Karakteristikud (0)

Statistilise rea karakteristikud .
Tunnuseid ( nende väärtusi) iseloomustavad teatud suurused nn. karakteristikud. Karakteristikud on tunnuse jaotust ja selle omadusi iseloomustavad suurused.
Karakteristikud jagunevad I keskmised e. paiknevuse karakteristikud - väljendavad antud tunnuse mingit keskmist väärtust, mille ümber tunnuse väärtused paiknevad.
II hajuvuse karakteristikud - iseloomustavad tunnuse väärtuse hajuvust s.t kas väärtused erinevad üksteisest vähe või palju.

• Keskmised e. paiknevuse karakteristikud.
  

Keskmised jagunevad a) asendikeskmised ( mediaan, mood) - sõltuvad elementide asendist
variatsioonreas,

mahukeskmised (keskväärtus, kaalutud aritmeetiline keskmine, harmooniline keskmine, geomeetriline keskmine, ruutkeskmine ) - sõltuvad rea mahust.
ASENDIKESKMISED
Mediaan - variatsioonrea keskmine liige. Tähis Me.
Kui liikmeid on paaritu arv, siis keskmine liige.
Kui liikmeid on paaris arv, siis kahe keskmise liikme aritmeetiline keskmine.
Suure kogumi korral on mediaaniks statistiliste andmete 50% punkt.
Mediaani kasutatakse juhul, kui andmete hulgas on ekstremaalseid väärtusi, mis oluliselt mõjutavad keskväärtust.
Mood - variatsioonrea kõige suurema esinemissagedusega liige. Tähis Mo
Bimoodaalne - 2 moodi; multimoodaalne - rohkem moode (tegelikult mood puudub); antimodaalne - andmete reas esinevad ainult ühesuguse sagedusega tunnuse väärtused.
Mood on tunnuse kõige tüüpilisem väärtus. Mood on ainus keskmine , mida saab kasutada nominaaltunnuse puhul. Moodi võib mõnikord vaadata ka kui normi ( soengu mood kui normaalne soeng, esmaabiellujate vanuse mood kui normaalne abiellumisaeg).
MAHUKESKMISED
Keskväärtus - statistilise rea aritmeetiline keskmine. Tähis .
või = , n =f1+f2+…+fk
Keskväärtusel on puudused:1)keskväärtus ise ei pruugi olla üks tunnuse väärtustest;
2)üksikud väga suured või väikesed tunnuse väärtused mõjutavad keskväärtust oluliselt.
Kaalutud aritmeetiline keskmine
Harmooniline keskmine - antud nullist erinevate arvude harmooniline keskmine on nende arvude pöördväärtuste aritmeetilise keskmise pöördväärtus.
Kahe arvu korral :
Geomeetriline keskmine
Ruutkeskmine - ruutjuur antud arvude ruutude aritmeetilisest keskmisest.

• Hajuvuse karakteristikud
  

Hajuvusmõõdud on a) minimaalne element xmin ja maksimaalne element xmax ;
b) variatsioonrea ulatus xmax - xmin;

alumine kvartiil ja ülemine kvartiil;

dispersioon;

standardhälve;

variatsioonikordaja .
Minimaalne element xmin - tunnuse väärtuste hulgast vähim väärtus.
Maksimaalne element xmin - tunnuse väärtuste hulgast suurim väärtus.
Variatsioonrea ulatus xmax - xmin.
Alumine kvartiil - tunnuse väärtus, millest väiksemaid (või võrdseid) väärtusi on
variatsioonreas 25% (). Tähis .
Ülemine kvartiil - tunnuse väärtus, millest suuremaid (või võrdseid) väärtusi on
variatsoonnreas 25% (). Tähis .
Kvartiilid on variatsioonrea alumise ja ülemise poole mediaanid. Kvartiilid on iseenesest asendikeskmised, mis iseloomustavad tunnuse paiknevust. Alumise ja ülemise kvartiili vahele jäävad pooled tunnuse väärtustest. Kvartiilide erinevus näitab tunnuse hajuvust (st kvartiilihaare on ühtlasi hajuvuse karakteristikuks) .

• Vahel kasutatakse statistikas ka detsiile. Detsiilide abil jaotatakse variatsioonrida kümneks osaks. I detsiil on tunnuse väärtus, millest väiksemaid (või võrdseid) on variatsioonreas 10%.
  

• Hälve - tunnuse üksiku väärtuse erinevus keskväärtusest (aritmeetilisest keskmisest). Kogu variatsioonrea hälvete summa on 0. Tunnuse väärtuse xi hälve on xi - .
  

Keskmine hälve (lineaarne hälve) - hälvete absoluutväärtuste aritmeetiline keskmine.
Dispersioon - hälvete ruutude aritmeetiline keskmine. Tähis σ 2 ( kreeka täht sigma).(dispersio - lad. keeles hajumine).
σ 2 =
Erinevate valimite dispersioone võrreldes kehtib reegel: mida suurem on dispersioon, seda suurem on hajuvus .
Väikese valimi korral ( n

• Dispersiooni arvutamisel kasutatakse ka valemit , kus on tunnuse väärtuste ruutude aritmeetiline keskmine, on aritmeetilise keskmise ruut.
  

Dispersiooni ühikuks on tunnuse ruutühik. See on hajuvuse iseloomustamisel puuduseks.
Standardhälve - ruutjuur disprsioonist. Tähis σ.
σ =
või väikese valimi korral σ =
Kui objekte on väga palju või tunnuse väärtused on pidevad või tunnus on antud sagedustabeliga, siis leitakse standardhälve valemist :
σ =
või väikese valimi korral σ =
Mida suurem on standardhälve, seda suurem on tunnuse väärtuste hajuvus. Tavaliselt üle poole tunnuse väärtustest paiknevad lõigus
s.t üle poole tunnuse väärtustest erinevad keskväärtusest vähem kui standardhälbe võrra.
Variatsioonikordaja - standardhälbe ja keskväärtuse suhe. Tähis V.
V =
Variatsioonikordaja esitatakse tavaliselt %-des. Kasutatakse siis, kui andmeid ei saa võrrelda nende erineva dimensiooni tõttu. Mõte on siis, kui tunnuse väärtused on positiivsed.

• Arvulise tunnuse korral võib leida kõiki eespool vaadeldud suurusi.
  

Mittearvulise tunnuse puhul on abiks järgmine tabel.
Karakteristik
Pidev
Diskreetne
Järjestustunnus
Binaarne
Nominaalne
x
x
(x)
(x)
Me
x
x
x
Mo
x
x
x
x
Min
x
x
Max
x
x
x
x
x
x
x
x
2
x
x
(x)
x
x
(x)
(x)
Märkide selgitus : x - võib arvutada ja andmeanalüüsis kasutada;
(x) - kasutada piiratud juhtudel, sõltuvalt tunnusest;
+ - võib leida;

• - kindalasti ei tohi andmeanalüüsis kasutada.
  

Lisa.

• Geomeetriline keskmine sobib positiivsete väärtustega tunnuse jaoks ( nullväärtusteta), kui tunnusel leidub üksikuid eriti suuri väärtusi, mis pole erindid.
  
• Ruutkeskmisel on eriti suur rakenduslik väärtus just dispersioonanalüüsis, korrelatsioonikordajate leidmisel ja ka statistilise rea tasandamisel. Peale ruutkeskmise kasutatakse ka kuup ja neljanda astme keskmisi.
  
• Mitme asendikeskmise kasutamine annab valimi kohta rohkem teavet, eriti kui nad üksteisest erinevad ja pole õige väita, et üks neist on parem kui teine.
  
• Sümmeetrilise arvtunnuse korral langevad mediaan ja keskväärtus kokku. Mediaan pole tundlik jämedate vigade suhtes: mediaani väärtust ei mõjuta see, kas variatsioonirea maksimaalne liige on üsna lähedane naaberliikmetele või erineb sellest sadu kordi. Keskväärtust mõjutab jäme viga ehk erind märgatavalt.
  

Eespool oli vaadeldud kogumi uurimist ühe tunnuse seisukohalt. Sageli on vaja kogumit uurida kahe või enama tunnuse järgi.
Korrelatsioon . Korrelatsioonikordaja.

• Statistiline sõltuvus - muutuvad suurused on juhuslikud, igale ühe muutja võimalikule väärtusele ei vasta üksainus kindel teise muutuja väärtus.
  
• Statistilise sõltuvuse korral saab ühe muutuja iga väärtusega seada vastavusse teise muutuja sagedusjaotuse.
  
• Tulemuste esitamiseks kasutatakse korrelatsioonivälja: korrelatsiooniväljaks nimetatakse koordinaattasandile kantud punktihulka, kus iga punkti x- koordinaadiks on uuritava objekti esimese tunnuse väärtus ja y-koordinaadiks sama objekti teise tunnuse väärtus.
  

Kui punktid paiknevad mingi joone ümber, siis on tegu korrelatiivse seosega. Mida lähemal on punktid joonele, seda tugevam on tunnuste vaheline seos.
Lineaarse korrelatsiooni tugevust näitab Pearsoni korrelatsioonikordaja, mis on määratud järgmise valemiga:
Kui juhuslikud suurused on antud 2-mõõtmelise sagedustabeliga, siis esitatakse valem kujul:

• Korrelatsioonikordaja r rahuldab alati seost .
  
• Kui ühe juhusliku suuruse kasvades ka teine kasvab, siis r >0.
  
• Kui ühe juhusliku suuruse kasvades teine kahaneb, siis r
• Korrelatsiooni tugevuse kohta võib öelda, et
  

• korrelatsioon on tugev, kui
  
• korrelatsioon on märgatav, kui ;
  
• korrelatsioon on nõrk, kui ;
  
• korrelatsioon on väga nõrk, kui .