Harilik Iteratsioonimeetod (1)

Q: Mis on iteratsioonimeetod?

Vastus leiad õppematerjalist: Harilik Iteratsioonimeetod

Tallinna Tehnikaülikool - Matemaatika - Matemaatika

1 Hindamata

Esitatud küsimused

Mis on iteratsioonimeetod?

HARILIK ITERATSIOONIMEETOD
2014

SISUKORD

1.Mis on iteratsioonimeetod? 3
2.Harilik iteratsioonimeetod. 4
3.Kasutatud kirjandus 7

Mis on iteratsioonimeetod?

Iteratsioonimeetodiks nimetatakse teatud võtet võrrandite, võrrandisüsteemide, ekstreemumülesannete jms. Ligikaudseks lahendamiseks. Enamus võrrandi f(x) = 0 ligikaudsetest lahendamismeetoditest on nn iteratsioonimeetodid. Põhimõtteliselt võib iteratsioonimeetodi jagada kaheks osaks:

leitakse alglähend x0, milleks on mingi otsitavale lahendile küllaltlähedal paiknev arv (mitmesammulise meetodi puhul läheb vaja mitut alglähendit).

Täpsustatakse alglähendit nõutava täpsusteni.
Kõigi iteratsioonimeetodite põhiidee seisneb järgnevas: ülesandele leitakse mingi alglähend x1, mille abil moodustatakse lähendite jada x1; x2; x3; ...; xn; .... .
Teatud tingimustel koondub see jada ülesande täpseks lahendiks x*.
Iteratsioonimeetodeid on erinevaid, näiteks dihhotoomia meetod, harilik iteratsioonimeetod, Newtoni meetod ja modifitseeritud Newtoni meetod.
Järgnevalt vaatleme põhjalikumalt harilikku iteratsioonimeetodit.

Harilik iteratsioonimeetod.

Hariliku iteratsoonimeetodi rakendamiseks tuleb võrrandi f(x) = 0 teisendada kujule
x = g(x), (1)
kus x(g) on mingi ühe muutuja funktsioon. Üks võimalus selleks on valida C ≠ 0 ning
f(x) = 0 | * C
saame
Cf(x) = 0,
x + Cf(x) = x.
Tähistame g(x) = x + Cf(x) ning saamegi vajaliku kuju
x = g(x)
Hariliku iteratsioonimeetodi korral arvutatakse lahendid järgmise eeskirja põhjal:
xn = g(xn-1), (2)
st x1 = g(x0), x2 = g(x1), jne.
Harilik iteratsioonimeetod on ühesammuline meetod.
Uurime meetodi viga:
Olgu x* võrrandi (1) täpne lahend , st x* = g(x*). Lähendi xn tõeline viga on |xn – x*|.
Kui
Limn→∞|xn – x*| = 0,
Siis koondub lähend xn täpseks lahendiks x*, st xn → x*.
Oluline tingimus sellise koondumies jaoks on:
|g’(x)| ≤ q ≤ 1. (3)
Teoreem :
Leidugu võrrandi (1) lahendit x* sisaldav vahemik (a, b), milles on täidetud võrratus (3). Olgu funktsioon g(x) selline, et ∀x ∈ (a, b) korral g(x) ∈ (a, b). Olgu x0 ∈ (a, b). Siis koondub hariliku iteratsioonimeetodiga arvutatud lähendite jada xn täpseks lahendiks x*. Lisaks kehtib veahinnang
| xn – x*| ≤ | x1 − x0 |. (4)
Tõestus:
Et x0 ∈ (a, b) ja g(x) ei vii vahemikust (a, b) välja, siis x1 = g(x0) ∈ (a, b), x2 = g(x1) ∈ (a, b), ...., xn = g(xn-1) ∈ (a, b). Et x* on võrrandi (1) täpne lahend, siis
x* = g(x*).
Lahutame seosest (2) viimase võrduse, saame
Xn – x* = g(xn-1) – g(x*).
Kasutame Langrange’i keskväärtusteoreemi:
(Punktide xn-1 ja x* vahel leidub punkt cn nii, et g(xn-1) – g(x*) = g’(cn)(xn-1 – x*).)
Seega
Xn – x* = g’(cn)(xn-1 – x*).
Teame, et xn-1, x* ∈ (a, b), järelikult ka cn ∈ (a, b). Meie eelduse põhjal |g’(cn)| ≤ q Järelikult
|xn – x*| = |g’(cn)(xn−1 – x*)| = |g’(cn)||(xn−1 – x*)| ≤ q|(xn−1 – x*)|.
Rakendame seda hinngangut korduvalt
|xn – x*| ≤ q|xn−1 – x*| ≤ q2|xn−2 – x*| ≤ . . . ≤ qn|x0 – x*|.
Näitasime, et
|xn – x*| ≤ qn|x0-x*|. (5)
Et q |xn – x*| → 0, kui n → ∞.
Koondumine xn → x* on näidatud.
Valem (5) ei sobi praktilistes arvutustes, sest paremal pool on tundmatu suurus x*. Tuletame praktilisema hinnangu.
|x0 – x*| = |x0 − x1 + x1 – x*| ≤ |x0 − x1| + |x1 – x*| ≤ |x0 − x1| + q|x0 – x*|.
Koondades selles võrratuses sarnased liikmed, saame
(1 − q)|x0 – x*| ≤ |x0 − x1|,
siit
|x0 – x*| ≤
|x1 − x0|.
Jagasime suurusega 1 – q (1 – q > 0, sest q Kasutades saadud hinnangud seoses (5) saimegi hinnangu (4).
Hinnangu (4) paremat poolt võib ka vaadelda, kui geomeetrilist jada a, aq, aq2, ..., kus a = =. Et q harilik iteratsioonimeetod koondub geomeetrilise progressioni kiirusega.
Saab tõestada, et kui kõikjal lahendit x* sisaldavas vahemikus |g’(x)| > 1, siis meetod ei koondu.
Vastavalt tõestatud teoreemile oleme leidnud koonduva hariliku iteratsioonimeetodi. Seega saame leida võrrandi x3 + 2x – 1 = 0 ligikaudse lahendi eeskirjaga xn = 0,5(1 – xn-13)
Ehk
X0 = 0,5
x1 = 0,5(1 – x03) = 0,5(1 – 0,53) = 0,4375
x2 = 0,5(1 – x13) ≈ 0,4581
x3 = 0,5(1 – x23) ≈ 0,4519
X10 ≈ x11 ≈ 0,4534.
Kontrolliks: 0,45343 + 2*0,4534 – 1 ≈ 6,14 * 10-6

Kasutatud kirjandus

http://www.staff.ttu.ee/~kairik/amloeng2_2013.pdf

http://www.mathema.ee/mathematica/ptk7/ptk7.ht m

http://www.tlu.ee/~tonu/Arvmeet/arv2ja3.pdf

http://www.staff.ttu.ee/~janno/teooria2.pdf

.DOCX Laadi alla originaalfail 7 lk · .docx · 15 allalaadimist

50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.

~ 7 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2015-02-08 Kuupäev, millal dokument üles laeti

15 laadimist Kokku alla laetud

1 arvamus Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

liis95 Õppematerjali autor

Referaat teemal harilik iteratsioonimeetod

referaat harilik iteratsioonimeetod

Kasutatud allikad

https://www.tlu.ee/~tonu/Arvmeet/arv2ja3.pdf

Sarnased õppematerjalid

docx

Harilik iteratsioonimeetod

TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Nimi perenimi HARILIK ITERATSIOONIMEETOD REFERAAT Juhendaja: nimi Tallinn 2016 Sisukord Mis on iteratsioonimeetod?..............................................................................................................3 Harilik iteratsioonimeetod...............................................................................................................4 Meetodi realisatsioon.......................................................................................................................8 Näide 1)........................................................................................................................................8 Näide 2)....................................................................................

Matemaatiline analüüs i

177

pdf

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS

LTMS.00.022 ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS Loengukursus Tartu Ülikooli loodus- ja täppisteaduste valdkonna üliõpilastele 2019./2020. õppeaasta Toivo Leiger Joonised: Ksenia Niglas Pisitäiendused 2016–20: Märt Põldvere, Natalia Saealle, Indrek Zolk, Urve Kangro 2 Sisukord 1 Reaalarvud 6 1.1 Järjestatud korpused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Korpuse aksioomid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Täielik järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . .

Algebra I

156

pdf

Kõrgem matemaatika

MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2016 KÄRBITUD loengukonspekt Marek Kolk ii Sisukord 0 Tähistused. Reaalarvud 1 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kõrgem matemaatika

doc

Matemaatika I küsimused ja mõisted vastustega

..) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu x z ja muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile: z ` x = lim x z / x kui x 0 Osatuletis y järgi: z ` y = lim y z / y kui y 0 46. mitme muutuja funktsiooni lokaalne ekstreemum - öeldakse, et funktsioonil z = ( x, y ) on punktis P0 (x0 , y0 ) lokaalne ekstreemum, kui tal on selles punktis lokaalne maksimum või miinimum. 5 47. harilik diferentsiaalvõrrand - võrrand, mis seob otsitavat funktsiooni y = y(x) tema tuletistega y' , ..., y (n) ja sõltumatu muutujaga x. 48. Cauchy ülesanne - ülesannet, milles tuleb leida diferentsiaalvõrrandi F (x, y, y' ) = 0 lahend tingimusel y (x0) = y0 , kus x0 , y0 R on fikseeritud konstandid, nimetatakse algtingimustega ülesandeks e. Cauchy ülesandeks ja tingimust y (x0) = y0 ülesande algtingimuseks. Kordamisküsimused 1

Matemaatika

pdf

Matemaatiline analüüs II 2. kollokviumi spikker

2. Kahe- ja mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused. 𝐴 ≔ 𝜕𝑥 2 , 𝐵 ≔ 𝜕𝑦 2 , b] , nimetatakse normaalseks piirkonnaks xy-tasandil (x-telje suhtes). Analoogiliselt defineeritakse normaalne seob otsitavat funktsiooni tema tuletise ja sõltumatute muutujatega. Harilik diferentsiaalvõrrand - otsitav 𝜕2 𝑧 piirkond D = {(x, y) |(a ≤ y ≤ b) ∧ (ϕ (y) ≤ x ≤ ψ (y))} y-telje suhtes. Piirkonda D xy-tasandil nimetatakse onb ühe muutuja funktsioon. y'' + y = 2ex.Osatuletisega diferentsiaalvõrrand - otsitav on mitme muutuja

Matemaatiline analüüs 2

273

pdf

Lembit Pallase materjalid

YMM3731 Matemaatiline analu¨u¨s I 2007/08 ~o.-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul

Matemaatiline analüüs

pdf

Majandusmatemaatika

MAJANDUSMATEMAATIKA I Ako Sauga Tallinn 2003 SISUKORD 1. MUDELID MAJANDUSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mudeli mõiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Matemaatiliste mudelite liigitus ja elemendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. FUNKTSIOONID JA NENDE ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Arvud ja nende hulgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Funktsionaalne sõltuvus . . . . . . . . . .

Raamatupidamise alused

pdf

Kõrgem matemaatika / lineaaralgebra

Kõrgema matemaatika kordamisküsimused 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Transponeeritud maatriks 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. 3. Teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Pöördmaatriksi omadused. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Vasturääkiv, kooskõlaline, määratu süsteem. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 8. Süsteemi lahen

Algebra I

Rohkem sarnaseid