Lineaarvõrrandisüsteemid Põhikoolis lahendatakse põhiliselt lineaarseid võrrandisüsteeme, aga ka mõningaid lihtsamaid ruutvõrrandisüsteeme. Lineaarvõrrandisüsteeme on mõistlik lahendada kas asendusvõttega või liitmisvõttega (jätame graafilise lahendusmeetodi tähelepanu alt välja). Eespool nimetatud kahest võttest tuleks võimaluse korral eelistada liitmisvõtet. Näide 1. Lahendame võrrandisüsteemi liitmisvõttega. Kui korrutame võrrandisüsteemi teist võrrandit (-2)-ga, siis saame võrrandisüsteemi . Kui nüüd süsteemis olevate võrrandite vastavad pooled liita, siis saame võrrandi, kus enam tundmatut x ei ole, -3y = -3, millest y = 1. Asendame saadud y väärtuse süsteemi esimese võrrandisse, siis saame, et 2x + 1 = 3, millest x = 1. Vastus. Lahend on (1; 1). Liitmisvõtte puhul ei pea võrrandeid ilmtingimata liitma, neid võib teineteisest ka lahutada. Näide 2
( a) m m n = n am = a n a =a 2 Aritmeetiline keskmine a1 + a 2 + ..... + a n a= n Positiivsete arvude geomeetriline keskmine n a1 a 2 ..... a n Protsent Üks sajandik = 1 protsent 1%= 1 = 0,01 100 100% on tervik 100% =1 p p% = 100 Protsent Kui leiame, mitu protsenti moodustab arv a arvust b, siis jagame arvu a arvuga b ja korrutame tulemuse arvuga 100. a x% = 100% b Kui leiame p% arvust a, siis korrutame arvu a murruga p x = a 100 Protsent Kui leiame arvu a , millest p% on b, siis jagame arvu b murruga p b b 100 a =b÷ = 100 = 100 p p Kui leiame arvu, mis saadakse suuruse a suurendamisel p% võrra, siis korrutame arvu a suurusega Protsent Kui leiame arvu, mis saadakse suuruse a vähendamisel p
Osa leidmine tervikust I võimalus: Terviku leidmiseks antud protsendi järgi leiame 1% sellest tervikust ja tulemuse korrutame 100-ga. II võimalus: Terviku leidmiseks antud protsendi järgi tuleb protsendid teisenda murruks ja seejärel jagada antud osa suurus selle murruga. Terve leidmine osa järgi Lattu veeti sügisel 420 tonni kartuleid ja neist oli kevadeks mädanenud 33%. Ülejäänud kartulid õnnetus omanikul maha müüa. Mitu kilogrammi kartuleid müüdi? 420= 100% X= 33% X= 420*33/100=138,6t V; 138,6tonni kartuleid müüdi. Mitu protsenti moodustab üks arv teisest Leiame arvu, millest 34% on 77.
9 Ehitusplatsi üldkulud kokku 382500 üldkulud kokku 452600 Tabel 12. Ehitusplatsi üldkulud. Kõik hinnakirjad on olemas failis: kulude loend.xls 6. TEHNILISTE HINDADE ARVUTAMINE SELETUSKIRI Liiva hinna arvutamine. Korrutame kogumahu(m3) 1,7ga(mahukoefitsendiga), 1,1ga(tihenduskoefitsent), saame liiva vajaduse tonnides. Tulemusele korrutame veokauguse(km) ja veokoefitsendi, saame materjali veo hinna karjäärist. Saadud tulemusele liidame kogumaterjali hinna. Saame materjali ja veo maksumuse. Tehetena: 17600m3*1,7*1,1=29920 t. Liiva vajadus tonnides. 29920t*30km*0,75=673200 kr. Materjali veo hind karjäärist. 673200kr+17600*1,7*35,4= 1732368 kr
peegeldamisel x- telje suhtes. y 3x 4 y (3 x 4) 3 x 4 y f ( x) ....graafik saadakse funktsiooni y=f(x) graafiku peegeldamisel y- telje suhtes. y 3x 4 y 3 x 4 y b f (x) ....graafiku saame kui funktsiooni y = f(x) graafiku iga punkti ordinaati korrutame arvuga b. y 3x 4 y 2(3 x 4) 6 x 8 y f (k x) ... graafiku joonestamiseks vajalikud punktid saame, kui funktsiooni y = f(x) graafiku iga punkti abtsissi korrutame arvuga k ning seejärel arvutame ordinaadi väärtuse. y 3x 4 y 3(2 x) 4 6 x 4 y f ( x a)
100% on sama, mis 1 terve. Osa leidmine arvust Osa leidmiseks arvust tuleb arv korrutada osamääraga. Osamäär näitab, kui suur osa arvust tuleb leida. Kui osamäär on väiksem kui 1, siis on leitav osa arvust väiksem, kui aga osamäär on suurem kui 1, siis on osa arvust suurem. Osamäär võib olla väljendatud hariliku murruna, kümnendmurruna või protsentides. Näide 1. Leiame 0,5 osa arvust 230. 2 Korrutame arvu osamääraga 0,5 · 230 = 115. Vastus. 0,5 osa arvust 230 on 115. Näide 2. Leiame 3,5 osa arvust 230. Korrutame arvu osamääraga 3,5 · 230 = 805. Vastus. 3,5 osa arvust 230 on 805. Näide 3. Mariti sünnipäevale tuli 12 külalist. neist olid tüdrukud. Mitu tüdrukut oli sünnipäeval? 1. lahendus. Korrutame külaliste arvu osamääraga. Vastus. Mariti sünnipäeval oli 8 tüdrukut. 2. lahendus. Sama ülesannet võime lahendada ka osa kaudu kahe tehtega.
Ülesanne Laualamp laseb valgust pastaka peale, mis seisab topsis. Kui kõrge on tops, kui teame, et tops on pool pastaka kõrgusest ja pastaka vari on 12 cm ning pastakas on sarnane teise pliiatsiga tema kõrval, mille vari on 8 cm ja pikkus 6 cm. Leian kesklõigu: 12 : 8 = 1,5 Korrutame kesklõigu pliiatsi kõrgusega, et leida pastaka kõrguse: 1,5 x 6 = 9 (cm) Kuna teama, et topsi kõrgus on pool pastaka kõrgusest , siis võima arvutada: 9 : 2 = 4,5 (cm) Vastus: Pastakatopsi kõrguseks on 4,5 sentimeetrit.
* Kmnendmurd on komaga arv . nt : 2,14 ; 76,76 ; 16,36 3. Mida nimetatakse murru taandamiseks? * Hariliku murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist he ja sama nullist erineva arvuga 4. Astmete korrutamine. Too nide. * he ja sama alusega astmete korrutamisel me liidame astendajad ja siis astendame astme alust. nt : a(astmes n) * a(astmes m) = a (astmes n+m) 3(astmes4)* 3 (ruudus) = 3(astmes 6) = 729 5. Astemete astendamine. Too nide. * Astmete astendamisel antendajad korrutame ja siis astendame. nt: (a astmes n) astmes m = a astmes mn ; (2 astmes -3) astmes 4 = 2 astmes -12 6. Astmete jagamine. * Sama alusega astmete jagamisel me lahutame astendajad ja siis astendame astme alust. 7.Negatiivne astendaja. Too nide . * Negatiivse astendajaga aste thendab murdu , mille lugejaks on arv ks ja nimetajaks sama aste positiivne astendaja. nt: a ( astmes -m) = 1 / a(astmes m) 2(astmes -3) = 1 / 2(astmes 3 ) = 1 / 8 (PS! kaldkriips ( / ) = murrujoon ) 8. Arvu standartkuju
1. Kuidas liidetakse harilikke murdusid? Kõigepealt teisendatakse murrud ühenimelisteks. Harilike murdude liitmisel liidetakse murdude lugejad, nimetaja jääb endiseks. (Liigmurrud teisendame segaarvuks juhul, kui vastuseks on liigmurd.) 2. Kuidas korrutada harilikke murdusid? Harilike murdude korrutamisel korrutame lugeja lugejaga ning nimetaja nimetajaga. 3. Kuidas jagada harilikke murdusid? Selleks, et jagada harilikku murdu hariliku murruga tuleb jagatav korrutada jagaja pöördarvuga. 4. Kuidas teisendada segaarv kümnendmurruks? Selleks tuleb segaarv teisendada liigmurruks (nimetaja * täisosa + lugeja) ning seejärel teisendada liigmurd kümnendmurruks (lugeja / nimetaja) 5. Kuidas teisendada kümnendmurd segaarvuks?
naturaalarvuga, siis ütleme, et me taandame murdu. 4. Kui kahel murrul on lugejad võrdsed, siis on suurem see murd, mille nimetaja on väiksem. 5. Kui kahel murrul on nimetajad võrdsed, siis on suurem see murd, mille lugeja on suurem. 6. Ühenimeliste murdude liitmisel liidetakse nende murdude lugejad, nimetaja jääb endiseks. 7. Ühenimeliste murdude lahutamisel lahutatakse nende murdude lugejad, nimetaja jääb samaks. 8. Hariliku murru korrutamiseks naturaalarvuga korrutame selle arvuga murru lugejat, murru nimetaja aga jääb endiseks. Võimaluse korral taandame ja esitame tulemuse segaarvuna. 9. Kahe hariliku murru korrutis võrdub murruga, mille lugejaks on antud murdude lugejate korrutis ja nimetajaks nimetajate korrutis. NÄIDE: a/b c/d = a c / b d (korruta alumised ja ülemised omavahel, kui vaja, siis taanda) ; (a on nimetaja ja b on lugeja) 10. Murru jagamiseks naturaalarvuga korrutame murru naturaalarvu
Näide 8. Lahendame võrratuse 1 - x 2 + 6 x - 18 < 0 2 . Lahendus. 1 2 - x + 6 x - 18 = 0 Lahendame võrrandi 2 · (2) Korrutame võrrandi mõlemat poolt (2) ga, saame võrrandi x2 12x + 36 = 0, mille lahendid x1 = x2 = 6. Teeme joonise ja leiame lahendihulga. Vastus. L = ( ; 6) (6; ). Näide 9. Lahendame võrratuse 5x2 + 20x + 26 < 0. Lahendus. Lahendame võrrandi 5x2 + 20x + 26 = 0. Ruutvõrrandi diskriminant D = 120. Võrrandil lahendid puuduvad. Parabool avaneb ülespoole ja x telge ei puuduta ega lõika. 4 Vastus
bx lineaarliige, kus b on lineaarliikme kordaja; c vabaliige. Ruutvõrrandi lahendivalem on - b ± b 2 - 4ac x= () 2a Avaldist D = b2 4ac nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks. · Kui D > 0, siis ruutvõrrandil on 2 erinevat lahendit. · Kui D = 0, siis on ruutvõrrandil 2 võrdset lahendit. · Kui D < 0, siis ruutvõrrandil reaalarvulised lahendid puuduvad. Kui ruutliikme kordaja on negatiivne arv, siis enne võrrandi lahendamist korrutame mõlemaid pooli arvuga (1) ja saame ruutliikme kordajaks positiivse arvu. Ruutvõrrandi lahendite õigsust tuleb kontrollida, asendades lahendid algvõrrandis. Tekstülesande korral peab lahend sobima ka ülesande sisuga. Näiteks ei saa pikkus olla negatiivne, inimeste arv saab olla ainult naturaalarv jne. Näide 14. Lahendame ruutvõrrandi 3x2 + 5x 2 = 0. Lahendus. Siin a = 3; b = 5 ja c = 2. - 5 ± 5 2 - 4 3 ( -2) - 5 ± 49 - 5 ± 7
jaotada mitmeti. Millest koosneb harilik murd? a Murru lugeja Murrujoon Murru nimetaja b Harilik murd koosneb lugejast ja nimetajast. Nimetaja näitab, mitmeks osaks on tervik jagatud, lugeja aga mitu osa tervest on võetud. Murrujoon on sisuliselt jagamistehe. Segaarvu teisendamine liigmurruks Korrutame murdosa liidame 1 13 nimetaja täisosaga ja 3 = liidame murdosa korrutame 4 4 lugeja. Saame liigmurru Lugeja lugeja. Nimetaja jääb 4 3 +1 endiseks. Nimetaja jääb endiseks Neljandikud Terve on jaotatud neljaks võrdseks osaks.
(vajadusel teguriga 1 korrutades), et pealiikme kordaja a > 0. Sel juhul avaneb funktsiooni graafikuks olev parabool alati ülespoole, mistõttu on vaja leida vaid ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid ning läbi nende skitseerida graafik. Kui neid lahendeid pole, siis - võrratuse ax2 + bx + c > 0 (või 0) lahendihulgaks on hulk R - võrratuse ax2 + bx + c < 0 (või 0 ) lahendihulgaks on tühi hulk Näide 1 Näide Lahendame võrratuse 6 + x x2 < 0. Lahendus Korrutame selle võrratuse mõlemaid pooli arvuga 1, saame võrratuse x2 x 6 0 Viimase lahendamiseks leiame võrrandi x2 x 6 0 lahendid, milleks on x1 = -2 ja x2 = 3. Näide 1 Kanname need lahendid x-teljele ning tõmbame läbi punktide 2 ja 3 parabooli, mis avaneb ülespoole. -2 3 x Viirutame teisendusega saadud abivõrratuse positiivsuspiirkonna (x teljest ülalpool oleva piirkonna).
jaotada mitmeti. Millest koosneb harilik murd? a Murru lugeja Murrujoon Murru nimetaja b Harilik murd koosneb lugejast ja nimetajast. Nimetaja näitab, mitmeks osaks on tervik jagatud, lugeja aga mitu osa tervest on võetud. Murrujoon on sisuliselt jagamistehe. Segaarvu teisendamine liigmurruks Korrutame murdosa liidame 1 13 nimetaja täisosaga ja 3 = liidame murdosa korrutame 4 4 lugeja. Saame liigmurru Lugeja lugeja. Nimetaja jääb 4 3 +1 endiseks. Nimetaja jääb endiseks Neljandikud Terve on jaotatud neljaks võrdseks osaks.
Valemid ja öpetusesönad MATEMAATIKA 6.klassile I poolaasta Haapsalu Linna Algkool Maren Suu Nimetaja 5 näitab, et ring on jaotatud viieks võrdseks osaks. Lugeja 3 näitab, et värvitud on 3 sellist osa. MURRU JAGAMISEKS NATURAALARVUGA KORRUTAME MURDU NATURAALARVU PÖÖRDARVUGA. SEKTORDIAGRAMM TEEMADE JÄRJEKORD: 1. Murd 21.Harilike murdude korrutamine 2. Murd 22.Lihtmurdude korrutamine 3. Lihtmurd 23.Lihtmurdude korrutamine 4. Liigmurd 24.Harilike murdude korrutamine täisarvuga 5. Segaarv 25
Autode arvu valikul on arvestatud sellega, et masinad ei seisaks ega oleks ülekoormatud. Veel on vaja kahte meistrit, kes märgiks killustiku kõrgusi ja abistaks masinaid. Killustiku kõrguste mahamärkimiseks on vaja reepereid, lasernivelliiri, värvi ja puust toikaid. 7 6. TÖÖ MAKSUMUSE KALKULATSIOON JA AJALINE VAJADUS Vedu teostatakse reaalses elus tonnkilomeeter veona. Korrutame kogumahu (7980m3) 1,7ga (mahu koefitsendiga), saame killustiku vajaduse tonnides. Tulemusele korrutame veokauguse (12km) ja veo koefitsendi (0,75), saame materjali veo hinna karjäärist. Saadud tulemusele liidame kogumaterjali hinna(68kr/tonn). Saame materjali ja veo hinna. 9120 x 1,7 x 12 x 0,75 + 9120 x 1,7 x 68 = 1193808kr (76298,24 ) Nüüd arvutame masinate ja tööjõu maksumuse, selleks jagame materjali mahu (7980m3) buldooseri päevatootlikusega (400m3)
sellega, et masinad ei seisaks ega oleks ülekoormatud. Veel on vaja kahte meistrit, kes märgiks killustiku kõrgusi ja abistaks masinaid. Killustiku kõrguste mahamärkimiseks on vaja reepereid, lasernivelliiri, värvi ja puust toikaid. 7 6. TÖÖ MAKSUMUSE KALKULATSIOON JA AJALINE VAJADUS Vedu teostatakse reaalses elus tonnkilomeeter veona. Korrutame kogumahu (7980m3) 1,7ga (mahu koefitsendiga), saame killustiku vajaduse tonnides. Tulemusele korrutame veokauguse (12km) ja veo koefitsendi (0,75), saame materjali veo hinna karjäärist. Saadud tulemusele liidame kogumaterjali hinna(68kr/tonn). Saame materjali ja veo hinna. 9120 x 1,7 x 12 x 0,75 + 9120 x 1,7 x 68 = 1193808kr (76298,24 ) Nüüd arvutame masinate ja tööjõu maksumuse, selleks jagame materjali mahu (7980m3) buldooseri päevatootlikusega (400m3)
liivaga täidetud. Seega X / Y = 0,41, kus X on liivahulk ja Y on killustikuhulk. Seega liiva on vaja 0,41 osa ja killustikku 1,00 osa. Täitematerjalide keskmine erimass on: kesk= (l * X+ k * Y) / X+Y= (2,65 * 0,41+2,55 * 1) / 1,41= 3,6365/1,41= 2,58 Kogu täitematerjalide mass on: 695,46 x 2,58 = 1794,29 kg Sellest liiva, ilma ülehulga tegurit arvestamata, on : (1794,29 * X) / X + Y= (1794,29 * 0,41) / 1,41= 521,74 kg Tulemuse korrutame liiva ülehulga teguriga. 521,74 x 1,15 = 600 kg Ülejäänud osa täitematerjalist on killustik. 1794,29 600 = 1194,29 kg 5) Leiame betoonisegu nominaalse kaalulise vahekorra. Nominaalne seguvahekord eeldab, et täitematerjalid on täiesti kuivad. 1 m³ betoonisegu saamiseks vajalikud materjalide kaalulised hulgad on järgmised: - tsementi 106,54 kg - vett 198 kg - liiva 600 kg - killustikku 1194,29 kg Kokku 2098,83 kg, mis on ühtlasi betoonisegu tihedus.
Y=2 4.Saadud lahendi õigsust on lihtne kontrollida. v1=3*1+2*2=3+4=7 v1=p1 v2=5*12*2=54=1 v2=p2 Vastus: x=1 y=2 Mida teha võrrandisüsteemiga, milles kummagi tundmatu kordajad ei ole ei võrdsed ega vastandarvud? Sel juhul peame võrrandid teisendama vajalikule kujule. Selleks korrutame ühe võrrandi või mõlemad võrrandid läbi sobiva arvuga nii, et saaksime ühe tundmatu ette vastandarvud.
järgi koostatud avaldisteni. Sel juhul on otstarbekas uurida nende avaldiste a1 üldisi omadusi. c b y° a2 ¡¡ 1 1 ±± b2 y c2 a1 korrutame võrrandi pooli a1-ga Üheks selliseks avaldiseks on kahe korrutise vahe. ¢ a1 ² a c a1c2 a2 c1 Näide 1: Kui neli arvu a, b, c ja d on võrdelised, s.t. , siis a·d = b·c a2c1 a2b1y + a1b2y = c2a1 y . (*)
korrutis, mille teguriteks on: 1) Kõik esimese arvu algtegurid (kogu esimene arv); 2) Teisest arvust need algtegurid, mida esimeses arvus ei esine või esineb vähem arv kordi; 3) Kolmandast arvust need tegurid, mida esimeses ja teises arvus ei esine või esineb vähem arv kordi; NÄIDE: Leiame arvude 30 ja 84 vähima ühiskordse. Arvud 30 ja 84 on näites (esimeses) juba algteguriteks lahutatud. Vähima ühiskordse leidmiseks korrutame esimese arvu kõik algtegurid teise arvu nende algteguritega, mida esimeses arvus ei ole. VÜK (30;84) = 2×3×5×2×7 = 420 NÄIDE: Arvutame: 7 11 30 84 Nende murdude ühine nimetaja on VÜK (30; 84) = 420. Laiendaja saame, kui jagame ühise nimetaja antud murru nimetajaga: 714 115 7×14 + 11×5 98 + 55 153 51 30 84 420 420 420 140 Murd 153 on taandatud arvuga SÜT (153; 420) = 3. 420 TÄISARVUD
Tz = + Tp-ml2b= 55,4km / h +1,42*2*0,925=3,71h vt 2* lk ehk kahekordne koorma keskmine veokaugus on vajalik seepärast, kuna veokil on kaks lõpetuspunkti, koorma mahalaadimine ja samuti peab veok alguspunkti tagasi tulema, mis teeb kokku 60 kilomeetrit. Seepärast on ka veosõidutegur b valemis korrutatud 2ga. Leiame aastase tööjõubilansi: T = APT*TAPT =250h*8h=2000h kus, T aasta tööajabilanss Aastase tööajabilansi leiame kui aastase tööpäevade arvu korrutame autotööpäevadega tööl ehk auto tööpäeva pikkus tööl. Leiame reiside arvu aastas: T 2000h z= = 3,71h =539,08 reisi T2 2 kus, z - reiside arv aastas, T aasta tööajabilanss, Tz - ühe reisi kestus Reiside arvu aastas leiame kui aasta tööajabilansi, mis on 2000h, jagame ühe reisi kestusega. Seetähendab, et aastas tehakse sellise koorma keskmise kaugusega (30km) 539,08 reisi.
9 - 2,8 = 9 - 2 = 7 + - =7 + - = 7+ = 15 15 10 5 15 5 15 5 3 15 2 15 + 7 - 12 10 2 = 6+ =6 = 6 ; 15 15 3 3 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Näide 5 (järg) Näide 5 (järg) 2) leiame nimetajaks oleva avaldise väärtuse. Esmalt korrutame: 7 1 1 8 8 875 8 7 1 0,875 = = = , 21 21 1000 21 8 3 8 3 1 ... ja siis liidame: 1 1 2 + = . 3 3 3 3) Viimase sammuna jagame leitud lugeja ja nimetaja väärtused: 10 1 2 2 18 + 2 2 20 3 6 : = : = = 10. 3 3 3 3 3 2
2 Vastus. Voolutugevus on 6 amprit. ah Näide 7. Avaldame kolmnurga pindala valemist S = kõrguse. 2 Lahendus. ah Vahetame võrduse pooled, saame: =S. 2 Murrujoonest vabanemiseks korrutame võrduse mõlemad pooled 2-ga, saame: ah = 2S. Jagame valemis mõlemad pooled läbi suurusega a, sest see on kõrguse h 2S kordajaks, saame: h = . a 2S Vastus. h = . a Näide 8. Avaldame ristküliku ümbermõõdu valemist P = 2(a + b) ühe külje pikkuse. Lahendus. 2(a + b) = P ÷ 2 P
3x 3x = 2000 3 ehk 0x= 1997. Viimane võrdus loomulikult ei kehti ühegi x väärtuse korral, sest võrduse vasaku poole väärtus on iga x väärtuse korral võrdne nulliga, parem pool aga mitte. Võrrandil ei ole lahendeid. Kui võrrand sisaldab murde, siis tuleb neist loomulikult vabaneda. x - 1 3 - 5x + = 3. Näide 4. Lahendame võrrandi 3 6 Korrutame võrrandi pooli arvuga 6, siis saame võrrandi 2(x 1) + 3 5x = 18 ehk 2x 2 + 3 5x = 18, millest 3x + 1 = 18, 3x = 17, järelikult 17 - x= 3 Ülesandeid · Lahendada võrrandid: 5 x - 4 16 x +1 5 - 3t 1) = 2) = 5 +t 3) 2x + 3 = 0 2 7 7
TEHTED MURDUDEGA KÜMNENDMURRUD: 1. Liitmine/lahutamine: 1) Paigutame koma alla koma. Näide: 174,6 48,328 = 174,600 2) Lisame nullid. 48,328 126,272 2. Korrutamine: 1) Jätame tegurites komad esialgu tähele panemata Näide: 64,5 - 1 koht ja korrutame neid nagu naturaalarve; · 5,6 - 1 koht 2) Loeme, mitu kohta on pärast koma mõlemas teguris kokku. 3870 3) Nõnda saame teada, mitu kohta 3225 peame vastuses komaga eraldama. 361,20 - 2 kohta Vastuses hakkame kohti lugema arvu lõpust! 3. Korrutamine/jagamine järguühikutega: 1) 0,427 · 100 = 42,7 2) 0,1 · 34,67 = 3,467
t1 t1 + 2 Tasub tähele panna, et võrrandi määramispiirkonda ei kuulu otsitava väärtused t1 = 0 ja t1 = -2. Füüsikaliselt tähendab see seda, et vahemaa läbimiseks kulutatud aeg ei saa olla 0 ega negatiivne. Ülesanne 1 (4) Lahendus jätkub ... 600 600 = + 10. t1 t1 + 2 Võrrandi lahendamiseks vabaneme esmalt murdudest, milleks korrutame selle mõlemad pooled läbi avaldisega t1 (t1 + 2) 0 600 600 t1 (t1 + 2) = + 10 t1 (t1 + 2) t1 t1 + 2 600 600t1 + 1200 = t1 (t1 + 2) + 10 t1 (t1 + 2) t1 + 2 600t1 + 1200 = 600t1 + 10 t12 + 20t1 10 t12 + 20t1 - 1200 = 0 t12 + 2t1 - 120 = 0
2Sõna "kompleksne" tähendab eesti keeles "liitne"; selle nimetuse andis arvudele lahendit, teisel juhul on lahendid võrdsed. a + bi esmakordselt saksa matemaatik Gauss (1777-1855). Missugused on aga ruutvõrrandi lahendid siis, kui võrrandi diskriminant on Kompleksarvude korrutamine ja jagamine negatiivne ? Vaatleme mõnda näidet. Korrutame arvud a + bi ja c + di. Kaksliikmete korrutamise reegli järgi 2 2 4 2 Näide 4. Lahendame võrrandid x + 16 = 0, x - 2x + 10 = 0 ja x - 3x - 4 = 0. (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac - bd + (ad + bc)i. Seega 1) Kui x2 + 16 = 0, siis x = ± -16 = ± 16·i2 = ± 4i. Seega x1 = -4i ja x2 = 4i. ( a + bi) (c + di ) = ( ac - bd ) + ( ad + bc)i.
algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Eksponentvõrrandi lahendamine 2. Kui eksponentvõrrand on ax või af(x) suhtes algebraline võrrand, siis lahendame selle vastavalt ax või af(x) suhtes , millega taandame antud eksponentvõrrandi ühele või mitmele võrrandile kujul ax= b või af(x) = b. Näide Lahendame võrrandi 34 x -1 - 32 x -1 - 2 = 0 korrutame kolmega: 4 x -1 2 x -1 3 -3 -2 = 0 3 4x 3 -1 - 3 2x 3 -1 -2 =0 asendus u = 32x : (32 x ) 2 - 32 x - 6 = 0 u 2 - u - 6 = 0 u1 = 3, u2 = -2. Lahend u2 = -2 ei sobi, kuna 3 -2 2x Lahendist u1 = 3 saame: 32 x = 3 32 x = 31
18. Sündmuse A toimumise tõenäosuseks P(A) nim selle sündmuse jaoks soodsate võimaluste arvu m ja kõigi võimaluste arvu n suhet. 19. Kokkuleppeliselt ei kirjutata astendajat 1. 20. Juurijat 2 ei kirjutata kokkuleppeliselt. 21. Võrdsete aluste astmetega korrutamisel astendajad liidame ja saadud summaga astendatakse astme alus. 22. Võrdsete aluste astmetega jagamisel astendajad lahutame ja saadud vahega astendatakse astme alus. 23. Astme astendamisel astendajad korrutame ja saadud korrutisega astme alus astendatakse. 24. Korrutise astendamisel käib aste mõlema korrutise kohta. 25. Murru astendamisel astendatakse nii lugeja kui ka nimetaja. 26. Negatiivse astendaja puhul pöörame arvu ringi ehk tekib pöördarv. 27. Astendaja 0 puhul on ükskõik millise aluse väärtus 1. 28. Arvu standartkuju on , kus k kuulub hulka Z ja 1 29. Arvteljel tähendab arvu absoluutväärtus sellele arvule vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist. 30
Näide Näide: Olgu risttahuka servad a=2cm, Risttahuka servad a=2cm, b=3cm, c=4cm, siis täispindala b=3cm, c=4cm, siis tema ruumala St=2 · (2 · 3 + 2 · 4 + 3 · 4)=2·26=52cm2. V = 2 · 3 · 4 = 24 cm3. Kolmnurkne püstprisma Kolmnurkse püstprisma põhiservad on a, b, c; põhja kõrgus on h ja prisma enda kõrgus on H. Prisma ruumala saame Prisma täispindala leiame samm haaval. kui põhja pindala korrutame 1) Leiame põhja ümbermõõdu prisma kõrgusega: P=a+b+c 2) Leiame külgpindala V = Sp · H Sk = P · H 3) Leiame põhja pindala a·h Põhjaks on kolmnurk, järelikult Sp = 2
Seega punkti P koordinaadid rahuldavad võrrandit (A1x1+A2x2+A3)+(B1x1+B2x2+B3)=0. Paneme tähele, et (A1x1+A2x2+A3)+(B1x1+B2x2+B3)=(A1+B1)x1+(A2+B2)x2+(A3+B3)=0 Seega on võrrand sirge ü ldvõrrand, kus A1+B1 ja A2+B2 ei ole samaselt nullid. Oletame vastuväiteliseltet A1+B1 =0| *B2 ja A2+B2 =0|* B1 ja et 0 (A1B2- A2B1)=0 vastuolu! Kui A1B2-A2B1=0 oleksid s||t, et aga s ja t kuuluvad samasse kimpu, siis ei saa nad olla paralleelsed. Kui =0 siis 0 ning korrutame võrrandeid suurustega A1 ja A2, saame (B1A2-A1B2)=0 vastuolu! Millest järeldub, et A1+B1 ja A2+B2 ei ole samaselt nullid. Seega võrrand (A1x1+A2x2+A3)+(B1x1+B2x2+B3)=0 kirjeldab kimpu kuuluvat sirget. 2) On vaja näidata, et suvalise antud kimpu kuuluva sirge jaoks leiduvad sobivad kordajad ja : Olgu w mingi sellesse kimpu kuuluv sirge. Olgu Q(q1,q2) mingi w'le kuuluv punkt, kusjuures PQ. Valime =B1q1+B2q2+B3 ja =-( A1q1+A2q2+A3). Et Qw ja
Raudvara 3.ptk Protsentarvutus 1. Mis on protsent? Ühte sajandikku mingist kogumist või arvust nimetatakse protsendiks. 1% = 0,01 10% = = 0,1 20% = = 0,2 25% = = 0,25 100% = 1 50% = = 0,5 75% = = 0,75 Kümnenemurrust ja naturaalarvust saame protsendi, kui korrutame arvu 100 -ga. Hariliku murru avaldamisel protsentides teisendatakse arv kümnendmurruks ja toimitakse nii nagu kümnendmurru puhulgi. Et protsendist saada arvu tuleb jagada protsent 100-ga. 2. Arvu leidmine Protsendi järgi 1) Ühe protsendi kaudu 20% on 90 9020=4,5 4,5100=450 2) Jagades osamääraga 9020100=450 3. Osa leidmine 1) Ühe osa kaudu 60% 240-st 240100=2,4 2,460=144
Lahendamiseks asendame teises võrrandis tundmatu t esimesest võrrandi abil avaldisega a / x: a ( x - b)( + c) = a x Avame vasakul pool sulud: a a ab x + xc - b - bc = a a + xc - - bc = a x x x ab cx - - bc = 0. x Korrutame viimase võrrandi läbi suurusega x 0 ja saame tulemuseks ruutvõrrandi x suhtes: cx 2 - bcx - ab = 0. Ülesanne 1 (4) Lahendus jätkub ... cx 2 - bcx - ab = 0. Rakendame taandamata ruutvõrrandi lahendivalemit: bc ± (bc) 2 + 4cab bc ± bc(bc + 4a ) x= = 2c 2c Näitame, et kui valida ruutjuure ette miinusmärk, siis saame
Väga ohtlik on inimesele gammakiirgus, kuna tema läbimisvõime on suur. Eriti ohtlik on gammakiirgus arenevatele organismidele. Alfa- ja beetakiirgustega pole probleemi seni, kuni neid ei organism ei hinga sisse või neela neid toiduainetes 15. Mis on kiirgusdoos? Millistes ühikutes seda mõõdetakse? Kiirgusdoos on aines neeldunud kiirguse energia ja selle aine massi suhe. Kiirgusdoosi ühikuks on 1 J/kg. Seda ühikut nimetatakse greiks. Kiirgusdoosi saame, kui korrutame aktiivsuse kiirguse toimeajaga. 16. Mis on dosimeeter? Dosimeeter on mõõteriist kiirgusdooside mõõtmiseks. 17. Mis on kiiritushaigus? Kiiritushaigus on haiguslik näht, mis tekib, kui organism puutub kokku kiiritusega. 18. Millised on kiiritushaiguse esmased nähtused? Kiiritustõve esmased tunnused on erutus, peapööritus, peavalu, iiveldus, oksendamine, palavik, hingamise ja südametegevuse kiirenemine. 19. Millised on põhilised kiirguskaitse meetmed?
Protsent ülessannete lahendamine: 1) Ülesanne tuleb hoolikalt läbi lugeda ja aru saada mis on ülesandes antud ja mida tuleb leida. 2) Parema ülevaate saamiseks oleks hea teha ülesande andmete põhjal joonis ning meeles tuleks pidada, et 1 tervik on 100% ! 3) Seejärel tuleb koostada lahendusplaan ning ülesanne lahendada. Osa leidmine tervikust I võimalus: Terviku leidmiseks antud protsendi järgi leiame 1% sellest tervikust ja tulemuse korrutame 100-ga. II võimalus: Terviku leidmiseks antud protsendi järgi tuleb protsendid teisenda murruks ja seejärel jagada antud osa suurus selle murruga. Ülesanne 1 Kümnenendal klassil toimus õppeekskursioon Tallinna elektrijaama. Klassis on 35 õpilast, neist kohal oli ainult 40%. Õpetaja oli maru vihane ning otsustas kokku lugeda mitu õpilast kohal oli. = 14 Vastus: Õppeekskursioonil viibis kohal ainlt 14 õpilast . Terviku leidmine osa järgi
VASTUS Võrratuse lahendiks on hulk X = {x : x 26}. Ülesanne 3 (I) Lahendada võrratus 3 - x < log 5 ( 20 + 5 x ). Lahendus Kuna 3 - x = log 5 53-x siis on algne võrratus samaväärne järgnevaga: log 5 53-x < log 5 ( 20 + 5 x ), millest järeldub, et 53-x < 20 + 5 x. Tulemuseks saime eksponentvõrratuse, mille lahendamiseks korrutame selle mõlemaid pooli positiivse arvuga 5 x > 0 : 5 3- x 5 < 20 5 + 5 5 x x x x 53 < 20 5 x + 52 x. Ülesanne 3 (II) 53 < 20 5 x + 52 x Tehes asenduse u = 5x , u > 0 saame ruutvõrratuse 125 < 20u + u 2 u + 20u -125 > 0. 2 Lahendame vastava ruutvõrrandi: u 2 + 20u -125 = 0,
Sisemise raami püstmõõde arvutatakse välja meridianaalosade vahe järgi. Pikimõõde on kaardi piirmeridiaanide vahe ja kaardi ühiku korrutis. Sisemise raami püstmõõde arvutatakse välja meridiannalosade vahe järgi. Merkaatori kaardivõrgu ehitus 2 Jagame pikiraami kraadideks ja minutiteks Määrame kaardivõrgu sammu , näit. Iga 5 minuti järgi. Joonistame välja meridiaanid. Leiame tabelist paralleelide meridionaalosade vahe , korrutame kaardiühikuga ja joonistame paralleelide välja.
Nt: 73% leidmiseks arvust 8 tuleb arv 8 läbi korrutada 73/100 = 0,73 . Seega 73% kaheksast on 0,73 * 8 = 5,84 Terviku leidmiseks protsendi järgi on mitu meetodit: 1) Leida 1% tervikust ja korrutada see sajaga 2) Jagada protsendile vastav osa kümnendmurruks teisendatud protsendiga Nt, kui on teada et 7% on 21m siis terviku leidmiseks leiame kõigepealt 1% väärtuse. Selleks 21/7 = 3 ja seega 1 % = 3 Nüüd korrutame kolme sajaga 3*100 ja saame terviku. Võrdeliseks seoseks nimetatakse muutujate võrdelisust. Muutujat y nimetatakse võrdeliseks muutuja x, kui nende muutujate kõikide väärtuste korral kehtib seos y = a*x Võrdeline seos peab läbima 0 punkti. Geogebra : y=3x Pöördvõrdelises seoses on muutujate x ja y vaheline seos, kus ühe suutuse kasvades väheneb teise suurus. Selle valem on y=a/x Geogebra = y=3/x
Põhivara 7. klass Protsendi mõiste: Ühte sajandikku osa mingist kogumist, tervikust nim. protsendiks (%). Jagatise väljendamine protsentides: Tihti on vaja teada, mitu % moodustab üks arv teisest. Kahe arvu jagatise väljendamiseks protsentides leiame selle jagatise esmalt kümnendmurruna ning korrutame siis sajaga. Näide: Arv 3 arvust 4 moodustab? 3 : 4 = 0,75 0,75 * 100 = 75% Tekstülesannete lahendamine % abil: Metsapäeval oli kavas istutada 2400 puud. Õpilased ületasid ülesande 16% võrra. Mitu puud istutati? Antud ülesannet saab lahendada kahel viisil. võimalus: 1% on 2400 : 100 = 24 16% on 16 * 24 = 384 16% 2400-st on 384 Kuna plaan ületati 16% võrra, mis vastab 384 puule, siis istutati 2400 + 384 = 2784 puud. võimalus: Mitu puud on 16%
t. Näide. 1 5 1 7 A = AT = 7 9 5 9 3. Maatriksite korrutamine Definitsioon. Maatriksite A = (aij) ja B = (bij) korrutiseks nimetatakse -maatriksit C, mille i-nda rea ja j-nda veeru element on võrdne Seega me korrutame maatriksi A iga liige reas i maatriksi B veeru j vastava elemendiga ja liidame tulemused kokku. 4. Teist ja kolmandat järku determinandid. Olgu antud teist järku ruutmaatriks: a a12 A = 11 a 21 a 22 Definitsioon. Avaldist a11 a 22 -a12 a 21 nimetatakse teist järku determinandiks (maatriksi A
2x - x 2 x ( 2 - x ) 0 ehk x 0, x 2 . Seega määramispiirkond X = ( - ; 0 ) U ( 0; 2 ) U ( 2; ). 1 Ülesanne 6. Leida funktsiooni y = log 3 ( - x ) + määramispiirkond. x-7 Lahendus. See funktsioon on määratud, kui esimeses liidetavas olev logaritmitav on positiivne ehk siis - x > 0 või kui korrutame seda võrratust ( -1) -ga ja muudame võrratuse märki: -x > 0 ( -1) , siis saame x<0. Teine liidetav on murd, murru nimetajas oleva ruutjuure alune avaldis peab olema rangelt positiivne (ei saa olla võrdne nulliga): x-7 > 0 x>7. Ülesandes antud funktsiooni y määramispiirkond on mõlema liidetava
võrrandiks. etteantud arvudega. Selleks liidame need etteantud arvud, et leida osade Võrdekujulise võrrandi lahendamine põhineb võrde põhiomadusel. üldarvu, seejärel jagame meie jagatava suuruse leitud osade üldarvuga, et Näiteks: saada ühe osa suurust. Lõpuks korrutame ühe osa suuruse iga antud arvuga x 7 57 35 ja saame igale arvule vastava osa antud suurusest. = x= x= x = 17,5 5 2 2 2 Näiteks: Jaga arv 270 osadeks, mis suhtuvad nagu 1:3:4:10 Leiame osade koguarvu: 1 + 3 + 4 + 10 = 18 9 8 78
1. Elektrivooluks nimetatakse vabade laetud osakeste liikumist kindlas suunas. Tingimused: 1) Peab olema vabasi laenguid. 2)On jõud, mis sunnib vabu laenguid kindlas suunas liikuma - elektrijõud. 2. Alalisvool on elektrivool mille tugevus ja suund ajas ei muutu. 3. Metallis on aatomid paigutatud kindla korra järgi - Kristallvõre. Metall juhib elektrit tänu sellele, et tema aatomitest lahkuvad kaugemad elektronid - tekivad vabad elektronid. Kui metallis tekitada elektrijõud siis tekib metallis elektrivool. Vabad elektronid hakkavad liikuma kindlas suunas. 4.Voolutugevuseks nimetame ühes sekundis elektrijuhti läbinud laengu suurust. Voolutugevuse arvutamiseks jagama elektrijuhti läbinud laengu suuruse selle läbimise kulunud ajaga. I=q/t voolutugevuse ühikuks on Amper- A. See on voolutugevus mille korral elektrijuhti läbib 1 sekundiga 1 culoni suurune laeng. Amper on põhiühik. 5. Amprist suurem ühik - Kiloamper(kA)=1000 amprit, Väike: Mill...
Need tundmatu väärtused moodustavad võrratuse lahendihulga. Näide 1. Lahendada võrratus 2x 8 > 7. Viime 8 teisele poolele 2x > 7 + 8 2x > 15 jagame 2-ga (>0) x > 7,5 Võrratuse lahendiks on kõik arvud, mis on suurem kui 7,5. Vastus: x (7,5; ). 5x - 6 x - 5 Näide 2. Lahendada võrratus 2- > 3 2 Korrutame võrratuse mõlemad pooled 6-ga 2· 6 2(5x 6) > 3(x 5), 12 10x + 12 > 3x 15 Viime muutujaga liikmed vasakul, vabaliikmed paremale poolele ja koondame sarnased liikmed: - 10x 3x > -12 12 - 15 - 13x > - 39 Jagame saadud võrratuse mõlemad pooled ( - 13 ga), mille tagajärjel võrratusemärk muutub vastupidiseks:
C-vitamiini 13,024 sisaldus, mg Keskmine, mg 13,024 mg SSH% = 0,007% (7,394 – 7,387)2 = 0,000049 (7,380 – 7,387)2 = 0,000049 SSH% = (0,000049 + 0,000049 / 2)0,5 = 0,007 (0,007 / 7,387) * 100% = 0,095% n (NaOH) = CM * VNaOH1 = 0,074 mmol = 0,000074 mol m (C-vitamiin) = n * M (C-vitamiin) = 0,000074 * 176 g/mol = 0,013024 g = 13,024g m (C-vitamiin)lõpp = 13,024 g * 4 = 52,096 mg (korrutame neljaga, sest lahutasime tabletti 100 ml vees, aga võtsime ära ainult 25 ml) 4 Kokkuvõte ja järeldused Meie töö kasutatud C-vitamiini tableti sisaldus võrdub 52,096 mg. C-vitamiinide pudelis oli kirjutatud, et üks tablett sisaldab 50 mg askorbiinhapet. Meie tulemus on ligilähedalt, seega võime järeldus, et meie töö õnnestub. ЗАЩИТА ПРАКТИКИ
kordajatena! Kui mitmeelemendilise ühendi ees on kordaja, siis on mõlemad elemendid sellega läbi korrutatud. NaOH + H2SO4 = Na2SO4 + H2O Na: 1 =2 S: 1 = 1 O: 1 + 4= 4 1 H: 1+2 = 2 Naatrium ja vesinik ei ole mõlemal pool võrdsed, seega tuleb korrutada neid sisaldavad ühendid läbi sellise arvuga, et mõlemal pool oleks võrdne. Alustame naatriumist, korrutame NaOH kahega 2NaOH + H2SO4 = Na2SO4 + H2O Na: 2 =2 S: 1 = 1 O: 2 + 4= 4 1 H: 2+2 = 2 Nüüd pole hapnik ja vesinik võrdsed. Korrutame vett kahega. 2NaOH + H2SO4 = Na2SO4 + 2H2O Na: 2 =2 S: 1 = 1 O: 2 + 4= 4 2 H: 2+2 = 4
rohkem, ja soosib raha väljalaenajaid. 16. Devalveerimine ja revalveerimine Devalveerimine ehk devalvatsioon on valuuta väärtuse vähendamine teiste rahaühikute suhtes. Revalveerimine on raha kursi (väärtuse) tõstmine välisvaluutade või kulla suhtes. Revalvatsioon - rahvusvaluuta ametliku hinna tõstmine teiste valuutade suhtes. 17. Valuuta arvutamise oskus Kui vahetada näiteks 50 eurot rootsi kroonideks ostame rootsi krooni. Korrutame 50 vahetuskursiga. Kui vahetada 50 rootsi krooni eurodeks müüme rootsi krooni. Jagame 50 vahetuskursiga. 18. Majandussektorite olemus ja liigid ja näited, mis ettevõtted sinna kuuluvad Omandivormi järgi jagatakse majanduse tegevusvaldkonnad: erasektor, avalik sektor Tegevuse liigi järgi jagunevad majanduse tegevusvaldkonnad: Primaarsektor Sekundaarsektor Tertsiaaarsektor
2 = 4,40. Meie leitud väärtus on aga palju suurem, st leitud kaaluühiku standardhälve on 1st oluliselt suurem. Data Snooping test jämedaid vigu ei tuvastanud. Jämeda vea olemasolu kindlaks tegemiseks kehtib võrdus: mõõtmistulemuse standardiseeritud hälve (Std.Res)> 90,1543. Teeme uue lähenduse ja skaleerime kovariatsioonimaatriksi elemendid ümber. Selleks korrutame need läbi esimesest lähendusest saadud suurusega S 20 = 750,76. Koostame uue lähtefaili. IT8_2lahendus 259 2 2904829.045 1460511.739 5468898.116 5 2901645.054 1461580.539 5470285.543 1 7 -2344.3456 2118.5216 667.7099 0.000838251 0.000644903 0.000814079 0.000849621 0.00075076 0.00303307 1 2 -281.2627 -471.6444 260.6717 0.002590122 0.000355109 0.00228231 0.00190693 -0.001238754 0.01088602 1 5 -3465.3711 597.1512 1647.9787 0.004992554 0.00112614 -0.001141155 0.002762797 -0
annaabi.ee 
