Kinemaatika (0)

Sisukord

Sissejuhatus 2
Kinemaatika mõiste 3
Jäiga keha kinemaatika 4
Loomulik viis 5
Koordinaadid 6
Nihe 8
Ringjooneline liikumine 9
Punkti kiirus 11
Liikumise mõiste ja suhtelisus 11
Liikumise liigid 11
Punkti liitliikumine 12
Punktmass ja trajektoor 12
Coriolise teoreem 13

Sissejuhatus

Füüsika uurib loodust ja sealhulgas ka liikumist. Füüsika see haru, mis uurib liikumist ja selle muutumise põhjusi, kannab nime mehaanika . Mehaanika tekkis antiikajal , mil hakati rasket käsitsitööd kergemaks muutvaid masinaid ehitama. Et masinaid täiustada, tuli lähemalt tundma õppida eelkõige neid nähtusi, mis masinates aset leidsid . Tuli uurida liikumist ning liikumist mõjutavaid tegureid. Sõna „mehaanika“ ongi tulnud kreeka keelest (μηχανικ? — masinatesse puutuv).
Tänapäeval ei piirdu mehaanika ainult masinate ehitamisega, vaid uurib liikumist üldisemalt.
Mehaanikat saab jaotada kolmeks haruks: Kinemaatika, dünaamika, staatika
Alljärgnev referaat räägibki kinemaatika osast üldisemalt.

Kinemaatika mõiste

Kinemaatika (kreeka keelest kinēma - liigutus, liikumine) on mehaanika osa, mis tegeleb keha või masspunkti liikumise matemaatilise kirjeldamisega.
Kinemaatikaks nimetatakse teoreetilise mehaanika osa, milles uuritakse materiaalsete kehade liikumise geomeetrilisi omadusi.
Kinemaatika uurib ja kirjeldab kehade liikumist ruumis. Seejuures pole oluline, mis on liikumise põhjuseks. Näiteks saab kinemaatikaseaduste abil arvutada, kui kõrgele lendab otse üles visatud kivi. Selleks kasutatakse liikumisvõrrandeid.
Kinemaatika üheks põhimõisteks ja põhiliseks suuruseks on aeg (). See koosneb hetkedest. Kinemaatika jaguneb  ja deformeeruva keskkonna kinemaatikaks. Kinemaatikas ei ole aksioome ning rajaneb geomeetria aksioomidele.
Aeg
mehaanikas on pidevalt ja ühtlaselt muutuv skalaarne suurus, mis ei sõltu üheski ruumipunktis ega üheski taustsüsteemis keha liikumisest . Aeg on sõltumatu muutuja . Kõiki teisi muutuvaid suursi vaadeldakse aja
funktsioonidena.
on alati aja lugemise algus.

Jäiga keha kinemaatika

Jäiga keha kinemaatikas (ja punktmassi kinemaatikas) kasutatavate põhiliste suuruste seas on teepikkus s (nihe), kiirus v ja kiirendus a, nurkkiirus ja nurkkiirendus. Põhimõistete seas on trajektoori mõiste. Kõik need põhinevad kehade või punktmasside võimalikest asukohtadest kui punktidest koosneva ruumi mõistel. Jäik keha on vaadeldav masspunktide jäigalt seotud rühmana. Jäiga keha puhul lisanduvad nimetatud kolmele vabadusastmele veel kolm pöörlemise vabadusastet.
Kinemaatika mõistete hulka ei kuulu näiteks jõu, impulsi ja energia mõiste.
Jäiga keha tasapinnaliseks liikumiseks nimetatakse sellist liikumist, mille puhul kõik tema punktid liiguvad tasapindades, mis on paralleelsed mingi antud liikumatu tasapinnaga. Järelikult tasapinnalise liikumise korral liiguvad kõik antud tasapinnaga risti olevad sirged translatoorselt ehk iseendaga paralleelselt.
Piisab , kui uurida jäiga keha tasapinnalise liikumise üht ainsat lõiku, mis on paralleelselt liikumatul tasapinnal .

Loomulik viis

Liikumise määramise loomuliku viisi puhul antakse ette punkti trajektoor ja ta liikumise seadus sel trajektooril.
Kõikide liikumiste ühine tunnus on see, et keha asukoht muutub. Liikumine toimub alati millegi suhtes, st liikumine on suhteline.
Liikumise suhtelisus tähendab seda, et erinevate kehade suhtes võib liikumine väga erinev olla. Keha, mille suhtes me vaatleme teiste kehade asukohta ruumis, nimetatakse taustkehaks. Taustsüsteemiks nimetatakse taustkehaga seotud koordinaatsüsteemi ning ajaloendamismeetodit ehk kella.
Kui me räägime keha liikumisest, siis mõtleme selle all enamasti punktmassi liikumist. Punktmassiks nimetatakse sellist keha, mille mõõtmed loetakse nulliks. Kehaks võetakse punkt, mille mass on sama suur kui keha mass. Kuju ja mõõtmed jäetakse lihtsuse mõttes arvestamata.
Keha ei või siiski igas olukorras punktmassiks lugeda. Näiteks praamile sõitmisel on auto mõõtmed vägagi olulised. Need punktid, mida liikuv keha (punktmass) läbib, moodustavad alati mingi pideva joone. Seda joont, mida mööda keha liigub, nimetatakse trajektooriks.

Koordinaadid

Keha asukoha kirjeldamiseks kasutatavaid arve nimetatakse koordinaatideks. Koordinaadisüsteem ehk koordinaadistik ehk koordinaatide süsteem on eeskiri , mis määrab punkti asukoha ühe või enama arvu abil.
Enam levinud koordinaadid on lineaarsed koordinaadid, mille alla kuuluvad ristkoordinaadid ja kaldkoordinaadid. Kõverjoonelised koordinaadid kahemõõtmelises ruumis, mille alla kuuluvad polaarkoordinaadid, elliptillised koordinaadid, paraboolsed koordinaadid, hüperboolsed kordinaadid, bipolaarsed koordinaadid.
On ka olemas kõverjoonelised koordinaadid kolmemõõtmelises ruumis, mille alla kuuluvad silindrilised ja sfäärilised koordinaadid.
Punkti asukoha üheseks määramiseks vajalik koordinaatide arv on ruumi mõõde ehk dimensioon . Koordinaatide määramiseks valitakse mingid kindlad suunad, milles asukohta taustkeha suhtes mõõdetakse. Samuti lepitakse kokku mõõtühikud. Kokkulepitud mõõtmissuunad, mõõtühikud ja asukoha mõõtmise eeskirjad moodustavad koordinaadistiku ehk koordinaatsüsteemi. Kõige sagedamini kasutatav koordinaat -teljestik on sirgete ristiolevate telgedega niinimetatud ristkoordinaadid ehk Cartesiuse koordinaadid. Selles teljestikus määratakse keha asukoht kolme kauguse kaudu: alustades liikumist koordinaatide lõikepunktist, esiteks liikudes piki x-telge, siis ristisuunas piki y-telge ja lõpuks ristisuunas piki z-telge. Kaugused x, y ja z kokkuleppelisest nullpunktist (telgede lõikepunktist) ongi keha riskoordinaadid.
Joonis 1. Cartesiuse ehk Descartes ’i ristkoordinaadistik
Liikumise määramise viisi, mis seisneb punkti koordinaatide kui aja funktsioonide esitamises, nimetatakse liikumise määramise koordinaatviisiks ja ta nõuab konkreetse koordinaadistiku valikut.
x = x(t); y = y(t); z = z(t)
Kui mõõdame alg- ja lõppasukoha vahekauguse täpselt piki trajektoori, saame teepikkuse. Teepikkust tähistatakse valemites tähega l (longitudo - ladina k pikkus).

Nihe

Nihkeks nimetatakse keha algasukohast lõppasukohta suunatud sirglõiku. Nihkevektori tähiseks valemites ja joonistel on  ( shift - inglise k nihe). Nihe on vektoriaalne suurus.
Joonis 2. Teepikkus ja nihe
Matemaatiliselt õnnestub liikumist kirjeldada tänu selliste mõistete nagu kiirus ja kiirendus sissetoomisele.
Lihtsaim liikumisvorm on ühtlane sirgjooneline liikumine: konstantsed on nii kiiruse absoluutväärtus kui ka suund. Liikumise erijuht on paigalseis: liikumine 0-se kiirusega.
Kiirus (v) on füüsikaline suurus, mida mõõdetakse ajaühikus läbitud teepikkusega. Liikumise hetkekiirus iseloomustab trajektoori (läbitud teepikkuse) muutumise kiirust (tõusu või tõusunurga tangensit). Võib olla nii positiivne kui ka negatiivne. Konstantse kiiruse puhul läbitakse ajaühikus võrdseid vahemaid. Mittekonstantse kiirusega liikumine (ajaühikus läbitakse erinevaid vahemikke) on kiirendusega liikumine.
Kiirus nagu ka teepikkus on vektor , millel on x, y, ja z - suunalised komponendid.
Liikumise kiirendus (a) on füüsikaline suurus, mida mõõdetakse kiiruse muutusega ajaühikus. Kiirenduse ühik on ms-2 (loe: meeter sekundis sekundis). Kiirendusega liikumise kiirus on ajas pidevalt muutuv:
, kus alghetkel kiirus ei olnud mitte null vaid

Ringjooneline liikumine

Ringjooneline liikumine on erijuhus üldisest kõverjoonelisest liikumisest. Igasugune kõverjooneline liikumine on kiirendusega liikumine, seega ka liikumine ringjoonel, isegi kui see toimub ühtlase (ajas muutumatu) kiirusega. Ringjoonelisel liikumisel on palju rakendusi: tsentrifuug, tsirkulatsioonpump, gaasiturbiinid, ventilaatorid . Seetõttu vaatlemegi seda liikumisvormi eraldi.
Joonis 3. Ringjooneline liikumine.
Ühtlasel ringjoonelisel liikumisel fikseeritud raadiusega on kiirusvektor suunatud puutuja suunas. Kesktõmbejõud mõjub kiirusega risti; see ei muuda kiiruse absoluutväärtust, kuid muudab kiiruse suunda. Ühtlase ringjoonelise liikumise tangentsiaal- (puutujasuunaline) kiirus:
kus r on raadius, T on tiirlemisperiood ja v on tiirlemissagedus dimensiooniga .
tähistab nurkkiirust.
Nurkkiirus on radiaanides mõõdetava pöördenurga suurenemise kiirus. Ühik: radiaani sekundis.
Radiaan on nurk, millele vastav ringi kaare pikkus on võrdne raadiusega. Seega, täisring 360 kraadi vastab 2
radiaanile (1 rad=57.3 kraadi) ja üks tiir sekundis tähendab nurkkiirust 2
radiaani sekundis. Radiaan on dimensioonitu suurus. Nurk, millele vastab raadiuse pikkusega võrdne kaar.

Punkti kiirus

Kiiruseks antud hetkel nimetatakse punkti siirdevektori ja ajavahemikku, mille kestel see siire toimus, suhete piirväärtust, kui see ajavahemik läheneb nullile . Punkti kiirus võrdub punkti kohavektori tuletisega aja järgi.
Punkti kiirus on vektor , mille suund on piki trajektoori puutujat punkti liikumise suunas.
Kiiruse dimensioon on
kus L on pikkus, mille tähis on m, T on aeg, mille tähis on s.

Liikumise mõiste ja suhtelisus

Kõikide liikumiste ühiseks tunnuseks on see, et keha asukoht muutub. Seejuures on vaja liikumise kindlaks tegemiseks ja uurimiseks mõnda teist keha, mille suhtes me asukohta määrame. Liikumine toimub alati millegi suhtes, see tähendab, et liikumine on suhteline. Asukoha muutumine võtab aega. Näiteks pole võimalik, et puult kukkuv õun on mingil hetkel oksa küljes ja siis kohe juba mujal. Sel juhul oleks õun ju mitmes kohas korraga. Liikumine on alati seotud ajaga . Seega võime öelda, et liikumine on keha asukoha muutumine teiste kehade suhtes mingi aja jooksul.
Liikumise suhtelisus tähendab seda, et erinevate kehade suhtes võib liikumine väga erinev olla. Näiteks meile tundub nagu Maa oleks paigal ja Päike tiirleks ümber meie. Samas teame, et tegelikult pöörleb Maa ümber oma telje ja tiirleb samas suure kiirusega (30 km/s) ümber Päikese.

Liikumise liigid

Liikumisi saab liigitada trajektoori kuju järgi. Sirge trajektoori korral on liikumine sirgjooneline. Kui trajektoor pole sirge, siis on liikumine kõverjooneline.
Teiseks saab eristada ühtlast ja mitteühtlast liikumist. Ühtlane on selline liikumine, mille korral mistahes võrdsetes ajavahemikes muutub keha asukoht võrdsel hulgal. Muul juhul on liikumine mitteühtlane. Näiteks laskub avatud langevarjuga parašütist enne maandumist ühtlaselt ja maapinnale jõudmisel pidurdudes mitteühtlaselt.
Veel eristatakse kulgevat ja pöörlevat liikumist. Kulgev on näiteks õmblusmasinanõela üles-alla liikumine. Kogu liikumise kestel jääb nõel oma esialgsete asenditega paralleelseks. Kulgevalt liikuva keha kõikide punktide trajektoorid on sama kujuga. Pöörlev liikumine on selline, mille korral liiguvad keha erinevad punktid mööda erineva raadiusega ringjooni. Näiteks kellaosuti üks ots liigub mööda suurt ringjoont ja teine ots on hoopis paigal. Pöörlemise korral ei tohi keha punktmassiks lugeda, sest siin on kuju ja mõõtmed olulised.

Punkti liitliikumine

Punkti liitliikumiseks ehk absoluutseks liikumiseks nimetatakse selle punkti liikumist koordinaatide süsteemi suhtes, mis on valitud põhiliseks.
Punkti liikumist liikuva koordinaatide süsteemi suhtes nimetatakse relatiivseks.
Liikuva teljestikuga muutumatult seotud punkti liikumine paigalseisva teljestiku suhtes on ülekandeliikumine ehk kaasaliikumine .

Punktmass ja trajektoor

Kuna liikumine on asukoha muutumine, siis tuleb liikumise kirjeldamist alustada keha asukoha määramisest. Mida aga lugeda näiteks 20 meetri pikkuse veoauto asukohaks? Kas eesmise numbrimärgi, juhi ninaotsa, koorma keskpunkti või hoopis haagisekonksu asukohta? Tegelikult polegi ühest linnast teise liikumise kirjeldamisel auto mõõtmed ja kuju olulised. Suurt veokit võime kahe linna vahemaaga võrreldes ette kujutada lihtsalt ühe punktina. Seda punkti nimetatakse punktmassiks.
Kui me edaspidi räägime keha liikumisest, siis mõtleme selle all enamasti punktmassi liikumist. Punktmassiks nimetatakse sellist keha, mille mõõtmed loetakse nulliks. Kehaks võetakse punkt, mille mass on sama suur kui keha mass. Kuju ja mõõtmed jäetakse lihtsuse mõttes arvestamata. Tegemist on reaalse keha lihtsustuse ehk füüsikalise mudeliga.
Keha ei või siiski igas olukorras punktmassiks lugeda. Näiteks praamile sõitmisel on auto mõõtmed vägagi olulised.
Need punktid, mida liikuv keha (punktmass) läbib, moodustavad alati mingi pideva joone. Seda joont, mida mööda keha liigub, nimetatakse trajektooriks. Liikumistrajektoori ei tohi samastada teega! Auto trajektoor on kujuteldav joon, maantee aga teetammist ja asfaltkattest koosnev keha.
Punktmassi asukohta kirjeldavad kolm koordinaati (vabadusastet) kolmemõõtmelises ruumis. Punktmassi kinemaatika põhivõrrandid on esimest järku harilike diferentsiaalvõrrandite süsteem.
Siin tähistab t aega. Punkt suuruse tähise kohal tähistab tuletist aja järgi.
r ( kohavektor ), v (kiirus) ja a (kiirendus) on kolmemõõtmelised vektorid. Suurused r ja v on olekusuurused.

Coriolise teoreem

Coriolise kiirendus on vektor, mis on risti vektorite
ja
poolt määratud tasapinnaga ja mille suund määratakse parema käe kruvi reegli järgi, pöörates vektorit
väiksemat nurka mööda vektori
poole. Kehale mõjuv coriolisi kiirendus
avaldub maakera pöörlemise nurkkiiruse
ja keha kiiruse
kaudu järgmiselt:
Tõestatakse sidudes koordinaattelgi pöörlevas ja paigalseisvas taustsüsteemis.
Vastavalt Coriolisi jõu
saame, kui korrutame kiirendust massiga
Coriolisi jõud on niinimetatud massijõud, mis on võrdeline liikuva keha massiga jaei sõltu keha kujust, pindalast ja teistest teatud faktoritest.
Kasutatud kirjandus
Kinemaatika http://et.wikipedia.org/wiki/Kinemaatika#J.C3.A4iga_keha_kinemaatika
Kinemaatika ftp://ftp.ttkool.ut.ee/phys/kaug/mat_kin.pdf
Kinemaatika ja dünaamika elemendid
http://www.e-ope.ee/_download/euni_repository/file/3145/Tehnilise%20mehhaanika%20alused.zip/31_kinemaatika.html
Klassikalise üldfüüsika mõisted. Liikumine: Kinemaatika (joonised)
http://gt.inkblue.net/bioloogiline%20fyysika/Friedberg%20ja%20Laisk/fyysika3%20ja%204M%5B1%5D.pdf
Mehaanika õpik http://www.fyysika.ee/opik5/#0
Õppejõu loengu ettekanded