a2 b2 c2 a3 b3 c3 Kolmerealise determinandi arvutamiseks kasutatakse n.n. Sarruse reeglit, kuid võib kasutada ka lihtsamat skeemi, kus determinandi järele kirjutatakse täiendavalt juurde kaks esimest veergu ning arvutatakse nagu skeemilt näha: a b c a b a b c a b d e f d e d e f d e g h k g h g h k g h Punaste noolte suunas võetud korrutised jäetakse sama märgiga nagu nad on ja siniste noolte suunas võetud korrutiste märgid muudetakse vastupidisteks (leidke, millega selle determinandi väärtus võrdub= 1 0 -1 1 0 0 2 3 0 2 = .... -1 2 3 -1 2
ühesuguse jämedusega traadi raskuskeset. Keha ja teiste raskuskeskme koordinaatide valemid: keha: Xc=(ViXi)/V Y ja Z samamoodi, kus V on ruumala. Tasapinnaline kujutis: Xc=(SiXi)/S, Yc samamoodi, kus S on kujundi pindala. Joone raskuskese: Xc=(liXi)/l, Y ja Zi samamoodi, kus l joonepikkus ja li joone elemendi pikkus. Tasapinnalise kujundi staatiline moment telje suhtes nim avaldisi, mis seisavad lugejates st. Tasapinnalise kujundi kõigi elementaarpindade ja nende korrutiste summasid. Sy=SiXi, kujundi staatiline moment y telje suhtes Sx=SiYi - x telje suhtes. Raskuskeskme määramise meetodid: sümmeetria võte, tükeldamise võte Liikuva punkti trajektoor: joon mida mööda keha liigub Punkti kiirendus: liikuva punkti kiirenduseks antud hetkel nim. Kiiruse tuletist aja järgi. 1 m/s 2 Trajektoori puutuja ja normaalisihilised komponendid: puutekiirendus ja normaalkiirendus
veeruvektoriga. Tegurite järjekorra muutmisel ei pruugi korrutis eksisteerida või on korrutis erinev. aijT = a ji aijT AT aij A Maatriksi transponeerimisel vahetatakse maatriksi read ja veerud omavahel ära V = ( A1 ;...; Ak ) R m×n Lineaarne kombinatsioon 1 A1 + ... + k Ak Sama dimensiooniga maatriksite (vektorite) hulga lineaarne kombinatsioon saadakse iga maatriksi (vektori) korrutamisel mingi arvuga ja korrutiste liitmisel 1 ;...; k R Lineaarse kombinatsiooni kordajad Lineaarne sõltumatus 1 A1 + ... + k Ak i 0 A1 + ... + 0 Ak = k lineaarselt sõltumatu mitte nullmaatriksi (vektori) lineaarne kombinatsioon saab võrduda nullmaatriksiga (nullvektoriga) ainult siis, kui kõik lineaarse kombinatsiooni kordajad võrduvad nulliga kui siis 1 A2 = - A1 - 3 A3 ... - k Ak
lahutamise eeskirja! Murrud tuleb teisendada ühenimelisteks. Algebraliste murdude liitmine ja lahutamine 1. Et leida murdude ühist nimetajat, tegurdan kõikide murdude nimetajad ja leian siis nende vähima ühiskordse. 2. Leian kõikidele murdudele laiendajad (tegurid, mis antud murru nimetajast on puudu võrreldes ühise nimetajaga). 3. Nimetajasse kirjutan leitud ühise nimetaja. Lugejasse kirjutan esialgsete lugejate ja leitud laiendajate korrutiste summa/vahe. A( x) Murdvõrrand kujul 0 B( x) esialgsete lugejate ja laiendajate korrutised A( x) 0 kõigi murdude ühine nimetaja B( x) Kui võrrandi liikmete seas esineb täisavaldisi (arve), siis võime need esitada murruna, mille nimetaja on 1 Murru 0-ga võrdumise tingimuse rakendamine A( x) A( x) 0 Lugeja võrdub 0 B( x) 0
v= lp - ap 16. Vektori pikkus võrdub koordinaatide ruutjuure summast. 17. sin= vastask./hüp. cos= lähisk./ hüp. tan= vastask./ lähisk. 18. 1 radiaan on raadiuse pikkusele kaarele toetuv kesknurk. 19. Skalaarkorrutis: a ja b skalaarkorrutiseks a*b nim. nende vektorite pikkuste ning vektoritevahelise nurga koosinuse korrutist. a * b = |a|* |b| * cos 20. Skalaarkorrutis koordinaatides: skalaarkorrutis koordinaatides võrdub vastavate koordinaatide korrutiste summaga. a * b = x1 * x2 + y1 * y2 21. = a * b = 0 22. a || b = x1/x2 = y1/y2 23. Kolmnurga pindala võrdub kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse poole korrutisega. 24. Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega: a/sin = b/sin = c/sin 25. Kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest on lahutatud samade külgede ja nendevahelise nurga koosinuse kahekordne korrutis. a2= b2+c2 2bc*cos
Samasuunaliste vektorite skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutisega. Vastassuunaliste vektorite skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutise vastandarvuga. Ristuvate vektorite skalaarkorrutis on null. Vektori skalaarruut on vektori skalaarkorrutis iseendaga ja on võrdne vektori pikkuse ruuduga. Koordinaatide järgi kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne nende vektorite vastavate koordinaatide korrutiste summaga. Kahe vektori vahelise nurga koosinus võrdub nende vektorite skalaarkorrutise ja pikkuste korrutise suhtega.
.... kus lähevad täisarvulised järguväärtused üle murdarvulisteks järguväärtusteks .... kus arv lõppeb Küsimus 10 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Mis on oktaalarvud ? Vali üks: kaheksandarvud kahendarvud kümnendarvud täisarvud kuueteistkümnendarvud Küsimus 11 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Kuidas avaldub (arvutatakse) arvu väärtus suvalises arvusüsteemis? Vali üks: järguväärtuste ja järgukaalude korrutiste summa arvu numbrite korrutis aluse astmete summa järguväärtuste ja järgukaalude summade korrutis Küsimus 12 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Mida näitab arvu järel olev indeks? Vali üks: järgu kaalu arvu väärtust arvusüsteemi alust Küsimus 13 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Milline on tuntuim mittepositsiooniline arvusüsteem? Vali üks: rooma numbrid kuueteistkümnendsüsteem kümnendsüsteem kahendsüsteem araabia numbrid
-Järjestustunnus: 5 v.hea; 4 hea; 3 rahuldav jne. Binaarne tunnus -> Omab kahte teineteist välistavat väärtust (Nt. Sugu). Andmete sisestamisel ei tohi vigaseid väärtusi asendada tõenäoliselt õigega. Tööle tuleb kindlasti lisada KODEERIMISE EESKIRI! Keskväärtus, mediaan, mood 1) Diskreetse juhusliku suuruse keskväärtus nimetatakse selle suuruse võimalike väärtuste ja vastavate tõenäosuste korrutiste summat. EX = p1x1 + p2x2 + .... + pnxn 2) Mediaan arv, millest suuremaid ja väiksemaid väärtusi on variatsioonreas ühe palju. 3) Mood tunnuse kõige sagedamini esinev väärtus. Bimodaalne kui on kaks moodi. Hajuvusmõõdud Minimaalne element tunnuse väärtuste hulgas vähim. Maksimaalne elemet tunnuse väärtuste hulgas suurim. Variatsioonrea ulatus maksimaalse ja minimaalse elemendi vahe.
Kirjeldus Ümardab arvu määratud kümnendkohtade arvuni. Ümardab arvu allapoole, nulli suunas. Ümardab arvu ülespoole, nullist eemale. Annab vastuseks antud nurga siinuse. Annab vastuseks arvu ruutjuure. Liidab argumendid. Liidab antud kriteeriumidega määratud lahtrid. Lisab lahtrid mitmele kriteeriumile vastavasse vahemikku. Annab vastuseks vastavate massiivikompomentide korrutiste summa. Annab vastuseks argumentide ruutude summa. Annab vastuseks arvu tangensi. Kärbib arvu murdosa. Kirjeldus Annab vastuseks oma argumentide keskväärtuse. Annab vastuseks kõigi mitmele kriteeriumile vastavas vahemikus olevate lahtrite keskmise (aritme keskmise). Annab vastuseks kõigi mitmele kriteeriumile vastavate lahtrite keskmise (aritmeetilise keskmise).
üleminekupunktile. 7. Milline on täisosa madalaima järgu kaal suvalises arvusüsteemis? Täisosa madalaima järgu kaalkõikides arvusüsteemides on 1. 8. Mitu erinevat järguväärtust võib olla arvusüsteemi igas järgus? Igas järgus saab olla arvusüsteemialusega võrdne arv järguväärtusi. 9. Mis on number? Mis on arv? Number on arvusüsteemis olev järguväärtus. Arv koosneb numbritest. 10. Kuidas avaldub arvu väärtus? Arvu väärtus avaldub järgneva korrutiste summana: N = . . . . + a3 p3 + a2 p2 + a1 p1 + a0 p0 + a-1 p-1 + a-2 p-2 + . . . . , kus a on järk jap on arvusüsteemi alus. 11. Millise numbri lisamine täisosa ette või murdosa lõppu ei muuda arvu väärtust? Nulli lisamine täisosaette või murdosa lõppu ei muuda arvu väärtust. 12. Mis on arvu tüvenumbrid? Tüvenumbrid on arvu numbrid alates madalaimast mittenullisest numbristkuni kõrgeima mittenullise numbrini. 13.
42,98*8=343869 bit/s 4) Sidekanalis on signaali Uef=33 V ja müra pinge 1 V. Milline on minimaalne ribalaius tagamaks bitikiirust 1 Mbit/s? (arvutustäpsus +- 10%)? S=33 N=1 S/N=33²/1²=1089 R=1 W=1/log2(1+1089)=1000000/log2(1090)=99180Hz või 100kHz Vastus: 100MHz 5)Milliseid sagedusalasid kasutavad analoogtelefonivõrgu modemid? Variant A: 300-3400 Hz 6) Tundub, et kõik variandid on õiged: A: 40 mW + 0 dBm = 40 mW + 1 mW = 41 mW B: 40 dB + 10 dB = 50 dB korrutiste liitmine C: 40 dBm + 10 dB = 50 dBm võimendi koeffitsiendiga 10 dB võimendab signaali võimsust 40 dBm kuni 50 dBm D: 1000 mW + 3 dB = 1000 mW • 2 = 2000 mW 7)Sidekanal moodustub vaskjuhtmepaari kasutamisel (telefoni abonentliin). Millised on andmeülekande parameetrid, kui kasutatakse: a) telefonivõrgu modemit või b) ADSLi? a) telefonivõrgu modemid olenemata standardist on kõik half-dublex. Modemid võtsid kasutusele kõnesideks kasutusel oleva ribalaiuse 3100Hz
11. Kuidas koostatakse põhi- ja täiendava toetuse määramise pingerida? 12. Millal eksmatrikuleeritakse üliõpilane edasijõudmatuse tõttu? 13. Millal eksmatrikuleeritakse üliõpilane õppetööst mitteosavõtu tõttu? Vastused: 1. Üliõpilase üldise edukuse iseloomustamiseks kasutatakse kaalutud keskhinnet (KKH), mis arvutatakse kõigi läbitud eksami ja hindelise arvestusega lõppenud õppeainete hinnete ja ainepunktide korrutiste summa jagamisel vastavate õppeainete ainepunktide kogusummaga. 2. Esimest õppeaine deklareerimissemestri eksamisessioonil sooritatud eksamit nimetatakse põhieksamiks. 3. Dekaanil on põhjendatud juhtudel õigus üliõpilase avalduse alusel pikendada mõne konkreetse eksami põhieksamina sooritamise tähtaega kevadsemestril õppeaasta lõpuni ja sügissemestril järgneva kevadsemestri punase joone päevani. 4
Mark 1 out of 1 Vali üks: järguväärtuste ja järgukaalude summade korrutis järguväärtuste ja järgukaalude korrutiste summa arvu numbrite korrutis aluse astmete summa Küsimus 3 Millise väärtusega on järgnevalt loetletud Õige 16ndnumbrid?
x c= 2 ja y c = 2 Vektorite u ja v skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist. Definitsioonvalem u v = ( u ) ( v ) cos . Kui vektorid on samasuunalised, siis skalaarkorrutis võrdub nende vektorite pikkuste korrutisega. Ristuvate vektorite skalaarkorrutis on 0. Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne nende vektorite vastavate koordinaatide korrutiste summaga. Kui u=( a ;b ) ja v=( c;d ) , siis u v =ac+b d . Kahe vektori vahelise nurga koosinus võrdub nende vektorite skalaarkorrutise ja pikkuste u v korrutise summaga. cos = ( u ) ( v ) Sirge Sirgjoon,mis lõikab x-telge, tema tõusunurgaks nimetatakse nurka x-telje positiivse suuna ja sirge vahel. Kui tõusunurk on terav, siis sirge tõuseb, kui tõusunurk on nüri, siis sirge langeb.
Maatriksite korrutamine ei ole üldjuhul kommutatiivne. Kahe nullist erineva maatriksi korrutis võib anda nullmaatriksi. Mingi maatriksi korrutamisel ühikmaatriksiga saame korrutiseks esialgse maatriksi. 8)n-järku determinandid. Teist ja kolmandat järku determinandid kui erijuhtumid. N-järku ruutmaatriksile seatakse vastavusse realarvuline parameeter, mida nimetatakse n-ndat järku determinandiks, mis on sobivalt valitud märgiga. Kõikvõimalike niisuguste n teguri korrutiste summa, kus tegurid on valitud maatriksi erinevatest ridadest ja veergudest. Teist järku determinant sisaldab 2 liidetavat mis on maatriksi kahe elemendi korrutised. Teist järku determinant on peadiagonaali elementide korrutise ja kõrvaldiagonaali elementide korrutise vahe. Kolmandat järku determinant koosneb 3 liidetavast, mis on maatriksi 3 elemendi korrutused ja nende märgid määratakse vastavalt
Milline on täisosa madalaima järgu kaal suvalises arvusüsteemis? Madalaim kaal on 1, kuna vahet pole mis arvusüsteem on, kaalul 0 oleks tulemus ikka 1. Mitu erinevat järguväärtust võib olla arvusüsteemi igas järgus? Igas järgus ai võib olla p erinevat numbrimärki. Kui p=10, siis ai oleks 0...9. Mis on number? Mis on arv? Arv koosneb numbritest. Järgu väärtus on selles arvujärgus asuva numbri väärtus. Kuidas avaldub arvu väärtus? Arvu väärtus N tuleneb korrutiste summast N=.... a3*p3+a2*p2..... Näiteks 123=1*100+2*10+3*1. Millise numbri lisamine täisosa ette või murdosa lõppu ei muuda arvu väärtus? 0-i lisamine. Mis on arvu tüvenumber? Tüvenumbrid on arvu numbrid alates kõrgeimast mittenullisest numbrist kuni madalaima mittenullise numbrini. Nt 0.024500 tüvenumbrid on 245 Millist teisendust nimetatakse ka arvu väärtuse leidmiseks? 10nd süsteemi teisendamist, kuna arvu väärtus on eranditult seotud ainult 10ndsüsteemiga.
MUUTUJA VAHETUS MÄÄRAMATA INTEGRAALIS Meil on funktsioon y = f(t). See tähendab, et suurus t on suuruse igrek funktsioon, y sõltub suurusest t. ÄRME UNUSTA, ET FUNKTSIOON POLE MIDAGI MUUD KUI MUUTUV SUURUS, MIS SÕLTUB mingil viisil MINGITEST TEISTEST SUURUSTEST. Aga seisame vastu olukorrale, kus ka t sõltub omakorda teisest muutujast: t=( x), mis tähendab, et t on omakorda x funktsioon. Nii saame kokkuvõtlikult kirjutada, et y= f[(x)]. Sellist põhimõtet saab kasutada ka integreerimises, kui meil on funktsiooni f(x) integraal f(x) dx , aga me ei saa integraali otseselt leida, kuna meil on tegemist liitfunktsiooniga ja suurus x sõltub omakorda mingist teisest suurusest. Sel juhul teeme integraalis kõigepealt muutuja vahetuse ja lahendame integraali kõigepealt ,,uue" muutuja järgi. Asendame x-i avaldise x=(t) Võtame eelduseks, et x=(t) on pidev funktsioon, millel leidub ka pöördfunktsioon. Kuna integraalis on vaja aval...
Annab vastuseks astendatud arvu. Teisendab kraadid radiaanideks. Annab vastuseks juhusliku arvu vahemikus 0 kuni 1. Ümardab arvu määratud kümnendkohtade arvuni. Ümardab arvu allapoole, nulli suunas. Ümardab arvu ülespoole, nullist eemale. Annab vastuseks antud nurga siinuse. Annab vastuseks arvu ruutjuure. Liidab argumendid. Liidab antud kriteeriumidega määratud lahtrid. Lisab lahtrid mitmele kriteeriumile vastavasse vahemikku. Annab vastuseks vastavate massiivikompomentide korrutiste summa. Annab vastuseks argumentide ruutude summa. Annab vastuseks arvu tangensi. Kärbib arvu murdosa. Kirjeldus Annab vastuseks oma argumentide keskväärtuse. Annab vastuseks kõigi mitmele kriteeriumile vastavas vahemikus olevate lahtrite keskmise (aritme keskmise). Annab vastuseks kõigi mitmele kriteeriumile vastavate lahtrite keskmise (aritmeetilise keskmise). Annab vastuseks kahe andmehulga korrelatsioonikordaja.
Joonepikkuse kõige tõenäolisemaks väärtuseks on selle joone kaalutud keskmine M =l 0 + ∑ wδ väärtus, mis on leitav valemist ∑w , kus l0 on mõõdetud joonepikkuste seast väikseim suurus (praegusel juhul sammudega mõõdetud pikkus). Nagu esimese ülesandegi puhul tuleb leida l0 ja kõigi üksikmõõtmiste vahed, nende ja kaalude korrutiste summa ning kaalude summa (vt. Tabel 3). Seejärel saame leida kaalutud keskmise, mille väärtuseks praeguses ülesandes on 81,997 m. Kaalutud keskmise joonepikkuse standardhälbe leiame valemist SM = √ ∑ w v2 ∑ w(n−1) ning saame tulemuseks 12,485 mm. Tabel 3
Kui determinandis vahetada omavahel kaks rida, siis determinandi märk muutub vastupidiseks. 5. Kui determinandi ühe rea elemente korrutada nullist erineva arvuga, siis determinant suureneb see arv korda. 6. Determinant ei muutu, kui mingile reale liita mingi arv kordne teine rida. Determinantide arvutamisel saab ka kasutada determinandi arendamist rea või veeru järgi. Determinant võrdub tema mingi rea või veeru elementide ja vastavate elementide alamdeterminantide korrutiste summaga. 6)Maatriksid. Tehted maatriksitega. Maatriksiks nimetatakse ristkülikukujulist elementide tabelit, mis koosneb m reast ja n veerust. Maatriksi elemente tähistatakse aik, kus i näitab, millises reas ja k, millises veerus element asub. Maatrikseid tähistatakse suurte tähtedega A, B, C, . . . 7) Gaussi meetod. Gaussi meetod (saksa matemaatik Carl Friedrich Gauss 1777-1855) on üks enamlevinud meetodeid lineaarvõrrandite süsteemide lahendamiseks ja on
3. Keemiline tasakaal on keemilise süsteemi püsiv olek, mis saabub pöörduva keemilise reaktsiooni kulgemise tulemusena. See on süsteemi ajaliselt püsiv olek, mille puhul vaadeldav keemiline reaktsioon kulgeb päri- ja vastassuunas ühesuguse kiirusega, mistõttu reaktsioonisegu koostis ei muutu. Reageerivate ainete kontsentratsioonid tasakaalu-olekus sõltuvad nii temperatuurist kui ka lähtesegu koostisest, kuid kontsentratsioonide korrutiste suhe, tasakaalukonstant, on kindlal temperatuuril jääv. 4. Reaktsiooni kiirus on keemias reaktsioonis osaleva aine kontsentratsiooni muutus ajaühikus. Sõltub: b.i.1. Aine iseloomust b.i.2. Kontsentratsioonist b.i.3. Temperatuurist b.i.4. Kokkupuute pinnast (segamine) b.i.5
16.Hulkliikme tegurdamine ruutude vahe valemi abil - kasutada valemit nii, et vahest tekib korrutis 17.Hulkliikme tegurdamine kaksliikme ruudu valemi abil - vahetada valemites võrduse pooled ehk kasutada valemit tagurpidi: summa teisendada ruuduks 18.Hulkliikmete korrutamine - ühe hulkliikme iga liige korrutada teise hulkliikme iga liikmega ja tulemused liita, võimalusel koondada (a+b)(x+y+z)=ax+ay+az+bx+by+bz NB korrutiste leidmisel jälgida nõutud järjekorda 19.Kuupide summa valem - kahe üksliikme summa ja nende üksliikmete selgitus: 2x3 ehk 6 korrutisest koonduvad neli vahe mittetäieliku ruudu korrutis võrdub nende üksliikmete kuupide koonduvad korrutised 1.x2. ja 2.x1. summaga koonduvad korrutised 1.x3. ja 2.x2. 20.Kuupide vahe valem - kahe üksliikme vahe ja nende üksliikmete selgitus:2x3 ehk 6 korrutisest koonduvad neli
kuid puuduvad lähtesuunad ja 4) rippuv polügoon. Tasandamise eesmärgiks on sulgemisvigade kõrvaldamine. Parandite andmine: 1) isetäpsete mõõtmiste puhul antakse suuremad parandid väiksema kaaluga mõõtmistulemustele. 2) võrdtäpsete mõõtmistulemuste puhul antakse kõikidele mõõtmistulemustele võrdsed parandid. 3) parandid peavad olema võimalikult väikesed, nende ruutude ja kaalude korrutiste summa peab olema minimaalne. 4) parandite andmisel tuleb eelistada nurki, mis olid mõõdetud halvemates tingimustes, nt lühema haardega nurgad. Olgu li ühekordne mõõtmise tulemus, n mõõtmiste arv ja p i mõõtmistulemuse kaal. li Aritmeetiline keskmine: L = n li pi Kaalutud keskmine: L0 = p Hälve: vi = L0 li
maatriksi i-nda rea ja teise maatriksi j-nda veeru vastavate elementide Levinud, aga samas mitteformaalne viis, on öelda eelmise näite kohta, et "võrrandi üldlahend on x(t) = t + C ". St sümbol C on konstant, mis võib olla mistahes väärtusega. Sama kehtib sümbolite C1, C2, jne kohta. korrutiste summa - Näide 9. Difvõrrandi definitsioon Vaatame diferentsiaalvõrrandit x(t) - 1 = 0. Eelmisest näitest teame, et x(t) = t + C1, ja seega võrrandi üldlahend on x(t) = t2/2 + C1t + C2.
Kahte sündmust, mis ei saa katse tulemusena toimuda (st ei saa esineda üheaegselt) nim teineteist välistavaks sündmuseks. Sündmuste A ja B summa on sündmus, mis seisneb kas sündmuse A või B toimumises. Sündmuste A ja B vahe on A/b nim sündmust, mis seisneb A toimumises ja B mitte toimumises 9. Tõenäosuste liitmise lause. P(A + B) = P(A) + P(B) P(AB). Kahe sündmuse summa tõenäosus võrdub, nende sündmuste tõenäosuste summaga, millest on lahutatud samade sündmuste korrutiste tõenäosus. Välistavate sündmuste summa tõenäosus võrdub liidetavate sündmuste tõenäosuste summaga, st. P(A + B) = P(A) + P(B). P(E1) + P(E2) + ... + P(En) = 1. 10. Sõltuvad ja sõltumatud sündmused. sündmusi A ja B nimetatakse sõltumatuteks, kui neist ühe toimumine või mittetoimumine ei mõjuta teise sündmuse toimumise tõenäosust. sündmusi A ja B nimetatakse sõltuvateks, kui neist ühe toimumine või mittetoimumine mõjutab teise toimumise tõenäosust.
on põhjustatud telgkordinaatide vahetusest. Aik = (-1)i+kMik Dik = (-1)i+kMik. Kõrgemat järku determinantide arvutamine. Kõrgemat järku determinantideks loetakse determinante alates IV järgust ja nende arvutamisel on võimalik kasutada determinandi rittaarendusteoreemi. Teoreem: Determinandi väärtus võrdub tema mingi rea või veeru elementide ja vastavate elementide alamdeterminantide korrutiste summaga: DA = ai1Di1 + ai2Di2 +. . . + ainDin või DA = a1kD1k + a2kD2k + . . . + ankDnk. Determinante on võimalik arvutada otseselt teoreemi põhjal või kasutades determinandi eelnevat lihtsustamist põhiomaduste põhjal. -3 7 -1 4 -9 2 7 5 2 7 5 -9 7 5 -9 2 7 DA = 2 5 1 2 = -3 5 1 2 + 7(-1) 2 1 2 + (-1) 2 5 2 +
vaadeldav element. determinandi elemendi alamdeterminant (miinori algebraline täiend) tekib siis, kui miinoriga korrutada (-1) astmes elemendi indeksite summa. n-järku determinandi mingi elemendi aij alamdeterminandiks nimetatakse arvu Aij=(-1)i+j Mij kus Mij on vaadeldava elemendi aij miinor. mistahes determinandi D väärtus on võrdne tema ridade elementide ja nende alamdeterminantide korrutiste summaga. 4. Teist ja kolmandat järku determinantide arvutuseeskirjad. Teist järku ruutmaatriksi korral leitakse determinandi väärtus avaldisega: näiteks: Kolmandat järku ruutmaatriksi determinant arvutatakse (mistahes determinandi D väärtus on võrdne tema ridade elementide ja nende alamdeterminantide korrutiste summaga): näiteks: 2(-1)1+1 (-1)(-1)1+3
2 4 D31 = 3 5 = 2*5-4*3 = -2 0 4 D32 = - 1 5 = - (0*5-4*1) = 4 TEOREEM: Determinandi väärtus võrdub tema mingi rea või veeru elementide ja vastavate elementide alamdeterminantide korrutiste summaga. D = ai1*Di1 + ai2*Di2 + ... + ain*Din (vaata koopiates lk.18) Ülesanne: lk.20, nr.4b esimese rea neljas element esimese rea kolmas element esimese rea teine element
0 0 0 5.29 Ülesanne 2. Reeperite A ja B vahel on rajatud neli nivelleerimiskäiku. Arvutada kõige tõenäolisem kõrguskasv, kaaluühiku standardhälve, kaalutud keskmise standardhälve ja kaalutud mõõtmiste standardhälbed. 2 Reeperite A ja B vahelise niveleerimiskäigu kõige tõenäolisem kõrguskasv on kaalutud keskmine kõrguskasv. Kaalutud keskmise leidmiseks tuleb esmalt leida kaalude ja kõrguskasvude korrutiste summa (∑wz). Kaalutud keskmine väärtus leitakse valemist ∑ wz M= , kus ∑w on kaalude summa. Kaalutud keskmise kõrguskasvu ∑w 2 wv väärtuseks saame 3,263 m. Kaaluühiku standardhälve leiame valemist S 0=√
Kui esimene teisendus vastab sulgude avamisele arvude algebras, siis teine on rakendatav üksnes loogikaalgebras 9. Absorbtsiooni- ehk neelduvusseadused. Kui kahe argumendi loogilist summat, kus üheks argumendiks on a, korrutada sama argumendiga a, siis teine argument neeldub ning tulemiks on samuti a. Sama kehtib ka siis, kui korrutatavaid summasid on rohkem ning kui kõigis neis sisaldub ühe argumendina a. Seadus on rakendatav nii summade korrutiste kui ka korrutiste summade kohta. Kui osasummas või osakorrutises sisaldub argumendi a eitus (inversioon), on tulemiks a ja teise argumendi korrutis ab või summa a+b 10. Kleepimisseadus. Kui üks loogiline korrutis sisaldab argumenti b ja teine selle eitust, siis nende korrutiste loogilisel summeerimisel argument koondub. Kui üks loogiline summa sisaldab argumenti b ja teine selle eitust, siis nende summade loogilisel korrutamisel argument koondub Üldised kleepimisseadused: 11
Tugevate mürgitusjuhtumite puhul esineb erilist akne vormi nn klooraknet [3]. Mõõtmine Kuidas määratleda dioksiinide segu hulka, kus varieeruvad nii komponendid kui nende mürgisus? Erinevatele isomeeridele on omistatud mürgisustegurid TEF (Toxic Equivalency Factor) väärtusega 0...1, kus mürgiseima esindaja 2,3,7,8-tetrakloro- dibenso-p-dioksiini väärtus on 1. Summaarne toksilisusekvivalentsus TEQ (toxicity equivalece) saadakse ühendite masside ja nende toksilisusfaktorite korrutiste summeerimisel. Peamiselt uuritakse 17 mürgisema dioksiini ja furaani kontsentratsioone. Nende TEF väärtused on toodud tabelis 1. Euroopa Liidus on dioksiinide ja dioksiinitaoliste PCBde lubatud nädaladoosiks 14 pg WHO-TEQ kehakaalu kilogrammi kohta. Dioksiinid läänemeres Läänemere kalade dioksiinisisaldus on Põhjamere kalade omast suurem. Arvatakse, et Läänemere äärsete riikide elanikud saavad toksikantide summaarsest sisaldusest 80-85% kalast. Läänemeres püütud kaladest
. . + ai n bn k = ai j aj k, (A) j i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n; k = 1, 2, . . . , p. Valemit (A) võib sõnades väljendada järgnevalt: selleks, et saada korrutismaatriksi i-nda rea k-ndat elementi, tuleb esimese teguri i-s reavektor korrutada skalaarselt teise teguri k-nda veeruvektoriga, mis koordinaatides saadakse kui samanimeliste koordinaatide korrutiste summa. MÄRKUS 1. Maatriksite korrutamine ei ole üldiselt kommutatiivne, st kui AB eksisteerib, siis BA ei tarvitse eksisteerida ja isegi kui ta eksisteerib, siis sageli AB BA. Erijuhtudel võivad maatriksid olla kommuteeruvad, st tegurid korrutises on vahetatavad ja tulemused osutuvad võrdseteks (vt märkus 3). MÄRKUS 2. Maatriksite hulgas leiduvad NULLITEGURID, st sellised nullist erinevad maatriksid, mille korrutis on nullmaatriks: lühidalt AB=0, A 0, B 0. NB
. . + ai n bn k = ai j aj k, (A) j i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n; k = 1, 2, . . . , p. Valemit (A) võib sõnades väljendada järgnevalt: selleks, et saada korrutismaatriksi i-nda rea k-ndat elementi, tuleb esimese teguri i-s reavektor korrutada skalaarselt teise teguri k-nda veeruvektoriga, mis koordinaatides saadakse kui samanimeliste koordinaatide korrutiste summa. MÄRKUS 1. Maatriksite korrutamine ei ole üldiselt kommutatiivne, st kui AB eksisteerib, siis BA ei tarvitse eksisteerida ja isegi kui ta eksisteerib, siis sageli AB BA. Erijuhtudel võivad maatriksid olla kommuteeruvad, st tegurid korrutises on vahetatavad ja tulemused osutuvad võrdseteks (vt märkus 3). MÄRKUS 2. Maatriksite hulgas leiduvad NULLITEGURID, st sellised nullist erinevad maatriksid, mille korrutis on nullmaatriks: lühidalt AB=0, A 0, B 0. NB
Kui p = 10, siis ai Є {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Igal 10ndnumbril on tema traditsiooniline väärtus 0 ... 9. järgu väärtus on selles arvujärgus asuva numbri väärtus. Arv koosneb numbritest. Näide: arv 102 koosneb kolmest numbrist: `1` `0` `2` 9. Kuidas avaldub arvu väärtus suvalises arvusüsteemis? Positsioonilises arvusüsteemis (ehk iga aluse p korral) avaldub arvu väärtus N järgneva korrutiste summana: N = … + a3 * p3 + a2 * p2 + a1 * p1 + a0 * p0 + a-1 * p-1 + a-2 * p-2 + ... Näide: Kümnendsüsteemi arv 12310 on väärtusega „sada kakskümend kolm“ ainult sellepärast, et järgnev tehe annab sellise tulemuse: 12310 = 1 * 100 + 2 * 10 + 3 * 1 = 12310 . Mõiste „arvu väärtus“ on eranditult seotud ainult 10ndsüsteemiga. Pole olemas „2ndsüsteemset väärtust“ ega „8ndsüsteemi väärtust“, on olemas 2ndsüsteemne
risk on viidud miinimumini st risk on hajutatud. Koovariatsioon on positiivne siis tähendab see seda, et kui üks aktsia annab keskmisest rohkem tulu portfellis siis teeb seda ka teine aktsia. COV Corr kordaja= Corr korrelatsioon COV koovariatsioon 1 * 2 COV = koovariatsiooni arvutamiseks korrutame portfellis olevate väärtpaberite hälbed keskmisest tulust omavahel ja leiame korrutiste keskmise. Näteks, olgu meil portfellis 2 aktsiat ja üks võlakiri, osakaal aktsia A 25%, B 25% ja võlakiri 50%. Teada on järgmised andmed: majandusolek TN Tulu (prog) % A(25%) B(25%) C(50%) 1. alla keskmise 0,20 -10% 20% 12% 2. keskmine 0,40 15% 10% 12% 3
Kapitali kasutamise kasvust tulenevat kogutoodangu juurdekasvu nim. kapitali piirtoodanguks ja leitakse: MPK (kapitali piirtoondag)= Delta Q/Delta K Kahaneva piirtootluse seadus väidab, et alates teatud punktist muutuva tootmissisendi piirprodukt väheneb koos selle sisendi suurenemisega. LOENG 4 ETTEVÕTTE TULUD JA KULUD Pikal perioodil puuduvad PÜSIKULUD. ETTEVÕTTE KULUKÕVERAD: kogukulu (TC) võrdne iga tootmisteguri hulga ja tema hinna korrutiste summaga. Kahetegurilise tootmise (tööjõud ja kapital) korral on kogukulu seega väljendatav valemiga: TC=PK K+PL L PK - kapitali hind (maksumus), K - kapitali kogus, PL - tööjõu hind, L - tööjõu kogus. Keskmise muutuvkulu (AVC) ja kogu muutuvkulu (VC) seos: AVC = VC/Q NB! Piirkulu (MC) all mõistetakse kogukulu suurenemist toodangu mahu suurenemisel ühe ühiku võrra. NB! Kuna püsikulu ei sõltu toodangu mahust, on püsikulu piirkulu alati 0 NB
vähima väärtuse ja lõigu [a,b] väärtuse korrutis on alati kas võrdne integraalse alamsummaga või siis sellest väiksem. Et lõigu [a,b] väärtus (pikkus) avaldub kujul (b-a), siis saab selle lause kirja panna matemaatiliselt nii: Kuna m1 m , m2 m , ... , mn m , kus m on funktsiooni vähim väärtus lõigul [a,b], siis Sn = m1x1 + m2x2 +.....+ mnxn m(b-a) 3) Ülemsumma ja suurima väärtuse kohta analoogne järeldus: c) Korrutiste m(b-a) ja M(b-a) geomeetriline tähendus 1.2 MÄÄRATUD INTEGRAALI DEFINITSIOON · Nagu me ennegi tegime nii, et võtsime ette funktsiooni y=f(x), mis on PIDEV lõigul [a, b] ja jaotasime selle lõigu osadeks [x0 , x1] , [x1, x2] , .... , [xn-1 , xn] , siis nüüd me jätkame... teeme mida veel . · Võtame igal lõigul mingi suvalise punkti , mida igale lõigule vastavalt 1 , 2 , ... , n · NB
Mehaanikaliseks süsteemiks ei ole näiteks taevas lendavad linnud, sest iga üksiku linnu liikumine ei mõjuta mehaanikaliselt teiste liikumist. Süsteemis mõjuvatest jõududest rääkides tuleb arvestada seda, et jõudude jaotamine sise- ja välisjõududeks on suhteline ja sõltub sellest, mida me punktide süsteemi all parajasti mõistame. 11. Panna kirja valem süsteemi masskeskme kohavektori arvutamiseks? rc=sum(miri)/M (kogumass) masside ja kohavektorite korrutiste summa jagatud süsteemi kogumassiga. 12. Sõnastada süsteemi masskeskme liikumise teoreem. Kirjutada ka valem. Süsteemi masskese liigub nagu punktmass, millesse on koondatud kogu süsteemi mass ja millele on rakendatud kõik süsteemile mõjuvad välisjõud. Mac=sum(Fke) 14. Kas välisjõud mõjutavad süsteemi masskeskme liikumist? Sisejõud? 2.süsteemi masskeskme liikumise jäävuse seadus
1) Väga selektiivne (katal. vaid spetsiifilisi reaktsioone). 2) Väga efektiivne. 3) Pehmed tingimused (môôdukas T-d). VI Keemiline tasakaal. G=min G = 0. Iseeneslikus protssessid kulgevad G vähenemise suunas. Dünaamiline tasakaal kui kahes suunas kulgevate protsesside kiiruste summa on e. môlemas suunas sama kiirusega. Kui v1 = v2, siis [K = k1/k2 = cccd / cacb]. Tasakaalukonstant määrab ära reaktsiooni saaduste ja lähteainete konts.-ide korrutiste suhte. k-d sôltuvad T-st. Kui K>>1, siis saadusi palju rohkem. NB! Arvutatakse välja tingimustes, kus G=min. Näited: N2 + 3H2 2NH3 : K = [NH3]2 / [N2][H2]3. NB!: (N2) suvalisel ajahetkel; [N2] tasakaalutingimustes. CaCO3 CaO + CO2 : K = [CO2]. Tasakaalu nihkumine on vôimalik vaid välistingimuste môjul. Le Chatelier' printsiip kui muuta mingit välistingimust nihkub tasakaalulises süsteemis tasakaal nende reakts-ide suunas, mis toimivad vastu tekitatud muutustele e
ik Mistahes positsioonilises arvusüsteemis (ehk iga aluse p korral) avaldub n arvusüsteemi alus ; järgukaal arvu väärtus N järgneva korrutiste summana : e h Igal positsioonilisel arvusüsteemil on olemas täisarvuline alus p . i t Igal järgul a i on kaal p i , mille saame arvusüsteemi alust p arvujärgu N = . . . . + a3 p3 + a2 p2 + a1 p1 + a0 p0 + a-1 p-1 + a-2 p-2 + . . . . t a i indeksiga i astendades: p i = pi v u
cf (x)dx = c f (x)dx. Näide 3.3 Vastavalt sõnastatud lausele (2x + sin x)dx = 2xdx + sin xdx = x2 - cos x + C ja 5 sin xdx = 5 sin xdx = -5 cos x + C. Juhime siinkohal lugeja tähelepanu asjaolule, et erinevalt diferentseerimisest puuduvad üldised valemid funktsioonide korrutise ja jagatise integreerimiseks. Lähtuvalt konkreetsetest funktsiooni- dest tuleb korrutiste ja jagatiste integreerimisel kasutada mitmeid erivõtteid. Definitsioonist 3.2 saame järeldada järgmised integreerimist ja diferentseerimist seovad tulemu- sed. Lause 3.2 Kui F (x) = f (x), siis 1. tuletis määramata integraalist on võrdne integraalialuse funktsiooniga f (x)dx = (F (x) + C) = f (x); 2. diferentsiaal määramata integraalist on võrdne integraalialuse avaldisega
Sama võrduse põhjal saame ligikaudse võrduse zdz, mille viga on p suhtes kõrgemat järku lõpmatult vähenev suurus. Sõltumatute muutujate muute x ja y nim. sõltumatute muutujate x ja y diferentsiaalideks ja tähistatakse vastavalt dx ja dy. Seega, kui funktsioonil z=f(x,y) on pidevad osatuletised, siis ta on punktis (x;y) diferentseeruv ja tema täisdiferentsiaal võrdub osatuletiste ning vastavate sõltumatute muutujate diferentsiaalide korrutiste summaga, kusjuures Kui mitme muutuja funktsiooni kõik osatuletised on punktis (x;y;z;u;...;t) pidevad, siis avaldis on funktsiooni täismuudu peaosaks ja teda nim. selle funktsiooni täisdiferentsiaaliks. 9. Liitfunktsiooni osatuletised. Korralik valemi tuletus. Täistuletise valem.
majanduses kui poliitikas ei toimu muutused ühekorraga. Investeerimisportfelli moodustamisel tuleb jälgida eesmärki, et väikseima riskitaseme juures oleks võimalik saavutada maksimaalse kasuminormi. Portfelli keskmine kasuminorm kujutab erinevate investeeringute kasuminormide kaalutud keskmist. (www.riskglossary.com/link/portfolio_theory.htm) Kovariatsiooni arvutamiseks korrutame hälbed keskmisest tulust omavahel ja leitakse korrutiste keskmise (korrutades läbi tõenäosusega). Korrelatsiooni arvutamiseks jagatakse kovariatsioon kummagi väärtpaberi standardhälbega (mõlema korrutisega e. riskimõõdu korrutisega). Investeerimisportfelli riski suurust mõõdetakse portfelli standardhälbe kaudu. esimese väärtpaberi osakaal portfellis teise väärtpaberi osakaal portfellis esimese väärtpaberi riskimõõt (standardhälve) teise väärtpaberi riskimõõt (standardhälve)
Muutumatu jõu korral. 191. 192. Võimsus 193. Võimsus = töö tegemise kiirus 194. 195. 196. , «» «». 197. «» , 198. Inertsmoment telje suhtes n I z = mi hi 2 · i =1 Keha inertsmomendiks telje suhtes nimetatakse skalaarset suurust, mis võrdub keha kõikide punktide masside ja nende antud teljest arvatud kauguste ruutude korrutiste summaga 199. 200. 201. · Inertsmoment on skalaarne suurus · Keha inertsmoment mingi telje suhtes iseloomustab keha massijaotust selle telje suhtes · Inertsmoment mingi telje suhtes on alati mittenegatiivne suurus 202. Keha inertsmoment punkti suhtes ( ) I = m (x )
kuueteistkümnendarvud kümnendarvud Küsimus 13 Õige Hinne 1,00 / 1,00 sisesta lünka õige number: Numbri Vasta lisamine arvu täisosa ette või murdosa lõppu ei mõjuta arvu väärtust. 0 Küsimus 14 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Kuidas avaldub (arvutatakse) arvu väärtus suvalises arvusüsteemis? Vali üks: järguväärtuste ja järgukaalude summade korrutis arvu numbrite korrutis aluse astmete summa järguväärtuste ja järgukaalude korrutiste summa Küsimus 15 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Millise väärtusega on järgnevalt loetletud 16ndnumbrid? Vastus 1 G on väärtusega pole sellist 16ndnumbrit Vastus 2 9 on väärtusega 9 Vastus 3 E on väärtusega 14 Vastus 4
.., sn, mida nim. osapiirkondadeks. Uute sümbolite kasutuselevõtmise vältimiseks mõistame s1,... ,sn all mitte ainult vastavaid osapiirkondi, vaid ka nende pindasid. Võtame igas osapiirkonnas s1 (selle sees või rajajoonel) mingi punkti P1, saades nii n punkti: P1, P2, P3,..., Pn. Tähistame antud funktsiooni z=f(x,y) väärtusi valitud punktides sümbolitega f(P 1),...,f(Pn) ja moodustame korrutiste summa, mille liikmeteks on f(P1)s1: Summat nim. funktsiooni z=f(x,y) integraalsummaks üle piirkonna D. Kui piirkonna D igas punktis f0, siis saab iga liidetavat f(Pi)si geomeetriliselt tõlgendada väikese silindri ruumalana, kusjuures silindri põhjaks on si ja kõrguseks f(Pi). Summa Vn on nimetatud elementaarsete silindrite ruumalade summa, s.t. teatud ,,treppkeha" ruumala.
I=E/R Vooluringis, mis koosneb, ühest või mitmest järjestikku ühendatud toiteallikast ja ühest või mitmest samasse ahelasse järjestikku ühendatud takistist, saab arvutada voolutugevust järgnevalt: I=E/R+r d)Kirchhoffi seadused I Seadus: Hargnemispunkti sisenevate voolude summa võrdub sealt väljuvate voolude summaga. ∑I=0 II Seadus: Valitud kontuuris(kinnises ahelas) on elektromotoorsete jõudude algebraline summa võrdne voolutugevuste ja takistuste korrutiste summaga. ∑E=∑IR 2. Alalisvooluringide arvutamine Ohmi ja Kirchhoffi seaduste alusel a)Ohmi seaduse alusel: b)Kirchhoffi seaduste alusel: Esmalt märgime skeemis vabalt voolude suunad. Siis märgime voolu liikumise suuna, (pingeallika järgi plussilt miinusele). Koostame võrrandisüsteemi ja lahendame selle. *Võrrandisüsteemi lahendamine: Valid 2 võrrandit, eemaldad ühe tundmatu. Valid jälle 2 võrrandit ja eemaldad sama tundmatu, mis ennemgi
Tähistame maatriksi Am x n reavektorid i ( i = 1, ..., m) ning maatriksi Bn x p veeruvektorid j ( j = 1, ..., p). Definitsioon 4. Maatriksite Am x n ja Bn x p korrusitesks nimetatakse maatriksit AB = (i j) = Cm x p , mille elementideks cij on vektorite i ja j skalaarkorrutised cij = i j (maatriksi A reavektorite i ja maatriksi B veeruvektorite j vastavate elementide korrutiste summa). Maatriksite korrutamise reegel on lühidalt esitatav kujul RIDA × VEERG Maatriksite korrutist saab skemaatiliselt väljendada järgmiselt i x j Kui ruutmaatriksid A ja B on võrdsete suurustega , siis alati eksisteerivad AB ning BA. Erinevalt arvude korrutamisest on maatriksite korrutamisel oluline tegurite järjekord: AB BA.
M.Latõnina Tähistame maatriksi Am x n reavektorid i ( i = 1, ..., m) ning maatriksi Bn x p veeruvektorid j ( j = 1, ..., p). Definitsioon 4. Maatriksite Am x n ja Bn x p korrusitesks nimetatakse maatriksit AB = (i j) = Cm x p , mille elementideks cij on vektorite i ja j skalaarkorrutised cij = i j (maatriksi A reavektorite i ja maatriksi B veeruvektorite j vastavate elementide korrutiste summa). Maatriksite korrutamise reegel on lühidalt esitatav kujul RIDA × VEERG Maatriksite korrutist saab skemaatiliselt väljendada järgmiselt i x j Kui ruutmaatriksid A ja B on võrdsete suurustega , siis alati eksisteerivad AB ning BA.
-, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik . Dik = (-1)i+kMik. Kõrgemat järku determinantide arvutamine. Kõrgemat järku determinantideks loetakse determinante alates IV järgust ja nende arvutamisel on võimalik kasutada determinandi rittaarendusteoreemi. Teoreem: Determinandi väärtus võrdub tema mingi rea või veeru elementide ja vastavate elementide alamdeterminantide korrutiste summaga: DA = ai1Di1 + ai2Di2 +. . . + ainDin või DA = a1kD1k + a2kD2k + . . . + ankDnk. Determinante on võimalik arvutada otseselt teoreemi põhjal või kasutades determinandi eelnevat lihtsustamist põhiomaduste põhjal. - 3 7 -1 4 5 -9 2 7 -9 2 7 5 2 7 5 -9 7 2 5 1 2 5 1 2 2 1 2 2 5 2 4 -6 1 2 -6 1 2 4 1 2 4 -6 2
annaabi.ee 
