Eksam 1. Binoomkordajad 1.1 Tuletada valem binoomkordaja (n/m) väärtuse arvutamiseks. 1.2 Kasutaddes eelmises punktis tuletatud valemit tõestada, et binoomkordajate vahel kehtib võrdus (n/m) = (n-1/m)+ (n-1/m-1). 1.3 Eelmine võrdus avaldab bioomkordaja (n/m) kahe kahe binoomkordaja kaudu, mille ülemine indeks on n-1. Leida seos, mis avaldab binoomkordaja (n/m) niisuguste binoomkordajate kaudu, mille ülemine indeks on n-2. 2. Graafid 2.1 Def graaf 2.2 Tõestada, et igas graafis on paaritu astmega tippe paarisarv 2.3 Olgu G mingi n-tipuline graaf, milles on m paaritu astmega tippu. Teha kindlaks kui palju on paaritu astmega tippe graafi G täiendis ja kuidas nende arv sõltub graafi G tippude arvust. 2.4 Leida graaf, milles on pooled tipud teatava ühesuguse paaritu astmega d1 ja pooled tipu ühesuguse paarisastmega d2 ning mile täiendis on samuti pooled tipud paaritu astmega...
Definitsioon Kui funktsioonil eksisteerib tuletis punktis a, siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni teist järku tuletiseks kohal a. = Definitsioon Kui funktsioonil eksisteerib tuletis punktis a, siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni n-järku tuletiseks kohal a. Leibnizi valem Funktsioonide korrutise n-järku tuletis punktis a avaldub valemiga: Kus binoomkordajad Tõestus Kasutame matemaatilse induktsiooni meetodit. Näitame induktsioonibaasi, st leiame esimese tuletise: Tõepoolest, valem kehtib juhul n=1. Nüüd tuleb näidata induktsioonisamm: eeldame, et valem kehtib juhul ja näitame, et sel juhul kehtib ta ka n korral. Seega kehtib: Saame: Teeme esimeses summas muutujavahetuse (summeerimisindeksi nihke) j:=k+1(k=j-1) Saame: Kuna 6
Selleks defineerime abifunktsiooni L(x) + f(a). Funktsioon g=f-L rahuldab Rolle´i teoreemi eeldusi, seega leidub selline punkt c ∈ (a,b), kus 0=g’(c) = f’(c)-L’(c)=f’(c)- Kus binoomkordajad 10. Cauchy keskväärtusteoreem: Tõestus: Kasutame matemaatilse induktsiooni meetodit. Näitame induktsioonibaasi, st leiame esimese Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a,b] ja diferentseeruvad vahemikus (a,b),kusjuures g´(x)≠ 0,siis tuletise:
(𝑛) 𝑛 𝑛 𝑛! 𝑥→0 𝑥→0 [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]𝑥=𝑎 = ∑𝑛𝑘=0 ( ) 𝑓 (𝑘) (𝑎)𝑔(𝑛−𝑘) (𝑎), kus binoomkordajad ( ) ≡ 𝐶𝑛𝑘 ≔ 𝑘!(𝑛−𝑘)!. 𝑙𝑖𝑚 1−𝑐𝑜𝑠𝑥
valemit" astmel n. Selgub aga, et binoomivalemi sulgude avamisega saame sellise üksliikmete summa, kus iga liikme kordaja e. binoomkordaja vastab sisuliselt kombinatsioonide arvule , kus k on konkreetse üksliikme x'i aste ning n on algse sulgavaldise aste. Näiteks: Toetused aga multinoomvalemile, saaksime binoom-koefitsente välja arvutada ka valemi abil, kus k1 on üksliikme esimese kordaja aste, k2 aga teise kordaja aste. Omadusi: *Binoomkordajad on sümmeetrilised alumise indeksi suhtes: Pascali kolmnurk- Pascali kolmnurk on prantsuse matemaatiku Blaise Pascali poolt loodud matemaatiline element, mis kujutab endast binoomkordajate massiivi, kus viimased on kõik seatud kolmnurksesse paigutusse. Kolmnurga tipuks on binoomkordaja kohal n = 0, allapoole minnes n'i väärtus aga aina kasvab. Pascali kolmnurga omadusi: *Ta on sümmeetriline vertikaaltelje suhtes.
Funktsiooni tuletis Reaalmuutuja funktsioon Lause (Leibnizi valem) ¨ Funktsioonide korrutise f (x)g(x) n-jarku tuletis punktis a avaldub valemiga n (n) n (k) [f (x)g(x)]x=a = f (a)g (n-k) (a). k k=0 n n! kus binoomkordajad k Cnk := k!(n-k)! ~ Toestus. ¨ Kasutame matemaatilse induktsiooni meetodit. Naitame induktsioonibaasi, st leiame esimese tuletise (f (x)g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x) = 1 1 1 1 (k) = f (x)g(x) + f (x)g (x) = f (x)g (1-k) (x),
annaabi.ee 
