Liikumine ruumis (0)

LIIKUMINE RUUMIS
Kiirus
Punkti kohavektor oli r = xi + y j + z k . Joonisel 1 liigub objekt punktist P1 punkti P2, mille kohavektorid on vastavalt r1 ja r2 . Nihe on vektor , mis viib liikumise algpunktist liikumise lõpppunkti. Joonisel 1 on nihkevektoriks r = r2 - r1 . Trajektoor on joon, mida mööda punkt liigub. Trajektoor on skalaar. Trajektoori mööda ds mõõdetakse tee pikkust. Kui tee pikkus on s, siis kiiruse suurus on v = . dt
Joonis 1. Punkti liikumine mööda trajektoori
Objekti liikumine mööda trajektoori asendist P1 asendisse P2 toimub aja t jooksul. Keskmine kiirus selle aja jooksul on r2 - r1 r v av = = t 2 - t1 t Skalaariga jagamine ei muuda vektori suunda. Seega v av on paralleelne nihkevektoriga r . Kui nüüd lasta r 0 , siis P2 P1 ja v av v . Seega r d r v = lim = t 0 t dt
Kiirusvektor on kohavektori tuletis aja järgi.
Kiiruse suund ühtib liikumise suunaga ja on trajektoorile puutujaks. Formaalselt saame hetkkiiruse (kui vektori) üles kirjutada komponentides: v = vx i + v y j + v z k Teiselt poolt saame kasutada teadmist, et kiirusvektor on nihkevektori ajaline tuletis:
v= dr d = dt dt ( dx xi + y j + z k = i + dt dy dt ) dz j+ k dt Järelikult kiirusvektori komponendid on kohavektori koordinaatide tuletised aja järgi. Kiiruse suurus on kiirusvektori pikkus: 2 2 2 v = vx + v y + vz
Tuleb selgesti vahet teha kiirusvektori ( velocity ) ja kiiruse suuruse ( speed ) vahel. Esimene on vektor ja teine skalaar.
Kiirendus
dv Kiirendusvektor on kiirusvektori tuletis aja järgi: a = . Tõestuseks vaatame joonist 2. dt
v2 P2 v1 v v1 v2 ak P1 v1
P1 a
v Joonis 2. Vektor ak =kujutab endast keskmist kiirendust punktide P1 ja P2 vahel, kusjuures t v = v 2 - v1 . Hetkkiirenduse a punktis P1 saame, kui laseme ajavahemiku läheneda nullile . Olgu punktis P1 hetkel t1 kiirus v1 ja punktis P2 hetkel t2 kiirus v 2 . Siis keskmine kiirendus selle aja jooksul on v 2 - v1 v ak = = t 2 - t1 t Hetkkiirenduse saame, kui laseme t läheneda nullile: dv a= q.e.d. dt
Kiirusvektor oli suunatud piki trajektoori puutujat. Kiirendusvektoriga on lugu teisiti: · Kiirendusvektor on üldjuhul suunatud trajektoori nõgususe poole · Kõverjooneline liikumine ilma kiirenduseta on võimatu · Kiirendus on suunatud piki trajektoori ainult sirgjoonelisel liikumisel
Kiirenduse tekitab muutus punkti liikumise kiiruse suuruses ja/või liikumise suunas. Seetõttu on mõistlik jagada kiirendusvektor kaheks komponendiks a = at + a n kus at on kiirenduse tangentsiaalkomponent ja a n on kiirenduse normaalkomponent (vt joonis 3). Siin peab selgitama väljendit kõverusraadius. Nimelt saab igast kõverjoone punktist (välja arvatud käänupunktid) lähtudes joonistada sinna ringjoone, millel on antud kõverjoonega üks ühine punkt. Mida suurem on kõverusringjoone raadius, seda lamedam on kõverjoon. Sirge puhul R = . Kõverusringjoone raadius on uuritavas punktis risti kõverjoonega.
v at
P
a Trajektoori kõverusraadius an Joonis 3. Kiirendusvektori komponendid. Tangentsiaalkomponent at on suunatud piki trajektoori puutujat, st kiirusvektoriga samas suunas. Normaalkomponent on suunatud piki trajektoori kõverusraadiust punktis P.. Kaks piirjuhtu on näidatud joonisel 4. Joonisel 4a näidatud juhul on kiirendusel ainult tangentsiaalkomponent: a = at . Joonisel 4b näidatud juhul on kiirendusel ainult normaalkomponent: a = a n . Üldjuhul on kiirendusel olemas mõlemad komponendid.
v
a
v1 v2 Joonis 4a. Kiirusvektori suurus muutub, suund ei muutu. Kiirendusvektor on paralleelne kiirusvektoritega. Punkt liigub sirgjooneliselt.
v a v1
v2 Joonis 4b. Kiirusvektori suund muutub, suurus ei muutu (v1 = v2). Kiirendusvektor on risti kiirusvektoriga. Punkt liigub ühtlase kiirusega piki ringjoont .
Kuidas arvutada kiirenduse komponente?
Tangentsiaalkomponendiga on lihtne ­ tegu on kiiruse suuruse muutumisega ja seda saab avaldada tuletisega kiiruse suurusest dv 2 2 2 at = , kus v = v x + v y + v z dt
Normaalkomponendi arvutamise valemi tuletame joonise 5 järgi.
v2 v1
s
R O
v1 v
v2
v
an
O Joonis 5. Kiirenduse normaalkomponendi arvutusvalemi tuletamine Olgu v1 = v2 = v st liikumise kiiruse suurus ei muutu. Järelikult on meil tegu erijuhuga, kus kogu kiirendus koosneb normaalkiirendusest. Joonisel on O kõveruskeskpunkt, R aga kõverusraadius. Kahest sarnasest kolmnurgast koostame võrde
v s v = , millest avaldame v = s v R R
Keskmise kiirenduse suurus on seega v v s s a nk = = , kus on keskmine kiiruse suurus (average speed) t R t t
s Kui laseme ajavahemiku läheneda nullile, läheneb keskmine kiiruse suurus kiiruse t v2 suurusele mingil ajahetkel v ja saame a n = R
Suhteline liikumine klassikalises füüsikas
Keha P liigub süsteemis B ja süsteem B liigub süsteemis A. Kui P kiirus süsteemi B suhtes on v P / B ja B kiirus A suhtes v B / A , siis P kiirus süsteemi A suhtes on vP / A = vP / B + vB / A Kui B kiirus A suhtes on v B / A , siis A kiirus B suhtes on - v A / B