lõikepinget, vardas tekib nihkedeformatsioon. Lõikepinge valem avaldub kujul: Joonis 2 * * Τxz = QZSY / Iyb Valemis QZ tähistab põikjõudu, mis ristlõikes mõjub, Iy on ristlõike inertsimoment peatelje suhtes, b* tähistab ristlõike laiust punktis, kus määratakse pinget, Sy* on ristlõike staatiline moment peatelje suhtes. Selleks, et teada saada mingile varda punktile mõjuvaid pingeid, võtame kasutusele ja vaatleme lõpmata väikese suurusega risttahuka, mida nimetame elementaarristtahukaks. Vardale mõjuvaid pingeid mingis punktis saame väljendada ka elementaarristtahuka tahkudele mõjuvate pingetena. Nagu varda Joonis 5 sisepinnad, nii ka elementaarristtahuka tahud
Platon ,,Pidusöök"(sisukokkuvõte) 1) Kui isa ei oleks isa pojale või tütrele, siis oleks ta midagi muud, kuid mitte isa, sama põhimõte kehtib ema ja vendade-õdede puhul. Isa definitsiooniks ongi see, et ta on isa kellelegi, vastasel juhul ta poleks isa. Järelikult tähendab ka armastus armastust kellegi vastu. 2) On paratamatu, et ihaldatakse oma armastuse objekti, sest inimese hing leiab rahu vaid siis, kui tal kõik ihaldatav olemas on. Ihaldatakse asju millest meil puudus on, kuid puudus saab olla eelkõige asjadest, mille eksistentsis ollakse kindlad. Inimesed ihaldavad seda, mis pole neile kättesaadav või seda, milles nad pole tulevikus kindlad. Näiteks võib hea tervisega inimene sellegipoolest head tervist ihaldada, sest soovib terve ka hilisemas elueas püsida. 3) Rumaluse ja tarkuse abil pole võimalik mõista ilu ja inetuse omavahelist seost kuna rumalus ja tarkus võivad vä...
A7 0 1 1 0 ( x₂˅ x₃˅ x₄ f ( x ₁, x ₂, x ₃, x ₄)=¿ (x₁ ˅ x ₃ ˅ x₄) ) A10 0 1 0 0 (x₁ ˅ x₂ (x₂ ˅ x ₃ ˅ x ₄ ) ( x ₂˅ x ₃˅ x ₄ )(x₁ ) ˅ x₂ ) 3. Teisendada punktis 2 leitud MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK-kujule. f ( x ₁, x ₂, x ₃, x ₄)=¿ (x₁ ˅ x ₃ ˅ x₄)(x₂ ˅ x ₃ ˅ x ₄ )( x ₂ ˅ x ₃ ˅ x ₄ )(x₁ ˅ x ₂ )= = ( x ₁ x ₂ v x ₁ x ₃ v x ₁ x ₄ v x ₂ x ₃ v x ₃ x ₃ v x ₃ x ₄ v x ₂ x ₄ v x ₃ x ₄ v x ₄ x ₄)( x ₁ x ₂ v x ₁ x ₃ v x ₁ x ₄ v x ₂ x ₂ v x ₂ x ₃ v x ₂ x = 4
Descartes: ,,Arutlus meetodist" 1) Kaine inimaru on võime eristada tõde valest ning vastu võtta meie jaoks häid otsuseid. Meie arvamuse erinevus tuleb aga sellest, kuidas me oma mõistust rakendama, milliseid valikuid teeme ja kuidas oma mõtteid juhime, kas produktiivselt või destruktiivselt. Taoline seisukoht on ratsionalistlik kuna eeldab, et inimene eristab õiget ja valet tuginedes enda mõistusele ehk arule mitte aga kogemustele, niisiis teadmised tulenevad meist endist. 2) Descartes teab, et ta on olemas kuna ta on võimeline mõtlema ning keegi ei saa vastupidist väita kuni ta mõtlemast ei lakka. Niikaua kuni inimene on oma mõtete autor on ta keegi, teisisõnu: olematu asi ei saa mõelda. Teiseks väidab Descartes, et kuna inimene kahtleb oma olemuses, siis järelikult kahtlemine teeb temast ebatäiusliku olendi, kelle loomus pärineb mõnest täiuslikust olendist. Argumentide erinevus seisn...
Proovitöö 1. Analüütiline otsustus eeldab mingeid eelnevaid teadmisi subjekti kohta ehk analüütilised otsused on aprioorsed, kogemusest sõltumatud. Analüütiline otsustus ei anna meile subjekti kohta midagi uut teada, vaid võimaldab meil subjekti mõistet liigendada, lihtsustada. Analüütiline otsustus on näiteks kõik kehad on ulatuvusega(see on ette teada juba enne otsuse tegemist mistõttu ei võimalda meil kehade mõistet avardada) või kuld on kollane metall(samuti kogemustest sõltumatu, juba omaks võetud tõde). Sünteetiline otsustus rohkendab meie tunnetust ja avardab subjekti sisu ning mõistet, ta annab mõistele juurde midagi sellist, mida keha üldmõiste ei sisalda ehk läheb subjekti mõistest kaugemale. Sünteetilised otsustused võib jagada kogemusotsustusteks ja matemaatiliseks otsustusteks. Sünteetilised otsustused on näiteks 5+7=12(5t ja 7t võib ühendada mistahes arv se...
KEEMIA EKSAMI KÜSIMUSED JA VASTUSED 1.Keemiliste elementide perioodilisus seadus, perioodilisus tabel ja selle rakendus keemiliste elementide iseloomustamisel. Keemiliste elementide, ning neist moodustunud liht- ja liitainete omadused on perioodilises sõltuvuses aatommassist. Perioodilises süsteemi ahela koostas Mendelev, kus igale elemendile on oma lahter, koos aatomi numbriga, selle aatommassiga, nimega ja sümboliga. Iseloomustamisel saab tabeli perioodi numbrist teada aatoni elektronkihi arvu, aatomi number on prootonite ja neutronite koguarv, gruppist tuleb viimase kihi elektronide arv. 2.Metallide asukoht keemiliste elementide perioodilisus tabelis Elementide metalliliste omaduste muutus perioodis (III perioodi näitel). Kõik perioodid algavad aktiivsete metallidega. Liikudes vasakult paremale nõrgenevad metallilised omadused nagu välises elektronkihis suureneb elektronite arv (väheneb arv elektro...
Mittearestitava sissetuleku tagasikandmine ei tohiks olla seotud andmete esitamisega, kui on tõendatud sissetuleku laekumine ning ülalpeetavate olemasolu. Eelnev kaebus tugineb Eesti Vabariigis kehtivatele seadustele: TMS § 131, 132 ja 133; TMS § 217, 218; Kohtutäituri seadus § 75. 2. Kohtutäitur xxx ei ole lõpetanud täitemenetlust täiteasjades, millistes menetluse lõpetamiseks kohtutäituri poolt on olemas õiguslikud alused. Lisaks on antud kaebuse punktis 1 märgitud mittearestitava sissetuleku osa edastatud Eesti Vabariigis kehtivate seaduste alusel juba aegunud täitemenetluse katmiseks. Kohtutäitur xxx ei ole lõpetanud täitemenetust täiteasjades, milledes on kohtuotsuse või määruse kuupäevaks 13.07.2007. Antud nõue aegub praeguste seaduste alusel 7 aastaga, kuni 31.12.2009 kehtinud karistusseadustiku (KarS) redaktsiooni §82 kohaselt: (olenevalt kuriteo astmest)
Füüsika kontrolltööks 1. Maxwell: Elektrivälja muutumine ühes punktis põhjustab kõigepealt muutuva magnetvälja ja selle magnetvälja muutus kutsub elektromagnetilise induktsiooni teel esile elektrivälja muutumise naaberpunktis. 2. elektromagnetväli liigub ruumis lainena algse elektrivälja muutusega ristuvas suunas. Elektriväli ja magnetväli on laines omavahel risti ja nad mõlemad on ka risti laine levimissuunaga. Elektromagnetlaine on ristlaine. 3. Elektromagnetlainete toime sõltub lainete sagedusest f ehk ajaühikus toimuvate võngete arvust
Elektriväli Elektrilaenguga kehasid ümbritseb elektriväli, mis vahendab laetud kehade vastastikmõju. Paigaloleva laetud keha elektrivälja nimetatakse elektrostaatiliseks väljaks. Elektrivälja mistahes punktis mõjub laetud kehale alati kindla suuruse ja suunaga elektrijõud. Elektriväli levib väga suure kiirusega. Laetud keha ümbritsev elektiväli on seda tugevam, mida suurem on keha elektrilaeng. Elektriväli on tugev laetud keha läheduses, laetud kehast kaugel on elektriväli nõrk. Kes võttis kasutusele elektrivälja mõiste? Inglise füüsik Michael Faraday. Mis ümbritseb laetud keha? Laetud keha ümbritseb elektriväli, mis vahendab laetud kehade vastastikmõju.
pos. Laengule mõjuva jõu ja laengu suuruse suhet. Elektrivälja tugevus näitab, kui suur jõud mõjub selles väljas ühikulise positiivse laenguga kehale. Elektrivälja iseloomustavad omadused: ta on pidev ja katkematu,ta on lõpmatu,ta levib kiirusega 300 000 m/s, ta vahendab laengue vastastikmõju. Elektrivälja jõujooned algavad positiivselt laengult ja lõpevad negatiivsel laengul või suunduvad lõpmatusesse. Jõujoone puutuja näitab igas punktis elektrivälja tugevust. Kehade elektriseerimine on kehale elektrilaengu andmine. Elektrilaeng on mõnede kehade omadus mille kaudu väljendub nende kehade elektromagnetelist vastastikmõju. Elektrilaeng võib kanduda ühelt kehalt teisele. Samaliigiliste kehade vahel mõjub tõukejõud,eriliigilistel tõmbejõud. Coulombi seadus Kaks elektrilaenguga keha mõjutavad teineteist võrdvastupidiste jõududega. Kummagi jõu moodul on võreline kehade
Vektorite lahutamine. Kahe vektori A ja B vaheks A-B nim. vektorit C, mis, liidetuna vektooriga B, annab vektori A (joon.4). Kuna vahe A-B esitub kujul A - B = A + ( -B ), siis saame vektori C = A B, kui liidame vektoriga A vektori, mis on võrdvastupidine vektoriga B. Vektorite lahutamine komponentideks. Iga vektori A võib asendada mitme vektoriga A1, A2 jne., mille summa annab vektori A. (joon.5.). Vektori projektsioon teljel. Vektori projektsioon on skalaar. Kui suund punktis 1` punkti 2` ühtib suunaga n , loetakse projektsioon positiivseks, vastasel juhul on projektsioon negatiivne (joon.6.) Tähistatakse: vektori A projektsiooni suunal n tähistatakse An. Ühikvektor. Igale vektorile A võib seada vastavusse ühikvektori Aühik , mille suund ühtib vektori A suunaga ning moodul on võrdne ühega. Vektorite skalaarkorrutis. Töö avaldise võib esitada jõuvektori ja nihkevektori skalaarkorrutisena. Kahe vektori A ja B skalarkorruti-seks nim
..,(x-a)n} . Leian kordajad Ck: Pn(a)=C0 . Diferentseerides mõlemaid pooli, saame, et . Analoogilist mõttekäiku jätkates jõuame tulemuseni: N. P2(x)=x2+x-7 [P2(x)=5+7/1!(x-3)+2/2!(x-3)2] 1.19. Taylori valem. Kui funktsioon f(x) on kohal a diferentseeruv n-korda, siis on võimalik funktsioonile seada vastavusse n-järku Taylori polünoom: Et üldjuhul need asjad ei ole võrdsed, siis kehtib seos: Kogu seda asja nim Taylori valemiks punktis a, ning seda esimest osa Taylori n-järku polünoomiks kohal a ( Tn(x) ) ja Rn-i nim Taylori valemi jääkliikmeks. Funktsiooni f(x) Taylori valemit a=0 korral nim f-ni f(x) n-järku Maclaurini valemiks: Ja seda sama asja ilma Rn(x)-ta nim Maclaurini polünoomiks Mn(x)=. Ning selljuhul oleks Rn(x) Maclaurini valemi jääkliige. N. F(x)=ex N.Leian y=cosx jaoks (2n+1)-järku Maclaurini valemi: [leian 3 tuletist kohal x ja 0] 1.20. Taylori valemi jääkliige Uurin abifunktsiooni:
1. Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning summa tuletis on tuletiste summa. Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon cf(x) Tõestus:Korrutise tuletisest y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) lähtuvalt, kui cR on konstant, siis y=c*f(x) tuletis on y'=f(x)*c'+f '(x)*c=0*f(x)+c*f '(x)=c*f '(x) Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon y=f(x)+g(x) Tõestus: y=f(x)+g(x) esmalt, toimides sammhaaval, tehes eraldi tehetena komponendid, saame kolmandana saame aga, et 2).*Korrutise tuletise valemi tuletus: f(x) f'(x); f'(x): ning g'(x)= siis *Jagatise tuletise valemi tuletus:
FUNKTSIOONI PIDEVUS Pidevuse mõiste. Katkevuspunktid FUNKTSIOONI PIDEVUSE MÕISTE Funktsiooni pidevuse mõiste Funktsiooni y = f (x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on täidetud tingimus: · Võrdusest lim = () on näha, et funktsiooni pidevus punktis a on iseloomustatud järgmise kolme tingimusega: o f(a), st punkt a peab olema funktsiooni määramispiirkonnast; o lim ; o kehtib võrdus lim = (). · Funktsioon on pidev mingis piirkonnas, kui ta on pidev selle piirkonna igas punktis. Ühepoolne pidevus Öeldakse, et funktsioon y = f(x) on punktis a paremalt pidev, kui lim = (). + · Öeldakse, et funktsioon y = f(x) on punktis a vasakult pidev, kui
* Punktis a nimetatakse diferentseeruva f'ni f(x) statsionaarseks punktiks, kui f'(a)=0 * Punktis a nimetatakse f'ni f(x) kriitiliseks punktiks, kui a on statsionaarne punkt või punktis a puudub sel funktsioonil tuletis * Kui punkt a on f'ni f(x) statsionaarne punkt ja f''(x) on pidev punktis a ning f''(a)0, siis f'il f(x) on punktis a range lok ekstreemum, kusjuures f''(a)>0 korral on punktis a range lok miinimum ja f''(a)<0 korral on punktis a range lok maksimum * Kui f'ni f(x) korral f'(a)=...=f(m)(a)=0 ja f(m+1)(a)0 ning f(m+1)(x) on pidev punkis a siis 1. Juhul kui m on paaritu, siis on f'il f punktis a range lok ekstreemum, kusjuures f(m+1)(a)>0 korral on punktis a range lok miinimum ja f(m+1)(a)<0 korral on punktis a range lok maksimum.2. Juhul kui m on paarisarv, siis ei ole f'il f punktis a lok ekstreemumi. * Eeldame, et f f(x) on pidev lõigul [a-,a+] ning diferentseeruv vahemikel (a-,a) ja (a,a-) suvalise >0 korral. 1
1.10 Funktsiooni tuletis DEF 1.Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nim. funktsiooni y=f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f´(x)=limy/x, piirprotsessis x->0 DEF 2. Kui funktsioonil f(x) on tuletis kohal x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. f´(x0) <->f(x) D(x0) DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x+)=limy/x, piirprotsessis x->0+ DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x-)=limy/x, piirprotsessis x->0- Funktsiooni tuletis: Lause 1. Funktsiooni f(x) diferentseeruvusest punktis x järeldub selle funktsiooni pidevus punktis x,st Tõestus. Funktsiooni diferentseeruvus punktis x tähendab, et .
Ruumi R2 punkti P koordinaate ja , mida ristkoordinaatidega x ja y seovad valemid x=cos(); y = sin() nim polaarkoordinaatideks Ruumi R3 punkti P koordinaate , ja z, mida ristkoordinaatidega x, y ja z seovad valemid x=cos(); y = sin(); z=z, nim silindrilisteks koordinaatideks. Ruumi R3 punkti P koordinaate , ja , mida ristkoordinaatidega x, y ja z seovad valemid x=sin()cos(); y = sin()sin(); z=cos(), nim sfäärilisteks koordinaatideks Arvu c nim funkts-i u=f(x1,...,xn) piirväärtuseks punktis A(a1,...,an), kui iga > 0 korral leidub selline > 0, et iga PU (A), kus PA, kehtib võrratus |f(P)-c|<, kasutatakse ka lim PAf(P)=c Piirväärtust lim x1a1 lim x2a2...lim xnan f(x1,...,xn)= lim x1a1(lim x2a2...)lim xnan f(x1,...,xn))) nim korduvaks piirväärtuseks Funkts-i u=f(x1,...,xn) nim pidevaks punktis A(a1,...,an), kui lim PA f(P)=f(A), st on täidetud kolm tingimust 1. Leidub f(A); 2. Leidub lim PA f(P); 3. lim PA f(P)=f(A)
1. Funktsiooni diferentseeruvuse geomeetriline tõlgendus. 11. Kumerus, nõgusus, käänupunktid. Seos teist järku tuletisega. Funktsiooni diferentsiaal on kõverjoonele y = f(x) tõmmatud puutuja ordinaadi muut, mis vastab Oeldakse, et funktsiooni f(x) graafik on kumer punktis a (tapsemini punktis (a, f(a))), kui leidub punkti a argumendi numbrile x=dx. selline -umbrus, et funktsiooni f(x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a - , a + ) allpool 2. Funktsiooni kõrgemat järku tuletised. (tapsemini, mitte ulalpool) puutujat, mis on tõmmatud punktis (a, f(a)) funktsiooni graafikule. Oeldakse,
....; xn) on vastavusse seatud muutuja u R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal on defineeritud n-muutuja funktsioon. Hulka nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Pinda punktiruumis Rn võrrandiga f (x1;... ; xn) = C, kus C R on etteantud konstant, nimetatakse funktsiooni f nivoopinnaks 4.Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus. Pidevus Definitsioon Funktsiooni u = f (x1; ...; xn) nimetatakse pidevaks piirkonnas , kui see funktsioon on pidev piirkonna 0 igas punktis. Lause Iga mitme muutuja elementaarfunktsioon on pidev omamääramispiirkonna sisepunktides 5) Mitmemuutuja funktsiooni osatuletised ja nende tähistus. Tõestada üks segatuletiste võrdsuse piisav tingimus. 6) Diferentseeruvus. Diferentseeruva mitmemuutuja funktsiooni ja täisdiferentsiaali definitsioonid. Võrrelda diferentseeruvuse ja tuletiste seost ühe- ning mitmemuutuja funktsiooni korral.
Joonis I 1. Milliseid protsesse (2) on kujutatud joonisel I? Transgeenset paljunemist ja meristeempaljunemist. 2. Mida tehakse punktis 1? Lõigatakse DNA ahel lahti, siiratakse vajalik geen . 3. Kas punktis 3 asuv bakter on transgeenne? Jah 4. Millistes punktides (a, b, c, d, e) asuvad taimed on transgeensed? C, d, e 5. Millega on tegemist punktis b? Meristeemkoe rakud kasvusöötmel I 2. 1. 3. a b c d e Joonis II 1. Mida tehakse punktides 1 ja 3? 1. Restriktaasiga lõigatakse DNA lahti; 3.siiratakse DNA lõik 2. Mida tehakse punktides 2 ja 4? 2. Sobiv geen lõigatakse välja; 4. Ühendatakse DNA ligaasiga 3. Milleks kasutatakse loodud geenivektorit
1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. ε-ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed Lõpmata väikeseid (suuri) suurusi α(x) ja β(x) piirprotsessis x → a nimetatakse ekvivalentseteks ümbrused. Lõpmatuse ümbrused selles piirprotsessis, kui Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V seab vastavusse skalaari || 8. Funktsiooni pidevus punktis. Uhepoolne pidevus. Katkevuspunktide liigid. u|| ∈ R, kusjuures on taidetud järgmised tingimused: Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on taidetud kolm tingimust: 1 ∀u ∈ V ||u|| >= 0; ||u||= 0 ⇔ u = Θ 1) ∃f(a); 2) ∃ limx→a f(x); 3) limx→a f(x) = f(a). Tahistatakse f(x) ∈ C(a)
Def:Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni y=f(x) muudu Δy ja argumendi muudu Δx suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. Def: Kui funktsioonil f(x) on tuletis punktis x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. Def: Geomeetriliselt võib funktsiooni y=f(x) interpreteerida kui selle funktsiooni graafikule punktis (x; f(x)) konstrueeritud tõusunurga tangensit. Def: Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust f ´(x +) = lim Δy Δx Δ→0+ Δy Def: Funktsiooni y=f(x)
1. Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning summa tuletis on tuletiste summa. Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon cf(x) Tõestus:Korrutise tuletisest y’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x) lähtuvalt, kui cR on konstant, siis y=c*f(x) tuletis on Tõepoolest, valem kehtib juhul n=1. y’=f(x)*c’+f ’(x)*c=0*f(x)+c*f ’(x)=c*f ’(x) Nüüd tuleb näidata induktsioonisamm: eeldame, et valem kehtib juhul n-1 ja näitame, et sel juhul kehtib ta
Param kujul f tuletis: kui f y=f(x) on antud parameetrilisel kujul x(t)=(t); y(t)=(t) , t=[a,b], kusjuures f-id (t) ja (t) on diferentseeruvad vahemikus (a,b) ja (t) on rangelt monotoonne lõigul[a,b] ning (t)0 (t=(a,b), siis y '=(t)/(t) F f(x) n-järku tuletiseks nim f-i f(x) (n-1)-järku tuletise tuletits, st fn(x)=(fn-1(x)) ' F-i y=f(x) n-järku diferentsiaaliks nim diferentsiaali selle f-i n-1 järku diferentsiaalist dny=d(dn-1y) Funktsiooni y = f(x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvaliste x1 (x-,x) ja x2 (x; x + ) korral f(x1) < f(x) < f(x2). Kui funktsioon on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline 0, et 0|x| --y/x0 Funktsiooni y = f(x) nimetatakse rangelt kahanevaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvaliste x1 (x-,x) ja x2 (x; x + ) korral f(x1) f(x) f(x2). Kui funktsioon on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline 0, et 0|x| --y/x0
Kui f-nil f (x) eksisteerib lõplik piirv-s xn a δ =δ ( M ) >0 nii, et iga x korral punktis x0 , siis leidub selline
⊂ R, siis öeldakse, et hulgal X on määratud ( ühene) ühe (reaal-)muutuja (reaalsete väärtustega) funktsioon f. Arvupaaride hulka {(x, y)| x ∈ X ∧ y = f(x)} nimetatakse funktsiooni f graafikuks. 3.Jada definitsioon. Koonduvad jadad, jada piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused. Jada – Funktsioon f(x), mille määramispiirkonnaks on kõigi naturaalarvude hulk N. Jada piirväärtus - Arvu b nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga ε > 0 leidub δ(ε) > 0, et iga x korral, mis täidab tingimust 0 < |x − a| < δ(ε) kehtib võrratus |f(x) − b| < ε. Lim f(x) = b x→a Koonduv jada – Jada, millel on lõplik piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused - 1)Konstantse funktsiooni piirväärtuseks on see konstant, st. ∀x ∈ X(f(x) = c) ⇒ lim f(x) = c x→a
koondub arvuks a. 4. Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano-Weierstraß'i teoreem. Lause. Jada { xn} koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud ja tal on vaid üks kuhjumispunkt. 5. Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad. Kuhjumispunktimõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega. 6. Funktsiooni piirväärtuse mõiste. Seos jada piirväärtusega. Reaalmuutuja funktsiooni 6. Arvu b nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga > 0 leidub () > 0, et iga ühepoolsed piirväärtused. Funktsiooni piirväärtuse omadused. x korral, mis täidab tingimust 0 < |x - a| < () kehtib võrratus |f(x) - b| < . 7. Lõpmata väikesed ja suured suurused. Ekvivalentsed l õpmata väikesed suurused. Def. Arvu b nim. fun-ni f vasakpoolseks piirväärtuseks punktis a, kui iga >0 leidub () >0, et 8. Funktsiooni pidevus punktis. Ühepoolne pidevus
nim. teda kinniseks.
Piirkonda nim. tõkestatuks, kui leidub selline konstant C, et piirkonna mistahes punkti M kaugus koordinaatide alguspunktist 0
on väiksem kui C, st. |0M|
edastamisel ühelt kehalt teisele Definitsioonid: Elektriväljaks nim. elektrilaenguga keha või osakese ümbrust, milles mõjuvad elektrijõud. See ümbrus e. elektriväli, on elektrilaenguga kehade elektrilise vastastikmõju vahendaja. Elektrivälja nim. elektrostaatiliseks väljaks, kui selle tekitab paigalseisev elektrilaenguga keha. Elektrivälja nim. homogeenseks (ühetaoliseks) elektriväljaks, kui see mõjutab selles väljas asuvat elektrilaenguga keha välja igas punktis ühesuguse elektrijõuga. Sellise elektrivälja tekitavad kaks võrdse suuruse ja paraleelse asetusega, kuid erinimeliste elektrilaengutegametallplaatiplaadivahelisse ruumi. Elektrivälja olemasolu aitavavad tuvastada (kindlaks teha) tema põhitunnus ja iseloomulikud omadused. Elektrivälja põhitunnus: Elektrivälja mistahes punktis asuvale elektrilaenguga kehale mõjub alati kindla suuruse ja suunaga elektrijõud. Seega, kui laenguga kehale
Töö eesmärk ja kasutatavad seadmed Tutvuda sagedusmodulaatori tööpõhimõtte ning häälestamisega, sagedusmoduleeritud signaali kuju ja spektriga. Deviatsiooni, sagedusmodulatsiooni indeksi ja modulatsioonikarakteristiku mõisted. Seamed: · Maketimoodul KL-93004 FM-modulaatoriga. · Toiteplokk EP-603 · Ostsilloskoobi mooduliga PicoScope 2205 varustatud personaalarvuti. · Signaaligeneraator Agilent 33250A · Ühendusjuhtmed Punktis 1. mõõdetud pinge amplituud U ja sagedus fvälj fvälj=1,419±0,001 MHz U=268±4 mV Punktis 2. mõõdetud modulatsioonikarakteristik tabeli ja graafikuna. Tabel 1. sagedusmodulaatori modulatsioonikarakteristik tabelina U (V) f(MHz) 3,067 ±0,001 1,827 ±0,0002 3,541 ±0,001 1,33 ±0,0005 3,96 ±0,001 1,358 ±0,0004 4,542 ±0,001 1,392 ±0,0004 5,04 ±0,001 1,42 ±0,0005
Laboratoorne töö nr 10 Prisma konstanti määramine Eesmärk: Õppida määrata prisma konstanti ning elektrontahhümeetriga tööde tegemist. Metoodika: Selleks, et määrata prisma konstanti tuleb ühele sirgele märkida võrdsete vahekaugustega kolm punkti A, B ja C. Seejärel tuleb mõõta lõikude AB, AC ja BC pikkused. Esmalt asub instrument punktis A ja prismad punktides B ja C. Seejärel asub instrument punktis B ning prisma punktides A ja C. Tulemused: Elektrontahhümeetri kõrgus punktis A=1,564m. Elektrontahhümeetri kõrgus punktis B= 1,422m. Kõrgus prisma keskkohani punktis C= 1,582m. AB= 42,951m BC= 40,056m. AC= 82,978m. Prisma konstant: k=AC-(AB+BC) k=82,978-(42,951+40,056)=-0,029
1). (Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning Definitsioon: Funktsiooni y = f (x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline summa tuletis on tuletiste summa). Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad positiivne arv δ, et suvaliste x1 ϵ (x - δ; x) ja x2 ϵ (x; x + δ) korral f (x1) < f (x) < f (x2).
v.s. Kui , on protsessis x l.v.s, siis kui on protsessis x l.v.s. Kui on protsessis x l.v.s ja z = z (x) on tõkestatud ümbruses U (a), siis z on protsessis x l.v.s. 6. Funktsiooni pidevus. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse pidevaks kohal a, kui lim xa f (x) = f (a). Funktsiooni nimetatakse pidevaks piirkonnas A, kui ta on pidev piirkonna A igas punktis. Definitsioon nõuab kolme tingimuse täidetust: o Leidub lim xa f (x) o Leidub f (a), st a X o lim xa f (x) = f (a) 7. Funktsiooni tuletis, tuletise omadused. o Funktsiooni y = f (x) tuletiseks kohal x nimetatakse y = f (x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f' (x) = lim x 0 y / x = lim x 0 f (x + x) f (x) / x 8
.., xn). Def: Kahe muutuja f-ni määramispiirk nim niisugust x, y väärtuste paaride hulka millele eeskirjade kohaselt on võimalik vastavusse seada muutuja z väärtust. Kahe muutuja f-ni tasandilõiked ja nivoojooned Olgu kahe muutuja f-n z=(x; y) (joon) yz-tasand x=0; xz-tasand y=0; xy-tasand z=0 graafik on pind ruumis: (1) x=a {z=(x; y); x=a (2) y=b {z=(x; y); y=b (3) z=c {z=(x; y); z=c Need kolm on pinna z=(x; y) nivoojooned F-ni osamuut ja täismuut z=(x; y) fikseeritud punktis P(x; y) (joon) (x; y)(x+x; y) Def: Vahet (x+x; y)- (x; y) nim 2 muutuja f-ni osamuuduks x-i järgi ja tähistatakse xz (joonisel QQ). Kui on antud (x; y)(x; y+y) Def: f-ni osamuut y-i järgi on def punktis yz=(x; y+y)-(x; y) (joon. RR). Kui on antud (x; y)(x+x; y+y) Def: f-ni täismuuduks nim vahet z=(x+x; y+y)-(x; y) (TT) Kahe muutuja f-ni piirväärtus ja pidevus Po(xo; yo) (joon) U(xo; yo)={(x; y)(x-xo)2+(y-yo)2<2} ning xxo ja yyo [(x; y)(xo; yo)] Def: Reaalarvu A nim 2 muutuja f-ni
.............), aadressiga ............................... (edaspidi: Tööandja), keda esindab söökla juhataja ....................... ja (Töötaja nimi), isikukoodiga(...................), elukohaga ................... (edaspidi: Töötaja) sõlmisid käesoleva töölepingu (edaspidi: Leping) alljärgnevatel tingimustel: 1.Lepingu sisu 1.1 Töötaja on vastavalt käesolevale lepingule kohustatud 1.jaanuar kuni 31.detsembrini 8 tundi päevas abistama kooli sööklas. 1.2 Käesoleva lepingu punktis 1.1 mainitud teenuse osutamisel on Töötaja kohustatud järgima kooli söökla poolt kehtestatud ametijuhendis, mis on käesoleva lepingu lahutamatuks osaks. 1.3 Töötaja kohustub käesoleva lepingu punktis 1.1 mainitud teenuse osutamisega seotud informatsiooni mitte andma isikutele, kes ei ole käesoleva lepingu poolteks. Käesoleva lepingu tingimused on konfidentsiaalsed. 1.4 Otseseid ülesandeid Töötajale käesoleva lepingu punktis 1.1 mainitud teenuse osutamisel
TOOTMISVÕIMALUSTE KÕVER Tootmisvõimaluste kõver (TVK) on erinevate hüviste tootmiskombinatsioon olemasolevate ressursside ja tehnoloogia korral. Tootmine, mis toimub tootmisvõimaluste kõvera igas punktis on selline, et kõik ressursid (maa, töö, kapital) on hõivatud. Ühiskonnas on sellist seisu raske saavutada, st., et keegi pole töötu, kõik maa on kasutusel ja kõik masinad ja seadmed on tööle rakendatud. Oletame, et me toodame leiba ja raamatuid. Leib on kantud vertikaalsele y-teljele ja raamatud horisontaalteljele ehk x-teljele. Punktis F toodab ühiskond 5 ühikut leiba. Kui soovitakse toota ka raamatuid, tuleb loobuda mingist osast leiva tootmisest, selleks, et toota raamatuid
II I veerand veerand III IV veerand veerand y=2x-4 Sirge y=2x-4 lõikab x-telge punktis (2;0) ja y-telge punktis (0;4). Sirge y= 0,5x-3 lõikab x-telge punktis (6;0) ja y-telge punktis (0;-3).
Kordamisküsimusi 3. teema kohta 1. Defineerida funktsiooni tuletis. Mis on diferentseeruv funktsioon ja diferentseerimine? Funktsiooni f tuletiseks punktis a nimetatakse järgmist suurust: f ( x )−f (a) f ' ( a )=lim x→ a x−a Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. 2. Esitada tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. Tuletist defineeriva piirväärtuse võib kirja panna ka argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu. Olgu nii nagu ennegi: ∆x = x − a → argumendi muut kohal a , ∆y = f(x) − f(a) →funktsiooni muut kohal a . Siis f ( x )−f ( a) ∆y ∆y f ' ( a )=lim =lim =lim
P0 Kui leidub ühekordne piirväärtus lim f ( P ) , siis ei järeldu et leidub A või leidub B. P P0 Funktsiooni pidevus Olgu antud funktsioon w = f ( x, y , z ,...) ( x, y, z ,...) D ja punkt P0 = ( x0 , y 0 , z 0 ,...) D . Kui kehtib võrdus lim f ( P ) = f ( P0 ) , siis öeldakse, et funktsioon f on pidev punktis P0. P P0 Kui funktsioon on pidev oma määramispiirkonna igas punktis, siis öeldakse et antud funktsioon on pidev. Kõik elementaarfunktsioonid on pidevad. Funktsiooni määramispiirkonna punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse antud funktsiooni katkevuspunktiks. Mitme muutuja funktsiooni diferentseerimine Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Olgu antud funktsioon w = f ( x, y , z ,...) .
a on lõpmatult kahanev. 10. Funktsiooni piirväärtus. Selle geomeetriline tõlgendus. Näiteks tõestada, et Või = 6 Funktsiooni piirväärtus. Funktsioon y = f(x) läheneb piirväärtusele b (y b) argumendi x lähenemisel väärtusele a (x ), kui iga kuitahes väikese positiivne arv , et iga x a puhul, mis rahuldab võrratust < , kehtib võrratus < . Kirjutatakse: Geomeetriline tõlgendus. Kui funktsioonil y = f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x a, kus x a, läheneb funktsiooni graafiku kõrgus f(x) ühele ja samale arvule b. Tõestus 11. Funktsiooni ühepoolsed piirväärtused (näiteid). Piirväärtuse f(x) = b eksisteerimise tingimus Ühepoolsed piirväärtused. Arvu nimetatakse funktsiooni vasakpoolseks piirväärtuseks punktis , kui iga leidub , et kui Arvu nimetatakse funktsiooni parempoolseks piirväärtuseks punktis , kui iga
kolmemõõtmelises ruumis (joonis): Omadused: 1) See pind koosneb parajasti sellistest punktidest M = (x, y, z) mille koordinaadid x, y ja z rahuldavad võrrandit z = f(x, y). 2) Pinna z = (x, y) projektsioon xy-tasandile langeb kokku funktsiooni määramispiirkonnaga D. 3) Suvaline z-teljega paralleelne sirge saab pinda z = (x, y) lõigata maksimaalselt ühes punktis (vt sirge s ja punkt M joonise). 6) Algebralised tehted mitmemuutuja funktsioonidega. Liitfunktsioon. · Tehted mitmemuutuja funktsiooniga z = (P) ja z = g(P) 1) Funktsioonide ja g summa: z = ( +g) (P) = (P) + g (P) 2) Funktsioonide ja g vahe: z = ( -g) (P) = (P)-g(P) 3) Funktsioonide ja g korrutis: z = ( g) (P) = (P)g(P)
kolmemõõtmelises ruumis (joonis): Omadused: 1) See pind koosneb parajasti sellistest punktidest M = (x, y, z) mille koordinaadid x, y ja z rahuldavad võrrandit z = f(x, y). 2) Pinna z = (x, y) projektsioon xy-tasandile langeb kokku funktsiooni määramispiirkonnaga D. 3) Suvaline z-teljega paralleelne sirge saab pinda z = (x, y) lõigata maksimaalselt ühes punktis (vt sirge s ja punkt M joonise). 6) Algebralised tehted mitmemuutuja funktsioonidega. Liitfunktsioon. · Tehted mitmemuutuja funktsiooniga z = (P) ja z = g(P) 1) Funktsioonide ja g summa: z = ( +g) (P) = (P) + g (P) 2) Funktsioonide ja g vahe: z = ( -g) (P) = (P)-g(P) 3) Funktsioonide ja g korrutis: z = ( g) (P) = (P)g(P)
A5 x x Valin MKNK jaoks A1, A2, A4 ja A5. Impl Vahe A1 - 0 0 0 0 A2 2 1 1 - 0 A4 1,4 1 - 1 - A5 4,8 - - 1 1 Kirjutan välja MKNK: 3. Teisendada punktis 2 leitud MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK- kujule. V =V = V = V = V Seega saadud DNK on: V Karnaugh' kaardiga leitud MDNK: Võrdlen saadud DNK punktis 2 leitud DNK-ga. Tegemist ei ole kokkulangeva avaldisega. Arvutan mõlemale tõeväärtustabelid. x1 x2 x3 x4 f1 f2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
Lihtimplikan t Vahed x1 x2 x3 x4 Disjunktsioon A1 2 0 1 - 0 x1 x4 A2 8 - 1 1 0 x4 A3 4 1 - 0 1 x3 A5 2,8 - 0 - 1 x2 f (x1,x2,x3,x4) = (x1 x4)( x4)( x3 )(x2 ) 3. Teisendada punktis 2 leitud MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK- kujule (ehk korrutada MKNK avaldises "sulud lahti" ja lihtsustada tekkiv DNK käsitsi). Võrrelda selle teisenduse tulemuseks olevat DNK-d punktis 2 leitud MDNK-ga -- kas MKNK-st teisendatud DNK on avaldisena) kokkulangev selle MDNK-avaldisega, mille andis punktis 2 kasutatud minimeerimismeetod? (Karnaugh' kaart või McCluskey' meetod) (x1 x4)( x4)( x3 )(x2 ) =
a on lõpmatult kahanev. 10. Funktsiooni piirväärtus. Selle geomeetriline tõlgendus. Näiteks tõestada, et Või = 6 Funktsiooni piirväärtus. Funktsioon y = f(x) läheneb piirväärtusele b (y b) argumendi x lähenemisel väärtusele a (x ), kui iga kuitahes väikese positiivne arv , et iga x a puhul, mis rahuldab võrratust < , kehtib võrratus < . Kirjutatakse: Geomeetriline tõlgendus. Kui funktsioonil y = f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x a, kus x a, läheneb funktsiooni graafiku kõrgus f(x) ühele ja samale arvule b. Tõestus 11. Funktsiooni ühepoolsed piirväärtused (näiteid). Piirväärtuse f(x) = b eksisteerimise tingimus. Tooge näide funktsioonist, millel piirprotsessis x pole piirväärtust f(x). Ühepoolsed piirväärtused. Arvu nimetatakse funktsiooni vasakpoolseks piirväärtuseks punktis , kui iga leidub , et kui
defineeritud n-muutuja (skalaarväärtusega) funktsioon. Suurust df:=fx(x,y)dx + fy(x,y)dy, kus dx:= x ja dy:= y, nimetatakse funktsiooni f(x,y) täisdiferentsiaaliks. Hulka U(P) = {Q Rn|d(P,Q) < } nimetatakse punkti P Rn -ümbruseks. Arvu c nimetatakse funktsiooni u = f(x1,...,xn) Suurust d2f := d(df) nimetatakse funktsiooni f teist järku täisdiferentsiaaliks. piirväätuseks punktis A(a1,...,an), kui iga > 0 korral leidub selline > 0, et iga P U(A), kus P <>A, korral |f(P) - c| < (f(P) Funktsiooni f r-järku täisdiferentsiaaliks nimetatakse täisdiferentsiaali funktsiooni (r-1)-järku täisdiferentsiaalist ja tähistatakse U(c)). Kasutatakse tähistust lim f(P)=c. drf := d(dr-1f). Funktsiooni u = f (x1 , . . . , xn ) nimetatakse pidevaks punktis A(a1,..
Kahepolaarne toide, selle kasutamine, eelised ja puudused. Kasutatavad seadmed: 1. Ostsilloskoobi mooduliga PicoScope 2205 varustatud personaalarvuti. 2. Toiteplokk EP-603 3. Montaaziplaat, transistorid (BC547B), takistid 4. Ühendus ja montaazijuhtmed 5. Tööriistad Arvutuste lähteandmed: ±E = 12 V Uk0 = 6 V Ik0 = 1 mA Koostatud võimendi skeem: Joonis 1. Koostatud võimendi skeem elementide väärtustega. Re= 5,6k Rk1= 6,2k Rk2= 6,2k Punktis 1 mõõdetud ja arvutatud pingevõimendustegurid: Ku = Uv / Us Ku1 = 1043 mV / 10 mV = 104,3 Ku2 = 1031 mV / 10 mV = 103,1 Joonis 2 : Väljundsignaalide graafikud ühes teljestikus. Võimendi väljundsignaalide faasinihe on 180 kraadi. Punktis 2 mõõdetud diferentsiaalne pingevõimendustegur: Uvdif = 2,153 V Us = 10 mV Kdif = 215,3 Teoreetiline: kdif1=2ku=2104,3=208,6 kdif2=2ku=2103,1=206,2 Punktis 3 mõõdetud logaritmiline ASK: sagedus[khz] amplituud k 20log*(k) [dBm]
tuletise leidmine järgmistest etappidest: 1. funktsiooni f (x) muudu y arvutamine vastavalt valemile y = f (x + x) - f (x) y 2. jagatise x moodustamine y 3. piirväärtuse lim leidmine x 0 x 6 Näide On antud funktsioon f (x) = x2. Leida definitsiooni järgi tuletis: a) suvalises punktis x; b) punktis x = 3. 1. Funktsiooni muut: y = f (x+ x) f (x) =(x + x)2 - x2 = 2x x + (x)2 2. Jagatis: y 2 xx + (x) 2 = = 2 x + x x x 3. Piirväärtus: y f ' ( x) = lim = lim (2 x + x) = 2 x x 0 x x 0 4. Kui x = 3, siis saame f ' (3) = 2 3 = 6 7 Rühmatöö 5
On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. 2) Analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. 3) Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis. See omadus tuleneb otseselt funktsiooni ühesusest. Tõepoolest: kui leiduks y-teljega paralleelne sirge, mis lõikaks graafikut mitmes punktis, siis oleks funktsiooni graafikul vaadeldavas kohas mitu "kõrgust", seega oleks ka funktsioonil ühe argumendi korral mitu väärtust. (Ühesel) funktsioonil ei saa aga mitut väärtust olla. Juhul, kui vaadeldav funktsioon on mitmene, siis eksisteerib vähemalt üks y-
punktile A = (a, b). Funktsioonil f on piirväärtus kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a, mis rahuldab tingimust x = a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb lõpmatusele. Funktsioonil f on vasakpoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a-, mis rahuldab tingimust x = a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste geomeetriline tõlgendus. Kui funktsioonil f(x) on vasakpoolne piirväärtus b1 ja parempoolne piirväärtus b2 punktis a, siis suvalises piirprotsessis x a-, kus x = a, läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P1 = (x, f(x)) punktile A1 = (a, b1) ja suvalises piirprotsessis x a+, kus x = a, läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P2 = (x, f(x)) punktile A2 = (a, b2) Kui b1 = b2, siis funktsioonil puudub piirväärtus punktis a, sest f(x) ei lähene ühele ja samale arvule suvalises piirprotsessis x a, x = a. Piirprotsessi x a erijuhtudel x a- ja x a+ läheneb f(x) erinevatele arvudele. Teoreem 2
annaabi.ee 
