Mõlemal puhul tuleb kasutada ülakoma O. Wilde O.Wilde'ile O. Wilde'i (kelle oma) Bordeaux Bordeaux'sse Bordeaux' inimesed Camus Camus'lt Camus' teos Meursault Meursault'lt (kellelt) Camus'd teost lugenud Võõrnimedest tuletamine ja võõrnimede käänamine · Tuletis kirjutatakse väikese algustähega · Mitmest nimest koosnev tuletis kirjutatakse kokku üheks sõnaks · Tuletis võib ülakomaga eralada käänetest Bonn bonn'lane / bonlane Bordeaux bordeaux'lane/ bordeauxlane Camus camus'lik / camuslik Lühendid ja nende reeglid Nii eristatakse kahesuguseid lühendeid:
tingimust f(a)=f(b), siis leidub vahemikus (a,b) vähemaly üks punkt c nii, et f '(c)=0. Tõestus: Kuna f(x) on pidev lõigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja väärtuse sellel lõigul vastavalt lõigul pidevate funktsioonide omadusele 1. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui M=m, siis on funktsioon lõigul [a,b] konstantne, st kõigi x[a,b] korral kehtib f(x)=M=m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f'(x)=0 ja teoreemi väide on täidetud iga c(a,b) korral. Kui Mm võib funktsioon oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a,b] otspunktis või vahemikus (a,b). Oletame, et mõlemad ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises m ning võrratusest Mm tuleneb, et f(x) väärtused lõigu otspunktides on erinevad, kuid me eeldasime, et funktsiooni väärtused lõigu otspunktides on võrdsed.
keskkonda. Võime käituda teadlikult enda ja teiste eest hoolimisel. Küps inimene kogeb piire enda ja teiste eest hoolitsemisel ja investeeringu tegemisel. Teadlikult käitumist arendatakse. Struktureerutid inimeste grupid hoolitsevad ja vastutavad teineteiste eest. Orem'i õendusabi määratlus Õendusabi on eneseabi säte, mis on terapeutiline elu ja tervise säilitamisel, haiguste või vigastuste taastumisel. Õendusabi on teenus inimestele, mitte meditsiini tuletis. Õendusabi edendab patsientide eneseabi eesmärgi. Orem'i õendusabi protsess koosneb 3 astmest: kindlaks teha, miks patsient vajab ravi kujundada hooldusravi ja planeerida hooldus hooldusravi süsteemi juhtimine - planeerimine, algatamine, ja õde tegevuste kontrollimine Täname tähelepanu eest
Jõupaar moodustub kahest vastassuunalisest, kuid piki erinevaid sirgeid mõjuvast jõust. 5. Defineerige ainepunkti ja keha inertsimoment. Ainepunkt=massikese, ainepunkti inertsmoment 6. Kuidas sõltub inertsimoment pöörlemistelje asendist? Massijaotusest sõltub 7. Sõnastage pöördliikumise dünaamika põhiseadus. Pöördliikumise dünaamika põhivõrrand on Newtoni II seadus pöördliikumise kohta. Ta väidab, et impulsimomendi tuletis aja järgi võrdub jõumomendiga: dL / dt = M . Ehk teisiti -jõumoment on see põhjus, mis muudab keha impulsimomenti. 8. Milline analoogia esineb kulg- ja pöördliikumise valemites? Pöördenurga vektori suund määratakse kruvi reegliga kui kruvi pöördliikumise suund ühtib keha pöörlemise suunaga, siis kruvi kulgliikumise suund ühtib pöördenurga vektori suunaga. 9. Mida nimetatakse vabadeks telgedeks?
punktid, kus f (x) = 0 ei moodusta vahemikke, Järeldusi teoreemist: Kui f (x) > 0, siis on funktsioon y = f (x) kasvav vahemikus A. . Kui f (x) < 0, siis on funktsioon y = f (x) kahanev vahemikus A. 4 Statsionaarsed ja kriitilised punktid Punkte x X , kus f ' ( x) = 0 , nimetatakse funktsiooni y = f (x) statsionaarseteks punktideks. Funktsiooni statsionaarseid punkte ja neid punkte, kus funktsiooni tuletis puudub, nimetatakse funktsiooni y = f (x) kriitilisteks punktideks. Kui vahemikus A = (a; b) punktid x1 < x2 < ...< xn on funktsiooni ainukesed kriitilised punktid, siis vahemikes (a; x1), (x1; x2) , ..., (xn ; b) säilitab funktsiooni tuletis märki. 5 Näide Leida funktsiooni y = |x2 4| monotoonsuse (kasvamis- ja kahanemis-) piirkonnad. Funktsiooni määramispiirkond: X = (-; + )
osa liikumist vaadeldakse. Matemaatiline kirjeldus Liikumist on hõlbus määratleda funktsiooni abil, mis kirjeldab keha asukoha sõltuvust ajast. Selleks vaadeldakse koordinaatide alguspunktist keha asukohta viiva kohavektori sõltuvust ajas. Seda sõltuvust võib ka kirjeldada kolme erineva funktsiooni abil, mis näitavad keha asukoha kolme koordinaadi x = x(t), y = y(t), z = z(t) sõltuvust ajast. Selle vektorfunktsiooni (või selle mõne ristprojektsiooni) esimene tuletis aja järgi on hetkkiirus, teine tuletis aja järgi on hetkkiirendus. Kui kiirusvektor ei muutu, siis on tegemist ühtlase sirgjoonelise liikumisega. Ühtlase sirgjoonelise liikumise kiirendus on null. Kui kiirusvektor aja jooksul muutub, siis on tegemist kiirendusega liikumisega. Kiirendusega liikumise puhul on kiirendus nullist erinev. Kiirendusega liikumise näited on vaba langemine ja ühtlane või ebaühtlane ringliikumine. Liikumise trajektoor
Taylori polünoomi nimetatakse mcLaurini polünoomiks, kui a=0 22. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem, tõestust ei küsi). Kui f´(x) on suurem kui 0 iga x (a;b) korral siis on funktsioon f kasvav vahemikus (a;b). Kui aga f´ (x) on väiksem kui 0 iga x (a;b) korral siis on funktsioon f kahanev vahemikus (a;b). 23. Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon. Funktsiooni argumendi väärtusi, mille korral tuletis võrdub nulliga või lõplik tuletis puudub, nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks punktideks. Panna kirja lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus (põhjendust ei küsi). Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Panna kirja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused. 1. olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. Kui läbides punkti x1 vasakult paremale tuletise märk muutub plussilt miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne
Jagatis u v '= u ' v-uv ' v 2 Liitfunktsioon [ f g x ] '= f g ' g ' x Kui f x dx=F xC , siis f ax =b dx= 1a F axbC Logaritmiline tuletis y ' = y [ ln y x ] ' f ' x f x dx=ln f x C
Iga päev tungib maailm piltidena meie kodudesse. Fotode vahendusel saame teada sündmustest maailma eri paigus, näeme inimesi, asju ja nähtusi nii, nagu nad tegelikkuses on. Tänu fotole on meil filmikunst ja televisioon. *Fotograafia leiutajaks peetakse prantsuse teadlast Louis Daguerre'i. Ta avastas hõbedaühendi valgustundlikuks muutumise meetodi, mis võimaldas teha nn dagerrotüüpe ehk ,,hõbepilte''. Sõna fotograafia on tuletis kreeka keelest ja tähendab tõlkes ,,valgusega kirjutamist''. *Fotoalbumit võib ,,lugeda'' nagu raamatut, kuhu iga aasta lisandub üha uusi lehekülgi. Fotod on maailma muutumise tummaks tunnistajaks. Nende imelisus selles peitubki, et nad on nagu peatatud hetked ajaloost ja ka meie endi elust. *Fotosid on erinevaid: ajalehefoto eesmärgiks on informeerida, reklaamfoto soovitab, passipilt on dokumendi jaoks, perealbumisse koonduvad mälestusfotod.
x -> 0 x/2 -> 0 x -> 0 x/2 x/2 See ringi sees = -1 4. Tuletada funktsiooni y = arc sin x tuletise valem. 5. Tuletada funktsiooni y = arc cos x tuletise valem. 6. Tuletada funktsiooni y = xn tuletise valem. Praktilist laadi ülesanded (1) 1. Tuletise definitsioonist lähtudes leida antud funktsiooni tuletis (loengus näide funktsiooni y = x2 kohta). 2. Kasutades Taylori valemit arendada ritta funktsioon y = ex. 3. Kasutades Taylori valemit arendada ritta funktsioon y = sin x . 4. Tuletada ristkülikvalem n = 2 (n = 3) korral. 5. Tuletada trapetsvalem n = 2 (n = 3) korral. 6. Arvutada integraali ligikaudne väärtus ristkülikvalemi abil. 7. Leida antud mitme muutuja funktsiooni määramispiirkond. Vt üles 8. Leida antud mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal. 9
Aritmeetiline jada: an = a1+(n-1)d d = an-an-1 Sn = Geomeetriline jada: an = a1qn-1 Sn = Hääbuv jada: S = Trigonomeetria: sin 2 2 2 = sin +cos = 1 1+tan = sin2 = 2cossin cos2 = 2cos2-1 tan2 = siinusteoreem: (ümberringjoone raadius) koosinusteoreem: a2=b2+c2-bccos erikülgne kolmnurk: S= n Põhivõrrandid: sinx= a x=(-1) +180n, n Z cox= a x=+360n, n Z tanx= a x= +180n, n Z Kaare pikkus: l= Sektori pindala: S= n Liitintress: c= a(1) a-algväärtus Vektorid: pikkus paralleelsus || ristseis X1X2+Y1Y2= 0 nurk vektorite vahel cos = Sirge võrrand: kahe punktiga tõusu ja algkoordinaadiga y= kx+b (lp y-teljega) tõusu ja punktiga y-y1=k(x-x1) Kahe sirge vastastikused asendid: paralleelsed...
Rolle'i teoreem Kui funktsioon f on lõigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f (a) =f (b), siis leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt nii, et f`(c)=0. b. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu: Teoreemi eeldustel on funktsiooni sile joon, mille otspunktid asuvad x telje suhtes samal kõrgusel. Teoreem väidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt c, mille korral funktsiooni tuletis on null e graafiku puutuja on paralleelne x teljega. JOONISED: Vasakpoolsel joonisel on ainult üks selline punkt, parempoolsel aga kaks punkti. c. Cauchy teoreem Kui funktsioonid f ja g on lõigul [a,b] pidevad, vahemikus (a,b) diferentseeruvad ja iga x(a,b) korral kehtib võrratus g`(x)0, siis leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt c nii, et: c.i. Tõestus: Defineerime järgneva funktsiooni f(b) - f(a)
u v v u u = v v2 = v x v2 f ( x) dx = ln f ( x) + c Parameetrilisel kujul antud funktsiooni tuletis, kus x = (t) ja y = (t) yt ( y x ) t y txt y t xt y x = ja y x = y x = xt xt ( xt ) 3 Nr Diferentseerimise valemid Diferentseerimise valemid Integreerimise valemid Lihtfunktsioon Liitfunktsioon 1 (C)'=0 0 dx = c
d) Funktsiooni f(x) maksimumpunkt. 3) Skitseerige funktsiooni f(x) graafik vahemikus ( 0 ; ). 13. (2001) On antud funktsioon f ( x) ax 2 b ln x . 1) määrake kordajad a ja b, kui f (1) f (2) 1 . 2) Asendage punktis 1) leitud kordajate väärtused funktsiooni avaldisse ning uurige saadud funktsiooni kasvamise ja kahanemise suhtes. 14. (2002) Antud on funktsioon y x 3 3 x 2 . 1) Leidke funktsiooni tuletis. 2) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 3) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid. 4) Leidke funktsiooni graafikule joonestatud puutuja tõus punktis, mille abstsiss on 3. 5) Skitseerige funktsiooni graafik. Joonestage funktsiooni graafikule puutuja punktis, mille abstsiss on 3. 15. (2002) Vaatleme funktsioone f ( x) cos 2 x ja g ( x) cos x .
Nõudlus on kaupade ja teenuste hulk, mida tarbija on valmis ja võimeline kindla hinnaga ostma. Pakkumisfunktsioon pakutav kogus Q on toote ühikuhinna p funktsioon Q=f(p) või QS=f(p) Pakkumine on kaupade ja teenuste hulk, mida tootjad on valmis ja võimelised kindla hinnaga müüma. Teooriaküsimused nr. 2 1. Defineerida funktsiooni pidevus. Too näiteid pidevatest ja mittepidevatest funktsioonidest. 2. Defineerida tuletis. 4. Mis on funktsiooni diferentsiaal? Diferentsiaali geomeetriline tähendus? Teooriaküsimused nr.3 1. Selgitada tuletise majanduslikku tähendust. Tuletise asemel kasutatakse majanduses mõistet: lisand ehk piirsuurus ehk marginaal. Tuletis väljendab teatud majanduslikku objekti või majandusliku protsessi muutumise kiirust, mis võib sõltuvuses olla mõnest majanduslikust muutujast. Näitab argumendi väikese muutusena selle
sti toredasti ,rõõmsasti Vähem 5.Rühm,kogu -tsi käsitsi -kon naiskond,meeskond,seltskond -kesi kahekesi -stik jõestik,sõnastik -kil kükakil -stu ühistu,ajastu,järvistu -li selili,külili -stikku lähestikku 6.Ehitus -ldi pooleldi -eba ebaharilik,ebamugav -mitte Tegusõna tuletis 7.Suhtumist näitav liide Jaguneb kaheks: -ke sõbrake,lapseke,mehike 1.Nulltuletus tegusõna tuletatakse teises sõna liigist liidet lisamatta. Ravi-ravima rohi-rohima Moodusta järmistest sõnadest abstraktseid 2.Tegusõna tuletatakse liite abil mõisteid. · -ta,-da,-nda suusatama Mees-mehisus · -u
Sõnamoodustus 1. Tuletamine- iga tuletatud sõna ehk tuletis koosneb tuletustüvest ja ühest või enamast tuletusliitest. a) Liited, mille abil moodustatakse uusi, alussõnadest täiesti erinevaid mõisteid. Näiteks sõnast söök liite –la abil moodustatud sõna söökla tähistab uut mõistet (söömis koht). b) Liited, mille abil ei moodusta täiesti uusi mõisteid, vaid ainult täpsustatakse sõna tähendust. Näiteks täpsustab liide –ke(ne), liitudes sõnale lilleke, seda, et
diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma (tõestust ei küsi). Funktsioon peab olema määratud punkti ümbruses. Absoluutseid ekstreemume ei tohi segi ajada lokaalsete ekstreemumitega (aboluutse ekstreemumi puhul ei pea olema funktsioon punkti ümbruses määratud). Funktsiooni graafiku puutuja selles punktis on paralleelne x-teljega (ehk tuletis on null). 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. 21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem (tuletada pole vaja). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? 22. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem, tõestust ei küsi). 23. Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon. Panna kirja lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus (põhjendust ei küsi). Panna kirja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad
"parandada pilli toonikvaliteeti". Vertikaalselt puhutav bambusflööt xiao omab teadaolevalt rohkem kui 2000-aastast ajalugu ning on levinud Hiinast ka mitmetesse teistesse Aasia riikidesse. Kõige levinum on pillitüüp, millel on esiküljel viis ning tagaküljel üks sõrmeava. Xiao tämber on mahe ning sügav, seda kasutatakse nii sooloinstrumendina kui ka ansamblis teiste pillidega. Euroopa: Iiri flööt Iiri flööt on tuletis inglise põikflöödist 19. sajandil, mis on hiljem võetud Iiri traditsioonilisse muusikasse. Iiri flööt ei ole algselt Iiri põlirahvaste oma. Alates 20.sajandi lõpus on kahte stiili Iiri flööte:pratt ja rudall, rose. Lõuna-Ameerika: Quena Quena on Andese traditsiooniline flööt. Seda valmistatakse bambusest, roost või puust. Tal on 5 või 6 sõrmeava ja üks pöidlaava. Quena on sarnane Jaapani flöödile. Pill on 25-50 sentimeetrit pikk. Mängitakse seda nii, et puhud
x ln a (sin x ) = cos x , kui a < 0 (cos x ) = -sin x a (- ) = (- ) a = - , kui a > 0 ( tan x ) = 12 cos x 95. Liitfunktsioon ja selle tuletis a a = = 0, a R Liitf-ni tuletis võrdub välimise f-ni tuletise ja sisemise f-ni tuletise korrutisega - 96. Joone puutuja võrrand Y - y1 = f ( x)( X - x1 ) - , kui a < 0 s t k1 k 2 = -1 =
∨ (x2 x4) (x2 xx 3 xx 4 xx 2 ∨ x2 xx 3 xx 4 x3 ∨ x2 xx 3 xx 4 x4) = = xx 2 x2 xx 3 xx 4 ∨ x3 x2 xx 3 xx 4 ∨ x4 x2 xx 3 xx 4 ∨ xx 2 xx 2 ∨ x3 xx 2 ∨ x4 xx 2 ∨ xx 2 xx 4 ∨ x3 xx 4 ∨ x4 xx 4 ∨ x2 x4x2 xx 3 xx 4 xx 2 ∨ x2 x4x2 xx 3 xx 4 x3 ∨ x2 x4x2 xx 3 xx 4 x4= = xx 2 ∨ x3 xx 2 ∨ x4 xx 2 ∨ xx 2 xx 4 ∨ x3 xx 4 = xx 2 ∨ x3 xx 4 Leida ja esitada punktis 3 saadud MDNK jaoks tema tuletis muutuja x2 järgi. f(x1,x2,x3,x4) = x2 xx 3 xx 4 ∨ xx 1 xx 2 ∨ xx 1 xx 4 δf (x 1 x 2 x3 x 4 ) δ x2 = f(x1*0*x3x4) f(x1*1*x3x4) = (xx 1 ∨ xx 1 xx 4) ( xx 3 xx 4 ∨ xx 1 xx 4) = =(xx 1 ∨ xx 1 xx 4) ( xx 3 xx 4 ∨ xx 1 xx 4) ∨ (xx 1 ∨ xx 1 xx 4) ( xx 3 xx 4 ∨ xx 1 xx 4) = = xx 1 (xx 1 xx 4 ) ( xx 3 xx 4 ∨ xx 1 xx 4) ∨(xx 1 ∨ xx 1 xx 4) ( xx 3 xx 4) (xx 1 xx 4) =
Määratud integraali ligikaudne arvutamine trapetsvalemiga Referaat Koostas: Denis Rästas 155552IAPB Õpperühm: IAPB15 Juhendaja: Gert Tamberg Tallinn 2016 1. MÄÄRATUD INTEGRAAL........................................................................................... 3 1.1. Pindfunktsioon ja tema tuletis..........................................................................3 1.2. Kõverjoonse trapetsi pindala............................................................................4 1.3. Määratud integraali mõiste.............................................................................. 6 1.4. Määratud integraali omadused.........................................................................7 Omadus 1.....................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ ) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1). Fermat’ lemma - kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f’(x1) = 0. 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv hulgas D. Siis on tema tuletis f’ hulgas D määratud funktsioon. Oletame, et f0 on samuti diferentseeruv hulgas D. Siis saame me arvutada funktsiooni f’ tuletise ehk funktsiooni f teise tuletise, mida tähistatakse f’’. Seda protseduuri võib jätkata. Funktsiooni f teise tuletise diferentseerimisel saame selle funktsiooni kolmanda tuletise f’’’ jne. Funktsiooni y = f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n − 1- järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n)
TEOORIAKÜSIMUSED nr 2 1. Defineerida funktsiooni pidevus. Too näiteid pidevatest ja mittepidevatest funktsioonidest. Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a kui on täidetud kolm tingimust: 1) eksisteerib f(a) 2)eksisteerib 3) <- kui viimane võrdus kehtib iga määramispiirkonna punkti korral on funktsioon pidev Tähistatakse f(x) e C(a) Mittepidev funktsioon: f(x) = katkeb punktis x=1, sest 0-ga jagamine. 2. Defineerida tuletis Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni muutu y=(x+x)-f(x) ja argumendi muudu x suhte piirväärtust argumendi muudu lähenemisel nullile. f´(x) = 3. Milline on tuletise geomeetriline tähendus? Funktsiooni tuletist võib antud punktis tõlgendada, kui selle funktsiooni graafiku tõusu antud punktis. = tan 4. Mis on funktsiooni diferentsiaal? Diferentsiaali geomeetriline tähendus? Funktsiooni diferentsiaaliks nimetatakse korrutist f´(x)x
Lause ,,funktsioon f on pidev lõigus [a, b] " tähendab, et ta on pidev vahemikus (a, b ) , punktis a paremalt pidev ja punktis b vasakult pidev. Analoogiliselt tuleb mõista funktsiooni f pidevust ka muudes piirkondades X, näiteks kui X = (a, b] , X = (a, b ] (c, d ] jne. 15 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a III TULETIS Tuletise mõiste Olgu antud funktsioon y = f ( x ) , x X . Olgu x argumendi muut punktis x X . Siis selles punktis funktsiooni muut on y = f ( x + x ) - f ( x ) . y f ( x + x ) - f ( x ) Moodustame muutude suhte: = . x x y
omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste p~ohjal diferentseeruv punktis c. J¨arelikult, Fermat' lemma p~ohjal saame f'(c) = 0. Teoreem on t~oestatud. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile joon, mille otspunktid A = (a,f(a)) ja B = (b,f(b)) asuvad x-telje suhtes samal k~orgusel. Teoreem v¨aidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c, mille korral funktsiooni tuletis on null, st funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne x- teljega. Sõnastada ja tõestada Cauchy teoreem. Kui funktsioonid f ja g on l~oigul [a,b] pidevad, vahemikus (a,b) diferentseeruvad ja iga x (a,b) korral kehtib v~orratus g'(x) 0, siis leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c nii, et f(b) - f(a) /g(b) - g(a)=f'(c)/ g'(c) T~oestus. Defineerime j¨argmise funktsiooni: Arvutame: F(a) = f(a) (f(b)-f(a)/ g(b)-g(a))* (g(a) - g(a)) = f(a),
2 saavutab f iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. Kuna antud juhul 0 jääb suurima ja vähima väärtuse vahele, siis kuskil peab vaadeldav funktsioon saavutama väärtuse 0. See tähendabki, et lõigul [a, b] leidub vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0. 18. Funktsiooni tuletise definitsioon. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev. Tuletis kui funktsioon. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda Funktsiooni f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt: f (a) = lim f(x) - f(a)/x-a xa Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks.
dt 2π Leiame ω: ω := T Kiirus on ekstremaalne, kui kiirendus (kiiruse tuletis) on 0. 2 −A0 ⋅ ω ⋅ sin( ω⋅ t ) = 0 solve , t → 0 Siit avaldub, et kiirus on maksimaalne, kui aeg on 0s. m A0 ⋅ ω⋅ cos( ω⋅ 0 ) = 0.079 s Kiirendus on ekstremaalne, kui kiirenduse tuletis on 0. 3 3 d x( t ) → −A⋅ ω ⋅ cos( ω⋅ t ) 3 dt 3 −A⋅ ω ⋅ cos( ω⋅ t ) = 0 solve , t → s Siit avaldub, et kiirendus on minimaalne, kui aeg on 1s, meie aga otsime maksimaalset punkti. Sümmetria kaalutlustel on maksimaalne kiirendus ajal 3s. 2 m −A0 ⋅ ω ⋅ sin( ω⋅ 3 s) = 0.123 2 s
Määramata integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator. Funktsiooni f algfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F, mis rahuldab tingimust F'(x) = (x)= f(x). Definitsioon (määramata integraal) Avaldist kujul F(x) + C; kus F(x) on funktsiooni f (x) mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant (integreerimiskonstant), nimetatakse funktsiooni f (x) määramata integraaliks ja tähistatakse st . Määramata integraali tuletis on võrdne integreeritava funktsiooniga st ( )'= f(x). Tõestus: ( )'= (F(x)+C)'=F'(x)= f(x). d( )= ( )'dx = f(x)dx = F'(x)dx= dF(x). Operaatorit L:V->W nimetame lineaarseks kui on täidetud tingimused: a)L(f+g)= L(f) + L(g) kui f, g V (aditiivsus) b) L(cf) = cL(f) kui f V ja c R (homogeensus). Määramata integraal on lineaarne operaator, st =
muutub nurkkiirus ajaühiku jooksul. ß = ( - 0) / t . Nurkkiirenduse SI-ühik on üks radiaan sekundi ruudu kohta (1 rad /s2 ehk 1 s-2). Kiiruse suuruse muutumist ajas näitab tangentsiaalkiirendus at . Kuna v = r , siis at =ßr. 21. Seos kiiruse ja nurkkiiruse vahel (pöörlemisel). Kiirendus on võrdeline nurkkiiruse ruuduga. Kiirendus näitab, kui palju muutub kiirus ajaühiku jooksul. Kiirendus on kiiruse muutumise kiirus. Kiirendus on kiiruse tuletis. 22. Dünaamika kaks põhiülesannet: Mehaanika osa, mis uurib kehade kehadevahelist vastasmõju nimetatakse dünaamikaks. Dünaamika aluse moodustavad kolm Newtoni seadust. 23. Masskeskme mõiste ja liikumisseadus. Masskese on punkt ainepunktide süsteemis, mis käitub välisjõudude mõjul nii nagu oleks seal kogu keha mass. massikese liigub nii, nagu oleks sellesse koondunud süsteemi kogu mass ja rakendatud süsteemi kõikidele kehadele mõjuvate
funktsioonid �(�)�� � (�) on diferentseeruvad vahemikus (α, β) ja �(�) on lõigul [α, β] rangelt monotoonne ning �̇(�)≠0 (�∈(�,�)), siis �’ = dy y ̇ dx = x (α < t < β), täpiga tähistatakse tuletist parameetri järgi. d Ilmutamata funktsiooni tuletis: F(x, f(x))=0 → dx F(x, f(x))=0 Rolle’i teoreem: Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, kus f ′ (c) = 0. Lagrange'i keskväärtusteoreem: Kui funktsioon f on pidev lõigul [a,b] ja diferentseeruv vahemikus (a,b), siis leidub punkt c ∈ (a,b) nii, et f(b)-
1. Näidata, et xϵRn korral rahuldab normi aksioome 2. puudu || x ||1: k | xk | 3. Näidata, et xϵRn korral rahuldab normi aksioome Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile seab vastavusse skalaari , kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 3). 4. Tõestada üks segatuletiste võrdsuse piisav tingimus. 5. Näidata, et diferentseeruv kahe-või mitmemuutuja funktsioon on pidev. 6. Näidata, et kahe-või mitmemuutuja funktsioon on diferentseeruv, kui tema osatuletised on pidevad. 7.Liitfunktsiooni tuletise ja osatuletise valemid. Üks neist tuletada. Kui funktsioonid xi = xi (t) (i = 1; … ; n) on diferentseeruvad punktis t ja funktsioon u = f (x) on diferentseeruv punktis P(x1(t);…..; xn(t)), siis liitfunktsiooni f (x1(t); … ; xn(t)) = f (x(t)) = u(t) tuletis punktis t avaldub kujul Kui funktsioonid x = x(u; v) ja y = y(u; v) on diferentseeruvad punktis P(u; v) ning funktsioon ...
S = pr S = abc/4R NB! Vaata üle ka nt Thalese teoreem JADA Aritmeetiline jada an = Sn = Geomeetriline jada an = Sn = Hääbuva jada summa: Sn = Potentseerimise teoreemid: NB! a^ loga N = N loga Nm = Uuele alusele viimine: loga N = loga N1 · N2 = loga N1 / N2 = KUJUNDID Sektori pindala: Ringi pindala: Ringjoone ümbermõõt: Kera ruumala: Kera pindala: Koonuse ruumala: Koonuse pindala: Püramiidi ruumala: Trapetsi pindala: Rombi pindala: TULETIS [f(x) · g(x)]´ = [f(x) / g(x)]´ = y = f[g(x)]; y´ = (ln x)´ = (ex)` = (ax)` = (logax)´= (sin x)´ = (cos x)´ = (tan x)´ = LÕIK, SIRGE, VEKTOR, TASAND Lõigu pikkus ruumis: d = Tasandi projektsiooni pindala: Sp = Vektorite paralleelsuse tingimus: Vektorite ristseisu tingimus: Skalaarkorrutis: Nurk vektorite vahel: Vektorite liitmine ja lahutamine: Vektori pikkus: Ühel tasandil olevaid vektoreid nimetatakse komplanaarseteks
Jada piirva¨ artus. ¨ Arv e. Funktsiooni piirva¨ artus. ¨ Joone asumptoodid. ¨ ~ Lopmata ¨ vaikesed ja ~ lopmata ~ suured suurused. Funktsiooni pidevus. Loigul pidevate funktsioonide omadused. Funktsiooni tuletis. Liitfunktsiooni tuletis. Po¨ ordfunktsiooni ¨ tuletis. Parameetri-liselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata ~ funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Pohiliste elementaarfunktsioonide tuletised. ~ Korgemat ¨ jarku tuletised. Leibnizi valem. Funktsiooni diferentsiaalid. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine
9. KLASSI EESTI KEELE EKSAMI KORDAMISMATERJAL VÄLDE Eesti keeles on rõhu ülesandeks tähistada sõna algust ehk eesti keeles on rõhk esimesel silbil. I välde lühikese silbi pikkuse tinglik nimetus. Esineb ainult lühikestes silpides. Lühikesed silbid ei saa omakorda esineda üheski teises vältes peale I välte. Pearõhuline silp on lühike ja sellele ei järgne k, p, t. Nt ka-la, ja-nu-ne-ma, ve-de-le-ma II välde pika silbi pikkuse tinglik nimetus. Esineb ainult pikkades silpides. Pearõhuline silp on pikk. Pearõhulisele lühikesele silbile järgneb k, p, t. Nt koe-rad, ham-mas-test III välde kolmanda välte puhul on tegemist ekstra rõhuga, millega võib hääldada pikki silpe. Pearõhulist pikka silpi hääldame ülipikalt. Sõna on ühesibiline. Tavaliselt võib sama häälikulise koosseisuga silpe hääldada kas tavalise rõhuga (II vältes) või ekstra rõhuga (III vältes). ...
Pöördkehade ruumala arvutamine · Pöördehade ruumala arvutamisel kasutatakse pöördkeha poolküljeristlõike funktsioonivalemit ja määratud integraali. 1) On vaja funktsioonivalemit, millest pöördkeha moodustada. Olgu selleks y = f ( x) 2) Et leida ruumala, tuleb funktsioon võtta ruutu, selle ruutu integreerida ja korrutada - h ( f ( x) ) dx , kus integraali rajad määravad pöördkeha kõrguse x-teljel. 2 ga: V = 0 · Näide KOONUSE moodustumisest: x 1) Võtame näiteks funktsiooni y = ja määramispiirkonnaks X = [ 0; 4] 4 2) Järgmiseks leiame ruumala: 2 4 x 4 4 2 x x3 43 03 4 V = dx = dx = = - = 4 0 0 1...
Näide. Olgu y = x2, fikseerime suvalise a, siis limx0 y = limx 0 [(a+ x)2 - a2) = lim x 0 (2ax + x2) = 0, seega antud funktsioon on pidev hulgal X = ( -, ), st pidev kõikjal. Kõik elementaarfunktsioonid on pidevad oma määramispiirkonnas (vt teoreem 6). Funktsiooni f katkevuspunktid selle funktsiooni määramispiirkonna kuhjumispunk- tid, milles funktsioon ei ole pidev. Näide. Funktsiooni f (x) = tan x katkevuspunktid on x = ± /2, ± 3/2, ... § 3 FUNKTSIOONI TULETIS JA DIFERENTSIAAL. 1.Tuletise definitsioon. Pidevus ja diferentseeruvus Olgu antud funktsioon y = f (x) , x X. Anname argumendile x muudu x, nii et x+ x X ja vastav funktsiooni muut olgu y = f(x+x) - f(x). Definitsioon 7. Kui eksisteerib piirväärtus (lõplik või lõpmatu) y lim , x 0 x
. . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.5 Tähtsad piirväärtused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.6 Pidevad funktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.7 Funktsiooni katkevusviise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.8 Pidevate funktsioonide omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5 Funktsiooni tuletis ja diferentsiaal 47 5.1 Keskmine kiirus ja hetkkiirus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.2 Tuletise definitsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.3 Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.4 Diferentseerimise reeglid . . . . . . . . . . . . . . .
Liitverbe võib siiski pidada kasvavaks komplekssõnade tüübiks, sest uusi liitverbe leiab nii ajakirjandusest kui ka interneti suhtlusmeediast. Liitverbid on enamasti tekkinud tuletatud põhiosaga liitnimisõna reanalüüsil, mille tagajärjeks on pöördtuletis, s.t nimisõnaliite ees olevat kompleksset tüvekuju on hakatud kasutama verbina (iseteenindus > iseteenindama, esilinastus > esilinastuma). Liitverbi põhiosa võib olla lihtverb (eel+tellima), tuletis (taas+elustama) või võõrverb (kaas+finantseerima). Laiendosaks on harilikult piiratud hulk muutumatuid sõnu (järel+valmima), kinnistüvesid (esi+linastuma), harvem ka omadussõnu (kiir+uisutama) või nimisõnu (kaitse+pookima). Muutumatutest sõnadest moodustavad liitverbe sagedamini taas (taas+esitama), eel (eel+soojendama), järel (järel+küpsema) ja üle (üle+hindama). Lühi- jm kinnistüvelisi liitverbe on nt esietendama, nurisünnitama, biolagunema, taandarenema
Eesti keel Inglise keel Tähestik Aa, Bb, Cc, Dd, Ee, Ff, Gg, Aa, Bb, Cc, Dd, Ee, Ff, Gg, Hh, Ii, Jj, Kk, Ll, Mm, Nn, Hh, Ii, Jj, Kk, Ll, Mm, Nn, Oo, Pp, Qq, Rr, Ss, Ss, Zz, Oo, Pp, Qq, Rr, Ss, Tt, Uu, Zz, Tt, Uu, Vv, Ww, Õõ, Ää, Vv, Ww, Xx, Yy, Zz. Öö, Üü, Xx, Yy. Vokaalid a, e, i, o, u, õ, ä, ö, ü.(9) a, e, i, o, u (mõnikord ka y). (6) Konsonandid b, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, r, b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, s, s, z, z, t, v.(18) q, r, s, t, v, w, x, y, z.(21) Liitsõnad Eesti keeles kirjutatakse Inglise keeles võib liitsõnu liitsõna osad alati kokku, ...
Euleri võrrandid 38. Bernoulli võrrand voolujoonele hõõrdevaba vedeliku statsionaarsel liikumisel? Pidevuse võrrand diferentsiaalvõrrandi kujul. 5 39. Reaalvedeliku voolamise põhivõrrand Navier-Stokes'i võrrand 40. Keerisvoolamise põhimõisted Trajektoor, Euleri meeetod, voolujooned, täistuletis, lokaalne tuletis, adektiivne tuletis. 41. Keerise tsirkulatsioon . Kehade uhtumine vedelikega (voolamine ümber kehade). Mis on piirikiht? Hõõrdetakistus piirikihis? Keerise tsirkulatsioon on joonintegraal mööda suvalist kinnist kontuuri kiirusvektori v ja kontuurielemendi raadiusvektori r difrensiaali dr skalaarkorrutisest. Kui tahked kehad on ümbritsed teda uhtuvate gaaside või vedelikega, siis sellist voolamist nim välisuhtumiseks
23. MUUTUVA ÜLEMISE RAJAGA INTEGRAAL (teoreem 5.3) Olgu määratud integraalis alumine raja fikseeritud ja ülemine raja muutuv. Siis muutub ka integraali väärtus, s.t. integraal on ülemise raja funktsioon. Tähistame muutuva raja x'ga ning integreerimismuutuja t'ga. Et see integraal on ülemise raja funktsioon, tähistame ta (x). Kui f(x) on pidev funktsioon ja , siis kehtib võrdus: =f(x) Teisisõnu: määratud integraali tuletis ülemise raja järgi on võrdne integreeritava funktsiooniga, kusjuures integreerimismuutuja on asendatud ülemise rajaga. TÕESTUS Anname argumendile x positiivse või negatiivse muudu Dx, siis määratud integraali 6. omaduse järgi: Funktsiooni (x) muut: =(- (x)= ehk Rakendades viimasele integraalile keskväärtusteoreemi, saab funktsiooni muudu esitada:
Pilet 2 1. Pöördliikumise põhivõrrand Pöördliikumise dünaamika põhivõrrand on Newtoni II seadus pöördliikumise kohta. Ta väidab, et impulsimomendi tuletis aja järgi võrdub jõumomendiga: dL / dt = M . Ehk teisiti - jõumoment on see põhjus, mis muudab keha impulsimomenti. 2. Eneseiduktsiooni nähtus ja pooli induktiivsus . Nähtust mille korral voolu muutumine põhjustab induktsiooni emj. samades juhtmetes, kus vool ise muutub, nimetatakse eneseinduktsiooni ehk endainduktsiooni nähtuseks. Juhi ehk pooli induktiivsus näitab kui suur eneseinduktsiooni emj. tekib selles juhis, kui voolutugevust temas vähendada 1A võrra sekundis. 3
2) Massikeskme liik, seadus Massikeskmeks või inertsikeskmeks on punkt massiga M millele on omistatud süsteemi liikumishulk ning mille asukohta näitab dr M raadiusvektor rM ja liikumiskiirseks on vM, raaduisvektori tuletis aja järgi MvM = M = L või siis d(MvM)=Fdt , dt süsteemi massikeskme jaoks kehtib täpselt sama Newtoni II seadus ,mis ühe ainepunkti puhul, seda nim süsteemi massikeskme liikumise seaduseks. 3) Tangensiaal ja normaalkiirendused, trajektoor, kiirendusvektor
muutujale muudu xi ja jättes ülejäänud muutujad konstantseks. u = f ( x1 ,..., xi -1 , xi + xi , xi +1 ,..., x n ) - f ( x1 ,..., xi -1 , xi , xi +1 ,..., x n ) Def. 3.1. Funktsiooni z = f ( x, y ) osatuletist x järgi nimetatakse funktsiooni tuletist tingimusel, et y = const . z z f ( x + x , y ) - f ( x, y ) (3.1) = z x = lim x = lim x x 0 x x 0 x Selle funktsiooni osatuletiseks y järgi on tuletis z yz f ( x, y + y ) - f ( x, y ) (3.2) = z y = lim = lim y y 0 y y 0 y n-muutuja funktsiooni u = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) osatuletiseks x k suhtes on tuletis tingimusel, et kõik muutujad on konstantsed, välja arvatud x k . z z = lim k (3.3) x k x k 0 x k k = 1,2,..., n z
teise(teiste) komponendi muutuse, mis omakorda neutraliseerib esimese komponendi muutuse. On hea, viib süsteemi tasakaalu. Nt. mudel, mis vastavalt juhusliku suuruse väärtustele lisab erinevate reeglite järgi anumasse palle. Negatiivse tagasimõju mudelis lisatakse vastavat värvi pall juurde, kui tema osakaal on väiksem juhusliku suuruse väärtusest: LISA_ROH = IF JS > ROH_OSA THEN 1 ELSE 0 15. Ekstreemumite leidimine Stella abil. Integraal, tuletis integraali kaudu- Ekstreemumeid saab leida mudeli ,,Tuletis integraali kaudu" abil: 1. antakse juhtimisse ette funktsioon, mille ekstreemumit soovitakse leida. 2. Põhimuutujaks on ,,integraal" väärtusega 0. 3. Määrata juhtimismuutuja ,,tuletis integraali kaudu" väärtuseks: (integraal-viivitus)/DT, kus viivitus=DELAY(integraal,DT). Määratud integraali leidmise mudel: Põhimuutujaks on integraal, juhtimises on funktsioon, mida soovitakse integreerida
[x1 v x4 v (1 * x2 * 0 v x2 x3 v 0 * x3 * 0 v 1 * x2 * 1)] * [x1 v x4 v (0 * x2 * 1 v x2 x3 v 1 * x3 * 1 v 0 * x2 * 0)] * [x1 v x4 v (0 * x2 * 0 v x2 x3 v 1 * x3 * 0 v 0 * x2 * 1)] = [x1 v x4 v (x2 v x2 x3)] * [x1 v x4 v (x2 x3 v x3)] * [x1 v x4 v (x2 x3 v x3)] * [x1 v x4 v (x2 x3)] = [x1 v x4 v (x2 v x3)] * [x1 v x4 v (x2 v x3)] * [x1 v x4 v (x3)] * [x1 v x4 v (x2 x3)] 8 9 10. Loogikafunktsiooni tuletis x2 ja x4 järgi MDNK tuletis x2 järgi: f ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) =¿ (x1 * 0 * x4 v x1 x3 x4 v 0 * x3 v x1 x3 x4) (x1 * 1 * x4 v x1 x3 x4 v x2 1 * x3 v x1 x3 x4) = (x1 x3 x4 v x1 x3 x4) (x1 x4 v x1 x3 x4 v x3 v x1 x3 x4) = (x1 x3 x4 v x1 x3 x4) (x1 x4 v x1 x3 x4 v x3 v x1 x3 x4) v (x1 x3 x4 v x1 x3 x4) (x1 x4 v x1 x3 x4 v x3 v x1 x3 x4) = (x1 x3 x4) (x1 x3 x4) (x1 x4 v x1 x3 x4 v x3 v x1 x3 x4) v (x1 x3 x4 v x1
(integreerimiskonstant), nimetatakse funktsiooni f (x) määramata integraaliks ja 0 tähistatakse () st () = () + . Määramata integraali tuletis on tingimuste f(x) = O(1), g(x) = O(1) (x [, ]) põhjal(( )- f( )) 0. võrdne integreeritava funktsiooniga st ( ())'= f(x)
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
