α (x) võrreldes α (x) on lõpmata väike piirprotsessis 8. Kui x → x0 ja suurusega β (x) , kui suurused on lõpmata suured piirprots-
suvalise -ümbruse U(a) korral leidub selline punkti x0 vasakpoolne -ümbrus U(x0-), et f(U(x0-)) c U(a) DEF 5. Suurust a nim. funktsiooni f(x) parempoolseks piirväärtuseks punktis x0, kui suuruse a suvalise -ümbruse U(a) korral leidub selline punkti x0 vasakpoolne -ümbrus U(x0+), et f(U(x0+)) c U(a) 1.6 Lõpmata väikesed ja lõpmata suured suurused DEF 1. Muutuvat suurust(funktsiooni) nim. (x) nim. lõpmata väikeseks suuruseks piirprotsessis x-> x0, kui lim(x)=0. Seda nim. ka hääbuvaks suuruseks. Tähistus (x)=o(1) DEF 2. Muutuvat suurust(funktsiooni) nim. (x) nim. lõpmata suureks suuruseks piirprotsessis x-> x0, kui lim(x)=. Seda nim. ka vohavaks suuruseks. DEF 3. Kui (x) ja (x) on lõpmata väikesed suurused piirprotsessis x-> x0 lim (x) / (x)=0, siis öeldakse, et suurus (x) on võrreldes suurusega (x) kõrgemat järku lõpmata väike suurus selles piirprotsessis. DEF 4
Teoreem Suurus a on lõpmatult kahanev ainult siis, kul 1/a on lõpmatult kasvav · Tõkestatud suurus - Suurust nimetame tõkestatuks, kui tema määramispiirkond on tõkestatud Teoreem Kui suurus a on lõpmatult kahanev ja suurus b on tõkestatud siis nende korrutis ab on lõpmatult kahanev 9. · Funktsiooni piirväärtuse definitsioon Funktsioonil on piirväärtus b punktis a siis suvalises piirprotsessis läheneb funktsiooni graafiku kõrgus ühele ja samale arvule b. · Funktsiooni piirväärtuse geomeetriline tõlgendus Suvalises piirprotsessis, kus läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt ühele ja samale punktile . · Funktsiooni piirväärtuse laiendamine suurustele - Tuleb ülaltoodud definitsioonis asendada a ja b vastavate suurustega. · Funktsiooni parempoolne piirväärtus Funktsioonil on parempoolne piirväärtus, kui
1.Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda 4.Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Vaatleme funktsiooni y=f(x). Toome lisaks muutujale x ± absoluutväärtuse Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni ja y sisse ka kolmanda muutuja t. x= (t). Siis saab ka Funktsioonil f on piirväärtus kohal a, kui suvalises piirprotsessis xa, mis omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. määramispiirkondade ja väärtuste hulkade vahel, vastastikune muutuja y avaldada parameetri t kaudu. y = (t). rahuldab tingimust xa, funktsiooni väärtus f(x) läheneb lõpmatusele Tõkestatud hulga kompenseerimine, funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikute Võtame need kaks võrrandit kokku ühte süsteemi
Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos on sõnastatud järgmiselt: Teoreem. Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1/ on lõpmatult kasvav. Def. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Teoreem. Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. 9. Def. Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x->a, mis rahuldab tingimust xa, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Kirjutatakse lim f(x)=b Funktsiooni piirväärtuse geomeetriline sisu. Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x->a, kus xa, läheneb funktsiooni graafiku kõrgus f(x) ühele ja samale arvule A. Def. Funktsioonil f on piirväärtus kohal a, kui suvalises piirprotsessis x->a, mis rahuldab tingimust xa, funktsiooni väärtus f(x) läheneb lõpmatusele
Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos on sõnastatud järgmiselt: Teoreem. Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1/ on lõpmatult kasvav. Def. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Teoreem. Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. 9. Def. Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x->a, mis rahuldab tingimust xa, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Kirjutatakse lim f(x)=b Funktsiooni piirväärtuse geomeetriline sisu. Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x->a, kus xa, läheneb funktsiooni graafiku kõrgus f(x) ühele ja samale arvule A. Def. Funktsioonil f on piirväärtus kohal a, kui suvalises piirprotsessis x->a, mis rahuldab tingimust xa, funktsiooni väärtus f(x) läheneb lõpmatusele
. Funktsioon f ( x ) läheneb x a puhul lõpmatusele ehk f ( x ) on x a puhul lõpmatult kasvav suurus, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral leidub selline arv > 0 , et kõigi arvust a erinevate ja võrratust x - a < rahuldavate x väärtuste puhul kehtib võrratus f ( x ) > M . Kirjutatakse lim f ( x ) = ehk f ( x ) , kui x a . xa (Kahe samas piirprotsessis lõpmata väikese suuruse summa, vahe ja korrutis on samuti lõpmata väike suurus selles piirprotsessis. Lõpmata väikese suuruse korrutis tõkestatud suurusega on lõpmata väike suurus. Kahe samas piirprotsessis lõpmata suure suuruse korrutis on samuti lõpmata suur suurus.) Kui (x) ja (x) on lõpmata väikesed suurused piirprotsessis x a ja lim( x a )(x)/(x)=0, siis öeldakse, et (x) on
1.10 Funktsiooni tuletis DEF 1.Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nim. funktsiooni y=f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f´(x)=limy/x, piirprotsessis x->0 DEF 2. Kui funktsioonil f(x) on tuletis kohal x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. f´(x0) <->f(x) D(x0) DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x+)=limy/x, piirprotsessis x->0+ DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x-)=limy/x, piirprotsessis x->0- Funktsiooni tuletis: Lause 1. Funktsiooni f(x) diferentseeruvusest punktis x järeldub selle funktsiooni pidevus punktis x,st Tõestus. Funktsiooni diferentseeruvus punktis x tähendab, et . Kuna igas mingis punktis on piirväärtust omav suurus selle punkti teatud ümbruses esitatav piirväärtuse ja lõpmata väikese suuruse summana, siis , kusjuures
1.10 Funktsiooni tuletis DEF 1.Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nim. funktsiooni y=f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f´(x)=limy/x, piirprotsessis x->0 DEF 2. Kui funktsioonil f(x) on tuletis kohal x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. f´(x0) <->f(x) D(x0) DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x+)=limy/x, piirprotsessis x->0+ DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x-)=limy/x, piirprotsessis x->0- 1.11 Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Vaata näiteid vihikust! 1.12 Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 1.13 Kõrgemat järku tuletised DEF 1. Kui funktsioonil f´(x) eksisteerib tuletis, siis seda tuletist nim
( )n > ( 1)2 0<( 1)2 < |* 0< 2< 0< 1< =0 ning siis -1)=0 15*(Lõpmata väiksed ja suured suurused. Näidata, et lõpmata väikese suuruse ja tõkestatud suuruse korrutis on lõpmata väike. Näidata, et kahe lõpmata väikese suuruse korrutis ja summa on lõpmata väiksed)Funktsiooni (x) nimetatakse lõpmata väikeseks suuruseks piirprotsessis xa, kui: ( ) Funktsiooni (x) nimetatakse lõpmata suureks suuruseks piirprotsessis xa, kui: ( ) *Lõpmata väikese suuruse korrutis tõkestatud suurusega on lõpmata väike suurus. *Olgu lõpmata väike suurus piirprotsessis xxo ja f(x) tõkestatud funktsioon suuruse X0 mingis ümbruses U (X0). M>0 : |f(x)| M ( x U (Xo))
δ 19. Tõestada, kui arv A on funktsiooni f piirväärtus protsessis x → a parajasti siis, kui A on selle funktsiooni f piirväärtus nii protsessis x → a+ kui ka x → a−. Muutuvat suurust alfax nimetatakse lõpmata väikeseks suuruseks piirprotsessis x läheneb x , kui lim(x läheneb o x ) alfa x=0. Ka hääbuv suurus. 0 Muutuvat suurust alfa x nimetatakse lõpmata suureks suuruseks piirprotsessis x läheneb x , kui lim(x läheneb
väärtused rahuldavad võrratust || < K. Kuna 1 võib olla suvaline positiivne arv, võime me valida 1 = Järgmiseks valime nii, et = 1, kus on mingisugune suuruse väärtus. Siis iga -le järgneva väärtuse korral kehtivad seosed || = || = || || < K = Seega me nÄeme, et kõik -le jÄrgnevad suuruse väärtused rahuldavad võrratust || < . Seda oligi vaja tõestada. 9. Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a, mis rahuldab tingimust x = a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Funktsiooni piirväärtuse kirjutusviis on Piirväärtuse geomeetriline sisu :Suvalises piirprotsessis x a, kus x = a, läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P = (x, f(x)) Ühele ja samale punktile A = (a, b). Funktsioonil f on piirväärtus kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a, mis rahuldab tingimust x = a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb lõpmatusele.
9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu. Funktsiooni piirväärtuse definitsiooni laiendamine juhtudele a ja b . Funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste definitsioonid ja geomeetriline sisu. Sõnastada teoreem funktsiooni piirväärtuse olemasolu ja ühepoolsete piirväärtuste võrdsuse omavahelise seose kohta. a. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu a.i. Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis xa , mis rahuldab tingimust xa, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. a.ii. Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis xa, kus xa, läheneb funktsiooni graafiku kõrgus f(x) ühele ja samale arvule b. a.iii. Suvalises piirprotsessis xa, kus xa läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P=(x,f(x)) ühele ja samale punktile A=(a,b)(JOONIS) a.iv
sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad miinus lõpmatuse ümbrusesse (-;-M), st rahuldavad võrratust x < - M. Tähistusviis on : x - või lim x = - . · Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon - Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a, mis rahuldab tingimust x a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Funktsiooni piirväärtuse kirjutusviis on . Funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste definitsioonid · Funktsioonil f on vasakpoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a-, mis rahuldab tingimust x a ja funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Vasakpoolse piirväärtuse kirjutusviis on või f(x) b kui xa-.
Muutuvat suurust W nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui limW=0. Muutuvat suurust W nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim|W| = . 9) Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu. Funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste definitsioonid ja geomeetriline sisu. Neid definitsioone küsin ainult lõpliku a ja b korral. Funktsioonil ! on piirväärtus kohal , kui suvalises piirprotsessis , mis rahuldab tingimust , funktsiooni väärtus ! läheneb arvule . Funktsiooni piirväärtuse kirjutusviis on lim,+ ! = . Kui funktsioonil ! on piirväärtus punktis , siis suvalises piirprotsessis , kus , läheneb funktsiooni graafiku kõrgus ! ühele ja samale arvule . Teiste sõnadega: suvalises piirprotsessis , kus , läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt % = , ! ühele ja samale punktile = , . Funktsioonil
väärtused rahuldavad võrratust . Kuna võib olla suvaline pos. arv, võime valida . Järgmiseks valime nii, et , kus on mingisugune väärtus. Siis iga -le järgneva väärtuse korral kehtivad seosed . Seega me näeme, et kõik -le järgnevad suuruse väärtused rahuldavad võrratust . Seda oligi vaja tõestada. 9. FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUSE DEFINITSIOON Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui sualises piirprotsessis , mis rahuldab tingimust , funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Kirjutusviis: või kui . Selle geomeetriline sisu: Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis , kus , läheneb funktsiooni graafiku kõrgus f(x) ühele ja samale arvule b. Suvalises piirprotsessis , kus , läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P = (x,f(x)) ühele ja samale punktile A = (a,b).
Milline jada on koonduv ja milline jada on hajuv? (lk 4) Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x1, x2, x3, . . . piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist jada elementi xn, millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a ümbrusesse (a − ε, a + ε). Jada piirväärtuse kirjutusviis on järgmine: xn → a või lim xn = a 8. Defineerida funktsiooni piirväärtus. (lk 5) Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → a, mis rahuldab tingimust x ei= a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Funktsiooni piirväärtuse kirjutusviis on limx→a f(x) = b või f(x) → b kui x → a 9. Milline on funktsiooni piirväärtuse geomeetriline sisu? (lk 6 – 7) Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x → a, kus x ei= a, läheneb funktsiooni graafiku kõrgus f(x) ühele ja samale arvule b. Teiste sõnadega: suvalises
*Suurust a nim. funktsiooni f(x) parempoolseks piirväärtuseks punktis x0, kui suuruse a suvalise ε- ümbruse Uε(a) korral leidub selline punkti x0 vasakpoolne δ-ümbrus Uδ(x0+), et f(Uδ(x0+)) c Uε(a). Omadused – a=f(x) ja b= g(x) lim a * b = A*B; lim a + lim b = A + B; lim a/b = A/B; lim c*a = c * A 8.Lõpmata väikesed ja suured suurused . Ekvivalentsed lõpmata väikesed suurused. *funktsiooni α(x) nimetatakse lõpmata väikeseks suuruseks piirprotsessis x-> a, kui limα(x)=0 x-> a *funktsiooni α(x) nimetatakse lõpmata suureks suurusekspiirprotsessis x-> a, kui limα(x)=∞ x-> a Ekvivalentsed - Lõpmata väikesed (suured) suurused α(x) ja β(x) piirprotsessis x-> a , kui lim α(x) / β(x)=1 x-> a 9.Hulgal pidevad funktsioonid
· Tõkestatud suuruse definitsioon Muutuvat suurust a nim tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. · Lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutise teoreem Kui suurus a on lõpmatult kahanev ja suurus B on tõkestatud, siis nende korrutis aB on lõpmatult kahanev. 10) · Funktsiooni piirväärtuse definitsioon Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis xa, mis rahuldab tingimust xa(ei võrdu), funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule a. Kirjutusviis: limxaf(x)= b või f(x)b kui x a · Funktsiooni piirväärtuse geomeetriline sisu Suvalises piirprotsessis xa, kus x=a, l äheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P = (x,f(x)) ühele ja samale punktile A =(a,b) · Funktsiooni piirväärtuse definitsiooni laiendamine juhtumitele a=± ja b=±
· Tõkestatud suuruse definitsioon Muutuvat suurust a nim tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. · Lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutise teoreem Kui suurus a on lõpmatult kahanev ja suurus B on tõkestatud, siis nende korrutis aB on lõpmatult kahanev. 10) · Funktsiooni piirväärtuse definitsioon Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis xa, mis rahuldab tingimust xa(ei võrdu), funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule a. Kirjutusviis: limxaf(x)= b või f(x)b kui x a · Funktsiooni piirväärtuse geomeetriline sisu Suvalises piirprotsessis xa, kus x=a, l äheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P = (x,f(x)) ühele ja samale punktile A =(a,b) · Funktsiooni piirväärtuse definitsiooni laiendamine juhtumitele a=± ja b=±
1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. ε-ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed Lõpmata väikeseid (suuri) suurusi α(x) ja β(x) piirprotsessis x → a nimetatakse ekvivalentseteks ümbrused. Lõpmatuse ümbrused selles piirprotsessis, kui Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V seab vastavusse skalaari || 8. Funktsiooni pidevus punktis. Uhepoolne pidevus. Katkevuspunktide liigid. u|| ∈ R, kusjuures on taidetud järgmised tingimused: Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on taidetud kolm tingimust:
Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos.Nimelt on nad teineteise pöördarvud. Kehtib järgmine väide. Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1/ on lõpmatult kasvav. Tõkestatud suuruse definitsioon. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu. Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x-> a, kus x ei võrdu a, läheneb funktsiooni graafku kõrgus f(x) ühele ja samale arvule b. Teiste sõnadega: suvalises piirprotsessis x- > a, kus x ei üvõrdu a, läheneb funktsiooni graafku jooksev punkt P = (x; f(x)) uhele ja samale punktile A = (a; b). Seda on kujutatud joonisel 2.2. Funktsiooni piirväärtuse definitsiooni laiendamine juhtudele a = ± ja b= ± . Funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste definitsioonid. Geomeetriline sisu
Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Loetleda diferentsiaali omadused. 2. Olgu antud funktsioon, mis diferentseerub punktis a ja eeldame, et Teades, et Nii me näitasime, et Tähistades ja vahe järgmiselt Kehtib võrratus: Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: Korrutades saadud avaldist saame: kus Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, mis kahanevad piirprotsessis Võrdleme neid suuruseid suhtes: Lisaks kehtib veel: · Diferentsiaali omadused: 1. 2. 3. 4. 5. 3. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma. · Funktsiooni lokaalne maksimum Funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui: a) Funktsioon on määratud mingis ümbruses ( b) Igal puhul kehtib võrratus · Funktsiooni lokaalen miinimum Funktsioonil on punktis lokaalne miinimum, kui:
02 0.04 0.06 0.08 0.1 x -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 Graafikult on n¨ aha, et piirprotsessis x 0 funktsiooni v¨a¨artused ei l¨ahene u ¨helegi suu- rusele, vaid v~onguvad arvude -1 ja +1 vahel. Analoogiliselt N¨aitega 2 v~oib rangelt t~oestada, valides 0 < < 0.5, et antud piirv¨a¨artus ei eksisteeri. N¨aidake! Skitseerime funktsiooni sin (1/x) graafiku ka hulgal (-10; 0) (0; 10) 1 0.8
Näidata, et kahe lõpmata väikese nk =a. suuruse korrutis ja summa on lõpmata väiksed. ε Funktsiooni f (x) nimetatakse lõpmata väikeseks suuruseks piirprotsessis (n>N, p ∈ N) *Olgu ε>0 ja N selline indeks, et |Xn+p - Xn| < 2 xa, kui: lim f ( x ) =0 1
>0 korral leidub *Analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka niisugune arv >0, et kehtib võrratus |f(x)-a|<, alati kui 0<|x-a|<. Ja määramispiirkonna kirjeldus. *Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse kirjutatakse limf(x)=A (xa). graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus.Suvaline y-teljega paralleelne sirge saab 18.Funktsioonil f on vasakpoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis. x a-, mis rahuldab tingimust x a ja funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule 6. Funktsioonide liigid. Näited. b. Vasakpoolse piirväärtuse kirjutusviis on või f(x) b kui xa-. *Paaris- ja paaritud fun. Fun f nimetatakse paarisfun kui iga x X korral kehtib v Funktsioonil f on parempoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis
kahanevaks, kui lim α = 0. Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim |α| = ∞. 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu. Funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste definitsioonid ja geomeetriline sisu. Neid definitsioone küsin ainult lõpliku a ja b korral. Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → a, mis rahuldab tingimust x ≠ a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. ( lim f ( x ) =b x→ a ) Geomeetriline sisu. Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x → a, kus x ≠ a, läheneb funktsiooni graafiku kõrgus f(x) ühele ja samale arvule b. Funktsioonil f on vasakpoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises −¿¿
Teooriatöö põhiküsimused 1. Sõnastada ja tõestada piirvväärtusteoreem kahe funktsiooni summa piirväärtuse arvutamiseks piirprotsessis x + . lim f ( x ) = A lim g ( x) = B Kui x + ja x + , siis lim f ( x) + g ( x) = lim f ( x) + lim g ( x) x + x + x + Üritan eelpool mainitut tõestada. lim f ( x) = A, lim g ( x) = B f ( x ) = A + ( x ), g ( x ) = B + ( x) Eeldus: x + x + lim ( f ( x) + g ( x) ) = A + B f ( x ) + g ( x) = A + B + ( x) + ( x) Väide: x + 2
Vaata lk 31 tõestust. Tõkestatud suuruse definitsioon: Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutisest: Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. Vaata tõestust lk 32. 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu: Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a, mis rahuldab tingimust x = a, funktsiooni väärtus f(x) l¨aheneb arvule b. Funktsiooni piirväärtuse kirjutusviis on.............. või f(x) b kui x a .Geograafiline tõlgendus: Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x a, kus x = a, läheneb funktsiooni graafiku kõrgus f(x) ühele ja samale arvule b. Funktsiooni piirväärtuse definitsiooni laiendamine juhtudele a = ± ja b = ± :
3. u, v, w V d(u,v) d(u,v) + d(w,v) g(x) iga 0 < |x a| < korral, siis kehtib võrratus b c. Hulka U(a) := {x V |d(a,x) < , >0} nim. punkti a V -ümbruseks. Reaalarvu a a R korral saame U(a) := {x R |a- < x < a+}. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nim. suvalist poollõiku (a- ,a] kus >0. 7. Def. Funktsiooni (x) nim-kse lõpmata väikeseks suuruseks piirprotsessis xa, kui limxa Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a- ,a] parajasti siis, kui selle arvu kaugus (x)= 0. arvteljel on arvust a väiksem kui , st. |x-a|< ja x ei asetse a-st paremal, st x < a. Def. Fun-ni (x) nim-kse lõpmata suureks suuruseks piirprotsessis xa, kui limxa (x)= . Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nim. suvalist poollõiku [a, a + ), kus >0. limxa (x)= 0 limxa 1/(x)= ja limxa 1/(x)= limxa (x)= 0.
-funktsiooni muut kohal a a.i. Nii me näitasime, et a.ii. Tähistades ja vahe järgmiselt a.iii. Kehtib võrratus: a.iv. Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: a.v. Korrutades saadud avaldist saame: kus a.vi. Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, esimeseks dy= ja teine on , mis kahanevad piirprotsessis a.vii. Võrdleme neid suuruseid suhtes: a.viii. Lisaks kehtib veel: a.ix. Nüüd teame,et diferentsiaal dy on sama järku kahanev suurus ja kõrgemat järku kahanev suurus suhtes. Järelikult võimalikult väikse väärtuse korral hakkab diferentsiaal avaldises domineerima. a.x. Kehtib võrratus: , kui b. Diferentsiaali omadused: c. 2
punktis P(x1,...,xn) muutuja xi (1in) järgi ja tähistatakse f(x1,...,xn)/xi, st f(x1,...,xn)/xi=limxi0xiu/xi . Osatuletise võtmisel mitme muutuja funktsioonist f muutuja xi järgi võetakse selle muutuja järgi tavaline tuletis, kusjuures teisi muutujaid käsitletakse kui konstante. Funkts-i f(x,y) nim diferentseeruvaks punktis A(a,b), kui argumendi muudule (x,y) vastav funktsiooni muut on f=f/x(a,b)x+ f/y(a,b)y+(x,y), kus (x,y) on vektori (x,y) pikkuse suhtes lõpmata väike suurus piirprotsessis (x,y)(0,0) Funkts-i u=(f(x1,...,xn) nim diferentseeruvaks punktis A(a1,...,an), kui argumendi muudule x=(x1,...,xn) vastav funkts-i muut on u=f/x1(A)x1+...+ f/xn(A)xn+(x), kus (x) on vektori x pikkuse suhtes kõrgemat järku lõpmata väike suurus piirprotsessis x(0,...,0) Suurust df=f(x,y)/x dx+f(x,y)/y dy, kus dx=x ja dy=y, nim funkts-i f(x,y) täisdiferentsiaaliks. Suurust d(df) nimetatakse funktsiooni f(x; y) teist järku täisdiferentsiaaliks ja tähistatakse d2f
MATEMAATILINE ANALÜÜS I Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. 25) Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x (tuletada pole vaja). Sirget # nimetatakse joone = asümptoodiks, kui joone = jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest # läheneb nullile. Vertikaalasümptoot on y-teljega paralleelne sirge. Asümptoodi võrrand on = . Sirje = on joone = asümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest:
nende korrutis on lõpmatult kahanev. Tõkestatud suurus Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud, leidub lõplik vahemik (a, b) Lõpmatult kahaneva ja tõestatud suuruse korrutis. Teoreem Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a, mis rahuldab tingimust xa, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b Funktsiooni piirväärtuse geomeetriline sisu Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x a, kus x a, läheneb funktsiooni graafiku kõrgus f(x) ühele ja samale arvule b (joonis 2.2) Funktsiooni piirväärtuse definitsiooni laiendamine juhtudele a = ± ja b = ± Selleks tuleb ülaltoodud definitsioonis lihtsalt arv a või b asendada kas suurusega või -.
Lõpmatult kahanevad ja kasvavad suurused - Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim = 0. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim || = . Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suurused on teineteise pöördarvud. Funktsiooni piirväärtuse denfitsioon - Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises 3 piirprotsessis x a, mis rahuldab tingimust x = a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. limxa f(x) = b geomeetriline sisu - Kui funktsioonil f(x)on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x a, kus x = a, läheneb funktsiooni graafiku kõrgus f(x) ühele ja samale arvule b. Funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste definitsioonid ja geomeetriline sisu - Funktsioonil on vasakpoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a -, mis rahuldab tingimust x = a, funkt
Kui funktsioon f rahuldab nimetatud tingimust vaid oma määramispiirkonna mingil osahulgal, siis saab rääkida üksnes selle funktsiooni vastava lahendi pöördfunktsioonist. Kui funktsiooni f tuletis f' on kohal x nullist erinev, siis pöördfunktsiooni f-1 tuletis kohal y=f(x) saab avaldada kujul ( f -1 )' ( y ) = f '1( x ) = f ' ( f 1-1 ( y ) ) 4. Funkts. Piirväärtus. Ühepoolsed piirväärtused. Funktsiooni piirv. Def: Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a kui suvalises piirprotsessis xa, mis rahuldab tingimust x a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Funktsiooni piirväärtuse kirjutusviis on: lim(xa) f(x) = b või f(x) b kui xa. Mõiste "piirväärtus kohal a asemel võib kasutada ka samaväärseid väljendeid "piirväartus punktis a"või "piirvärtus argumendi lähenemisel värtusele a". Kui lim(xa) f(x) = b siis viies argumendi x küllalt lähedale arvule a saame me muuta
piirväärtuse arvutamiseks protsessis x +. Teoreem (1): Kahe, kolme, üldiselt lõpliku hulga muutuvate suuruste algebralise summa piirväärtus võrdub nende muutuvate suuruste piirväärtuste algebralise summaga. lim(u1 + u2 +....) = lim u1 + lim u2 + ... Tõestus: Tõestan teoreemi kahe funktsiooni liitmise korral. Olgu lim f(x) = A ja lim g(x) = B (Vaatlen mõlemaid protsesse piirprotsessis x +) Teoreem (1) põhjal võib kirjutada lim x + f(x) + g(x) = lim x + f(x) + lim x + g(x) Eeldame, et liidetavaid on lõplik arv. Tugineb lvs omadusele. Lvs (lõpmata väike suurus) omadus: lim(x+) f(x) = A, kui iga > 0 korral leidub selline arv N, et iga x > N korral on
Kui xa, siis ca, sest c painkeb x ja a vahel. Järelikult Muudame avaldise paremal poolel asuva piirväärtuse tähistust asendades muutuja c muutujaga x Eelduse kohaselt eksisteerib valemi paremal poolel olev piirväärtus. Järelikult eksisteerib ka vasakul pool olev piirväärtus. Teoreem on tõestatud. l'Hospitali reegel jääb kehtima ka siis, kui piirprotsessis xa asendada piirprotsessiga x või x-. 27. Kõrgemat järku tuletiste ja diferentsiaalide definitsioonid. Tuletada kõrgemat järku diferentsiaalide valemid. a. Kõrgemat järku tuletiste ja diferentsiaalide definitsioonid a.1. Funktsiooni n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist ja tähistatakse . a.2. Lõplikku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n-korda
tõkestatud, siis nende korrutis αβ on lõpmatult kahanev. Tõkestatud suurus Muutuvat suurust α nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud, leidub lõplik vahemik (a, b) Lõpmatult kahaneva ja tõestatud suuruse korrutis. Teoreem Kui suurus α on lõpmatult kahanev ja suurus β on tõkestatud, siis nende korrutis αβ on lõpmatult kahanev. 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → a, mis rahuldab tingimust x≠a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b Funktsiooni piirväärtuse geomeetriline sisu Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x → a, kus x≠ a, läheneb funktsiooni graafiku kõrgus f(x) ühele ja samale arvule b (joonis 2.2) Funktsiooni piirväärtuse definitsiooni laiendamine juhtudele a = ±∞ ja b = ±∞ Selleks tuleb ülaltoodud definitsioonis lihtsalt arv a või b asendada kas suurusega
Funktsioonil võib olla selliseid kriitilisi punkte, milles ekstreemumit ei ole. 24. Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem ilma tõestuseta). Joone käänupunkti definitsioon. 25. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x (tuletada pole vaja). 26. Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. 27. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (ilma tõestusteta). 28. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Esitada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks (tuletada pole vaja). Ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks: 29
vahemikus (a, b). Kui f’’(x) < 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis on joon y = f(x) kumer vahemikus (a, b). Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast,vnimetatakse selle joone käänupunktiks. 25. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x → ∞ (tuletada pole vaja). Vaatleme tasandil xy - teljestikus joont y = f(x). Sirget l nimetatakse joone y = f(x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile. Vertikaalasümptoodid on y-teljega paralleelsed sirged. Sirge x = a on joone y = f(x) asümptoodiks siis ja ainult siis, kui
Tõkestatud suuruse definitsioon. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutisest. Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu. Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a, mis rahuldab tingimust x ei võrdu a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x a, kus x ei võrdu a, läheneb funktsiooni graafiku kõrgus f(x) ühele ja samale arvule b. Teiste sõnadega: suvalises piirprotsessis x a, kus x ei võrdu a, läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P = (x,f(x)) ühele ja samale punktile A = (a,b).
Elementaarfunktsioonideks nimetatakse funktsioone, mis on saadavad põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise operatsioonide teel. §2 FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS JA PIDEVUS 1. Funktsiooni piirväärtuse definitsioonid Olgu a funktsiooni f määramispiirkonna X kuhjumispunkt, st selle punkti a igas ümbruses U(a)=(a, a+) leidub punkte x X, x a. Definitsioon 1. Arvu a nimetatakse. funktsiooni f piirväärtuseks punktis a (piirprotsessis x a), kui iga arvu > 0 korral leidub = ( ) > 0, nii et f(x) - A< , alati kui 0< x - a< . Kirjutame lim xa f(x) = A või lim f ( x) = A x a või f(x) A, kui x a. Näide . Tõestame,et lim x1 (2x + 1) = 3. Olgu > 0 suvaline.Siis f(x) - A=(2x+1)-3 = 2x-1< , kui x-1<
vähemalt üks järgmistest piirväärtustest: limxa- f(x) = -, limxa- f(x) = , limxa+f(x) = - või limxa+f(x) = . Kaldasümptoodid. Need on sirged, mis ei ole paralleelsed y-teljega. Asümptoodi võrrand on y = kx + b, kus k on asümptoodi tõus. Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x-teljega. Tõus k on sellisel juhul võrdne nulliga, st asümptoodi võrrand on y = b. Valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x Kui y = kx+b on joone y = f(x) asümptoot protsessis x , siis k ja b avalduvad valemitega Algfunktsiooni mõiste. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x D korral kehtib võrdus F (x) = f(x). TEOREEM- algfunktsioonide üldavaldise kohta Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Määramata integraali mõiste
Nimelt on nad teineteise pöördarvud. Teoreem 2.1. Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1 / on lõpmatult kasvav. Tõkestatud suurused. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Teoreem 2.2. Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. 9. Funktsiooni piirväärtuse denfitsioon. ( ) Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises( ) piirprotsessis x a, mis rahuldab tingimust x = a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Funktsiooni piirväärtuse kirjutusviis on limf(x) = b ehk f(x) b kui x a xa Tingimus x = a piirväärtuse definitsioonis on sisse toodud() selleks, et eristada funktsiooni väärtust kohal a tema piirväärtusest kohal a. Funktsiooni piirväärtuse geomeetriline tõlgendus. ( )
¨ I 3 / 25 ~ Lopmata ¨ vaikesed ~ ja lopmata suured suurused Reaalmuutuja funktsioon ~ Lopmata ¨ vaikesed ~ ja lopmata suured suurused Definitsioon ~ Funktsiooni (x) nimetatakse lopmata ¨ vaikeseks suuruseks piirprotsessis x a, kui lim (x) = 0. xa Definitsioon ~ Funktsiooni (x) nimetatakse lopmata suureks suuruseks piirprotsessis x a, kui lim (x) = . xa 1 1 lim (x) = 0 = lim = ja lim = = lim (x) = 0.
märg.väärtu si, siis väh.1
rahuldab?+ max 1 lõikepunkt paaris, punkt, kus f(c)=0.
paaritu-x e X per.funk.-f(x+C)=f(x), x Funk.difer.def: võrdeline
e X, kasv. Ja kah.funk.rakendamine
argumendi muuduga ja nullist
argumentidele x1 ja x2, hulk
D.astmef.märpiirk. sõltuvus a- erineva tul.korral on funk.muut
st.a)a=p/q (kui q paaritu, a>0, siis ja dif. Ekvival.suurused
X=R, kui a
a on lõpmatult kahanev. 10. Funktsiooni piirväärtus. Selle geomeetriline tõlgendus. Näiteks tõestada, et Või = 6 Funktsiooni piirväärtus. Funktsioon y = f(x) läheneb piirväärtusele b (y b) argumendi x lähenemisel väärtusele a (x ), kui iga kuitahes väikese positiivne arv , et iga x a puhul, mis rahuldab võrratust < , kehtib võrratus < . Kirjutatakse: Geomeetriline tõlgendus. Kui funktsioonil y = f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x a, kus x a, läheneb funktsiooni graafiku kõrgus f(x) ühele ja samale arvule b. Tõestus 11. Funktsiooni ühepoolsed piirväärtused (näiteid). Piirväärtuse f(x) = b eksisteerimise tingimus. Tooge näide funktsioonist, millel piirprotsessis x pole piirväärtust f(x). Ühepoolsed piirväärtused. Arvu nimetatakse funktsiooni vasakpoolseks piirväärtuseks punktis , kui iga leidub , et kui
o Arvu a nimetatakse jada {xn} piirväärtuseks, kui suvalise positiivse arvu korral leidub selline naturaalarv n0, mis üldjuhul sõltub arvust , st n0 (), et iga naturaalarvu n, mis on suurem kui n 0, korral on rahuldatud võrratus | xn a | < . 5. Lõpmata väikesed ja suured suurused. o Muutuvat suurust (funktsiooni) (x) nimetatakse lõpmata väikeseks suuruseks piirprotsessis x x0, kui lim xx0 (x) = 0. o Muutuvat suurust (x) nimetatakse lõpmata suureks suuruseks piirprotsessis x x0, kui limxx0 (x) = . o Lõpmata väikese suuruse omadused: lim x a f (x) = L f (x) = L + , kus on protsessis x l.v.s. Kui , on protsessis x l.v.s, siis kui ± on protsessis x l.v.s. Kui , on protsessis x l.v
[xk-1 ; xk ], k = 1, 2, . . . , n, seega ka f (k ) 0. Korrutades viimast v~orratust k-nda osal~oigu pikkusega, saame f (k )xk 0, k = 1, 2, . . . , n. Liites n mittenegatiivset suurust, saame mittenegatiivse suuruse st n f (k )xk 0. k=1 Mittenegatiivse suuruse piirv¨a¨artus on piirprotsessis 0 mittenegatiivne suurus, mis t~oestabki omaduse. J¨ areldus 2. Kui l~oigul [a; b] f (x) g(x), siis b b f (x)dx g(x)dx. a a T~oestus. Eelduse kohaselt g(x) - f (x) 0, seega omadus 3 j¨argi
annaabi.ee 
