Defineerimine ja tõestamine (0)

Defineerimine ja tõestamine
Raudvara
1. Hulgad
Kui kahes hulgas A ja B on ühiseid elemente, siis need elemendid moodustavad hulkade A ja B ühisosa. Sümbolites: A B
Nä
Kui x A B, siis see tähendab x A ja x B. Sümbolites: x A x B
Moodustades kahest hulgast A ja B uue hulga, millesse kuuluvad kõik hulga A ja B elemendid kordusteta saame hulkade A ja B ühendi. Sümbolites: A B (hulkade A ja B ühend)
Nä
Kui x A B, siis see tähendab, et x A või x B. Sümbolites: x A x B

• kuuluvuse märk
  
• ühisosa märk
  
• sidesõna „ja“
  
• ühendi märk
  
• sidesõna „või“
  
• 
  

2. Defineerimine
Defineerimiseks nimetatakse mõiste seletust või küsimusele vastuse andmist.
Algmõisteid ei defineerita, me teame selle nende tähendust. Algmõisted on näiteks punktihulk, punkt, sirge, tasand, hulk jne.
Mõisteid defineerime algmõistete abil.
Definitsiooniks nimetatakse mõiste täpset ja lühidat selgitust. Eristatakse algmõistet (üldtunnust) ja eritunnust.
3. Teoreem
Teoreemiks nimetatakse mingi lause tõestust matemaatikas varem tuntud tõdede abil.
Teoreemi tõestamist nimetatakse teoreemi tõestuse põhjendamist
Aktsioomideks nimetatakse varem teada olevaid tõdesid.
Teoreemi eelduseks nimetatakse lauset, mis on antud või on teada.
Teoreemi väiteks nimetatakse lauset, mida saab eeldusest järeldada ehk mida on tarvis tõestada.
Tähistades teoreemi eeldust tähega p ja väidet tähega q, siis teoreemi üldkuju on p q (lausest p järeldub q)

• järeldusmärk
  

3.Pöördteoreem
Pöördlauseks nimetatakse lauset, mis saadakse eelduse ja väite vahetamisel. Kui teoreemi pöördlause on tõene, siis nimetatakse seda pöördteoreemiks.
Teoreemist ei olene pöördlause tõesus, see tuleb ise tõestada. Teineteise pöördteoreemid võib kokku võtta sõnadega „ parajasti siis“.
Tähistades teoreemi eeldust tähega p ja väidet tähega q, siis võib kirjutada p q (p on parajasti siis, kui on q)

• „parajasti siis“ näitab, et teoreemi väide järeldub eeldusest ja vastupidi
  

4.Vastuväiteline tõestusviis
Vastuväiteliseks tõestusviisiks nimetatakse tõestusviisi mille korral on tõene väike eitust.
Iga väite korral on tõene kas väide ise või selle eitus, kolmandat võimalust ei ole.
5. Paralleelsete sirgete, põiknurkade ja lähisnurkade tunnused

• Kaht sirget nimetatakse paralleelseks, kui nad asetsevad ühel ja samal tasandil ja nad ei lõiku.
  
• Väljaspool sirget olevat punkti läbib ainult üks sirge, mis on paralleelne antud sirgega .
  
• Kui kaks sirget on paralleelses kolmanda sirgega c, siis on nad paralleelsed teineteisega.
  
• Kui sirge c lõikab üht kahest sirgest a ja b, siis ta lõikab ka teist.
  
• Kui kaks sirget a ja b on risti ühe ja sama sirgega c, siis sirged a ja b on paralleelsed.
  
• Kui üks paar põiknurki on võrdses, siis on võrdsed ka teine paar põiknurki.
  
• Põiknurgad on võrdsed parajasti siis, kui lähisnurkade summa on 180 .
  
• Kaks sirget on paralleelsed parajasti siis, kui nende lõikumisel kolmanda sirgega tekivad võrdsed põiknurgad.
  
• Kaks sirget on paralleelsed parajasti siis, kui nende lõikumisel kolmanda sirgega tekivad lähisnurgad, mille summa on 180 .
  
• Kui nelinurgas on üks paar võrdseid ja paralleelseid vastaskülgi, siis see nelinurk on rööpkülik.
  

6.Kolmnurga sisenurkade summa, kesklõik ja mediaanid .
Välisnurgaks nimetatakse kolmnurga nurga kõrvunurka. Igal kolmnurgal on 6 välisnurka, mis on paarikaupa võrdsed kui tippnurgad .

• Kolmnurga sisenurkade summa on 180 .
  
• Kolmnurga välisnurk võrdub temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga .
  

Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte.

• Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.
  

Kolmnurga küljepoolitajaks ehk mediaaniks nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga tipu vastaskülje keskpunktiga

• Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast.
  

7. Trapetsi kesklõik
Trapetsi kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte.

• Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja võrdub aluste aritmeetilise keskmisega.
  

Trapetsi pindala võrdub kesklõigu ja kõrguse korrutisega. S=kh