Valem sõnades: täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusi (c) ruut võrdub kaatetite (a ja b) ruutude summaga. koosinusteoreem Kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest on lahutatud samade külgede ja nendevahelise nurga koosinuse kahekordne korrutis Pythagorase teoreem on koosinusteoreemi erijuht täisnurksete kolmnurkade jaoks. Siinusteoreem on seos kolmnurga külgede ja nurkade vahel. Selle järgi on kolmnurga suurima külje vastas ka suurim nurk. Täpsemalt öeldes on kolmnurga kõigi külgede suhe vastasnurga siinusesse konstantne ning selle kaudu saab leida kolmnurga ümberringjoone raadiuse R. Siinusteoreemi kasutatakse kolmnurga arvutamiseks, kui on teada üks külg, selle vastasnurk ja veel kas üks külg või üks nurk. Juhul, kui on teada kaks külge ja ühe külje vastasnurk, tuleb eelnevalt veenduda ka selles, kas otsitav nurk on teravnurk või nürinurk (näite...
Sisejõud? 2.süsteemi masskeskme liikumise jäävuse seadus Kui kõigi süsteemile mõjuvate välisjõudude geomeetriline summa on null, siis süsteemi masskese liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt või on paigal. 3.Kui süsteemile mõjuvate välisjõudude projektsioonide summa mingile teljele on null, siis süsteemi masskeskme kiiruse projektsioon sellel teljel ei muutu. 16. Panna lühidalt kirja kõik 4 järeldust süsteemi masskeskme liikumise teoreemist 15. Panna kirja esimene järeldus süsteemi masskeskme liikumise teoreemist (sisejõudude mõjust süsteemi masskeskme liikumisele). 13. Kas ja kuidas mõjutavad sisejõud süsteemi masskeskme liikumist? Iga üksiku punkti liikumist? 1.Süsteemis (seega ka jäigas kehas) mõjuvad sisejõud süsteemi masskeskme liikumist mõjutada ei saa. mingile jäigale kehale mõjub ainult üks jõupaar. Kuna jõupaari jõudude geomeetriline summa on alati
mõjuvad välisjõud. Mxc = Fxe Myc = Fye Mzc = Fze 192. Kas ja kuidas mõjutavad sisejõud süsteemi masskeskme liikumist? Iga üksiku punkti liikumist? Sisejõud süsteemi masskeskme liikumisele mingit mõju ei avalda. Iga üksiku punkti liikumist eraldi mõjutavad. 193. Kas välisjõud mõjutavad süsteemi masskeskme liikumist? Jah. 194. Panna kirja esimene järeldus süsteemi masskeskme liikumise teoreemist, milles on juttu sisejõudude mõjust süsteemi masskeskme liikumisele. Sisejõud süsteemi masskeskme liikumisele mingit mõju ei avalda. 195. Panna lühidalt kirja järeldused süsteemi masskeskme liikumise teoreemist. 1) Sisejõud süsteemi masskeskme liikumisele mingit mõju ei avalda. 2) Kui süsteemile mõjuvate välisjõudude vektorsumma on võrdne nulliga, siis süsteemi masskese liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt või on paigal.
mõjuvad välisjõud. Mxc = Fxe Myc = Fye Mzc = Fze 192. Kas ja kuidas mõjutavad sisejõud süsteemi masskeskme liikumist? Iga üksiku punkti liikumist? Sisejõud süsteemi masskeskme liikumisele mingit mõju ei avalda. Iga üksiku punkti liikumist eraldi mõjutavad. 193. Kas välisjõud mõjutavad süsteemi masskeskme liikumist? Jah. 194. Panna kirja esimene järeldus süsteemi masskeskme liikumise teoreemist, milles on juttu sisejõudude mõjust süsteemi masskeskme liikumisele. Sisejõud süsteemi masskeskme liikumisele mingit mõju ei avalda. 195. Panna lühidalt kirja järeldused süsteemi masskeskme liikumise teoreemist. 1) Sisejõud süsteemi masskeskme liikumisele mingit mõju ei avalda. 2) Kui süsteemile mõjuvate välisjõudude vektorsumma on võrdne nulliga, siis süsteemi masskese liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt või on paigal.
mõjutada ei saa. 26 206. Kas välisjõud mõjutavad süsteemi masskeskme liikumist? Kui kõigi süsteemile mõjuvate välisjõudude geomeetriline summa on null, siis süsteemi masskese liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt või on paigal. Kui jõudude summa pole null, siis välisjõud mõjutavad süsteemi masskeskme liikumist. 207. Panna kirja esimene järeldus süsteemi masskeskme liikumise teoreemist, milles on juttu sisejõudude mõjust süsteemi masskeskme liikumisele. Sisejõud süsteemi masskeskme liikumisele mõju ei avalda. 208. Panna lühidalt kirja järeldused süsteemi masskeskme liikumise teoreemist. 1. Sisejõud süsteemi masskeskme liikumisele mõju ei avalda. 2. Kui kõigi süsteemile mõjuvate välisjõudude vektorsumma on null, siis süsteemi masskese liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt või on paigal. 3
2) tan = cos Nurga tangens võrdub nurga siinuse ja koosinuse jagatisega. 1 3) 1 + tan = 2 cos 2 Näide 1. sin² 20² + cos² 20° = 1 sin 20 0 Näide 2. = tan 20 0 cos 20 0 Valemite tuletamisel lähtume täisnurksest kolmnurgast, mille kaatetid on a ja b, hüpotenuus c ning teravnurgad on ja . 1) Lähtume Pythagorase teoreemist: a² + b² = c². Jagame selle võrduse mõlemad pooled arvuga c², saame a2 b2 c2 a 2 b 2 a c + = , millest + = 1.
Ratsionaalarvude hulk on tihe: iga kahe erineva ratsionaalarvu vahel on lõpmata palju ratsionaalarve. Ratsionaalarvude hulk ei ole aga pidev: arvteljel leidub punkte, millele ei vasta ükski ratsionaalarv. 5 Irratsionaalarvud Ratsionaalarvudega ei ole võimalik väljendada igasuguse lõigu pikkust. Näiteks ei ole ratsionaalarvu, mis oleks võrdne ühikruudu diagonaali pikkusega. 1 Pythagorase teoreemist: · d 2 = 12 + 12 = 2, d= 2 1 d 2 = m / n, m ja n ühistegurita täisarvud 2 = (m/n)2 2n2 = m2 m2 osutus paarisarvuks, järelikult on paarisarv ka m: m = 2k m2 = (2k)2 2n2 = (2k)2 2n2 = 4k2 n2 = 2k2 Ka n osutus paarisarvuks, seetõttu m ja n ei saa olla ühistegurita täisarvud ning 2 ei saa olla ratsionaalarv. 6 Irratsionaalarvud
Teoreemi eelduseks nimetatakse lauset, mis on antud või on teada. Teoreemi väiteks nimetatakse lauset, mida saab eeldusest järeldada ehk mida on tarvis tõestada. Tähistades teoreemi eeldust tähega p ja väidet tähega q, siis teoreemi üldkuju on p q (lausest p järeldub q) - järeldusmärk 3.Pöördteoreem Pöördlauseks nimetatakse lauset, mis saadakse eelduse ja väite vahetamisel. Kui teoreemi pöördlause on tõene, siis nimetatakse seda pöördteoreemiks. Teoreemist ei olene pöördlause tõesus, see tuleb ise tõestada. Teineteise pöördteoreemid võib kokku võtta sõnadega ,,parajasti siis". Tähistades teoreemi eeldust tähega p ja väidet tähega q, siis võib kirjutada p q (p on parajasti siis, kui on q) - ,,parajasti siis" näitab, et teoreemi väide järeldub eeldusest ja vastupidi 4.Vastuväiteline tõestusviis Vastuväiteliseks tõestusviisiks nimetatakse tõestusviisi mille korral on tõene väike eitust.
seda summat, rakendades iga liidetava suhtes kaksikintegraali kohta käivat keskväärtuse teoreemi I si = f ( Pi )s i . Võrdus (2) saab kuju n I d = f ( P1 )s1 + f ( P2 )s 2 + ... + f ( Pn )s n = f ( Pi )s i , (3) kus Pi i =1 on osapiirkonna si mingi punkt. Võrduse parem pool on funktsiooni f(x,y) integraalsumma üle piirkonna D. Kahekordse integraali olemasolu teoreemist järeldub, et kui n ja osapiirkondade si suurim läbimõõt läheneb nullile, siis on sellel summal olemas piirväärtus, mis võrdub funktsiooni f(x,y) kahekordse integraaliga üle piirkonna D. 3. Muutujate vahetus kahekordses integraalis (koordinaatide teisendamise valem, funktsionaaldeterminant, ülemineku valem ristkoordinaatidelt polaarkoordinaatidele). Valem koordinaatide teisendamiseks: f ( x, d )dxdy = F (u, v) I dudv . Selles
a, b [ ja f(a) = f(b), siis on funktsioonil vahemikus ]a, b[ olemas statsionaarne punkt (st leidub punkt ]a, b [, nii et f' ( ) = 0). T6. Cauchy keskväärtusteoreem: Kui funktsioonid y=f(x ) ja y=g(x) on pidevad lõigus [a,b] ja diferentseeruvad vahemikus ]a, b[, kusjuures g' (x)0, siis leidub selline punkt ]a, b[ , mille korral kehtib valem [f(b) f(a)]/[g (b ) - g (a)]=f '( )/g'( ). T7. Lagrange'i keskväärtusteoreem: Erijuhul, kui g(x)=x, saame Cauchy teoreemist järgmise teoreemi: Kui funktsioon y=f(x) on pidev lõigus [a, b] ja diferentseeruv vahemikus ]a, b[ , siis leidub selline punkt ]a, b[ , mille korral kehtib valem [f(b ) - f(a)]/(b a)=f'( ). T8. L'Hospitali reegel: Kui limf(x)=limg(x)=0 või lim|f(x)|=lim|g(x)| = ja kui eksisteerib piirväärtus lim f'(x)/g'(x) , siis kehtib võrdus lim f(x )/g (x)= limf '(x)/g'(x). Def4. Funktsiooni y=F(x) nimetatakse funktsiooni y = f (x ) algfunktsiooniks piirkonnas X ,
Lineaarse võrrandisüsteemi teisendamisel samaväärsele kujule kasutatakse järgmisi teisendusi: 1) süsteemi suvalist võrrandit korrutatakse mistahes nullist erineva arvuga; 2) süsteemi suvalisele võrrandile liidetakse juurde mistahes arvuga korrutatud mingi teine võrrand samast süsteemist. Teoreem Võrrandisüsteemist (3) lõpliku arvu teisendustega 1) ja 2) saadud võrrandisüsteem on samaväärne esialgsega. Gaussi meetod Teoreemist selgub, et teisenduste 1) ja 2) rakendamine võrrandisüsteemile on samaväärne võrrandisüsteemi laiendatud maatriksi ridade elementaarteisendustega. On lihtne näha, et kui võrrandisüsteemi maatriks A on nullmaatriks, siis peab tema lahenduvuseks olema ka vabaliikmete maatriks b nullmaatriks. Sel korral on lahendiks suvaline n-mõõtmeline aritmeetiline vektor. 1 0 0 0 1 0
Esitame funktsiooni täismuudu järgmiselt: Võrduse esimeses kahes liikmes on y muutumatu suurus, võrde y+y. Kolmandas ja neljandas liikmes on x konstantne. Punktis M ja selle ümbruses on täidetud Lagrange'i teoreemi eeldused. Järelikult leidub selline x (x;x+x), et Samuti leidub selline y(y;y+y), et Osatuletise pidevuse tõttu (et x on x ja x+x vahel, siis läheneb xx, kui x0; samamoodi toimub ka y korral) Teoreemist lõpmatult kahanevate suuruste kohta saame, et (kus ja on piirprotsessis (x,y)(0;0) lõpmatult kahanevad suurused) Funktsiooni täismuudu jaoks saame avaldise Võrduse kahe viimase liidetava summa on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus suhtes. Näiteks kui p0, siis x/p0, sest on lõpmatult kahanev suurus ning x/p tõkestatud (|x/p|1). Funktsiooni z=f(x,y) nim
Piirdenurk võrdub poolega samale kaarele toetuvast kesknurgast. 62. Prisma hulktahukas, mille kaks tahku on vastavalt paralleelsete ja võrdsete külgedega hulknurgad ning ülejäänud tahud rööpkülikud, millel on kummagi hulknurgaga üks ühine külg. 63. Pöördarvud kaks arvu, mille korrutis võrdub ühega. 64. Pöördkeha keha, mis tekib tasandilise kujundi pöörlemisel mingi fikseeritud sirge, nn. telje ümber. 65. Pöördteoreem antud teoreemist p -> q eelduse ja väite vahetamisel saadav teoreem q -> p. 66. Pöördvõrdeline seos niisugune seos kahe suuruse x ja y vahel, mille korral nende suuruste korrutis on konstant a : xy = a. 67. Püramiid hulktahukas, mille üks tahk on hulknurk ja kõik ülejäänud tahud on ühise tipuga kolmnurgad. 68. Püstprisma prisma, mille kõik tahud on ristkülikud. 69. Pythagorase arvud naturaalarvude kolmik, mis rahuldab võrrandit a2+b2=c2. 70
¨ks topoloogia T , mille suhtes hulgad U(x) on punktide x ∈ X u ¨mbruste s¨ usteemideks. Lahtisteks hulkadeks selles topoloogias on para- uhi hulk ja hulgad A ⊂ X, mis rahuldavad omadust: jasti t¨ A ∈ U(x) iga x ∈ A korral. (2.1) T˜oestus. Olgu hulga X igale elemendile x pandud vas- usteem U(x) ⊂ P(X), mis rahuldab omadusi tavusse hulkade s¨ 0 0 1 -4 teoreemist 2.2. Teoreemi 2.1 p˜ohjal saab leiduda ainult ¨ks topoloogia hulgal X, milles hulgad U(x) on hulga X punk- u tide u ¨mbruste s¨ ¨ usteemideks. Uhtlasi n¨aitab teoreem 2.1 ¨ara ka lahtised hulgad. Moodustame T = { A | A = ∅ v˜oi A rahuldab tingimust (2.1) }. N¨aitame, et T rahuldab topoloogiale p¨ ustitatud n˜oudeid 10 -30 definitsioonist 1.1. Teoreemi 2.2 omaduste 10 ja 20 p˜ohjal X ∈ T . Et ka ∅ ∈
joontega Tõestus. Jaotame piirkonna D koordinaattelgedega paralleelsete sirgete abil n regulaarseks (täisnurkseks) piirkonnaks (2) Teisendame seda summat, rakendades iga liidetava suhtes kaksikintegraali kohta käivat keskväärtuse teoreemi . Võrdus (2) saab kuju , (3) Kus Pj on osapiirkonna sj mingi punkt. Võrduse parem pool on funktsiooni f(x,y) integraalsumma üle piirkonna D. Kahekordse integraali olemasolu teoreemist järeldub, et kui n -> lõpmatus ja osapiirkondade sj suurim läbimõõt läheneb nullile, siis on sellel summal olemas piirväärtus, mis võrdub funktsiooni f(x,y) kahekordse integraaliga ülre piirkonna D. Minnes võrduses piirile, saame ehk . Kaksikintegraali avaldise väljakirjutamisel saame lõpuks . 3.Muutujavahetus kordses integraalis. Jakobiaan. Polaarkoordinaadid. Teisendust t x Rn, nimetatakse regulaarseks , kui · Ta on üksühene · osatuletised xk(t), k=1,....
(täisnurkseks) piirkonnaks (2) Teisendame seda summat, rakendades iga liidetava suhtes kaksikintegraali kohta käivat keskväärtuse teoreemi . Võrdus (2) saab kuju , (3) Kus Pj on osapiirkonna ∆sj mingi punkt. Võrduse parem pool on funktsiooni f(x,y) integraalsumma üle piirkonna D. Kahekordse integraali olemasolu teoreemist järeldub, et kui n -> lõpmatus ja osapiirkondade ∆sj suurim läbimõõt läheneb nullile, siis on sellel summal olemas piirväärtus, mis võrdub funktsiooni f(x,y) kahekordse integraaliga ülre piirkonna D. Minnes võrduses piirile, saame ehk . Kaksikintegraali avaldise väljakirjutamisel saame lõpuks . 3.Muutujavahetus kordses integraalis. Jakobiaan. Polaarkoordinaadid.
Ta arvas, et maailmas on kolme liiki mõistuslikke olendeid: jumalad, inimesed ja Pythagorase sarnased, st filosoofid. Ta uskus hingede rändamisse, ise arvas end olevat olnud Hermese poeg. Pütaagorlased väitsid esimestena, et Maa ja teised taevakehad on kerakujulised. Kõige tähtsamad olid tema jaoks arvud: kõik on tekkinud arvudest, asjad on arvude koopiad. Paaritud arvud on hea väljendajad, paarisarvud aga halva väljendajad. Kuna referaadiga alustades olin teadlik vaid Pythagorase teoreemist, siis töö tegemine oli väga huvitav ja informatsioonirohke. 11 KASUTATUD ALLIKAD Meos, I. Antiikfilosoofia. Tallinn: Koolobri, 2000. Salumaa, E. Antiikfilosoofia ajalugu. Tallinn, 1991 Epner, T. Pythagoras ja tema koolkond. http://lepo.it.da.ut.ee/~avramets/pythagoras.htm http://www.tsitaat.com/tsitaadid/autorid/pythagoras 12
kasvamine ja kahanemine Vahemikus A X diferentseeruv funktsioon y = f (x) on 1. monotoonselt kasvav vahemikus A f (x) 0 iga x A korral, 2. monotoonselt kahanev vahemikus A f (x) 0 iga x A korral, 3. konstantne vahemikus A f (x) = 0 iga x A korral, 4. kasvav vahemikus A f (x) 0 iga x A korral ja punktid, kus f (x) = 0 ei moodusta vahemikke, 5. kahanev vahemikus A f (x) 0 iga x A korral ja punktid, kus f (x) = 0 ei moodusta vahemikke, Järeldusi teoreemist: Kui f (x) > 0, siis on funktsioon y = f (x) kasvav vahemikus A. . Kui f (x) < 0, siis on funktsioon y = f (x) kahanev vahemikus A. 4 Statsionaarsed ja kriitilised punktid Punkte x X , kus f ' ( x) = 0 , nimetatakse funktsiooni y = f (x) statsionaarseteks punktideks. Funktsiooni statsionaarseid punkte ja neid punkte, kus funktsiooni tuletis puudub, nimetatakse funktsiooni y = f (x) kriitilisteks punktideks.
ühendatud liikluse intensiivsus võrdub soovitud liikluse intensiivsusega: Y=a järjekorra keskmine pikkus suvalisel vaatlushetkel: a L n=E 2, n a n-a keskmine ooteaeg kõigi klientide jaoks on arvutatav Little´i teoreemist: L W n= n 20. Viiteajaga süsteemi Erlangi mudeli erijuhtum (mudel M/M/1 - 1 teenindav seade), mudeli parameetrid. Viiteaeg: D=W S , kus W paketi ooteaeg puhvris, S teeninduskestus Pakettide saabumise aeg , ühe paketti kekskmine pikkus L, pöördvõrdeline sidekanali bittikiirusega R
f (b) - f ( a) f ' (c ) = . g (b) - g (a ) g ' (c ) Teoreem 13. (Lagrange'i keskväärtusteoreem). Kui funktsioon f on pidev lõigus [a,b] ja diferentseeruv vahemikus (a b), siis leidub selline punkt c (a, b), nii et f(b) f(a)= f' (c)(ba). Lagrange'i teoreem järeldub vahetult Cauchy teoreemist, kui võtta viimases g(x) = x. Teoreeme 12 ja 13 nimetatakse diferentsiaalarvutuse keskväärtusteoreemideks. Arv c on teatav vahepealne väärtus a ja b vahel. Nimetatud teoreemid ei anna küll eeskirja c leidmiseks, kuid sellegipoolest on neil palju rakendusi. 2. L' Hospitali reegel L'Hospitali reegel võimaldab leida piirväärtust f ( x) limx a g ( x)
4.Kui nurgad on omavahel võrdsed, siis on omavahel võrdsed ka nende kõrvunurgad. m.o.t.t. 13.Pöördteoreem - antud teoreemis Ül.634,635 eelduse ja väite vahetamisel saadud tõene Antud teoreem. Kui arv lõpeb nulliga, siis lause; iga teoreemi pöördlause pole tõene, arv jagub 5-ga. s.t. teoreemist endast ei järeldu Pöördlause. Kui arv jagub 5-ga, siis ta pöördlause tõesus lõpeb nulliga. See pole tõene, sest ta võib lõppeda ka 5-ga see lause pole antud NB teoreemi pöördlause vajab eraldi teoreemi pöördteoreem tõestamist Antud lause. a=0 ab=0 tõene, sest kui
planeerimisameti, või ühe isiku kätte, keda nimetatakse keskseks planeerijaks. Tsentraliseeritud jaotismehhanism. 4. Mida väidab teine heaoluteoreem? Selgita selle sisu. Heaolu teine teoreem väidab, et kui ühiskonnale ei meeldi konkurentsituru loodud sissetulekute (rikkuse, kasude) jaotus, pole see veel põhjus turumehhanismi hülgamiseks. Esialgne jõukus tuleb ümber jaotada ja edasine jätta turumehhanismi hooleks. Heaoluteooria teisest teoreemist tuleneb, et konkureerivad firmad, püüdes oma kasumeid suurendada, saavutavad sama ja valdavalt isegi parema tulemuse kui keskne planeerija. Selle teoreemi kohaselt teeb otsuseid, mida ja kui palju toota ning kes kui palju saab, lugematu arv firmasid ja üksikisikuid, kellest majandus koosneb. Detsentraliseeritud turumehhanism. 5. Selgita avalike hüviste mõistet ja iseloomulikke tunnuseid. Avalikud kaubad on näiteks riigikaitse, seadusandlus, maksusüsteem ja teadus. Majakas (kõik
1) f(x)+ g(x) 2) f(x)g(x) 3) f(x)/g(x), kus g(x) 0, kui xM Kõverjoone y =f(x) puutuja punktis x=x0 siis selle pöördfunktsioon x=g(y) on samuti diferentseeruv Tõestus järeldub vastavast teoreemist piirväärtuste kohta. y-y0= y'(x 0)(x-x0) , kus y0=f(x0) punktis y (y=f(x)) Teoreem 2 Olgu funktsioon y =f(x) pidev lõigul [a,b] Kaks sirget tõusudega k 1 ja k2 on risti siis ja ainult siis, kui Seejuures nende tuletiste vaheline seos on järgmine
lineaarseid võrrandeid ning isegi modulaararitmeetilisi võrrandsüsteeme. *Alternatiivselt on moodularitmeetilisi võrrandeid võimalik lahendada mooduli kordsete liitmismeetodiga ning võrrandsüsteeme hiina jäägiteoreemi abil. *Lisaks 12-tunnisele kellale on headeks moodularitmeetika näideteks veel nö. ,,nädalapäevade aritmeetika" (mod 7) ning Boole'i loogikaalgebra (mod 2). [30]. Algarvulisuse Fermat` test. Miller-Rabini test. *Fermat test: Fermat' teoreemist tulenevalt on teada, et kui p on algarv ja 1 < a < p, siis ap - 1 1 (mod p) ehk ap a (mod p). *Seega, et Fermat' testi abil kontrollida, kas naturaalarv n on kordarv või algarv: a).Kirjutan teatud hulga juhuslikult valitud aluste a = 2, 3 ,... n 1 baasil välja kongruentsi an- 1 1 (mod n). Kui antud kongruents osutub paari suvalise aluse korral kehtivaks, on suhteliselt tõenäoline, et n'i näol on tegu algarvuga. (Tõenäosus, et arv n on algarv on
Uurime p¨aratu integraali koonduvust. 1 x2 sin x 1 Iga x R korral on t¨aisetud tingimus 2 2 . N¨aite 7 p~ohjal p¨aratu x x dx integraal koondub. Teoreemi 3 p~ohjal antud p¨aratu integraal koon- 2 x2 dub absoluutselt ja teoreemist 5 j¨areldame, et antud p¨aratu integraal koon- dub. 5.7 P¨ aratud integraalid to ~kestamata funktsioonidest Olgu funktsioon f (x) t~okestamata l~oigu [a; b] l~opp-punkti b u ¨mbruses. Definitsioon 5. Kui iga > 0 korral on olemas m¨a¨aratud integraal b- b-
⏞ Φ =⃗ E ∙ ⃗S =⃗ E ∙ ⃗S ∙ cosα dΦ=E ∙ dS ∙ cosα ❑ ❑ Φ=∫ dΦ=∫ E ∙ dS= E∙ S S S Gaussi teoreem: elektrivälja voog läbi kinnise pinna on võrdeline pinna sees olevate laengutega. 42. Mida näitavad laengute joon-, pind- ja ruumtihedus. Lähtudes Gaussi teoreemist tuletada lõpmatu laetud tasandi elektriväli. q Joontihedus: λ= l q Pindtihedus: σ = S q Ruumtihedus: ρ= V Näitavad laengute tihedust ühtlase paiknemise korral. q dq σ = dΦ=2 E ∙ l∙ S= S ε ε0 dq σ E= =
: x ∈ [0, 1) = lim 1+x = 21 , x→1− samal ajal f (x) 6= 12 iga x ∈ [0, 1) korral. Seega ei ole funktsioonil f poollõigus [0, 1) suurimat väärtust. Nii nagu tõkestatus, on ka ekstremaalste väärtuste olemasolu pideva funktsiooni korral garanteeritud, kui määramispiirkonnaks on lõik. See selgub järgmisest teoreemist. Teoreem 3.16 (Weierstrassi teoreem lõigus pideva funktsiooni ekstremaalsetest väärtustest). Lõigus pideval funktsioonil on selles lõigus suurim ja vähim väärtus. Tõestus. Olgu f lõigus [a, b] pidev funktsioon. Teoreemi 3.15 põhjal on ta tõkestatud ning pidevuse aksioomi kohaselt eksisteerib M := sup {f (x) : x ∈ [a, b]} . Meie eesmärk on veenduda sellise c ∈ [a, b] olemasolus, et f (c) = M.
Järelikult vastavate pindalate arvutusvalemite kohaselt: 1 1 1 sin x < x < tan x , 2 2 2 Millest sin x < x < tan x Jagame selle võrratuse iga liikme läbi arvuga sin x, tulemuseks saame: x 1 sin x 1< < milest järeldub: cos x < < 1 (1.1) sin x cos x x Kuna punkt a = 0 asub elementaarfunktsioon y= cos x määramispiirkonnas, siis teoreemist (1*) järeldub, et limx0=cos0 = 1. Rakendades võrratusele (1.1) keskmise muutuja omadust, saamegi võrduse (**) M.O.T.T LISA: TEOREEM 1* kui punkt a kuulub elementaarfunktsiooni f määramispiirkonda, siis limxaf(x) = f(a). 1 lim (1 + ) x = e x x 8. Ekvivalentsed lõpmata väikesed funktsioonid, nende rakendamine piirväärtuste leidmisel Funktsiooni = (x) nimetame lõpmata väikeseks (hääbuvaks) piirprotsessis x a, kui
1 p~ohjal eksisteerivad niisugused l~opmatult kahanevad suuru- sed ja , et y = b1 + ja z = b2 + . J¨arelikult yz = (b1 + )(b2 + ), st yz = b1 b2 + b1 + b2 + . J¨arelduse 4.4 p~ohjal on b1 ja b2 l~opmatult kahanevad suurused. J¨arelduse 4.5 p~ohjal on l~opmatult kahanev suurus. Teoreemi 4.2 p~ohjal on = b1 + b2 + l~opmatult kahanev suurus. Seega yz = b1 b2 + , 10 kus on l~opmatult kahanev suurus ja teoreemist 4.1 j¨areldame, et lim yz = b1 b2 , xa mida, arvestades t¨ahistusi, oligi tarvis t~oestada. J¨ areldus 5.3. Konstantse suuruse saab tuua piirv¨a¨artuse ette, st kui c on konstant, siis lim cy = c lim y xa xa T~oestus j¨areldub eelmisest teoreemist lim cy = lim c · lim y
¨ steemi astak VS-i astakuks nimetatakse vektorite arvu tema baasalams¨ usteemis. M¨ arkus Selle definitsiooni korrektsus on garanteeritud teoreemiga 11.3. 11.5 Teoreem vektorisu ¨ steemi astakust VS-i astak v~ ordub selle s¨ usteemi lineaarse katte m~ o~otmega. T~ oestus. J¨areldub teoreemist 11.2. VI. Vektorruumid 29 11.6 Astakuteoreem VS-i astak v~ ordub selle s¨ usteemi vektorite koordinaatide maatriksi astakuga. Astakuteoreemi on mugav kasutada VS-i astaku leidmiseks. 12 Lineaarse s~ oltuvuse uurimine Kirjeldame l¨ uhidalt, kuidas leida VS-i baasalams¨ usteemi. 12.1 ¨
kus i ja ij on reaalarvulised pidevad ühemuutuja funktsioonid. Võrreldes valemid (2.4) ja (2.8) me näeme, et valem (2.8) on valemi (2.4) erijuhtum, kus funktsioonid i on närvivõrgu väljundkihi neuronite aktiveerimisfunktsioonid, ij - närvivõrgu peidetud kihi neuronite aktiveerimisfunktsioonid ja peidetud kihi neuronite arv N = 2n + 1 . Hecht-Nielsen sõnastas Kolmogorovi teoreem ümber ja tegi ta relevantseks närvivõrkudele: Teoreem 4 (järeldus Kolmogorovi teoreemist) Iga kuubis n pidev funktsioon on realiseeritav kahekihilise närvivõrgu abil, millel on 2n+1 neuronit peidetud kihil, ülekandefunktsioonid sisendist peidetud kihi neuronitele on ij j ja ülekandefunktsioonid peidetud kihi neuronite väljunditest väljundkihi neuronite sisenditele - . Tegelikult aproksimeerimise täpsus oluliselt sõltub valitud neuronite aktiveerimisfunktsioonidest ning kasutatavast optimeerimise algoritmist. See oluliselt piirab
kui masskeskmesse koondada kogu süsteemi (keha) mass, ja süsteemi (jäiga keha) kineetilisest energiast tema relatiivsel liikumisel ümber masskeskme kui ümber paigaloleva punkti m v C2 T= + TCr (3) 2 Kõik praktilised arvutusvalemid igal konkreetsel erijuhul tulenevad sellest teoreemist. Selle kodutöö kõikides variantides võib kehadel esineda ainult järgmised kolm liikumist: a) translatoorne liikumine; b) pöörlemine ümber kinnistelje; c) tasapinnaline liikumine. Jäiga keha kineetilise energia nendel erijuhtudel arvutame järgmiste valemite abil: m v C2 1. Translatoorne liikumine: T= (4) 2
kus i ja ij on reaalarvulised pidevad ühemuutuja funktsioonid. Võrreldes valemid (2.4) ja (2.8) me näeme, et valem (2.8) on valemi (2.4) erijuhtum, kus funktsioonid i on närvivõrgu väljundkihi neuronite aktiveerimisfunktsioonid, ij - närvivõrgu peidetud kihi neuronite aktiveerimisfunktsioonid ja peidetud kihi neuronite arv N = 2n + 1 . Hecht-Nielsen sõnastas Kolmogorovi teoreem ümber ja tegi ta relevantseks närvivõrkudele: Teoreem 4 (järeldus Kolmogorovi teoreemist) Iga kuubis n pidev funktsioon on realiseeritav kahekihilise närvivõrgu abil, millel on 2n+1 neuronit peidetud kihil, ülekandefunktsioonid sisendist peidetud kihi neuronitele on ij j ja ülekandefunktsioonid peidetud kihi neuronite väljunditest väljundkihi neuronite sisenditele - . Tegelikult aproksimeerimise täpsus oluliselt sõltub valitud neuronite aktiveerimisfunktsioonidest ning kasutatavast optimeerimise algoritmist. See oluliselt piirab
liikumisest, mis omakorda moodustub kolmest komponendist: tiirlemisest ümber Päikese perioodiga 1 aasta 17 pöörlemisest ümber tiirlemistasandiga 66°33’ nurga all asuva telje perioodiga 1 ööpäev ja telje pretsessioonist orbiidi tasandi normaali ümber perioodiga 25 725 aastat Keskmise vaatleja silmad asuvad maapinnast h = 1,70 m kõrgusel. Arvestades, et Maa raadius R = 6,4·106m ja et Phytagorase teoreemist saame silmapiiri kauguseks l = 4660m = 5km 5.1. TAEVAKOORDINAADID Kasutusel on mitmeid taevakoordinaatide süsteeme. Enamlevinud on horisondiline- ja ekvatoriaalne koordinaatsüsteem. Horisondilise koordinaatsüsteemi korral määratakse taevakeha asukoht kolme koordinaadiga: A – asimuut (nurk mõõdetuna lõunakaarest), h – kõrgus(nurk, mõõdetuna horisondist) ning z – seniitkaugus (nurk mõõdetuna seniidist). Horisondiline koordinaatsüsteem on iga vaatleja
situatsiooni ja võib tegeleda ainult tema matemaatilise sisu ja tõdedega. 43 Matemaatilised žanrid matemaatikute keel Matemaatilist teksti liigendavad ja ilmestavad pisikesed matemaatilised žanrid: räägitakse näiteks definitsioonist, väitest, tõestusest, teoreemist. Vahel satuvad veel seltsi ka sõnad nagu lemma või hüpotees. Järgnevalt kirjeldame, mida ühelt või teiselt neist žanritest oodata võiks. Definitsioon Definitsiooni all peetakse silmas mingi objekti matemaatiliselt täpset kirjeldust. See täpne kirjeldus võib aga olla antud mitmel erineval viisil, erinedes nii lihtsalt
x x0 2) A ja B eksisteerivad ja on lõplikud, kuid seejuures A B Punkt x0 on I liiki katkevuspunkt ehk hüppekoht 3) Kus A või B on lõpmatu või ei eksisteeri üldse Punkti x0 on II liiki katkevuskoht Teoreem 1 Olgu funktsioonid y =f(x) ja y =g(x) pidevad hulgal M. Siis on pidevad ka funktsioonid: 1) f(x)+ g(x) 2) f ( x) g ( x) f ( x) 3) , kus g ( x) 0 , kui x M g ( x) Tõestus järeldub vastavast teoreemist piirväärtuste kohta. © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 8 Teoreem 2 Olgu funktsioon y =f(x) pidev lõigul [a, b] Siis leidub vähemalt üks niisugune punkt x1 [a, b] , kus funktsioon saavutab oma suurima väärtuse ja samuti vähemalt üks punkt x 2 [a, b] , kus funktsioon saavutab oma vähima väärtuse sellel lõigul. f ( x1 ) = sup f ( x), x1 [a, b] = M (10.1) f ( x 2 ) = inf f ( x), x 2 [a, b] = m
Definitsioon. Aritmeetiliste vektorite ja summaks nimetatakse aritmeetilist vektorit Näide: (2;-1; 0; 5) + (-3; 9; 7;-5) = (-1; 8; 7; 0), Definitsioon. Arvu (skalaari) ja aritmeetilise vektori korrutiseks nimetatakse aritmeetilist vektorit Näide: Teoreem. Vektorite liitmine ja skalaariga korrutamine kõigi aritmeetiliste vektorite hulgal V rahuldavad omadused V1-V8 eelmise paragrahvi teoreemist. 20. Vektorruum Eelpool nägime, et nii geomeetriliste kui aritmeetiliste vektorite korral kehtisid teatud omadused V1-V8. Need omadused võetakse vektorruumi aksioomideks. Kõiki objekte, mille korral need omadused on rahuldatud, nimetatakse edaspidi vektoriteks. Definitsioon. Hulk V on vektorruum üle reaalarvude hulka kui temal on defineeritud liitmine ja skalaariga korrutamine nii, et V5. )= , V6. , V7. = , V8. 1 =
x x0 2) A ja B eksisteerivad ja on lõplikud, kuid seejuures A B Punkt x0 on I liiki katkevuspunkt ehk hüppekoht 3) Kus A või B on lõpmatu või ei eksisteeri üldse Punkti x0 on II liiki katkevuskoht Teoreem 1 Olgu funktsioonid y =f(x) ja y =g(x) pidevad hulgal M. Siis on pidevad ka funktsioonid: 1) f(x)+ g(x) 2) f ( x) g ( x) f ( x) 3) , kus g ( x) 0 , kui x M g ( x) Tõestus järeldub vastavast teoreemist piirväärtuste kohta. © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 8 Teoreem 2 Olgu funktsioon y =f(x) pidev lõigul [a, b] Siis leidub vähemalt üks niisugune punkt x1 [a, b] , kus funktsioon saavutab oma suurima väärtuse ja samuti vähemalt üks punkt x 2 [a, b] , kus funktsioon saavutab oma vähima väärtuse sellel lõigul. f ( x1 ) = sup f ( x), x1 [a, b] = M (10.1) f ( x 2 ) = inf f ( x), x 2 [a, b] = m
, z y , z x Näide 49. Näidata, et joonintegraal J x e y dx xe y dy L ei sõltu integreerimisteest. Funktsioonid f x, y x e y ja g x, y xe y ja nende osatuletised f y e y ja g x e y on pidevad kogu xy-tasandil ja f y g x . Seega teoreemi 9 põhjal joonintegraal on integreerimisteest sõltumatu kogu xy-tasandil. Teoreemist 10 saame teha Järeldus. Teoreemi 10 eeldustel II liiki joonintegraal üle kinnise kontuuri L, mis piirab piirkonda D on võrdne 0:ga, s.t. J fdx gdy fdx gdy fdx gdy 0, MPN MQN L parajasti siis kui fy gx Seega võttes näite 49 integraalis piirkonnaks D näiteks ringi x 5 2 y 6 2
aritmeetikateoreem A, mille sisuline tähendus formaalses süsteemis on, et seesama teoreem A ei ole aritmeetika aksiomaatikast tõestatav. Teoreem A on tegelikult tõene, aga kasutatud formaalsest süsteemist endast teda tuletada ei saa, tarvis on aksioome juurde lisada. Nende lisamise korral ilmnevad uued tõesed, aga mittetõestatavad teoreemid, mille tõestamiseks on tarvis jälle uusi aksioome lisada, jne jne. Sellest näiliselt ainult aritmeetikasse puutuvast spetsiifilisest teoreemist järeldub, et ühtegi piisavalt keerulist matemaatilist süsteemi ei saa lõpliku hulga aksioomide abil täielikult aksiomatiseerida. Nii ei saa lõpliku aksiomaatika abil aksiomatiseerida ühtegi lõpmatust sisaldavat, piisavalt keerulist süsteemi, olgu siis tegemist matemaatilise või matemaatikavälise süsteemiga. Mittetäielikkuse tõestamine andis sisuliselt surmahoobi Hilberti formalistlikule ja Russelli logitsistikule programmile
4. ¿(0,1)¿R¿C¿Rn¿ iga n N korral. Kas on olemas hulki, mille võimsus on suurem kui hulga R võimsus? Cantori teoreem Iga hulga A kõigi osahulkade hulga P( A) võimsus on suurem kui hulga A võimsus, s.t ¿ A¿P( A)¿ . Märkus. Varasemast juba teame, et see väide kehtib lõplike hulkade korral. Kui ¿ A¿ n , siis n ¿ A¿ n< 2 =¿ P( A). Cantori teoreemist järeldub, et: ¿ R¿P( R)¿P(P(R))¿P( P (P(R)))... Peame näitama, et ¿ AP( A)¿ ja ¿ AP( A)¿ . 1. ¿ AP( A)¿ , sest funktsioon f : A P (A ) , kus f (a)={a } iga a A korral, on injektiivne. 2. Oletame vastuväiteliselt, et ¿ A¿P( A)¿ . Siis leidub bijektsioon g : A P( A) . · Olgu g(a)= A a A , a A . Seejuures kas a A a või a A a .
opmatult v¨ xa opmatult kasvav piirprotsessis x a, kui lim |(x)| . l~ xa 41 Neis definitsioonides v~oib piirprotsessi x a asendada u ¨hega j¨argmistest piirprotsessidest: x a- , x a+ , x - , x . Teoreemist 2.1 j¨areldub vahetult j¨argmine teoreem: Teoreem 2.4. Funktsioon (x) on l~ opmatult kahanev suurus protsessis x a 1 siis ja ainult siis, kui (x) on l~ opmatult kasvav suurus samas protsessis. Toome m~oned n¨ aited. 1. Vaatleme funktsiooni (x - a)n , kus n on positiivne t¨aisarv. See funktsioon on l~opmatult kahanev protsessis x a, st lim (x - a)n = 0. Seega (x-a) 1
xa l~ opmatult kasvav piirprotsessis x a, kui lim |(x)| . xa 41 Neis definitsioonides v~oib piirprotsessi x a asendada u ¨hega j¨argmistest piirprotsessidest: x a- , x a+ , x - , x . Teoreemist 2.1 j¨areldub vahetult j¨argmine teoreem: Teoreem 2.4. Funktsioon (x) on l~ opmatult kahanev suurus protsessis x a 1 siis ja ainult siis, kui (x) on l~ opmatult kasvav suurus samas protsessis. Toome m~oned n¨ aited. 1. Vaatleme funktsiooni (x - a)n , kus n on positiivne t¨aisarv. See funktsioon 1
ja y = f (x + h) - f (x). Siis |R(x)| |y| · h = |y|. h h Kuna funktsioon f on pidev, siis y 0, kui h 0 ja me saame, et A(x + h) - A(x) R(x) f (x) = lim f (x) = lim - lim = A (x). h0 h0 h h0 h Märkus 10.2 Teoreemist 10.5 ja algfunktsiooni definitsioonist järeldub, et funktsioon x G(x) = f (t) dt on funktsiooni f üks algfunktsioone, mistõttu pideva a funktsiooni f suvaline algfunktsioon F avaldub kujul x F (x) = G(x) + C = f (t) dt + C (10.10) a ning määramata integraali saab kirja panna järgmiselt:
annaabi.ee 
