1. Reaalarvud ja avaldised a, kui a 0 · Arvu absoluutväärtus a = - a, kui a < 0 · Astme mõiste ja omadused a 0 = 1, kui a 0 a1 = a a n = a a a a, kui n N 2 1 a-k = , kui a 0 ja k Z või ak kui a > 0 ja k Q m n a m , kui a > 0, m Z ja n N a = n 2 0...
2.4 RUUTVÕRRATUS Ühe muutujaga ruutvõrratuse üldkuju on ax2 + bx + c > 0, kus a 0. Märgi > asemel võib võrratuses olla ka üks märkidest <, , . Ruutvõrratuse lahendamiseks 1) lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0; 2) skitseerime parabooli y = ax2 + bx + c; 3) leiame jooniselt, kus funktsiooni väärtused positiivsed, kus negatiivsed. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafik on parabool. Kui a > 0, siis avaneb parabool ülespoole. Kui a < 0, siis avaneb parabool allapoole. Kui lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0, siis on kolm erinevat võimalust: A) Diskriminant D = b2 4ac > 0. Parabool lõikab sel juhul x telge kahes erinevas punktis. ax2 + bx + c > 0 L = ( ;x1) (x2; ) ax2 + bx + c >0 L = (x1; x2) 1 B) Kui diskriminant D = 0, siis on ruutvõrrandil kaks võrdset reaalarvulist lahendid ...
40, 42, 42, 42, 43, 45, 45, 47, 48, 48, 52, 53, 53, 54, 54, 55, 55.
max-min 55-6 f
Klasside arv N = 446,6 ; klasside arv = 6,6 =7,47 ; W(%) = W = N * 100%
=34
X
klassid f W(%)
6
Statistilise rea karakteristikud. Tunnuseid ( nende väärtusi) iseloomustavad teatud suurused nn. karakteristikud. Karakteristikud on tunnuse jaotust ja selle omadusi iseloomustavad suurused. Karakteristikud jagunevad I keskmised e. paiknevuse karakteristikud - väljendavad antud tunnuse mingit keskmist väärtust, mille ümber tunnuse väärtused paiknevad. II hajuvuse karakteristikud - iseloomustavad tunnuse väärtuse hajuvust s.t kas väärtused erinevad üksteisest vähe või palju. Keskmised e. paiknevuse karakteristikud. Keskmised jagunevad a) asendikeskmised ( mediaan, mood) - sõltuvad elementide asendist variatsioonreas, b) mahukeskmised (keskväärtus, kaalutud aritmeetiline keskmine, harmooniline keskmine, geomeetriline keskmine, ruutkeskmine) - sõltuvad rea mahust. ASENDIKESKMISED ...
Ühe tundmatuga lineaarvõrrand ja lineaarvõrratus II. Võrrandite samaväärsus ja põhiomadused 1. Võrrandiks nimetatakse võrdust, mis sisaldab tundmatut suurust ehk tundmatut. Millistel juhtudel on tegemist võrrandiga : a) x - 1 = 1 .................. d) 4 - 7 + 14 = 11 ......... g) 13x - 2y - 24 = 0 ......... b) 3x + 4 = 4 ............... e) 2x - 2x = 6 - 6 .......... h) 21 + 12 - 14 - 7 .......... c) 5x - 4 + 2 = 5x .......... f) 7x + 3 = 7y - 9 ........... i) 3x +4y - 7 - 13 ............. 2. Vii võrrandi kõik liikmed vasakule poole ja koonda sarnased liikmed: a) 12x - 7 = 3x + 5 d) 4x + 13 = x + 21 g) 6y - 14 = 8y - 14 ........................ ........................ ........................ b) 7x + 8 = 5x + 9 e) 3x + 19 - 7x = 23 h) 4x + 16 = 5y - 16 ........................ ........................ ...
Joone võrrand Lineaarfunktsioon Funktsiooni, mida saab esitada kujul y = ax+ b nimetatakse lineaarfunktsiooniks. Avaldis ax on lineaarliige. Arv b on vabaliige, b väärtus vastab argumendi (x) väärtusele 0. Arv a näitab, mille võrra muutub funktsioon (y), kui argument (x) suureneb ühe võrra. Lineaarfunktsiooni y = ax + b graafikuks on sirge, mis lõikub y-teljega punktis (0;b) ja läbib punkti (1; a+b). Sirge tõus a näitab, kui palju muutub sirgel oleva punkti ordinaat (y) siis, kui abstsiss (x) kasvab ühe ühiku võrra. Ruutfunktsioon Ruutfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on esitatud ruutavaldisega y = ax 2 + bx + c, kus ax 2 on ruutliige, bx on lineaarliige, c on vabaliige. Ruutfunktsiooni graafikuks on joon, mida nimetatakse parabooliks. Parabooli sümmeetriatelg on sirge, mille suhtes parabool on sümmeetriline (nimetatakse ka parabooli teljeks). Sümmeetriatelje ja parabooli ühist punkti nimetatak...
1. Geomeetrilise jada tegur on 3 ning viies liige 243. Leia selle jada kümnes liiga ja kümne liikme summa. 2. Paiguta arvude 7 ja 567 vahele kolm arvu nii, et nad koos esialgsetega moodustaksid geomeetrilise jada. 3. Geomeetrilise jada 1-se, 3-nda ja 5-nda liikme summa on 455 ning 2-se, 4-nda ja 6- nda liikme summa 1365. Leia selle jada kuus esimest liiget. 4. Geomeetrilise jada esimese ja neljanda liikme summa on 28 ning esimese ja neljanda liikme vahe -36. Leia jada kümne liikme summa. 5. Geomeetrilise jada 1. ja 3. liikme summa on 52. 2-se ja 4-nda liikme summa 260. Leia selle jada kümne liikme summa. 6. Leia jada 1;2;4... kaheteistkümne liikme summa. 7. Geomeetrilise jada 1., 2. ja 3. liikme summa on 168. 4-nda,5-nda ja 6-nda liikme summa aga 21. Leia selle jada 6 liiget. 8. Geomeetrilise jada esimese kolme liikme summa on 840 ning kolme järgneva liikme summa 105. Leia jada kuus esimest liiget. 9. Ge...
Reaalarvud NATURAALARVUD Naturaalarvudena mõistame arve 1, 2, 3, .... . On ka käsitlusi, kus ka 0 loetakse naturaalarvuks. Naturaalarvude hulka tähistatakse sümboliga N. Naturaalarvude hulga saame esitada kujul: N = {1;2;3;...;n-1;n;n+1;...} . 0 1 2 3 4 Naturaalarvude hulga omadusi. · Naturaalarvude hulk N on järjestatud lõpmatu hulk, milles on vähim, kuid pole suurim arvu. · Naturaalarvude hulk N on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge. · Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. (Kui kaks naturaalarvu liita või korrutada on tulemuseks alati naturaalarv.) · Naturaalarvude hulk ei ole kinnine lahutamise või jagamise suhtes. Naturaalarve, mis jaguvad 2-ga, nimetatakse paarisarvudeks, ülejäänuid paarituteks arvudeks. Ühest suuremat naturaalarvu , mis jagub vaid ühe ja iseendaga nimetatakse algarv...
Statistilne uurimus Mitu korda päevas sa keskmiselt läbi hoone ukseava käid? Lisa vastavalt kas M/N. (Uurimuse viisin läbi paberilehel oleva küsitluse ja internetiküsitluse abil). Statistilised read: M: 50, 45, 100, 70, 65, 60, 80, 75, 40, 90, 100, 100, 30, 55, 60, 70, 80, 80, 95, 40, 50, 60, 66, 55, 76, 100, 78, 80, 60, 85, 55, 58, 69, 50. N: 100, 80, 85, 85, 85, 70, 80, 55, 50, 70, 60, 65, 75, 80, 90, 90, 110, 100, 100, 60, 70, 75, 85, 90, 75, 55, 70, 80, 55, 80, 60, 75, 100, 70, 65, 75, 75, 80, 90, 70, 60, 55, 70, 80, 90, 100, 55, 60, 40, 60, 45, 80, 68, 80. Variatsiooniread: M: 30, 40, 40, 45, 50, 50, 50, 55, 55, 55, 58, 60, 60, 60, 60, 65, 66, 69, 70, 70, 75, 76, 78, 80, 80, 80, 80, 85, 90, 95, 100, 100, 100, 100. N: 40, 45, 50, 55, 55, 55, 55, 55, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 65, 65, 68, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 75, 75, 75, 75, 75, 75, 80, 80, 80, 80, 80, 80, 80, 80, 80, 85, 85, 85, 85, 90, 9...
Kümnend ja Kuuekümnend Süsteem NIMED 10nd süsteem Tekkis 5. sajandil Indias Alguses jäeti nulli kohale tühi koht alles hiljem hakati seda märkima ringi või punktina Arvu 10 nimetatakse kümnendsüsteemi aluseks 60nd süsteem Pärineb iidsetelt sumeritelt umbes 3. aastatuhandelt ekr 60nd süsteemi kasutatakse tänapäeval eelkõige aja mõõtmiseks minutis on 60sek,tunnis 60min
Matemaatiline statistika - Statistika on teadus, mis käsitleb arvandmete kogumist, töötlemist ja analüüsimist. - Üldkogum on looduse/ühiskonna nähtus või objektide hulk, mille kohta soovime teha teaduslikult põhjendatud järeldusi. - Üldkogumi osa nimetatakse valimiks. Valim: - Igal üldkogumi objektil peab olema võimalus valimisse sattuda. -Valim peab olema arvukas. Kõikne valim ehk üldkogum. Andmete kogumine ja ettevalmistamine töötlemiseks 1) Arvtunnus (kvantitatiivne) - diskreetsed -pidevad -Juhuslik valik -Planeeritud valik -Järjestatud 2) Mittearvtunnus (mittekvantitatiivne) -kodeeritud -Nominaaltunnus: Pärast kodeerimist ei ole mõtet järjestada. -Järjestustunnus: 5 v.hea; 4 hea; 3 rahuldav jne. Binaarne tunnus...
Matemaatilise statistika kordamisküsimused õpikust 1. Selgita, millega tegeleb statistika, millega matemaatiline statistika. Statistika on teadus, mis käsitleb arvandmete kogumist, töötlemist ja analüüsimist. Matemaatiline statistika on matemaatika haru, mis uurib statistiliste andmete põhjal järelduste tegemiste meetodeid. 2. Mis on üldkogum, mis valim? Too näiteid. Üldkogum on looduse/ühiskonna nähtus või objektide hulk, mille kohta soovime teha teaduslikult põhjendatud järeldusi. Üldkogumi osa nimetatakse valimiks. Valim: - Igal üldkogumi objektil peab olema võimalus valimisse sattuda. -Valim peab olema arvukas. Kõikne valim ehk üldkogum. 3
Siinuse Teoreem ja Kolmnurga pindala kahe külje ja nendevahelise nurga järgi . R- kolmnurga ümberringjoone raadius Piirdenurk- on kõõlude vaheline nurk, mille tipp on ringjoon. Piirdenurk võrdub poolega samale haarale toetuvast kesknurgast. Kesknurk- on raadiuste vaheline nurk, sest toetub : Sin(a)=a/2R : kaks külge ja ühe külje vastasnurk! a/sin(a)=2R : kaks nurka ja ühe nurga vastas külg! Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega. Siinusteoreemi abil saame lahendada kolmnurki kui on antud: 1. Kaks nurka ja üks külg. 2. Kaks külge ja on antud ühe külje vastasnurk. Kolmnurk Kolmnurga pindala võrdub kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse poole korrutisega: ,-kui on acsin(),-bcsin() Kolmnurga pindalad: S=1/2 ¤ A ¤ H
Ruutfunktsioon Ruutfunktsioon y = ax2 + c ja tema graafik Vaatleme niisugust muutujate x ja y vahelist seost, mis on esitatud valemiga y = ax2 + c, kus a ja c on antud arvud ning a 0. Määramispiirkonnaks on kõigi reaalarvude hulk või selle osahulk. NÄIDE 1. Joonestame ühes ja samas teljestikus ruutfunktsioonide y = 2x2 ja y = 2x2 + 2 graafikud. Lahendus: Koostame kõigepealt muutujate x ja y vastavate väärtuste tabeli. x 2 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2x2 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8 2x2 + 2 10 6,5 4 2,5 2 2,5 4 6,5 10 Punase joonega on märgitud ruutfunktsiooni y = 2x2 + 2 ja mustaga y = 2x2 graafik. Näeme, et ruutfunktsioonil y = 2x2 + 2 nullpunktid puuduvad, kuigi haripunkt on (0; 2). Ruutfunktsioonil ruutfunktsiooni y = 2x2 ühtivad nii nullpunkt k...
10.a Click Click icon to addtopicture icon add picture Perekond Karl Wierstrass, saksa matemaatik, oli Wilhelm Weierstrass'i ja Theodora Vonderforst'i poeg. Õpingud Click to edit Master text styles Matemaatika vastu tekkis tal Second level huvi gümnaasiumis. Pärast Third level gümnaasiumit saadeti ta Fourth level Fifth level Bonn'i ülikooli õppima õigusteadust, majandust ja rahandust. Hakkas kooli kõrvalt ka matemaatikat õppima. Seetõttu lahkus ta ülikoolist ilma kraadita.
SIRGE SIRGE TÕUSUNURK x-telje positiivse suuna ja sirge vahel SIRGE TÕUS k näitab, mitu ühikut ühe x'i ühiku kohta sirge tõuseb. (Tangens tõusunurgast) SIRGE TÕUS KAHE PUNKTI JÄRGI SIHIVEKTOR - suvaline vektor, millel on sirgega sama siht e. paralleelne pikkus, suund pole tähtis sihivektoreid on lõpmata palju SIRGE VÕRRAND kujutab suvalist punkti x(x;y) sirgel. Sirge võrrand antakse alati kujul Sirgel SIRGE VÕRRAND KAHE PUNKTI KAUDU SIRGE VÕRRAND TÕUSU JA ALGKOORDINAADIGA SIRGE TÕUSU JA PUNKTIGA PARALLEELSETEL SIRGETEL RISTUVATEL SIRGETEL
Trigonomeetrilised funktsioonid Valemid sin2x + cos2x = 1 sin2x = 1 cos2x cos2x = 1 sin2x tanx = sinx / cosx 1 + tan2x = 1 / cos2x sin2x = 2sinx x cosx cos2x = cos2x sin2x tan2x = 2tanx / (1 tan2x) sinx/2 = ± ((1 cosx) / 2) cosx/2 = ± ((1 cosx) / 2) tanx/2 = ± ((1 cosx) / (1 + cosx)) sin(x ± y) = sinx x cosy ± cosx x siny cos(x ± y) = cosx x cosy ±vp! sinx x siny tan (x ± y) = (tanx ± tany) / (1 ±! tanx x tany) sin(90 x) = cosx cos(90 x) = sinx tan(90 x) = cotx cot(90 x) = tanx sin(180 x) = sinx sin(180 + x) = -sinx sin(360 x) = -sinx sin ++-- ; cos +--+ ; tan +-+- sinx = m = x = (-1)n arcsinm + n ; n Z cosx = m = x = ±arccosm + 2n ; n Z tanx = m = x = arctanm + n ; n Z SIN, COS, TAN joonised ! SIN x I - I -3/4 I -/2 I /4 I -/6 I 0 I sin x I 0 I -0,7 I -1 I -0,7 I -0,5 I 0 I x I /6 I /3 I /2 I 5/6 I 2/3 I I sinx I 0,5 I 0,9 I 1 I 0,5...
SILINDER S k = 2rh S p = r 2 St = S k + 2 S p = 2rh + 2r 2 = 2r ( h + r ) V = S p h = r 2 h KOONUS S k = rm S p = r 2 St = S k + S p = rm + r 2 = r (m + r ) 1 1 V = S p h = r 2 h 3 3 TÜVIKOONUS S k = (r1 + r2 )m S p1 = r1 2 S p 2 = r2 2 2 2 [ St = S k + S p1 + S p 2 = (r1 + r2 )m + r1 + r2 = r1 + r2 + (r1 + r2 )m 2 2 ] h 2 2 V= (r1 + r1r2 + r2 ) 3 SILINDER S k = 2rh S p = r 2 St = S k + 2 S p = 2rh + 2r 2 = 2r ( h + r ) V = S p h = r 2 h KOONUS S k = rm S p = r 2 St = S k + S p = rm + r 2 = r (m + r ) 1 1 V = S p h = r 2 h 3 3 TÜVIKOONUS S k = (r1 + r2 )m S p1 = r1 2 S p 2 = r2 2 ...
JADAD Geomeetriline (iga liige on eelnevast konstantne arv KORDA suurem) q jada tegur Arikmeetiline (iga liige on eelnevast konstantne arv VÕRRA suurem) d - jada tegur VEKTORID JA SIRGED = AB SIRGE VÕRRANDID: PUNKTI ja SIHIVEKTORI ( kaudu KAHE PUNKTI kaudu PUNKTI ja TÕUSU (k) järgi AGKOORDINAAT (b) ja TÕUSU järgi __________________________________________________________ __________________________________________________________ NURK Nurk vektorite vahel Nurk sirgete vahel RINGJOON KOLMNURK RISTTAHUKAS võib ka katsetades !!
Tuletiste tabel: c = 0 x = 1 1 1 =- 2 x x ( x ) = 1 ( x ) = nx n n -1 (e ) = e x x 2 x (a ) = a x x ln a ( ln x ) = 1 ( log a x ) = 1 x x ln a ( sin x ) = cos x ( cos x ) = -sin x ( tan x ) = 12 ...
docstxt/133536230026096.txt
Trigonomeetria valemid kõik ühel lehel. Põhiseosed Täiendusnurga trigonomeetrilised Negatiivse nurga trigonomeetrilised sin sin 2 + cos 2 = 1 = tan tan cot = 1 funktsioonid funktsioonid cos 1 1 1 + tan 2 = 1 + cot 2 = cos 2 sin 2 Põhilised taandamisvalemid Nurkade summa ja vahe trigonomeetrilised Kahekordse nurga trigonomeetrilised funktsioonid funktsioonid ...
1. Arvud, mis väljendavad risttahuka mõõtmeid moodustavad geomeetrilise jada. Risttahuka põhja pindala on 108 m² ja täispindala 888 m². Leia risttahuka mõõtmed. 2. Urnis on 5 musta, 7 kollast ja 4 punast palli. Leia tõenäosus, et juhuslikult võetud kolme palli hulgas on. 1) vähemalt 2 kollast palli; 2) Kõik erinevat värvi pallid; 3) kõik ühtevärvi pallid. 3. Leia kõik reaalarvude paarid (x;y), mis rahuldavad võrrandit 2 x +1 = 4 y 2 +1 ja võrratust 2 x 2 y . 4. Kahe positiivse arvu vahe moodustab 1/19 nende kuupide vahest, nend4e korrutis on aga ½ võrra väiksem nende ruutude poolsummast. Leia need arvud. 5. Lahenda võrrand 3sin 9 + 3 = 3 vahemikus (-2; 2). 6. Võrdkülgsesse kolmnurka küljega a on kujundatud teine võrdkülgne kolmnurk, mille tipud asuvad esimese kolmnurga külgedel jaotades need suhtes 1:2. Leia väiksema kolmnurga pindala. 7. Koonusekujulise veinik...
1. Antud on funktsioonid f(x) = logx ja g(x) = -1 1.1. Skitseeri ühes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud; 1.2. Leia millistes punktides on nende funktsioonide väärtused võrdsed; 1.3. Leia milliste argumendi x väärtuste korral on funktsiooni f(x) väärtused väiksemad funktsiooni g(x) väärtustest; 1.4. Leia funktsiooni f(x) väärtus, kui x = 10 cos 4 2. On antud funktsioon y =x 3 -5x 2 . Leia selle funktsiooni 2.1. nullkohad; 2.2. positiivsus- ja negatiivsusvahemikud; 2.3. ekstreemumkohad, nende liik ning ekstreemumpunktid; 2.4. kasvamis- ja kahanemisvahemikud; 2.5. skitseeri selle funktsiooni graafik; 2.6. graafikule puutuja punktis, mille abstsiss on 5. 3. Antud on funktsioonid f(x) = sin2x ja g(x) = sinx. 3.1. lahenda võrrand f(x) = g(x) lõigul [0;2] ; 3.2. joonesta ühes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) ja g(x) graaf...
Sirged tasandil Sirge esitamise viisid: 1. Kahe punktiga esitatud sirge võrrand: Olgu antud kaks punkti , siis sirge võrrandiks on 2. Punkti ja sihivektoriga esitatud sirge võrrand: Olgu antud punkt ja sihivektor , siis sirge võrrandiks on 3. Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand: Olgu antud punkt ja tõus , siis sirge võrrandiks on 4. Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand: Olgu antud tõus k ja algordinaat b (y telje koordinaat, kus sirge läbib y-telge) y = kx + b 5. Sirge võrrand telglõikudes: Läbigu sirge koordinaattelgi punktides (a; 0) ja (0; b), siis sirge võrrand on Sirge üldvõrrandiks on Ax + By + C = 0, kus sihivektori koordinaadid on ja normaalvektori koordinaadid . Normaalvektor on risti sihivektoriga . Sirge tõusu saab arvutada valemitega . Punkti kaugus sirgest Ax + By + C =0 . Kahe sirge lõikepunkti saab vastavate võrranditega moodustatud...
1. Lahenda kolmnurk ja arvuta selle pindala, kui tipud on K(4; 2; 10), L(10; -2; 8) ja M(-2; 0; 6). Leia küljele LM tõmmatud mediaani pikkus ja küljega KL paralleelse kesklõigu vektor. 2. Kasuta segakorrutist ja vektorkorrutist ning leia rööptahuka ABCDEFGH ruumala ja kõrgus, kui B(-2; 4; -3), C( 4; -3; 2); D(3; 2; -1) ja G(2; -1; 5) 3. Nelinurga ABCD tipud on A(9; 3; -8), B(7; 5; -9), C(-5; -1; 0) ja D(-11; -7; -7). 3.1. Veendu, et see nelinurk on trapets. Tee kindlaks, millised lõigud on trapetsi alusteks. 3.2. Kas trapets on võrdhaarne? 3.3. Leia trapetsi kesklõigu otspunktid. 3.4. Leia trapetsi haarade pikenduste vahelise nurga koosinus. 4. Rööptahuka kolme külje vektorid on järgmised: a = (-2; 4, 6 ) ; = (5;6;-4) ja b c = (-1;6;-7) . 4.1. Leia selle rööpta...
STATISTIKA 10. A klassi matemaatika kontrolltöö hinded olid 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 2, 5, 5, 2, 5, 4, 5, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 3, 5 1. Kirjuta välja selle statistilise rea variatsioonirida (järjestatud). Leia variatsioonirea minimaalne ja maksimaalne element X min ; X max . Leia variatsioonirea ulatus X max - X min . 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5 Variatsiooni ulatus 5 2 X min = 2 X max = 5 2. Esita andmed sagedustabelina (sagedus f) Hinne X 2 3 4 5 Sagedus f 3 7 10 8 Suhteline sagedus W 11% 25% 35,8% 29% X- X -1,8 -0,8 0,2 1,2 (X- X )2 3,24 0,64 0,04 1,44 f 3. Kanna tabelisse ka suhteline sagedus (W= 100%) ...
Louvre-i muuseum on üks tuntumatest muuseumitest maailmas. Seal asub Leonardo da Vinci `'Mona Lisa'', mis on 77 cm kõrgune. Seda maali üritab pildistada üks tüdruk, kes on maalist 90 cm kaugusel. Kahjuks on ta sellele liiga lähedal ja tema fotoaparaat ei suuda õiget fookust kätte saada. Mitu sentimeetrit peab ta tagasi liikuma, et pildistada maali 20 kraadise nurga alt ja mitme kraadise nurga alt üritas ta maali alguses pildistada? Tekkinud kolmnurk on täisnurkne kolmnurk. Antud : a = 90 cm b = 77 cm Leida : (uus)a - ? - ? Leiame kõigepealt algse nurga : = = = 4032´ Nüüd võime leida uue kauguse tüdruku ja maali vahel, et saada 20: = = (uus)a = = 212 (cm) Sellega leidsime uue kauguse tüdruku ja maali vahel, kuid on vaja leida mitu cm tüdruk peab maalist kaugemale liikuma, seega : 212 90 = 122 (cm) Ülesande tingimused on täidetud. Vastus : Tüdruku ja maali vahel oli alguses 4032´ ja ta pidi liikuma maalist 122 cm kaugemale, et sa...
Ruutfunktsioon y=ax+c, kus a ja Valemis y=ax+c Graafikuks on y=ax+c: c on antud arvud on ax ruutliige ja parabool, mis on ning x ja y on c vabaliige. sümeetriline y muutujad. telje suhtes. Parabooli haripunkt on punktis (0;c). Kui a>0, siis avaneb parabool ülespoole, kui a<0, siis allapoole. Mida suurem a, seda...
Pöördkehade ruumala arvutamine · Pöördehade ruumala arvutamisel kasutatakse pöördkeha poolküljeristlõike funktsioonivalemit ja määratud integraali. 1) On vaja funktsioonivalemit, millest pöördkeha moodustada. Olgu selleks y = f ( x) 2) Et leida ruumala, tuleb funktsioon võtta ruutu, selle ruutu integreerida ja korrutada - h ( f ( x) ) dx , kus integraali rajad määravad pöördkeha kõrguse x-teljel. 2 ga: V = 0 · Näide KOONUSE moodustumisest: x 1) Võtame näiteks funktsiooni y = ja määramispiirkonnaks X = [ 0; 4] 4 2) Järgmiseks leiame ruumala: 2 4 x 4 4 2 x x3 43 03 4 V = dx = dx = = - = 4 0 0 1...
Maatriks arvutus Def 1 : (mxn) m korda n järku arv maatriks A nim mn arvust moodustatud tabelit, milles on m rida ja n veergu. NT filmilint, male- ja kaberuudud. Maatrikselemendid on elemendid, millest maatriks koosneb. Ai-reaindeksj- veeruindeks I= 1, 2, .....m j= 1, 2, ......n A=( a11 a12 a13 ....a1n) ( a21 a22 a23....a2n) ( a31 a32 a33 ....a3n) m=n (ruutmaatriks) nxn n2- maatriks mn (ristkülikmaatriks) Maatriksi seda osa, kus paiknevad elemendid a11 ; a22 ; a33 ..... akk nimetatakse maatriksi peadiagonaaliks. Maatriksi seda osa, kus paiknevad elemendid a1n ; a2n-1 ; a3n-2 .... akn(k-1) nimetatakse maatriksi kõrvaldiagonaaliks. a11 priviligeeritud element. Tehted maatriksiga Def 2 : maatriksid A ja B loetakse võrdseks, kui nad on sama järku ( ühepalju ridu ja veerge) ja nende kõik vastavad elemendid on võrdsed . A: (pxq) B: (rxs) p=r q=s Def 3 : (mxn) järku maatriksite A ja B summaks nimetatakse sama järku numbrite A + B, mil...
VEKTOR Punktid A(x1; y1) ja B(x2; y2) Vektori koordinaadid AB = ( x2 - x1 ; y 2 - y1 ) Vektori pikkus AB = ( x2 -x1 ) 2 +( y2 - y1 ) 2 Vektorid a = ( a1; a2 ) ja b = ( b1;b2 ) Vektorite liitmine a + b = ( a1 + b1 ; a 2 + b2 ) Vektorite lahutamine a - b = ( a1 - b1 ; a 2 - b2 ) Vektori korrutamine arvuga k a = ( k a1; k a2 ) Vektori pikkus a = a12 + a22 Võrdsed vektorid a = b a1 = b1 ja a 2 = b2 Kollineaarsed vektorid a a b b = b 1 2 a 1 2 Ristuvad vektorid a b a b = 0 a b a1 b1 + a 2 b2 = 0 a b Vektorite vaheline nurk: cos = a b
Sirge tõusunurgaks nimetatakse nurka (alfa), mis on x-telje positiivse suuna ja sirge vahel. Sirge tõusuks nimetatakse suurust tan(alfa). Sirge algordinaadiks nimetatakse ordinaadi väärtust, kus sirge lõikab y-telge. Sirge võrrand kahe puntki abil: x-x1 / x2-x1 = y-y1 / y2-y1 Sirge võrrand ühe punkti ja sihivektoriga: x-x1 / s1 = y-y1 / s2 Sirge võrrand punkti ja tõusuga: y-y1 = k(x-x1) Sirge võrrand tõusu ja algordinaadiga: y = kx + b Ühel sirgel on lõpmata palju sihivektoreid. Teame järgnevaid sirge määramise viise: kahe punkti abil, punkti ja sihivekotriga, punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga. Sirge on omavahel risti kui nende tõusude korrutis on -1, s.t. k1 * k2 = -1. N: 12x 3y = 0; 2x + 8y 9 = 0 s1(3;12) s2(-8;2) s1*s2=3*(-8)+12*2=0 Sirge üldvõrrand: ax + by + c = 0 => s(prim) = (-b; a) Kahe sirge vastastikused asendid: s: a1x + b1y + c1 = 0 t: a2x + b2y + c2 = 0 I ühtivad: a1/a2=b1/b2=c1/c2 II p...
Ülesanne 1 Alljärgnevalt on toodud Jüri ja Mari kontrolltööde punktid ühel aastal. Uuri punktide varieerumist mõlema õpilase korral. Leia punktide aritmeetiline keskmine ( vastus ümarda kümnendikeni ), standardhälve( kümnendikeni) ja vari Mari Punktid ( x ) Sagedus ( f ) f*x Standardhälve ülemine osa 33 1 33 114,49 35 1 35 75,69 39 1 39 22,09 40 1 40 13,69 42 3 126 8,67 45 2 90 3,38 46 1 46 5,29 47 2 94 21,78 48 1 48 18,49 49 2 98 56,18 50 ...
Alljärgnevalt on toodud Läänemaa põhikoolide mitmevõistlustel toimunud kõrgushüppe tulemused 2010 kui ka 2011 aastal. Võrdle poiste tulemusi mõlemal aastal. Korrasta andmed tabelisse. 1. Leia poiste keskmine tulemus mõlemal aastal (vastus ümarda sajandikeni). 2. Leia standardhälve (sajandikeni) ja variatsioonikordaja (vastus täisarvuna) 3. Leia mood. 4. Joonestage saadud tulemuste abil tulpdiagramm. 5. Leia variatsiooniulatus 2010 poisid Kõrgus (x) Sagedus (f) f*x Standardhälve ülemine osa 2010 1,00 1 1,00 0,13 1,05 1 1,05 0,10 1,15 1 1,15 0,04 1,25 1 1,25 0,01 1,30 2 2,60 0,01 2011 1,35 4 5,40 0,...
SISUKORD 2 3 SISSEJUHATUS Küsitlesin 22 (13 meest, 9 naist) minu tutvusringkonda kuuluvat inimest (vanusevahemikus 14-18) seriaalide vaatamise teemal. Uurimuse viisin läbi internetis. 4 1. TULEMUSED 1.1 Statistiline rida Naised: 0; 1; 7; 4; 3; 1; 2; 0; 0 Mehed: 1; 1; 1; 0; 2; 7; 5; 3; 11; 5; 0; 0; 2 1.2. Variatsioonrida Naised: 0; 0; 0; 1; 1; 2; 3; 4; 7 Mehed: 0; 0; 0; 1; 1; 1; 2; 2; 3; 5; 5; 7; 11 Kõik: 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 4; 5; 5; 7; 7; 11 1.2.1.Variatsiooni ulatus Naised 7-0=7 Mehed 11-0=11 Kõik 11-0=11 1.3. Mood Naised Mo=0 Mehed Mo=0; 1 Kõik Mo=0 1.4. Mediaan Naised Me=1 Mehed Me=2 Kõik Me=2 1.5. Alumine kvartiil Naised Kv=0 Mehed Kv=0,5 Kõik Kv=0 5 1.6. Ülemine kvartiil Naised ülemine Kv=3,5 Mehed ülemine Kv=5 Kõik ülemine Kv=4,5 1.7. Aritmeetiline keskmine ...
HARILIKUD MURRUD Murdude liigitus M u rd a vu H a rilku d K ü m n e d m u rd m urd L ih tm u rd S e g a rvu d L ig m u rd Harilikud murrud Harilik murd näitab, mitmeks osaks on tervik jaotatud ja mitu osa tervest on võetud. Terviku jaotamine osadeks...
Siit saame et võrrandi x4 + 5x2 + 4 = 0 lahendid on x1 = -i, x2 = i, x3 = -2i ja x4 = 2i. E = I Z. Võrrandi x4 - 5x2 + 4 = 0 lahendid on x1 = -1, x2 = 1, x3 = -2 ja x4 = 2. 11. klassi matemaatikaõpiku tagakaanel on pilt ühest omapärasest kujundist, 3 Näide 2. Lahendame võrrandi z - 27 = 0. y mida nimetatakse Kochi lumehelbeks. Kochi lumehelbe saame järgmisel viisil: B Kujutame ette võrdkülgset kolmnurka küljepikkusega 1 ühik. Selle kolmnurga Et z3 - 27 = (z - 3)(z2 +3z +9), siis
DETERMINANDI MÕISTE. KAHEREALISE DETERMINANDI Avaldanud esimesest võrrandist x-i ja asendanud saadud tulemuse teise võr- KASUTAMINE VÕRRANDISÜSTEEMIDE LAHENDAMISEL randisse, saame c1 b1 y Paljude sisult erinevate probleemide lahendamine viib ühe ja sama seaduse a1 x b1 y c1 x , kui a1 0. järgi koostatud avaldisteni. Sel juhul on otstarbekas uurida nende avaldiste a1 üldisi omadusi. c b y° a2 ¡¡ 1 1 ±± b2 y c2 a1 korrutame võrrand...
DIAPORAMATH Rühmatöö. Kujund projekteeritakse mõne sekundi jooksul ekraanile. Rühm vaatab joonist märkmeid tegemata, kuid on lubatud mõttevahetus ja kokkuleppimine, kes mida jätab meelde. Seejärel tehakse piiratud aja jooksul kujundi võimalikult täpne joonis ja tuuakse õpetajale. kerge kerge kerge keskmine keskmine raske keskmine keskmine raske raske raske
6 3 6 5 25 25 4 6 12 1 2 5 1 1 3 1 1 4 + = - = + = 7 28 28 5 7 35 15 5 15 1 1 4 7 4 3 5 3 10 - = - = - = 3 7 28 8 5 41 16 48 48 Ja nüüd vahelduseks üks pilt ja luuletus ÜKS TEINE MATEMAATIKA TAHAD, EKS TAANDA MIND ÄRA, KUI PAISTAN LIIG KEERULINE! KUI TAHAD, MIND LIHTMURRUKS TAANDA. SIIS OLENGI LIHTNE JA SELGE NING LÕPUNI LÄBINÄHTAV. LAS OLLA MU LUGEJAKS ÜKS NING JOONE ALL MISTAHES NUMBER - IKKA SEE SINUGA JAGUB, IKKA ON JAGATIS KAKS. NII OLENGI LIHTSALT ÜKS KAHENDIK.
Muutuse väljendamine protsentides Meenutatakse, kuidas väljendati kahe arvu suhet protsentides. Näiteks, mitu protsenti moodustab arv 2 arvust 40. Selleks moodustatakse arvude suhe, mis teisendatakse protsentideks: 2 1 = = 0,05 osa on 5% 40 20 Arvutamise etapid on: 1. arvude suhte moodustamine 2. taandamine (kui võimalik) 3. jagamine 4. saadud kümnendmurru protsentkujule viimine Siinkohal tuleb veelkord rõhutada seda, et muutuse korral leitakse protsent algsest väärtusest. Näide 1 Kirjutuslaud maksab 1500 krooni, selle hinda alandatakse 300 krooni. Mitu protsenti allahindlus oli? 300 kr 1 = = 0,2 osa on 20% 1500 kr 5 Näide 2 Tagametsa külas elas 60 inimest. Siis kolis sinna elama kaks 5-liikmelist peret. Mitme ...
Kordamine III(sirge, ringjoon, parabool, vektor) 1. On antud kolmnurk tippudega A(1;2), B(4;3) ja C(2;5). Leidke sirgete AB ja AC võrrandid ning lõikepunktid koordinaattelgedega; 2) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB paralleelse sirge võrrand; 3) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB ristuva sirge tõus. 2. Lõik otspunktidega on ringjoone diameetriks. Leidke: 1) ringjoone võrrand; 2) sellele ringjoonele punktides (2,5; 4,5) ja (0;2) joonestatud puutujate võrrandid ja nende puutujate lõikepunkt. 3. Tuletage joone võrrand, kui joone iga punkti kaugused punktidest M(0;-3) ja N(2;3) on võrdsed. Näidake, et otsitav joon on lõigu MN keskristsirge. 4. Parabool läbib punkte (-1;0), (5;0) ja (0;-10). Leidke parabooli võrrand ja tema haripunkti koordinaadid ning puutuja võrrand punktis (0;-10). 5. Leidke parabooli y = x2 2x haripunkti koordinaadid. 1) Vektori v =(a;9) alguspunkt ...
Ülesanded logaritm- ja eksponenfunktsioonile ja võrranditele. 1. Arvutage avaldise täpne väärtus ilma taskuarvutita, näidates tehteid: 1 1 -2 - 1 100 4 10 5 + 0,04 2 - - + 16 0, 25 52,3 0 + 2 3 2. Skitseerige samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = 6 x , y = 3 x ja y = 0,3 x graafikud. Missuguste argumendi väärtuste korral kehtib võrratus 6 x > 3 x ? (viiruta). Iseloomusta funktsiooni y = 3 x (vähemalt viis kõige olulisemat omadust). 3. Kui suureks kasvab summa 570 eurot nelja aasta pärast, kui pank maksaks kuus 1% intressi? 4. Lahendage võrratused, põhjenda (miks): a) 0,12 x 0,1 ja b) 8 2 2 x -3 > 43. x -1 ...
Kordamisülesanded 3 (tekstül, %, suhted) 1. Linnade A ja B vaheline kaugus on 90 km. Linnast A pidi väljuma postiauto, kuid kohe sõidu alguses tuli tal oodata 27 minutit. Et kaotatud aeg tasa teha ning õigeaegselt kohale jõuda, pidi postiauto kiirust auurendama 10 km võrra tunnis. Kui suure kiirusega pidi postiauto nüüd sõitma? 2. Jalakäija otsustas 30 km pikkuse tee läbida teatud kiirusega. Tegelikult liikus ta selle kiirusega vaid ühe tunni, seejärel käis 1 km vähem ettenähtust. Sihtpunkti jõudis ta 1 tund ja 15 minutit hiljem, kui oli kavatsenud. Missugune oli jalakäija planeeritud kiirus? 3. Jalgrattur peab sõitma Tartust Painkülla kindlaks ajaks. Kui ta sõidab keskmiselt 12 km tunnis, siis ta hilineb pool tundi; kui ta aga sõidab 15 km tunnis, siis ta saabub Painkülla 12 minutit enne tähtaega. Kui pika tee peab jalgrattur läbima? 4. Kaks matkajat väljusid üheaegselt teineteisele...
Kodune töö nr. 2 Arnold Oliinik 134183 tab23 1. Kas lause on tv väär, tõene või määramata? (( A B) ((B A) v A)) A B (( A B) ((B A) v A)) t t v t t t t v t v v v t t t v v t v v t v t t v v v t t t t t Lause on tv väär 2. Kas laused on tv ekvivalentsed? P Q and (P & Q) v (P & Q) P Q (P&~Q)v(~P&Q) P~Q t t v v v v v v v t v t v t v v t t v t v v t t t t v v v v t v t v v t Laused on tõeväärtuseliselt ekvivalentsed 3. Kas lausehulk on tv kooskõlaline? {R, (P v Q) (Q & R), Q & P} P Q R R (P v ~Q) (Q & R) Q & P t t T V T V t v t V V t t V ...
8. klassi matemaatika mõisted ja valemid Ümardamisel kasutatakse järkusid. Tüvenubriteks loetakse: 1) täisarvus kõik numbrid väljaarvatud arvu lõpus olevad nullid. 2) kümnendmurrus kõik numbrid va. Arvu ees olevad nullid. Arvutamine ligiklaudsete arvudega: 1) liitmisel, lahutamisel ümardatakse lõppvastus ühise madalaima järguni. (Tüvenumbrite madalaima järguni) 2) korrutamisel, jagamisel tuleb lõppvastus ümardada nii, et temas oleks sama palju tüvenumbreid, kui oli seda vähima tüvenumbrite arvuga algandmes. 3) mitme tehtega ülesandes tuleb: a) arvutada iga tehe eraldi ja jätta 1 varunumber ning lõppvastus ümardada täpselt. b) hinnata iga tehte tulemust ja otsustada milleni tuleb vastus ümardada. Protsent: Osa=osamäär * tervik Tervik=osa : osamäär Osamäär=osa : tervik Sagedustabel, sektordiagramm: 1)tunnus on suurus, mis iseloomustab mingit objekti. Tunnus võib olla arvuline(pikkus, kaal, jalanumber jne.) või mittearvuline(ju...
a n : a m = a n- m (a ) n m = a n m ( ab) n = a n b n n n a a = n b b Kasutatud kirjandus: Eksaminandile matemaatika riigieksamist, REK, 2001 Valemid asuvad keskkonnas www.kool.ee Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti · Juure mõiste ja omadused ( a) n n =a n
Õppekavad ja õpikud koolimatemaatikas 1. Matemaatikaõpetuse areng eesti koolis 1.1. Eestikeelse hariduse algus Esimesed katsed eesti soost lastele haridust anda emakeeles tehti 17. sajandi keskel. Talurahva haridusele alusepanijaks loetakse Bengt Gottfried Forseliust (1660 - 1688). Ta oli soome päritoluga, tema isa oli Tallinna toomkooli õpetaja. B.G. Forselius õppis juba lapsepõlves selgeks eesti keele. 1684. a sai ta enda käsutusse tühjalt seisvad Papimõisa hooned (nende asukohta märgib praegu
HUVIALADE MÕJU ÕPPEEDUKUSELE Vinni-Pajusti Gümnaasium 11. klass Karina Trofimov Katre Mäekivi Uurimustöö eesmärgid ● Millega tegelevad küsitletud õpilased vabal ajal? ● Kas nende huvialad takistavad või soodustavad õppetööd? ● Kui takistavad/soodustavad, siis miks? ● Kas õpilased on oma õppeedukusega rahul? Sissejuhatus ● Küsitlesime 12. klassi ja 7. klassi õpilasi. ● 12. klassist saime arvestatavaid ankeete 8 (õpilased vanuses 18-19). ● 7. klassist saime arvestatavaid ankeete 13 (õpilased vanuses 13-14). ● Vastasid nii poisid kui tüdrukud. 1.Küsitlevate sugu 7 6 5 4 3 2 1 0 poisid 7. klass tüdrukud 7. klass poisid 12. klass tüdrukud 12. klass 2.Millega te vabal ajal tegelete ? 12. klassi vabaaja tegevusalad ...
Mis on e-arv? Matemaatikas kasutame igapäev arve, erinevaid valemeid ja arvutame. Siiani olen kõikidest matemaatilistest mõistetest aru saanud- mida see tähendab ja millisteks arvutusteks ma seda kasutada saan. Kuid hiljuti tekkis minus müsteerium – mis on e –arv? Minu esimene otsing viis mind õpiku kaante vahele, kust leidsin vaid lühikirjelduse e-arvust. See pidavat olema mingi määratud arv, kuid enne kui jõudsin õpikut edasi uurida, ütles Aaron, on see lõpmatu. Edasi leidsin õpikust vaid portsu arusaamatuid näiteid. Tundes oma huvi süvenemist selle maagilise e-arvu vastu, otsisin selle kohta materjale ka mujalt: küsitlesin oma isa, testisin veel kord Aaroni teadmisi ning loomulikult sai ka Google´i arvamust küsitud. Kokkuvõtteks tegin avastuse, et e-arv on üsna tavapärane termin matemaatikas ning ei ole ta midagi nii maagilist ja salapärast, lihtsalt üks lõputu arv nagu pii. Kasutada saan ma teda eksponentvõrrandites ning iial ei ...
Logaritmid 1. Logaritmi mõiste Arvu b logaritmiks alusel a nimetatakse astendajat x, millega alust a astendades saadakse arv b. Sümbolites: log a b=x a x =b . See võrdus seob omavahel kolm arvu. Neid nimetatakse järgmiselt: arv a on logaritmi alus, arv b on logartmitav ja arv x on logaritm. Seejuuures a > 0, a 1 b > 0; x R . Näiteid: 1) log 2 8=3 , sest 23 = 8. 1 1 2) log 3 =-1 , sest 3-1= . 3 3 1 1 3) log 36 6= , sest 36 2 =6 . 2 4) log 45 1=0 , sest 450 = 1. 5) log 5 (-25) ei ole olemas, sest võrrandil 5x = -25 lahend puudub. Logaritme alusel 10 nimetatakse kümnendlogaritmideks ja tähistatakse sümboliga log (alust märkimata): log 10 x =log x Näiteid: 1) log 10=1 , sest 101 = 10. 2) log 100=2 , sest 102 = 100. ...
Trapets Martna Põhikool 8. klass Gerli Helts Trapetsi definitsoon Trapetsiks nimetatakse nelinurka, mille 2 külge on paralleelsed ja 2 mitteparalleelsed a a II b b c II d c d Trapetsi omadused Haarad ei ole paralleelsed Alused on paralleelsed Haara lähisnurkade summa on 180º Trapetsi ehitus Trapetsi paralleelsed külgi nimetatakse D C 1 2 alusteks, joonisel on alused sirge AB ja sirge CD Trapetsi mitteparalleelseid külgi h nimetatakse haaradeks, joonisel on 4 3 A B haarad sirge AD ja sir...
KARNAUGH' KAARDID Karnaugh' kaart on funktsiooni tõeväärtustabeli sihipärane topoloogiline ümberpaigutus tasandil või ruumis. T Ü Tõeväärtustabeli igale reale vastab kaardil üks ruut. T Karnaugh' kaartide topoloogia 2muutuja Karnaugh' kaart on tabel mõõtmetega 2 2 (või 1 4) ruutu ; 3muutuja Karnaugh' kaart on tabel mõõtmetega 2 4 = 8 ruutu ; 4muutuja Karnaugh' kaart on tabel mõõtmetega 4 4 = 16 ruutu ; e h n ik a t või i 6 - muutuja Karnaugh' kaart v ut Karnaugh' kaartide põhiomadused r 2 - muutuja 3 - muutuja 4 - muutuja Karnaugh' kaart ...
Täisosa ees ja murdosa järel asuvad '0'-d ei mõjuta arvu väärtust: Täisosa madalaima järgu kaal on kõikides arvusüsteemides 1, kuna suvaline arv astmel 0 võrdub teatavasti 1-ga. 123.4510 = . . . . 00000123.450000000 . . . . 10 Diskreetne matemaatika murdarvudega ei tegele. Kõikide edaspidi vaadeldavate arvude madalaima järgu kaal on p0 = 1 ( järjestikuste arvude genereerimise / loendamise / inkrementeerimise näide 10ndsüsteemis ) Igas järgus a i saab olla p erinevat numbrimärki ehk järguväärtust.
/¯¯ ülesanne: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 1. Katame kaardil asuvad 1de ruudud suurimate kontuuridega, kasutades seejuures võimalikult vähe kontuure. ( 0-lle ei tohi valida 1-de kontuuridesse ) 2. Määramatuse ruute tohib seejuures kontuuridega katta, kuid ei pea katma. Ü Määramatusi katame kontuuridega ainult siis, kui see aitab kasvatada T Leida Karnaugh' kaardiga MDNK MKNK 4-muutuja funktsioonile: veelgi suuremaks mõnda niikuinii vajalikku kontuuri. T f ( x1 . . . x4 ) = ( 1, 4, 5, 9, 11, 12, 13, 15 ) 0 ( 3, 14 ) — ...
HULGAD Hulgaaritmeetilised tehted I Ü Hulgaalgebra T T A B . . . . Hulk on koosvaadeldavate hulgaelementide kogum . . . . ( hulk koosneb elementidest ) Hulkade jaoks on defineeritud 5 hulgaaritmeetilist tehet : tehte NIMI formaalne tähistus AB a hulkade ühend k __ i hulga täiend ...
Jääkfunktsioon Ü Kui asendada n-muutuja funktsiooni f ( x1 x2 ..... xn ) avaldises osad tema f = ¯x2 ( x1· 0 · x¯3 w ¯x1·1· x4 w x1·1 ) w x2 ( x1· 1 · x ¯3 w ¯1·0· x4 w x1·0 ) = x T muutujad konstantidega 0 või 1 , siis selliselt saadavat lihtsamat T loogikafunktsiooni nimetatakse algse n-muutuja funktsiooni = ¯x2 ( x ...
LAUSEARVUTUS 4 sidumiskonstruktsiooni seovad igaüks kahte lauset ( binaarsed loogikatehted) ja 1 tehe viiest on rakendatav üksikule lausele ( unaarne Ü loogikatehe) T Lausearvutus on loogilise mõtlemise matemaatiline mudel. T Lausearvutuse lause võib olla iga verbaalne (ehk lingvistilises keeles verbaalne esitus formaalne tähistus väljendatud) väide, millele saame omistada tõeväärtuse — tõene või P eitus ( inversioon ) : __ vale. " mitte P "; " pole õige, et P " ...
Kahendkoodidega seotud mõisted |____________________________________________________________________________________ | Suvaline üksik kahendvektor { 00111 } moodustab samuti intervalli, kuna Ü (n-järguline) kahendvektor on kahendnumbritena 0 ja 1 esitatud sellises üheelemendilises hulgas on 20 elementi ja hulga ainus 2ndvektor T loogikaväärtuste ühemõõtmeline jada pikkusega n. omab samas hulgas 0 lähisvektorit. T Vektori pikkus on tema 2ndjärkude arv ehk n-järgulise 2ndvektori pikkus intervalli olulisteks järkudeks (olulisteks muutujateks) on tema on n. ...
ARUANNE Arvutusteks kasutatavad valemid: n d d 2 i ∆d j - juhuslik viga d j t n 1, i 1 n n 1 ...
1) y= 3x³-9x 1. X=R 2. Y=R 3. Xₒ ; y=0 3x³-9x=0 |: 3 x³-3x=0 x(x²-3)=0 x=0 või x²-3=0 x²=3 x=±√3 Xₒ={-√3; 0; √3} 4. X+ y>0 3x³-9x>0 X+=(-√3;0) U (√3;∞) 5. X‾ y<0 3x³-9x<0 X‾=(-∞;-√3) U (0;√3) 6. X℮ y´=0 y´=(3x³-9x)´= 9x²-9 9x²-9=0 |: 9 x²-1=0 x²=1 x= ±√1 X℮={-√1;√1} 7. X↑ y>0 9x²-9=0 X↑(-∞;-√1) X↑(-√1;∞) 8. X↓ y<0 X↓(-√1;√1) 9. Pmax, Pmin x= -√1 (max, sest + läheb üle - ) x= √1 (min, sest – läheb üle +) Ymax= 3 ˟ (-√1)³ -9 ˟ (-√1)= 6 Pmax(-√1; 6) Ymin= 3 ˟ (√1)³ -9 ˟ √1= -6 Pmin(√1;-6) 2) 8x³+4x² 1. X=R 2. Y=R 3....
küsimusele: Mida nimetatakse...... Mis on......... Definitsioon peab olema korrektne. • Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille küljed on paralleelsed. • Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed. • Kõrvunurkadeks nimetatakse kaht sellist nurka, millel on üks ühine haar. • Kõrvunurkadeks nimetatakse kaht sellist nurka, millel on üks ühine haar ja teised haarad moodustavad sirge. Madis Lepik, Enn Nurk, Aksel Telgmaa, August Undusk Matemaatika 8. klassile, Koolibri Kõik defineerimisel kasutatud mõisted peavad olema ise tuntud (defineeritavad). Nii tekivad teatud mõistete ahelad. Defineeri ruut * rombi kaudu * ristküliku kaudu * rööpküliku kaudu * nelinurga kaudu. Jada alguses olevadi mõisteid ei defineerita ning neid nimetatakse algmõisteteks. Algmõisted on näiteks punkt, sirge, tasand, ruum, arv, hulk.
HARILIK ITERATSIOONIMEETOD 2014 SISUKORD 1.Mis on iteratsioonimeetod?......................................................................................................3 2.Harilik iteratsioonimeetod........................................................................................................4 3.Kasutatud kirjandus..................................................................................................................7 1. Mis on iteratsioonimeetod? Iteratsioonimeetodiks nimetatakse teatud võtet võrrandite, võrrandisüsteemide, ekstreemumülesannete jms. Ligikaudseks lahendamiseks. Enamus võrrandi f(x) = 0 ligikaudsetest lahendamismeetoditest on nn iteratsioonimeetodid. Põhimõtteliselt võib iteratsioonimeetodi jagada kaheks osaks: 1) leitakse alglähend x0, milleks on mingi otsitavale lahendile küllaltlähedal paiknev arv (mitmesammulise meetodi puhul läheb vaja mitut alglähendit). 2) T...
KT 2, MAT. ANALÜÜS 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. ∆y = f’(a)∆x + β Diferentsiaal ja jääkliige on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat’ lemma (tõestust ei küsi). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ ) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1). Fermat’ lemma - kui funktsioonil f on pun...
TAANDAMISVALEMID X-TELJEST I veerand II veerandist I veerandisse Sin(90®-α)=cosα Sin(180®-α)=sin α Cos(90®-α)=sinα Cos(180®- α)= -cosα Tan(90®-α)=cotα Tan(180®-α)= -tanα Sin(π/2-α)=cosα Cot(180®-α)= - cotα Cos(π/2-α)=sinα Sin(π- α)=sin α Tan(π/2-α)=cotα Cos(π- α)= - cos α Tan(π- α)= -tan α II veerandist I veerandisse Cot(π- α)= -cot α Sin(90®+α)=cosα Cos(90®+α)= -sinα III veerandist I veerandisse Tan(90®+α)= -cotα Sin(180®+ α)= -sin α Sin(π/2+α)=cosα Cos(180®+α)= -cosα Cos(π/2+α)= -sinα Tan(180®+α)= tanα Tan(π/2+α)= -cotα Cot(180®+α)=cotα Sin(π+α)= -sinα III veerandist I veerandisse Cos(π+α)= - cosα Sin(270®-α)= -cosα Tan(π+α)=tanα Cos(270®-α)= -sinα Cot(π+α)=cotα Tan(270®-α)=cotα Sin...
Kahe nurga summa ja vahe trigonomeetrilised funktsioonid Sin(α+β)=sinα x cosβ+cosα x sinβ Sin(α-β)=sinα x cosβ-cosα x sinβ Cos(α+β)=cosα x cosβ-sinα x sinβ Cos(α-β)=cosα x cosβ+sinα x sinβ tanα+tanβ Tan(α+β)= 1−tanα x tanβ tanα−tanβ Tan(α-β)= 1+tanα x tanβ Kahekordse nurga trigonomeetrilised funktsioonid Sin2α=2 x sinα x cosα 2 2 Cos2α= cos α−sin α 2 x tanα Tan2α= 1−tan2 α Poolnurga trigonomeetrilised funktsioonid α 1−cos ∝ ∝ sin 2 = /x 2⇛ 2sin 2 =1−cos ∝ 2 2 2 ∝ 1+cos ∝ ∝ cos 2 = /❑ x 2 ⇛ 2 cos 2 =1+ cosα 2 2 2 ∝ 1−cos ∝ tan 2 = 2 1+cos ∝ ∝ sin ∝ tan = 2 1+cos ∝ ∝ 1−cos ∝ tan = 2 sin ∝ ...
Pivot diagrammi moodustamine Diagramm - /diagram, chart/ - arvjoonis, millel arvusid kujutatakse nendega võrdelise pindalaga kujundite, nagu sektorite, tulpade vms. abil. Inglise keeles nimetatakse neid ka "graph", Vahendit, mis diagramme Excelis moodustab nimetatakse "Microsoft Graph". Mõnikord on kasulik enne diagrammi tegemist andmed tabelis summeerida. Üks võimalus selleks on moodustada tabelis uus veerg, kuhu saab sisestada soovitud valemi. Edasi moodustada selle veeru alusel diagramm. Teine võimalus on kasutada niisugustel juhtudel Pivot' diagrammi. Pivot' diagramm on spetsiaalne diagrammitüüp, mis võimaldab summeerida andmeid. Pivot' diagramm on seotud Pivot' tabeliga. P. tabel võimaldab olemasolevaid andmeid esitada kokkuvõtvalt. P. diagramm sobib kõige paremini siis, kui on olemas palju üksikandmeid, mida soovid grupeerida ja summeerida. P diagrammi ei ole mõtet asutada, kui andmed on juba summeeritud või koondatud. Näide Pi...
1. Teoreemid ja mõisted kolmnurgast 2. Mediaanlõik - Kolmnurga mediaaniks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku või selle pikkust. Kolmnurgal on kolm mediaani. Kõik nad lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse mediaanide lõikepunktiks. Jaotab tipupoolse osa suhtes alumise osaga 2:1. 3. Kesklõik - Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.Nende ristumiskoht on kolmnurga ümberringjoone 4. Nurgapoolitaja – nurgapoolitajaks nimetatakse tipust lähtuvat kiirt, mis poolitab nurga kaheks võrdseks nurgaks. Nende ristumiskoht on siseringjoone keskpunkt. 5. Hüpotenuus - Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg täisnurkses kolmnurgas. 6. Kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi. 7. Kolmnurgal on kolm nurka ja kolm külge. ...
Muutujad ja avaldised Sõnastik Muutuja – sümbol, tavaliselt täht, näiteks n, mis kujutab mingit arvu. Tähtavaldis (Algebraline avaldis) – avaldis, näiteks n – 5, mis koosneb arvudest ja muutujatest, ühendatud tehete märkidega. (NB!: ei sisalda võrdusmärki) Arvutada avaldise väärtus – kirjutada avaldis ümber, asendates iga muutuja vastava arvuga Kuidas sa kirjeldad antud avaldist? Tähtavaldis Tähendus Tehe 5x, 5 x 5 korda x korrutamine x 5 ,x:5 x jagatud 5 - ga jagamine x 5 x pluss 5 liitmine x 5 x miinus 5 lahutamine Määra tähtavaldise tähendus ja kasutatud tehe 1. 8 x V 2. 2w V 7 3. V n Vajuta, Vajuta,et üle ethüpata hüpata ...
annaabi.ee 
