Mõõtmiste kaalud. Sõltumatute mõõtmiste kovariatsioonimaatriks ja kaalumaatriks (0)

Praktikum nr 3. Mõõtmiste kaalud. Sõltumatute mõõtmiste kovariatsioonimaatriks ja kaalumaatriks

Ülesanne 1. Algandmetena on antud polügonomeetriakäigus kolme täisvõttega mõõdetud parempoolsed nurgad ja nende standardhälbed . Leia nurkade kaalud. Koosta mõõtmise kaalu- ja kovariatsioonimaatriksid.
Nurgamõõtmiste kaalud leiame nende standardhälvete S järgi. Nurga kaaluks on tema dispersiooni pöördväärtus ehk valemina väljendades . Nurga mõõtmistulemuse kaal määrab tema suhtelise väätuse võrreldes teiste tulemustega. Juhul kui on tegu täpse mõõtmisega , siis on selle dispersioon väike ja sellest tulenevalt kaal suur. Järgnevalt leiame igale nurgale ka dispersiooni, mis on sellele nurgale vastava standardhälbe ruut. Igale nurgale arvutatud vastavad suurused on toodud järgnevalt tabelis 1.
Tabel 1. Nurgamõõtmiste kaalud ja dispersioonid .
Nagu eespool öeldud , siis väikse dispersiooniga mõõtmistulemusel on teistega võrreldes suurem kaal. Tabelis 1 on neljas nurgamõõtmine teistest tunduvalt suurema kaaluga, ehk siis täpsem.
Järgnevalt koostame kaalumaatriksi (Tabel 2), mille peadiagonaalil paikevad eespool leitud kaalude väärtused. Kuna tegu on sõltumatute mõõtmistega, siis on tegu diagonaalmaatriksiga, mis tähendab, et diagonaalivälised elemendid on nullid.
Tabel 2. Kaalumaatriks
0.081633
0
0
0
0
0.028727
0
0
0
0
0.045269
0
0
0
0
0.189036
Kaalumaatriksi pöördmaatriks on kovariatsioonimaatriks (Tabel 3), mis tähendab, et peadiagonaalil asetsevad nüüd nurgamõõtmiste dispersioonide väärtused. Kuna kaalumaatriks oli diagonaalmaatriks , siis on ka tema pöördmaatriks diagonaale. Excel ’is saame kovariatsioonimaatriksi leida ka seal olemasoleva funktsiooni abil (MINVERSE). Selleks tuleb esmalt tähistada sobiva suurusega ala töölehel ning avaldise reale kirjutada nimetatud funktsioon ja näidata sellele kaalumaatriksi piirkond. Teisendus toimub ctrl+ shift +enter klahvikombinatsiooniga. Kovariatsioonimaatriksist saame samal viisil uuesti kaalumaatriksi.
Tabel 3. Kovariatsioonimaatriks
12.25
0
0
0
0
34.81
0
0
0
0
22.09
0
0
0
0
5.29
Ülesanne 2.  Reeperite A ja B vahel on rajatud neli nivelleerimiskäiku. Arvutada kõige tõenäolisem kõrguskasv , kaaluühiku standardhälve , kaalutud keskmise standardhälve ja kaalutud mõõtmiste standardhälbed.
Reeperite A ja B vahelise niveleerimiskäigu kõige tõenäolisem kõrguskasv on kaalutud keskmine kõrguskasv. Kaalutud keskmise leidmiseks tuleb esmalt leida kaalude ja kõrguskasvude korrutiste summa (∑wz). Kaalutud keskmine väärtus leitakse valemist , kus
on kaalude summa. Kaalutud keskmise kõrguskasvu väärtuseks saame 3,263 m. Kaaluühiku standardhälve leiame valemist , kus
on kaalude ja kõrguskasvude hälvete ruutude korrutis. Kõrguskasvude hälbed leiame kaalutud keskmisest väärtusest kõrguskasvude lahutamisel. Kaaluühiku standardhälbe väärtuseks saame 0,107. Kaalutud keskmise standardhälbe leiame valemist . Vajalikud suurused oma kohtadele asetades saame . Kaalutud mõõtmiste standardhälvete arvutamiseks kasutame valemit . Arvutustulemused on toodud järgnevas tabelis (Tabel 4).
Tabel 4. Arvutused mõõtmistulemustega.
Kõrguskasv z
w
wz
 
v2
wv2
Si
3.265
18
58.77
-0.002416667
5.84E-06
0.000105125
0.025
3.219
9
28.971
0.043583333
0.001899507
0.017095563
0.036
3.315
6
19.89
-0.052416667
0.002747507
0.016485042
0.044
3.274
3
9.822
-0.011416667
0.00013034
0.000391021
0.062
 
36
117.453
 
 
0.03407675
 
Ülesanne 3. Arvuta iseseisva töö nr 1 Ül 2 nivelleerimiskäigu keskmiste kõrguskasvude standardhälbed eeldades, et käigu juhuslik viga on 0,5 mm/√km ja süstemaatiline viga 0,07 mm/km. Koosta nivelleerimiskäigu kovariatsiooni- ja kaalumaatriksid.
Üksiku keskmise kõrguskasvu standardhälve avaldub juhusliku vea η, süstemaatilise vea σ ja reeperite vahekauguse kaudu. Valemi kujul- . Nivelleerimiskäigu keskmiste kõrguskasvude kaalud avalduvad dispersioonide pöördväärtustena. Dispersioonid on aga leitud standardhälvete ruudud . Igale keskmisele kõrguskasvule arvutatud vajalikud suurused on toodud tabelis 5.
Kõrguskasvud on üksteisest sõltumatud, siis saame nende kaaludest moodustatud kaalumaatriksiks jällegi diagonaalmaatriksi (Tabel 6), mille kõrvalelemendid on nullid. Kaalumaatriksi pöördmaatriksiks olev kovariatsioonimaatriks (Tabel 7) on seetõttu samuti diagonaalmaatriks ning leitav ülesandes 1 kasutatud Excel’I funktsiooniga (MINVERSE).
Tabel 5. Keskmiste kõrguskasvude standardhälvete, dispersioonide ja kaalude arvutamine.
Rp vahel
Keskmine kõrguskasv m
Standardhälve mi
Dispersioon S²
Kaalud 1/S²
1.5
-17.5949
0.6213
0.3860
2.5905
0.82
-13.3303
0.4564
0.2083
4.8009
2.02
2.5025
0.7246
0.5250
1.9048
1.65
6.1408
0.6526
0.4258
2.3483
2.16
2. 8792
0.7502
0.5629
1.7766
0.7
1.3856
0.4212
0. 1774
5.6369
1.02
-1.9146
0.5100
0.2601
3.8447
1.17
-5.2665
0.5470
0.2992
3.3422
1.69
-2.7123
0.6607
0.4365
2.2910
2.49
-2.2195
0.8080
0.6529
1.5317
2.08
3.5261
0.7357
0.5412
1.8477
1.48
32.458
0.6170
0.3807
2.6265
2.25
-5.8503
0.7664
0.5873
1.7027
Tabel 6. Keskmiste kõrguskasvude kaalumaatriks
2.591
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4.801
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1.905
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2.348
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1.777
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5.637
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3.845
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3.342
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2.291
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1.532
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1.848
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2.627
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1.703
Tabel 7. Keskmiste kõrguskasvude kovariatsioonimaatriks
0.386
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.2083
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.525
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.426
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.563
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.177
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.260
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.299
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.436
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.653
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.541
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.381
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.587
Ülesanne 4. Teodoliitkäigus (Joonis 1) on mõõdetud nurgad ja joonepikkused 1x. Arvuta mõõtmiste standardhälbed eeldades, et instrumendi suunamõõtmise täpsus  on 5’’, joonemõõtmise täpsus on (a+b) 5 mm+5ppm, instrumendi- ja tähise tsentreerimise vead on vastavalt 3 mm ja 10 mm. Koosta mõõtmiste kovariatsioonimaatriks ja kaalumaatriks.
Joonis 1. Ülesande lähteandmed ja kasutatavad valemid.
Ülesande lahendamiseks teisendame kõigepealt antud joonepikkused millimeetritesse. Valemites esineva ρ väärtuseks on 206265’’. Esmalt leiame mõõdetud nurkade standardhälbed suunamise- ja lugemise võtmise veast tingitult. Et joonepikkused ja nurgad on mõõdetud 1 kord, siis saame valemis n=1. Kõik arvutustulemused on esitatud tabelis 8.
Järgnevalt arvutame nurkade standardhälbed tähise tsentreerimise veast tingitult. Nurga standardhälve tervikuna leitakse instrumendi, tähise ning suunamise- ja lugemi võtmise veast tingitud standardhälvete summana. EDM-ga kauguse mõõtmise standardhälve kujuneb aga instrumendi ja tähise tsentreerimise veast, joonemõõtmise täpsusest ning mõõdetava joone pikkusest, mistõttu on see suurus leitud iga joone (AB, BC ja CA) kohta.
Tabel 8. Standardhälvete ja kaalude leidmine
Mõõtmistulemuste dispersioonid leiame juba tuntud viisil standardhälvete ruuduna. Kaalud on seevastu pöördvõrdelised dispersioonide väärtustega (1/S2). Leitud tulemsute põhjal saame koostada kaalumaatriksi (Tabel 9) ning kasutades Excel’i funktsiooni MINVERSE, saame lihtsalt leida kovariatsioonimaatriksi (Tabel 10), mis koosneb leitud dispersioonidest.
Tabel 9. Kaalumaatriks
0.004
0
0
0
0
0
0
0.003
0
0
0
0
0
0
0.008
0
0
0
0
0
0
0.007
0
0
0
0
0
0
0.007
0
0
0
0
0
0
0.007
Tabel 10. Kovariatsioonimaatriks
284.357
0
0
0
0
0
0
292.136
0
0
0
0
0
0
123.024
0
0
0
0
0
0
134.630
0
0
0
0
0
0
142.088
0
0
0
0
0
0
144.810
8