalasid. Joone puutujat L(x) kasutatakse originaalse funktsiooni f(x) lokaalseks lineaarseks lähendamiseks f(x)≈f(a)+f’(a)(x-a) Kasutusalad: füüsika, optika, matemaatika 18. Funktsiooni muut ja argumendi muut (definitsioonid, tähendused graafiliselt). Definitsioon: Tähendus graafiliselt: 19. Funktsiooni diferentsiaal. Diferentsiaali geomeetriline tõlgendus (võrdlus funktsiooni tuletisega). Funktsiooni diferetsiaaliks nimetatakse funktsiooni, mis avaldub korrutisena, mille tegurid on funktsiooni tuletis kohal x ja argumendi muut dy=f’(x)*dx Võrdlus: 20. L’Hospitali reegel. f ' ( x) lim ¿ x→ a g '( x ) f (x ) lim ¿ x →a =¿ g (x) ¿ 21. Funktsiooni lokaalsed ja globaalsed ekstreemumid
suurus muudu suhtes. Geomeetriliselt kujutab diferentsiaal funktsiooni graafiku puutuja ordinaadi muutu. Et argumendi diferentsiaal võrdub argumendi muuduga s.o dx=x, ja funktsiooni diferentsiaal on kujul dy=f'(x)dx siis dy/dx=f'(x). Seega võrdub funktsiooni tuletis funktsiooni diferentsiaali ja argumendi jagatisega. Joone puutuja ja normaal Normaalik punktis M0 nimetakse sirget, mis läbib punkti M0 ja on risti puutujaga. Puutuja tõus k=tana on võrdne funktsiooni y tuletisega argumendi väärtusel x0 Funktsiooni uurimine Funktsiooni uurimise all mõistetakse, et tuleb leida kõik või osad järgnevatest funktsiooni iseloomustavatest suurustest (punktid, piirkonnad jne). 1. Määramispiirkond (so nende x väärtuste hulk, millas funktsiooni avaldis on arvutatav). 2. Nullkohad, so graafiku lõikepunktid x teljega (f(x)=0). 3. Graafiku sümmeetrilisus koordinaattelgede ja nullpunkti suhtes: f(-x) = f(x) paarisfunktsioon, sümmeetriline y telje suhtes;
pööriselektrivälja, see omakorda elektromotoorjõu, suletud kontuuri korral tekib induktsioonivool. Seadus: induktsiooni elektromotoorjõu absoluut väärtus on võrdne magnetvoo muutumuse kiirusega. Valem: Lenzi reegel: induktsioonivoolu suuna määramiseks. Induktsiooni voolu suund on selline, et ta oma magnetväljaga püüab kompenseerida teda esile kutsuva magnetvälja muutumist. Elektromotoorjõu absoluutväärtuse hetkväärtus on võrdne magnetvoo tuletisega aja järgi. Eneseinduktsiooni nähtus on elektromagnetilise induktsiooni erijuht. Seisneb selles, et muutuv vool indutseerib elektromootorjõu samas juhis, Juhi induktiivsus näitab eneseinduktsioon elektromotoorjõud on võrdelinevoolutugevuse muutumise kiirusega. Võrdetegur iseloomustab juhti ja nim induktiivsuseks. Iseloomustab juhi inertsust voolutugevuse muutumise suhtes. Magnetvälja energia : (Magnetvälja tekitamiseks tuleb kulutada elekrienergiat ja vastupidi:
Seega, täisring 360 kraadi vastab 2 radiaanile (1 rad=57.3 kraadi) ja üks tiir sekundis tähendab nurkkiirust 2 radiaani sekundis. Radiaan on dimensioonitu suurus. Nurk, millele vastab raadiuse pikkusega võrdne kaar. Punkti kiirus Kiiruseks antud hetkel nimetatakse punkti siirdevektori ja ajavahemikku, mille kestel see siire toimus, suhete piirväärtust, kui see ajavahemik läheneb nullile. Punkti kiirus võrdub punkti kohavektori tuletisega aja järgi. Punkti kiirus on vektor , mille suund on piki trajektoori puutujat punkti liikumise suunas. Kiiruse dimensioon on kus L on pikkus, mille tähis on m, T on aeg, mille tähis on s. Liikumise mõiste ja suhtelisus Kõikide liikumiste ühiseks tunnuseks on see, et keha asukoht muutub. Seejuures on vaja liikumise kindlaks tegemiseks ja uurimiseks mõnda teist keha, mille suhtes me asukohta määrame. Liikumine toimub alati millegi suhtes, see tähendab, et liikumine on suhteline.
= f (t ) A = f (t ) 99.Kirjutada punkti liikumise seadus Descartes'i ristkoordinaatides. x = f 1 (t ) y = f 2 (t ) z = f 3 (t ) 100. Defineerida punkti liikumise kiirus. Kirjutada ka valem. Punkti liikumise kiirus on selle punkti kohavektori tuletis aja järgi. ds v= = s dt 101. Milline on punkti kiirusvektori moodul, siht ja suund? Kirjutada ka kiirusvektori vektorvalem. Punkti kiirusvektori moodul on võrdne kaarepikkuse tuletisega aja järgi. Kiirusvektor on trajektoori sihis ja on suunatud mööda trajektoori puutujat liikumise suunas. dr v= = r dt 102. Defineerida punkti liikumise kiirus ja kiirendus. Kirjutada ka valemid. ds Punkti liikumise kiirus on selle punkti kohavektori tuletis aja järgi. v= = s dt
f ( b )-f ( a ) ' =f ( c )¿ b-a f ( b )-f ( a )=f ' (c )(b-a) b-a Lagrange'i teoreemi geomeetriline sisu Punktidest A=(a,f(a)) ja B=(b,f(b)) läbi tõmmatud lõikaja tõus võrdub suhtega f ( b )-f ( a ) b-a Viime paralleellükkega sirge t uude asendisse nii, et saadud uus sirge t' oleks joone y=f(x) puutuja. Tähistame puutepunkti x-koordinaadi c-ga. Kuna funktsiooni graafiku puutuja tõus võrdub funktsiooni tuletisega vaadeldavas punktis, siis sirge t' tõus on on f '(c). Kuna sirged t ja t' on paralleelsed, siis on nende tõusud omavahel võrdsed, seega f ( b )-f ( a ) ' =f ( c ) b-a Korrutades b-a-ga saame valemi f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) Lagrange'i teoreem väidab, et sileda joone lõikaja saab paralleellükkega viia selle joone puutujaks. 26. Sõnastada ja tõestada l'Hospitali reegel 0 0 tüüpi määramatuse korral.
Ringjoon kõige ideaalsem joon. „De revolutionibus orbium coelestium“, kus püüdis kirjeldada taevakehade liikumist heliotsentrilisest vaatepunktist. Christiaan Huygens (1629-1695) - parandas Descartes’i füüsikas nii mõnegi vea, leiutas 1657 pendelkella Isaac Newton (1642-1727) – hoidis maailmapildid – teaduslik ja religioosne – eraldi. formuleeris diferentsiaalarvutuse alused. Liikumishulga kui vektori 𝑝⃗ muutumise tempot saab kirjeldada selle ajalise tuletisega. Newtoni esimene seadus: Kui kehale mõjuvad jõud on tasakaalus, liigub keha ühtlaselt ja sirgjooneliselt. Newtoni teine seadus: Kiirendus on võrdeline mõjuva jõuga ja pöördvõrdeline keha massiga. Newtoni kolmas seadus: Kahe keha vastastikused mõjud on võrdsed ja suunatud vastaspooltele. Ülemaailmne gravitatsiooniseadus. Prismakatse - Ta järeldas, et valge valgus koosneb paljudest värvidest, millel on erinevad murdumisnäitajad.
lõigul f (x) g(x) . Kui tasandiline kujund on ülalt piiratud funktsiooni y = f (x) graafikuga, alt funktsiooni y = g(x) graafikuga ning külgedelt sirgetega x = a ja x = b, siis selle kujundi pindala on võrdne määratud integraaliga: 37. Hariliku diferentsiaalvõrrandi mõiste, järk, üld- ja erilahend. Harilik diferentsiaalvõrrand võrrand, milles otsitavaks on funktsioon y = f(x) ning mis seob funktsiooni y tema tuletisega y', y'', y''', ..., y(n) ja sõltumatu muutuja x-ga. Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis seob otsitava ühe või mitme muutuja funktsiooni tema tuletiste ja argumentidega. Kui otsitavaks on ühe muutuja funktsioon, siis kõneldakse harilikust diferentsiaalvõrrandist. kui otsitavaks on mitme muutuja funktsioon, on tegemist osatuletistega diferentsiaalvõrrandiga. diferentsiaalvõrrandi järk võrrandis esinevate tuletiste kõrgeim järk.
Järelikult muutub silindri pikkus laine mõjul suuruse võrra. Tema suhteline pikenemine avaldub = . x Silindri suhtelise pikenemise punkti x lähiümbruses saame järelikult piirile x 0 minnes. Siis silindri vasakpoolses otsas ( x) = ( x) , x kus tuletise väärtus on arvutatud punktis x. Suhteline pikenemine punkti x + x lähiümbruses võrdub samamoodi arvutatud tuletisega p ( x + x ) = ( x + x ) . x Vastavalt valemile (4.17) silindri vasakpoolses otsas tekib deformatsiooni tõttu mehhaaniline pinge ( x) = ( x ) = ( x) , x mehhaanilise pinge definitsioonvalemi (4.16) põhjal peab siis silindri vasakule põhjale mõjuma elastsusjõud F ( x ) = ( x ) S = S ( x) . x Sarnaselt mõjub silindri paremale põhjale elastsusjõud
vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et Lagrange'i teoreemi geomeetrilist sisu vaatleme jooniselt. Punktidest A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)) läbi tõmmatud lõikaja t tõus võrdub suhtega Viime paralleellükkega sirge t uude asendisse nii, et saadud uus sirge t oleks joone y = f(x) puutuja. Tähistame puutepunkti x-koordinaadi c-ga. Kuna funktsiooni graafiku puutuja tõus võrdub funktsiooni tuletisega vaadeldavas punktis, siis sirge t tõus on f(c). Kuna sirged t ja t on paralleelsed, siis on nende tõusud omavahel võrdsed, seega Korrutades b - a-ga saame valemi . Kokkuvõttes: Lagrange'i teoreem väidab, et sileda joone lõikaja saab paralleellükkega viia selle joone puutujaks. 23. Kõrgemat järku tuletiste ja diferentsiaalide definitsioonid (kõrgemat järku diferentsiaalide valemeid ei kusi). Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv hulgas D
piirväärtusena ajavahemikul dt. 2. Kiirusvektor. Kiirusvektori projektsioonid. Kiirusvektor v on vektor, mille moodul võrdub absoluutv trajektoori kaarepikkuse tuletisest aja järgi ja mis on suunatud mööda trajektoori puutujat liikumise suunas ja tema rakenduspunktiks on trajektoori see punkt, milles liikuv keha parajasti asetseb. v=ds/dt on ühtlase sirgjoonelise liikumise suhe. Kiirusvektori projektsioonid võrduvad liikuva punkti ristkoordinaatide tuletisega aja järgi: Vx=x; Vy=y; Vz=z. 3. Normaal ja tangentsiaalkiirendus Trajektoori puutujasihilist kiirendusvektori komponenti at nim tangensiaal, ehk puutekiirenduseks. See esineb alati kui kiirus suurusepoolest muutub- mitteühtlane liikumine. Trajektoori peanormaalisuunalist komponenti an=v2/R, nim normaalkiirenduseks. Erineb alati 0-st kui liikumine on kõverjooneline ja suunatud trajektoori kõveruse poole. 4. Jäiga keha pöörlemine ûmber kinnistelje. Keha pöörlemise vôrrand
Öeldakse et joon y = f(x) on nõgus kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. Öeldakse et joon y = f(x) on kumer kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb. Kui puutuja tõus suureneb siis joon muutub järsemaks. Seega nõgus joon kaardub ülespoole. Seevastu puutuja tõusu vähenedes muutub joon laugjamaks. Seega kumer joon kaardub allapoole. Kuna joone y = f(x) puutuja tõus punktis (x, f(x)) võrdub funktsiooni f tuletisega siis me võime väita et seal kus f ` kasvab on joon y = f(x) nõgus ja seal kus f ` kahaneb on joon y = f(x) kumer. Saame järgmised laused: 1. Kui f ` ` (x) > 0 iga x (a; b) korral siis f ` on kasvav vahemikus (a; b). 2. Kui f ` ` (x) < 0 iga x (a; b) korral siis f ` on kahanev vahemikus (a; b). Nende lausete põhjal saame sõnastada järgmised väited: 1. Kui f ` ` (x) > 0 iga x (a; b) korral siis joon y = f(x) on nõgus vahemikus (a; b). 2
Tõepoolest, võttes Cauchy teoreemis g(x) = x saame g(b) = b, g(a) = a, g(c) = 1 ja valemist järeldubki . Lagrange'i teoreemi geomeetrilist sisu vaatleme jooniselt. Punktidest A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)) läbi tõmmatud lõikaja t tõus võrdub suhtega Viime paralleellükkega sirge t uude asendisse nii, et saadud uus sirge t oleks joone y = f(x) puutuja. Tähistame puutepunkti x-koordinaadi c-ga. Kuna funktsiooni graafiku puutuja tõus võrdub funktsiooni tuletisega vaadeldavas punktis, siis sirge t tõus on f(c). Kuna sirged t ja t on paralleelsed, siis on nende tõusud omavahel võrdsed, seega Korrutades b - a-ga saame valemi . Kokkuvõttes: Lagrange'i teoreem väidab, et sileda joone lõikaja saab paralleellükkega viia selle joone puutujaks. 26. Sõnastada ja tõestada l'Hospitali reegel 0/0 tüüpi määramatuse korral. l'Hospitali reegli põhjal saab 0/0 tüüpi määramatusega piirväärtuse arvutamisel üle minna piirväärtusele, mille
24. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui P_1 (x)=f(a)+f^' (a)(x-a). 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); Funktsioon P1(x) koos oma tuletisega langeb punktis x = a kokku funktsiooniga f(x), st 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). P_1 (a)=f(a),P_1^' (a)=f^' (a). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1
· Millal on punkti normaalkiirendus võrdne nulliga? Millal on punkti tangentsiaalkiirendus võrdne nulliga? Millal on punkti kogukiirendus võrdne nulliga? Normaalkiirendus on võrdne nulliga punkti sirgjoonelisel liikumisel. Tangentsiaalkiirendus on võrdne nulliga, kui keha liigub ühtlaselt. · Millega on võrdsed normaal- ja tangentsiaalkiirendused punkti sirgjoonelisel ebaühtlasel liikumisel? Normaalkiirendus on võrdne nulliga ja tangentsiaalkiirendus on võrdne kiiruse tuletisega aja kaudu. · Millega on võrdsed normaal- ja tangentsiaalkiirendused punkti kõverjoonelisel kuid ühtlasel liikumisel? at= 0 an=v2/r · Kuidas leida nurka kiirusvektori ja kiirendusvektori vahel punkti kiireneva ringliikumise korral? Rööpküliku abil. · Kuidas leida nurka kiirusvektori ja kiirendusvektori vahel punkti aeglustuva ringliikumise korral? Rööpküliku abil · Millega on võrdne nurk kiirusvektori ja kiirendusvektori vahel punkti aeglustuva sirgjoonelise
= ∙ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 22. Kõrgemat järku tuletiste leidmine. 23. Lineaarne lähendamine (selgitada ideed, valem). Kasutusalasid. Joone puutujat L(x) kasutatakse originaalse funktsiooni f(x) lokaalseks lineaarseks lähendamiseks punkti x = a ümbruses, st Diferentsiaale kasutatakse veaarvutustes. 24. Funktsiooni muut ja argumendi muut (definitsioonid, tähendused graafiliselt). 25. Funktsiooni diferentsiaal. Diferentsiaali geomeetriline tõlgendus (võrdlus funktsiooni tuletisega). Näiteid vea-arvutuse juures. 26. L’Hospitali reegel. Millal saab kasutada? Seega, lisaks 0/0 määramatusele, saab L'Hospitali reeglit kasutada veel ka määramatuste ∞/∞ korral. L'Hospitali reegel taandab funktsioonide suhte piirväärtuse arvutamise nende funktsioonide tuletise suhte piirväärtuse arvutamisele. Siinjuures on oluline kontrollida, et oleks määramatusega tüüpi 0/0 või ∞/∞! 27
Seega nõgus joon kaardub ülespoole. Seevastu puutuja tõusu vähenedes muutub joon laugjamaks. Seega kumer joon kaardub allapoole. Kuna joone y = f(x) puutuja Kui meil eksisteerib ka (n+1)-järku tuletis f(n+1)(b) , b ϵ [a,x] , siis saame jääklikmele nn tõus punktis (x, f(x)) võrdub funktsiooni f tuletisega siis me võime väita et seal kus f ‘ kasvab on joon y = . Lagrange kuju: f(x) nõgus ja seal kus f ‘ kahaneb on joon y = f(x) kumer. Saame järgmised laused: 1. Kui f ‘ ‘ (x) > 0 iga x (a; b) korral siis f ‘ on kasvav vahemikus (a; b). 2
Maksimum- ja miinimumkoha eraldamiseks uurime funktsiooni tuletise märgi muutumist tuletise iga nullkoha ümbruses või funktsiooni teise tuletise märki tuletise nullkohal. Kui punkti P abstsiss on leitud, asendame selle seosesse y f x ja arvutame punkti P ordinaadi. 2) Olgu puutepunkt M x0 ; y 0 . Teame, et funktsiooni y f x graafiku puutuja tõus kohal x0 on võrdne funktsiooni tuletisega sellel kohal, seega a f x0 . Kuna punkt M x0 ; y 0 asetseb nii joonel y f x kui ka puutujal y ax b saame koostada võrrandisüsteemi: # y0 ax0 b " , kus a f x0 . ! y0 f x0 Kui võrrandite vasakud pooled on võrdsed, peavad olema võrdsed ka paremad pooled, seega f x0 f x0 x0 b . Lahendades saame punkti M abstsissi x0 (I). (II) 2) Lahendades võrrandi a f x0 saame punkti M abstsissi x0 .
on autonoomne kui võrrandite paremad pooled ei sisalda sõltumatut muutujat t. (18.1) Süsteemi (18.1) üldlahendiks on funktsioonide parv: kus C1 ja C2 on suvalised konstandid. Seega on süsteemi (18.1) üldlahendiks kaheparameetriline joonte parv xy- tasandil. Joonteparve kvalitatiivne käitumine on määratud x ja y käitumisega t kasvades. Def 18.2 n-järku dif.võr faasiruumiks nim n-mõõtmelist ruumi, mille punktid on määratud funktsiooni ja tema tuletisega. Kui võrrand kirjeldab mingit süsteemi, siis lahendi punkt faasiruumis kirjeldab süsteemi olekut muutuja x teatud väärtuse korral. Muutuja x kasvamise korral moodustavad punktid faasijoone ehk trajektoori või orbiidi. Def 18.2' n-esimest järku dif.võr süsteemi faasiruumiks on n-mõõtmeline ruum . Lahendi punktid moodustavad t kasvades faasiruumis faasijooned ( trajektoorid või orbiidid).
Võtame lainevõrrandist osatuletised koordinaatide järgi ja liidame kokku. Et siis NB! Siintoodu ei ole laine diferentsiaalvõrrandi koostamine füüsikalises mõttes, vaid eelnevalt olemas oleva lahendi - tasalaine võrrandi - diferentseerimine. Analoogiliselt saame Pärast liitmist saame ehk kus on Laplace'i operaator (vt. vektoranalüüs!) ja k lainearvu vektori k(nool peal) moodul. Meelde jätta! Võrreldes saadut lainevõrrandi teist järku tuletisega aja järgi näeme, et ehk mis ongi laine diferentsiaalvõrrand. · Laine energia ja energiavoog (tuletusega). 17 loeng neli optika põhiseadust: Valgusõpetus tugineb Newtoni poolt formuleeritud neljale põhiseadusele. 1. Valgus levib sirgjooneliselt. 2. Valguskiired on sõltumatud: iga kiir levib ruumis nii, nagu poleks teisi olemas. 3. Valguse peegeldumisel tasaselt pinnalt on langev kiir, peegeldunud kiir ja
annaabi.ee 
