nurk C B Näiteülesanne:Antud kolmnurga lahendamiseks leiame külgede pikkused ja nurkade suurused. Selleks leiame esmalt vektorite koordinaadid, nende vastandvektorite koordinaadid, vektorite pikkused ja seejärel vektorite vahelised nurgad. Vektori koordinaatide leidmiseks lahutame lõpppunkti vastavatest koordinaatidest vektori alguspunkti vastavad koordinaadid. Kui vektori alguspunkt A(a1;a2) ja lõppunkt B(b1;b2) , siis vektori AB koordinaadid leiame AB =(b1-a1;b2 a2) Vektori lõpppunkti B(-4;-3) vastavatest koordinaatidest lahutame vektori AB alguspunkti A(-3;3) vastavad koordinaadid.
Liikumise viisid Jõudude liigitamine · Ühtlane mitteühtlane liikumine · Konservatiivsed kui väljajõudude töö · Kiirendusega-aeglustusega liikumine keha nihutamisel ei sõltu trajektoori · Nende kombinatsioonid kujust, vaid ainult alg- ja lõpp-punkti · Ühtlaselt muutuv pole sama mis ühtlane, asukohast (koordinaatidest). näitab vaid et kiirendus ajas on jääv · Mittekonservatiivsed kui töö sõltub ka Liikumine trajektoorist näiteks hõõrdejõud. Kinemaatika kirjeldab, ei otsi põhjusi Töö arvutamine Dünaamika miks toimuvad liikumised? Staatika tasakaalutingimuste määratlemine, Newtoni 1. seadus Vaba keha säilitab oma kiiruse, s. t. seisab paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt.
Kui kolme vektori hulgas on kollineaarseid vektoreid, siis need kolm vektorit on komplanaarsed. Kui kolme vektori hulgas ei ole kollineaarseid vektoreid, siis nad on komplanaarsed juhul kui üks vektor on ülejäänud kahe kaudu lineaarselt avaldatav. See tähendab, kui vektorid , , on komplanaarsed, siis leiduvad arvud p ja q nii et =p+q. Kui vektorid on antud koordinaatidega, siis komplanaarsuse kontrolliks tuleb välja arvutada nende vektorite koordinaatidest moodustatud kolmerealine determinant. Kui see determinant võrdub nulliga, siis vektorid on komplanaarsed. Kui determinant ei võrdu nulliga, siis vektorid on mittekomplanaarsed.
2 3 Kvantmehaanika põhiideed: 1. osakesed on lained 2. Heissenbergi määramatuse printsiib -mitte midagi ei saa mõõta ilma seejuures tulemust mõjutamata. L.D.Broglie ütles, et osakesed on hoopis lained. Interferentsi seletavad ära orbiidid. Schrödingeri võrrand diferentsiaalvõrrand, mille kaudu saab arvutada osakese leiulaine sõltuvuse koordinaatidest ja ajast, kui on teada osakese mass ja talle mõjuvad jõud. Debrogli laine on tõenäosus laine, Max Born Heissenbergi määramatuse printsiib mitte midagi ei saa mõõta ilma seejuures tulemust mõjutamata. ei ole võimalik määrata osakese asukohta ja kiirust samaaegselt asukoht-kiirus aeg-energia Tunneliefekt ● näited : Radioaktiivne lagunemine, kus eralduvad a-osakesed, mis saavad väljuda tuumast tunnelleerudes.
võrdelised. Kollineaarseteks nimetatakse kaht vektorit u ja v, mille vahel kehtib seos u = kv, kus k on konstant. Jagunevad sama- ning vastassuunalisteks. Kahte vektorit nimetatakse võrdseteks, kui nad on samasihilised, samasuunalised ja ühepikkused. Nullvektor on vektor, mille algus- ja lõpp-punkt ühtivad. Vastandvektoriteks nimetatakse vektoreid, mis on samasihilised, võrdse pikkusega aga vastandsuunalised. Vektori koordinaatide leidmiseks lahutatakse lõpp-punkti koordinaatidest vastavad alguspunkti koordinaadid. Vastandvektori koordinaadid erinevad märgi poolest. Vektori pikkus võrdub ruutjuurega selle vektori koordinaatide ruutude summast. Ühikvektoriks nimetatakse vektorit, mille pikkus on üks. Vektorite summa. Kolmnurgareegel Rakendame liidetavad vektorid nii, et esimese vektori lõpp-punkt on teisele vektorile alguspunktiks. Summavektor algab esimese vektori alguspunktist ja lõpeb teise vektori lõpp-punktis
ning jõudu iseloomustava suurusega Maa raskusväljas selles vaba langemise kiirendus Gravitatsioon Kaks punktmassi mõjutavad teineteist tõmbejõududega, mis on võrdeline nende massidega ja pöördvõrdeline nendevahelise kauguse ruuduga Valem: Jõudude liigitamine · Konservatiivsed kui väljajõudude töö keha nihutamisel ei sõltu trajektoori kujust, vaid ainult alg- ja lõpp-punkti asukohast (koordinaatidest) · Mittekonservatiivsed kui töö sõltub ka trajektoorist näiteks hõõrdejõud Füüsikalised suurused · Skalaarsed suurus kirjeldatav 1 arvuga · Vektoriaalsed vaja 2 arvu suurus + suund · Tsensoriaalsed vaja rohkem arve
Tänapäeva ärimaailmal seisab samasugune proovikivi ees. Suurfirmad joonduvad üldiselt ainult ühe mõõdupuu finantskapitali järgi. Finantskapitali saab nimetada ettevõtluse laiuskraadiks, mis tegeleb materiaalsete varadega. Probleem on aga selles, et laiuskraad mõiste näitab ettevõtetele kätte ainult ühe osa suurest süsteemist ehk ainult pooled nii-öelda merel täpse asukoha määramiseks ja uuendamismarsruudi planeerimiseks vajalikest koordinaatidest. Nii nagu maailmamerel ei piisa ainult ühest suunameetodist, ei piisa ka ärimaailmas. Materiaalsed väärtused on küll ettevõtluses tähtsal ja vajalikul kohal, milleta ei saaks üldse toimida praegune turumajandussüsteem, kuid õigel ja jätkusuutlikkul majandusteel püsimiseks vajab ettevõtlus, nii nagu meremees merel, teist suunavahendit pikkuskraade. Ilma külgpidiste koordinaatideta intellektuaalse kapitali ja muude oluliste
liitmise operatsioonile. 8. Ristsuunaliste harmooniliste võnkumiste liitmine. 9. Sumbuvad võnkumised. 10. Sundvõnkumised. Resonants. F0 on sundiva jõu maksimum väärtus. on sundiva jõu sagedus. 11. Tasalained ja seda iseloomustavad suurused. 12. Laine faas, faasikiirus. Lainevõrrand. Lainevõrrandiks nimetatakse avaldist, mis määrab võnkuva punkti hälbe olenevalt tema koordinaatidest x, y, z ja ajast t: = (x, y, z; t). 13. Superpositsiooniprintsiip. 14. Termodünaamiline ja statistiline uurimismeetod. 15. Ideaalne gaas. Omadused: o Molekulide vahel puudub interaktsioon ( puudub molekulide omavaheline vastastikmõju ehk ei toimu vastastikkuseid põrkeid). o Molekulidel puuduvad mõõtmed. o Molekulid on pidevad korrapäratus liikumises. N2, O2, H2 on hästi kirjeldatavad normaaltingimustel ideaalse gaasina
seletatav ka joonspektrite teke. Vesiniku aatomi energianivood: Kvantmehaanika teke ja põhiideed · Kvantmehaanika e. lainemehaanika on laineomadustega mikroosakeste ja nende kogumite käitumist käsitlev füüsika osa. Kvantmehaanika põhiideed · Kvantmehaanika teoreetiliseks aluseks on Schrödingeri võrrand diferentsiaalvõrrand, mille kaudu saab arvutada leiulaine (mikroosakese leiutõenaosust määravad lained) sõltuvuse koordinaatidest ja ajast, kui on teada osakese mass ja talle mõjuvad jõud. Erwin Schrödinger Kvantmehaanika põhiideed · Mikroosakeste laineomadustest tulenevad neile siseomased täpsuspiirangud (Heisenbergi ebatäpsussuhted, 1927): on osakest iseloomustavate suuruste paare, milles kumbagi suurust ei saa korraga mõõta suvalise täpsusega. Ühe minimaalne mõõteviga on pöördvõrdeline teise suuruse mõõteveaga. Kaasaegne aatomimudel
Laine. Laineks nimetatakse võnkumise levimisprotsessi ruumis. Laine kui häiritus levib keskkonnas lõpliku kiirusega. Lained jagunevad ristlaineteks ja pikilaineteks, keskkonna järgi ruumelastsuslaineteks ja kujuelastsuslaineteks. On olemas ka pinnalained, kus häiritud on vedeliku pind, paralleelsete lainepindatega laineid nimetatakse tasalaineteks, kontsentriliste sfääridega sfäärilisteks laineteks. Laine sõltuvust koordinaatidest ja ajast nimetatakse lainevõrrandiks. Laine on harmooniline, kui häiritused alluvad harmoonilise võnkumise seadusele. Laine on võnkumiste levimine. Lainet põhjustab võnkeallika võnkumine. Kui võnkeallikas võngub harmooniliselt, siis on ka tekkiv laine harmooniline, ehk teisiti öeldes, laine profiiliks on sinusoid. Laineid saab tekitada ka gaasis, näiteks õhus. Laineallikaks on sel juhul heliallikas, mis paneb õhuosakesed võnkuma
Keskkonna osa, kus parameetrid , , ja on sõltumatud asukohast ruumis nimetatakse homogeenseks: Keskkonda võib lugeda homogeenseks ainult teatud tingimustel: piiratud ruumis (näiteks õhk toas või lainejuhi sees), mitte arvestades pindefekte jne. Homogeensust eeldatakse teatud lähenduses teoreetiliste ülesannete lahendamisel, kuna see hõlbustab oluliselt lahenduse käiku. Mittehomogeense keskkonna parameetrid sõltuvad koordinaatidest, s.t. Mittehomogeense keskkonna omadused on ruumi erinevates osades erinevad. Rangelt võttes on peaaegu alati tegemist mittehomogeense keskkonnaga. Maapinna osakeste ja vee segu veekogu pinna lähedal pärast vihma on näide keskkonna mittehomogeensusest, kus parameetrid ja muutuvad sõltuvast sügavusest. Ionosfääri, kui gaasilist positiivsete, negatiivsete ja neutraalsete osakesi segu, võib vaadelda nagu elektromagnetiliselt mittehomogeenset keskkonda
Vektorit tähistatakse kas üheainsa tähega või kahe suure tähega, mille kohal on nool: a, b, AB Vektori kui suunatud lõigu pikkuseks nimetatakse selle lõigu pikkust. Vektori a pikkust märgitakse sümboliga a või a. Vektori koordinaadid Kui on antud vektori alguspunkt A (x1; y1; z1) ja lõpp-punkt B(x ; y ; z ), siis vektori AB koordinaatide leidmiseks lahutame 2 2 2 lõpp-punkti koordinaatidest vastavad alguspunkti koordinaadid, s.t. AB = ( x - x ; y - y ; z - z ) 2 1 2 1 2 1 Näide Leida vektori AB koordinaadid, kui A (-1; -2;1) ja B(4; -6; 2). Lahendus AB = ( 4 - ( -1);-6 - ( -2);2 -1) = (5;-4;1) Vektori pikkus Teades vektori koordinaate, saame leida selle pikkuse valemist AB = X 2 +Y 2 + Z2 kus X ,Y ja Z on vektori AB koordinaadid. Näide Leiame eelmises näites antud vektori AB = (5;-4;1) pikkuse. Lahendus
- Lainelised omadused ilmnevad osakeste liikumisel, korpuskulaarsed nende vastastikmõjus, nt põrgetel. 15. Mille kohta loodi Schrödingeri-Heisenbergi teooria? Millest selles lähtuti? Mida väljendab see valem? - Teooria loodi mikroosakeste lainevõrrandi kohta. Lähtuti üldisest lainevõrrandist, mis kirjeldab igasuguseid laineid ja sulandati see de Broglie seosega. Schrödingeri võrrand väljendab osakese leiulaine sõltuvust koordinaatidest ja ajast, kui on teada osakese mass ja talle mõjuvad jõud. 16. Mida uurib kvant- ehk lainemehaanika? - Kvantmehhaanikas kirjeldatakse füüsikalisi objekte ja nende omadusi statistiliselt. kvantmehaanika abil on võimalik täpselt arvutada aatomite, molekulide, tahkiste ja lihtsate bioloogiliste süsteemide (kvantbioloogia) omadusi. 17. Millisel kahel viisil võiks lainet iseoloomustada? - Ruumiliselt ja ajaliselt. 18. Selgita määramatuse printsiipi ehk täpsuspiirangut
Vektorit tähistatakse kas üheainsa tähega või kahe suure tähega, mille kohal on nool: a, b, AB Vektori kui suunatud lõigu pikkuseks nimetatakse selle lõigu pikkust. Vektori a pikkust märgitakse sümboliga a või a. Vektori koordinaadid Kui on antud vektori alguspunkt A (x1; y1; z1) ja lõpp-punkt B(x2; y2; z2), siis vektori AB koordinaatide leidmiseks lahutame lõpp-punkti koordinaatidest vastavad alguspunkti koordinaadid, s.t. AB ( x 2 x1 ; y 2 y1 ; z 2 z1 ) Näide Leida vektori AB koordinaadid, kui A (-1; -2;1) ja B(4; -6; 2). Lahendus AB ( 4 ( 1);6 ( 2);2 1) (5;4;1) Vektori pikkus Teades vektori koordinaate, saame leida selle pikkuse valemist AB X 2 Y2 Z2 kus X ,Y ja Z on vektori AB koordinaadid. Näide Leiame eelmises näites antud vektori AB (5;4;1) pikkuse. Lahendus AB 5 2 (4) 2 11 42 6,5
Vektorit tähistatakse kas üheainsa tähega või kahe suure tähega, mille kohal on nool: a, b, AB Vektori kui suunatud lõigu pikkuseks nimetatakse selle lõigu pikkust. Vektori a pikkust märgitakse sümboliga a või a. Vektori koordinaadid Kui on antud vektori alguspunkt A (x1; y1; z1) ja lõpp-punkt B(x2; y2; z2), siis vektori AB koordinaatide leidmiseks lahutame lõpp-punkti koordinaatidest vastavad alguspunkti koordinaadid, s.t. AB ( x 2 x1 ; y 2 y1 ; z 2 z1 ) Näide Leida vektori AB koordinaadid, kui A (-1; -2;1) ja B(4; -6; 2). Lahendus AB ( 4 ( 1);6 ( 2);2 1) (5;4;1) Vektori pikkus Teades vektori koordinaate, saame leida selle pikkuse valemist AB X 2 Y2 Z2 kus X ,Y ja Z on vektori AB koordinaadid. Näide Leiame eelmises näites antud vektori AB (5;4;1) pikkuse. Lahendus AB 5 2 (4) 2 11 42 6,5
nimekirjana (kas kõik või klassi kaupa), saadud nimekirja sorteerida päise järgi ja printida. Samuti saab nimekirjast valitud punkti kohta eraldi aknas täpsemat teavet. Mõõta võiks kindlal kõrgusel kindelpunktist, et võimaldada GPSile korralikku signaali 5 satelliitidelt ning anda sellele piisavalt aega keskmistamiseks. GPS valetab juhul, kui erinevus teadaolevaist koordinaatidest on heades tingimustes üle 7 meetri uuematel GPS- idel ja üle 10 m vanematel (üle 3aasta vanustel) seadmetel. Peab muidugi arvestama, et saadud tulemus kehtib ainult antud kohas ja ajahetkel. Teistes tingimustes (signaal takistatud, satelliitide geomeetria teistsugune) võib näit kujuneda hoopis erinevaks. Renault ESPACE Navigatsiooni süsteem 6 Skeem 7
suunaga. Elektrivälja tugevus on positiivsele ühikproovilaengule antud väljapunktis mõjuv jõud. 3. Gaussi teoreem integraalsel ja diferentsiaalsel kujul. Gaussi teoreem: elektrivälja tugevuse vektorvoog läbi kinnise pinna on võrdne selle pinna sees olevate laengute algebralise summaga, jagatud elektrilise konstandiga 0. Gaussi teoreem diferentsiaalse kujul: Vähendatakse ruumala kuni see muutub punktiks. Elektrostaatilisevälja divergents Divergents skalaarne funktsioon koordinaatidest Divergents näitab kuidas elektriväli muutub selle punkti läheduses. Mittehomogeenne väli ( väljatugevus ei ole kõigis punktides ühesugune) muutub iga telje suunas erinevalt. Iga välja punkt on laengu enda punktiks. Juhul kui div E on positiivne, siis nendes välja punktides asuvad välja allikad. Seal kus on negatiivne seal välja neelud. Vektori E jooned saavad alguse allikatest ja suubuvad neeludes. 4. Gaussi teoreemi rakendusi.
paarisarv. Nt. 7*7=49; 7+7=14. Parabool on ruutfunktsiooni graafik. Parabooli haripunkt on punkt, mis asub parabooli sümmeetriateljel. See jaotab parabooli kaheks haruks. Paralleelsed sirged on sirged, mis pikendamisel üksteisega kunagi ei ristu. Sirged a ja b ning sirged d ja e on paralleelsed. Piirdenurk on nurk, mille tipp on ringjoonel ja haarad lõikavad ringjoont nimetatakse piirdenurgaks Punkti abtsiss ehk x - koordinaat on esimene punkti koordinaatidest ühe-, kahe- või kolmemõõtmelises koordinaadistikus. Punkti ordinaat ehk y - koordinaat on teine punkti koordinaatidest ühe-, kahe- või kolmemõõtmelises koordinaadistikus. Pöördarvudeks nimetatakse kahte arvu, mille korrutis võrdub 1-ga. Antud nullist erineva arvu pöördarvuks nimetatakse arvu 1 ja antud arvu jagatist. Pöördvõrdelises seoses on kaks muutujat, kui nende korrutis on konstantne ehk muutumatu.
mõelda, tundus see meile kõige loogilisem. Kuna abivahendeid ei tohtinud kasutada, oli loogiline vähe jõudu rakendada ja oodata. Võnkesüsteem Võnkesüsteem on vastastikmõjus olevatest kehadest koosnev süsteem, milles võib esineda võnkumine. Võnkesüsteemide ühised omadused: · eksisteerib tasakaaluolek, mille korral süsteemi potentsiaalne energia on minimaalne; · tasakaaluolekust välja viidud kehale mõjub koordinaatidest sõltuv jõud, mis püüab teda tasakaaluolekusse tagasi viia; · nullist erineva mistahes kiirusega tasakaaluolekusse saabuv keha liigub inertsuse tõttu edasi Võnkumise võib põhjustada: · elastsusjõud - kehtib Hooke'i seadus · raskusjõud - kehtib gravitatsiooniseadus Matemaatiline pendel Matemaatiliseks pendliks nimetatakse väikeste mõõtmetega keha, mis on riputatud venimatu ja väga väikese massiga niidi otsa
Vabavõnkumine on näiteks vedru või niidi otsa kinnitatud koormuse võnkumine (vedrupendel, niitpendel), sest pärast sellise süsteemi tasakaalust väljaviimist saab keha võnkuda perioodiliste välisjõudude mõjuta: võnkumine toimub ainult sisejõudude - raskusjõu ja elastsusjõu mõjul. Looduses esineb palju mitmesuguseid vabavõnkumisi (vaata: füüsikaline pendel). Mehaaniliste vabavõnkumiste tekkimise tingimused: 1. Vähemalt üks kehale mõjuvatest jõududest peab sõltuma koordinaatidest. Tasakaaluasendis peab kehale mõjuvate jõudude resultant võrduma nulliga. Tasakaalust väljaviidud kehale mõjuvate jõudude resultant peab olema nullist erinev ning suunatud tasakaaluasendi poole. 2. Süsteemi kehade vahelised hõõrdejõud peavad olema väikesed. Vastasel korral võnkumine sumbub kiiresti või ei teki üldse. Kui kaua võnguvad kehad vabalt? Matemaatilist pendlit saab võnkuma panna kahel viisil: 1
tähistatakse a'b', nim vektorite areaalkorrutiseks, mis võrdub nende vektorite koordinaatidest moodustatud determinandiga. 7. C(a+b)=ca+cb 1. Antikommutatiivsus Ringi, milles korrutamine on kommutatiivne, nim kommutatiivseks
1) alusel, mis projekteerituna Descartes'i koordinaattelgedele x, y, z omandab kuju (3.1). Sealjuures on üldiselt J. Kirs Loenguid ja harjutusi dünaamikast 13 jõud F , seega ka tema projektsioonid Fx, Fy, Fz, muutuvad suurused. Millest jõud võib oleneda? Eelkõige muidugi ajast t. Teiseks võib jõud oleneda punkti asuko- hast, s.t kohavektorist r ehk teisiti öeldes -- punkti koordinaatidest x, y, z. Näitena võib siin tuua elastsusjõu -- mida pikem on vedru, seda suurem on jõud, seega elastsusjõud oleneb tõepoolest vedru otspunkti koordinaatidest (või koordinaadist). Kolmandaks võib jõud oleneda punkti liikumise kiirusest, s.t vektorist v = r ehk teisiti öeldes tuletistest x , y ja z . Näitena võib tuua keskkonna viskoosse takistus-jõu, mille suurus on võrdeline kiirusega. Kokkuvõttes võib süsteemi (3.1) esitada siin kujul
Sama sihiga ehk samasihilisi vektoreid nimetatakse kollineaarseteks. Vektorid on kollineaarsed siis, kui nende koordinaadid on võrdelised (s.t. vastavate koordinaatide jagatised on võrdsed). Vektori lahutamisel asendame lahutamise vastandvektori liitmisega. Vektori liitmisel liidame vastavad koordinaadid, lahutamisel lahutame. Vektorid i ja j ristuvad ühik vektorid. Ühe ühiku pikkused, teljestiku sihis. Vektori koordinaatide leidmiseks lahutan lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti koordinaadid. Vektori pikkus võrdub ruutjuurega koordinaatide ruutude summast. Sellist vektorit, mille algus punktid on koordinaatide alguspunktis nim kohavektoriks. Kohavektori koordinaadid on samad, mis vektori lõpp koordinaadid. Sellist vektorit, mille pikkus on 0 ühikut, nim nullvektoriks. Sellist vektorit, mis on 1 ühik pikk nim ühikvektoriks.
määrab elektroni energia taseme. Orbitaal ehk kõrvalkvant arv, määrab orbitaali ruumilise kuju ja omab täisarvulisi väärtusi. Magnetkvantarv Me määrab orbitaali orientatsiooni ruumis. Tugevas magnetväljas iseloomustab mingilmääral elektroni kaugust tuumast. · Mis on Schödingeri võrrand? Schödingeri võrrand on kvantmehaanika põhivõrrand, mille kaudu saab arvutada osakese liulaine sõltuvuse koordinaatidest ja ajast · Mida näitab perioodilisustabelis periood ja mida näitab rühm? Periood näitab elektronkihtide arvu. Rühm näitab mitu elektroni on viimasel kihil. · Pauli keeluprintsiip ehk tõrjutusprintsiip. Pauli tõrjutusprintsiip ütleb, et ühes ja samas aatomis ei saa olla kaht täpselt samasuguste kvantarvudega elektroni. · Mitu elektroni saab maksimaalselt ühes aatomis olla? Igal kihil saab olla maksimaalselt 2n2 elektroni.
Maapinna punkti asendit määravat pikkust ja laiust nimetatakse antud punkti geograafilisteks koordinaatideks. Kui geograafilised koordinaadid on arvutatud ellipsoidile redutseeritud geodeetiliste mõõtmiste järgi, siis nimetatakse neid koordinaate geodeetiliseks pikkuseks ja laiuseks. Geograafilisi koordinaate võib määrata ka astronoomiliste vaatlustega. Sel teel saadud astronoomilised pikkused ja laiused erinevad veidi geodeetilistest koordinaatidest. 1 Koostanud: Ene Ilves L B Punkti K paralleel (KB) K B A T N K′
ristprojektsioone koordinaatttelgedele. Igale tasandi punktile vastab üks ja ainult üks ristkoordinaatidest moodustatud arvupaar ja vastupidi: igale arvupaarile vastab üks ja ainult üks tasandi punkt. Matemaatikas tähistatakse tavaliselt ühel ristuvatest koordinaattelgedest olevat olevat arvu x-ga ja teisel koordinaatteljel oleval arvu y-ga. Sel juhul on tegemist xy-teljestikuga ja me saame rääkiga tasandil asuva punkti x- ja y-koordinaatidest. Reaalarvu absoluutväärtus. Reaalarvu a absoluutvaartuseks nimetatakse jargmist mittenegatiivset reaalarvu: Reaalarvu a absoluutvääartust võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku , on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse
nimetatakse elektrivälja tugevuseks. Elektrivälja tugevus E on vektoriaalne suurus, mille suund ühtib vaadeldavasse väljapunkti asetatud positiivsele punktlaengule mõjuva jõu F suunaga. 22.11.12 15:01 (C) V. Kalling 13 JÕUD ELEKTRIVÄLJAS · Kui on teada elektrivälja tugevus, siis on kerge määrata jõudu, mis mõjub punktlaengule q teatud ruumipunktis 22.11.12 15:01 (C) V. Kalling 14 ELEKTRIVÄLJA STRUKTUUR · Kui E sõltub koordinaatidest, nimetatakse väli mittehomogeenseks. · Kui aga vektor E on nii suuna kui mooduli poolest ühesugune kõikides ruumi punktides, siis nimetatakse see väli homogeenseks. · On selge, et ühtlases väljas on välja poolt laetud kehale mõjuv jõud ka ühesugune kõikides samal kaugusel asuvates punktides. 22.11.12 15:01 (C) V. Kalling 15 Punktlaengu elektrivälja tugevus q on elektrivälja
листа) 3. Fluidumi staatika. Hüdrostaatika põhivõrrand ja selle rakendamine Eeldused valemi tuletamisel: 1. staatiline fluidum 2. pinnajõududest mõjub ainult rõhujõud 3. massijõududest on ainus mahule dV mõjuv gravitatsioonijõud gdxdydz, mis on suunatud alla (z-telg on vertikaalne) Saadud võrrandid on Euleri hüdrostaatika diferentsiaalvõrrandid (1755.a).Võrrandisüsteemi (2.8) kaks esimest võrrandit väljendavad rõhu sõltumatust koordinaatidest x ja y. Horisontaalsed tasapinnad on seega samarõhupinnad, mille kõigis punktides valitseb ühesugune rõhk. 4. Fluidumi dünaamika. Mehaanilise energia bilanss. Bernoulli võrrand, Bernoulli võrrandi erinevad kujud ja rakendamine. Bernoulli võrrandi rakendamine voolukiiruse ja vooluhulga mõõtmisel. Bernoulli võrrandi ra kendamine voolamisel avadest. Hüdrodünaamika (HD) on hüdromehaanika haru, mis käsitleb
mille arvutused on tehtud ellipsoidil GRS80, kasutades järgmisi arvandmeid: 1) telgmeridiaan LC = 24° 00' E; 2) esimene standardparalleel BS = 58° 00' N; 3) teine standardparalleel BN = 59° 20'; 4) koordinaatide algpunkti geodeetilised koordinaadid B0 = 57° 31' 03''.19415 N, L0 = 24° 00' E; 5) koordinaatide algpunkti ristkoordinaadid X0 = 6 375 000 m, Y0 = 500 000 m. (2) Projektsiooni LAMBERT-EST kasutatakse tasapinnaliste ristkoordinaatide L-EST97 arvutamiseks geodeetilistest koordinaatidest EUREF-EST97. GRS80 ellipsoidiga, 5. Arutlege GPS-signaali koodidega moduleerimise eesmärgi üle. Iga satelliit kasutab erinevat signaali moduleerimise koodi. Jälgides vastuvõtja laine asemel moduleeritud koode, on kergem leida atmosfääri erinevates kihtides levimisel tekkinud viivitust ja teha korrektsioone. Koodi moduleeritakse, et saada pseudokaugus. Moduleerimine, signaali muutmine, faasi nihutatakse 180 kraadi. 6
klassi punkte koos nimede või numbritega. Lisaks on võimalik kuvada kaardiaknasse jäävad kindelpunktid nimekirjana (kas kõik või klassi kaupa), saadud nimekirja sorteerida päise järgi ja printida. Samuti saab nimekirjast valitud punkti kohta eraldi aknas täpsemat teavet. Mõõta võiks kindlal kõrgusel kindelpunktist, et võimaldada GPSile korralikku signaali satelliitidelt ning anda sellele piisavalt aega keskmistamiseks. GPS valetab juhul, kui erinevus teadaolevaist koordinaatidest on heades tingimustes üle 7 meetri uuematel GPS- idel ja üle 10 m vanematel (üle 3aasta vanustel) seadmetel. Peab muidugi arvestama, et saadud tulemus kehtib ainult antud kohas ja ajahetkel. Teistes tingimustes (signaal takistatud, satelliitide geomeetria teistsugune) võib näit kujuneda hoopis erinevaks. TULEVIKU PERSPEKTIIVID EASi klastriprojektis osalenud jagavad arvamust, et GPS-jälgimissüsteemist on saamas
Muuta instrumendi kõrgus ja teha kontrolliks otsast niveleerimine uuesti. 14. Eesti riiklik ristkoordinaatide süsteem. Eesti põhikaardi ja tasapinnaliste ristkoordinaatide süsteem põhineb Lamberti konformsel koonilisel projektsioonil (LAMBERT-ESTONIA) tuginedes elipsoidi GRS80 parameetritele. Projektsiooni Lambert –Estonia kasut tasapinnaliste ristkoordinaatide L-EST97 arvutamiseks geodeetilistest koordinaatidest EUREF-EST. Riigi geodeetilise põhivõrgu punktide tasapinnaliste riskoordinaatide määramisel võetakse Eestis X-teljeks GRS80 elipsoidi 24° meridiaani projektisioon Lamberti konformse koonilise projektsiooni tasandile ja Y –teljeks sellega ristuv suund koordinaatide alguspunktis. Meridiaan idapikkusega 24° nim ka telgmeridiaaniks. Riigi riskoordinaatide süsteeli L-EST97alguspunktiks on valitud Põhja-Lätis, Riia lahes asuv punkt.
Kaasutegur nüü=A/Q1. Tasakaalu asendist välja viidud, tekib v2 2 Võrrand näitab hälbe olenevalt koordinaatidest ja 1 1 Carnot’ tsükkel- pööratav tsükkel, mille pöördemoment M=- mglsin. Pendli c2 c2 ajast
telje, siis tema punktide koordinaadid xi ja yi ju kogu aeg muutuvad ja seetõttu muutuvad ju ka Ixy , I yz ja I zx . 3) Tsentrifugaalinertsmomendid võivad olla nii positiivsed kui ka negatiivsed suurused ja erijuhtumil, telgede xyz sobival valikul, saada võrdseks nulliga. Selle poolest erinevad tsentrifugaalinertsmomendid tavalistest teljelistest inertsmomentidest, mis ei saa kunagi olla negatiivsed (vt. valemit 9.1). Tsentrifugaalinertsmomendi märk oleneb süsteemi (keha) punktide koordinaatidest ning nende märkidest antud ajahetkel. 4) Tsentrifugaalinertsmomendid muudavad pöörleva süsteemi uurimise äärmiselt tülikaks ettevõtmiseks. Seetõttu püütakse nendest võimaluse korral lahti saada. 5) Tsentrifugaalinertsmomendid on skalaarsed suurused, mis iseloomustavad keha (süsteemi) massijaotust. 6) Tsentrifugaalinertsmomendid iseloomustavad mittesümmeetriat keha massijaotuses. 52. Millised tsentrifugaalinertsmomendid on nullid juhul, kui kehal on sümmeetriatelg?
F = q' E dA = F dl = q ' E dl A = E dl 1 E dl =0 - konservatiivsete jõudude töö kinnisel trajektooril on 0 1.8. Potentsiaal Kuna töö sõltub ainult punkti alg- ja lõppasukohast, siis saab seda integraali väljendada kahe koordinaatidest sõltuva skalaarse funktsiooni vahega, mis iseloomustavad elektrivälja nendes punktides. 2 1 - 2 = E dl 1 A A = q (1 - 2 ) A = q = (V ) q q 1 1 n
numbritega. Lisaks on võimalik kuvada kaardiaknasse jäävad kindelpunktid nimekirjana (kas kõik või klassi kaupa), saadud nimekirja sorteerida päise järgi ja printida. Samuti saab nimekirjast valitud punkti kohta eraldi aknas täpsemat teavet. Mõõta võiks kindlal kõrgusel kindelpunktist, et võimaldada GPS–ile korralikku signaali satelliitidelt ning anda sellele piisavalt aega keskmistamiseks. GPS valetab juhul, kui erinevus teadaolevaist koordinaatidest on heades tingimustes üle 7 meetri uuematel GPS- idel ja üle 10 m vanematel (üle 3–aasta vanustel) seadmetel. Peab muidugi arvestama, et saadud tulemus kehtib ainult antud kohas ja ajahetkel. Teistes tingimustes (signaal takistatud, satelliitide geomeetria teistsugune) võib näit kujuneda hoopis erinevaks. GARMIN GPS. Võib väita, et Eesti jaoks on antud hetkel parim valik GPS seadmetest firma Garmin tooted. Seda
Nt autoga kurvis sõites kaldub inimene ja autos olevad asjad kurvist väljapoole. Võnkesüsteem Võnkesüsteem on vastastikmõjus olevatest kehadest koosnev süsteem, milles võib esineda võnkumine. 1. Võnkesüsteemide ühised omadused: eksisteerib tasakaaluolek, mille korral süsteemi potentsiaalne energia on minimaalne; 2. tasakaaluolekust välja viidud kehale mõjub koordinaatidest sõltuv jõud, mis püüab teda tasakaaluolekusse tagasi viia; 3. nullist erineva mistahes kiirusega tasakaaluolekusse saabuv keha liigub inertsuse tõttu edasi Harmooniline võnkumine, seos ringliikumisega Harmoonilise võnkumise ja ringliikumise vahel on mitmeid olulisi sarnasusi. Võnkumisel kordub pidevalt üks ja sama tsükkel, edasi-tagasi liikumine, ning rakendatakse selliseid suurusi nagu sagedus ja periood.
x x kx 2 kx02 A = Fel ( )d = 2 d = - = E p - E p0 . (5.30) x0 x0 2 2 Jõude, mille väljas keha liigutamisel tehtud töö ei sõltu trajektoori kujust, vaid ainult keha potentsiaalsete energiate vahest trajektoori alg- ja lõpp-punktis, nimetatakse konservatiivseteks jõududeks. Kui keha liigutada konservatiivse jõu väljas, siis tema potentsiaalne energia sõltub tema koordinaatidest. Homogeenses raskusväljas lineaarselt z-koordinaadist, elastsusjõu väljas x- koordinaadi ruudust. Tsentraalses raskusväljas, kus proovikeha potentsiaalne energia GMm Ep = - , (5.30a) r 9 kus M on välja allika mass, m proovikeha mass ja r proovikeha kaugus välja allika
võrrandist lugeda. Nende abil saame otsustada sirgete vastastikuse asendi üle ja leida nendevahelise nurga. Võrreldes tasandiga lisandub ruumis uus mõiste kiivsed sirged. Õpilane peab suutma leida ka sirgete lõikepunkti. Tasandi võrrandi koostamise aluseks on kaks võimalust: 1) normaalvektori ristseis tasandil asuva vektoriga (normaalvektori ja tasandil asuva vektori skalaarkorrutis on null); 2) kolme vektori komplanaarsus (kolme vektori koordinaatidest moodustatud determinant on null). Kahe tasandi vastastikuse asendi määramiseks vajame nende normaalvektoreid, samuti saame nende abil (kasutades skalaarkorrutist) leida tasanditevahelise nurga. Sirge ja tasandi vastastikuse asendi määrame sirge punkti ja sihivektori ning tasandi normaalvektori abil. Õpilane leiab ka sirge ja tasandi vahelise nurga (sihivektori ja normaalvektori skalaarkorrutist kasutades) ning nende lõikepunkti (võrrandite süsteemi lahendades).
i kõiki lahendeid. LVS-i lahendid, mis on saadud üldlahendist parameetritele ( kõigile või osale parameetritest) arvuliste väärtuste omistamise teel, nimetatakse antud LVSi erilahendiks. 73. Sirge võrrandid tasandil ja ruumis Sirge võrrand tasandil ruumis Parameetrilised võrrandid x ¿ s 1 t+ x0 { x ¿ s 1 t+ x0 koordinaatidest s: y ¿ s2 t + y0 S: { y ¿ s2 t + y 0 z ¿ s 3 t+ z 0 Kanooniline võrrand x−x 0 y− y 0 S: S: = s1 s2 x−x 0 y− y o z−z 0 = =
Punkt M kuulub sirgele parajasti siis, kui vektorid s ja M 0 M on kollineaarsed. Ehk x x0 y y0 z z0 . (*) m n p Võrrandeid (*) nimetatakse sirge kanoonilisteks võrranditeks. 8 Sirge võrrand läbi etteantud punkti antud suunavektoriga. Vektor s ei saa olla nullvektor, küll aga võib olla mõni tema koordinaatidest 0 ja on võimalik järgmine x x0 y y0 z z0 kirjaviis (mõistame nii, et ka lugeja on 0): . 0 n p Näide: Koostada võrrandid sirgele, mis on risti tasandiga x 2 y z 1 0 ja läbib selle tasandi ja 0x telje lõikepunkti. Leiame antud tasandi lõikepunkti 0x teljega: yz0 x 1 1,0,0
katlaruum. Kuigi Murdoch oli jõudnud kõik veetihedad uksed ühe kangilevajutusega sulgeda veel enne, kui ,,Titanic" jäämäega kokku põrkas, ei päästnud see Andrewsi sõnul mitte midagi. ,,Titanicu" põhjaminek oli vaid aja küsimus. ,,Titanicu" radist Phillips hakkas saatma CQD hädasignaali, ,,Titanicu" kutsungit MGY ja laeva koordinaate. Muuseas oli ka ,,Titanic" esimene laev, kes saatis SOS hädasignaali Atlandi ookeanilt. Kuid levihäirete tõttu saadi koordinaatidest valesti aru. ,,Titanicust" 58 miili kaugusel asuva ,,Carpathia" 21- aastane radist Harold Cottam võttis vastu uppuva laeva hädasignaali ja teavitas sellest ,,Carpathia" kaptenit Arthur Henry Rostronit. ,,Carpathia" kapten mobiliseeris laeva meeskonna. Teade jõudis edasi ka maismaale, kogu maailm jälgis pingsalt sündmuste käiku. Teate sai kätte ka sõsarlaev ,,Olympic", kuid ta asus kahjuks 500 miili kaugusel. Kuid mitte ükski teine laev ei olnud nii lähedal, kui too salapärane
Kust tuleb selline äärmine stabiilsus? Tekib küsimus, kas ei või süsteemi dünaamikal olla selliseid aspekte, mis iseloomustavad süsteemi käitumist kui tahes pika aja vältel ning mille leidmiseks pole vaja tohutuid arvutusi. Sellised suurused on tõepoolest olemas, neid nimetatakse kas jäävusseadusteks või siis üldisemalt isoleerivateks liikumisintegraalideks. Alati kehtib impulsimomendi ja energia jäävus. Vastavad suurused on küllalt lihtsad avaldised planeetide koordinaatidest ja kiirustest ning ükskõik kui kaua ja keeruliselt planeedisüsteem ka tiirleks, võime olla kindlad, et nende avaldiste väärtused ei muutu. Need jäävusseadused välistavad näiteks võimaluse, et kõik planeedid hakkaksid tiirlemisel Päikesele lähenema või vastupidi -- Päikesest eemalduma. Päikesesüsteemi 9 planeedi dünaamilist olekut kirjeldab 54 parameetrit (3 koordinaati ja 3 kiiruse
x p - = 0 (3.12) y - p - g = 0 z kus x, y, z on ruumalaühiku koordinaadid ristteljestikus, ning g raskuskiirendus. Siit on näha, et rõhk, mis mõjub ruumalaühikule, on koordinaatidest x ja y sõltumatu, seega, osatuletist z järgi Euleri võrrandis saab asendada tavalise tuletisega: dp - - g = 0 (3.13). dz Integreerime järgnevalt viimast võrrandit. Kuna vedeliku tihedus ja raskuskiirendus on konstantsed suurused, saame järgmise tulemmuse: - p = gz + C , (3.14) kus C on integreerimise konstant.
Üleslükkejõu kandesirge lõikepunkti keha telgjoonega nimetatakse metatsentriks M. Mida suuremaks läheb laeva kreen, seda lähemale M'le liigub raskuskeskme poole ning võib lõpuks sellega ühtida. Laeva püsti keerav jõumoment kaob, järgneb ümberminek. Hüdrodünaamika Hüdrodünaamika on hüdromehaanika haru, mis käsitleb vedelike liikumise seaduspärasusi ning liikuva vedeliku ja tahkete kehade vahelist mõju. 1.15 Voolamist iseloomustavad suurused Rõhu sõltuvus punkti koordinaatidest ja ajast: Sellist liikumist, milles nii kiirus u kui ka rõhk millises tahes vedeliku punktis sõltuvad peale ruumikoordinaatide ka ajast t, nimetatakse ebastatsionaarseks voolamiseks: Kõik suurused sõltuvad ajast: ja . Muutumatu ehk statsionaarne voolamine ajast ei sõltu. Voolamist iseloomustavad muutujad ajas ei muutu: ja . Statsionaarne voolamine võib olla ühtlane ja mitteühtlane.
Mõõtühik:1kg*m2 9. PERIOODILINE LIIKUMINE 1. Võnkesüsteem Võnkesüsteem on vastastikmõjus olevatest kehadest koosnev süsteem, milles võib esineda võnkumine. Võnkesüsteemide ühised omadused: eksisteerib tasakaaluolek, mille korral süsteemi potentsiaalne energia on minimaalne; 6 tasakaaluolekust välja viidud kehale mõjub koordinaatidest sõltuv jõud, mis püüab teda tasakaaluolekusse tagasi viia; nullist erineva mistahes kiirusega tasakaaluolekusse saabuv keha liigub inertsuse tõttu edasi 2. Harmooniline võnkumine, seos ringliikumisega (+ joonis) Harmooniliseks nimetatakse võnkumist, milles võnkuv suurus muutub ajas sinusoidaalse seaduspärasuse järgi. 3.Liikumisvõrrand suuruste
Pikilainetel tahkises (pinguletõmmatud nööris või traadis) v = (T / S)1/2 (T - pingutusjõud, - tihedus, S - ristlõikepindala). Ristlainetel tahkises v = (E / )1/2 ( E - elastsusmoodul, - tihedus). Pikilainetel vedelikus v = (B / )1/2 (B - ruumelastsusmoodul, - tihedus). Pikilainetel gaasis v = (k p / )1/2 (k - moolsoojuste suhe, p - rõhk, - tihedus). Lainefunktsioon määrab lainetusel levivate võnkumiste hälbe u sõltuvalt koordinaatidest ja ajast. Piki x-telge leviva tasalaine korral lainefunktsioon u(x , t) = A cos ( t - k x), kus suurust k nimetatakse lainearvuks. Lainearv k = 2 / näitab, kui mitu lainepikkust mahub 2 meetrisse. Huygens'i printsiip: Lainefrondi iga punkti võib vaadelda uute lainete allikana. Lainete difraktsioon on lainete kõrvalekalle sirgjoonelisest levimisest (levik varju piirkonda). Difraktsioon on hästi jälgitav, kui tõkke või ava mõõtmed on lainepikkusega samas suurusjärgus.
F= - k x 6.Resonants sundvõnkumise amplituudi järsku suurenemine võnkesüsteemile mõjuva välisjõu sageduse ühtimisel süsteemi omavõnkesagedusega. , , . Sundvõnkumine Võnkesüsteemis välise vahelduva häirituse mõjul tekkiv võnkumine., , 7.Lainepikkus Laine karakteristik, kahe lähima ühes ja samas faasis oleva (faasivahe 2) punkti vaheline kaugus. 2 .==f 8.Laine võrrand- nim avaldist, mis maarab vqnkuva punkti halbe olenevalt tema koordinaatidest x, y, z ja ajast t. Funktsioon peab olema perioodiline nii aja kui ka koordinaatide suhtes. Tasalaine =acos(t-kx); -suurus vqrrandis on suvalise punkti koordinaatiga x halve aja hetkel.tasalaine, kirjeldab vqnkumist;-ringsagedus, k- lainearv, a-amplituudKeralaine vqrrand: =a/r cos(t-r/v)a-konst, mis arvuliselt on vqrdne amplituudiga uhikulisel kaugusel allikast.r-raadius 9. - , , . . . . L=logI/I0 I - on antud heli intensiivsus, I0-lahtesuuruseks vqetud intensuuvsus 10
Raadionavigatsiooniks nimetatakse laevade, lennukite või muude liikumisvahendite juhtimist raadioseadmete abil. Raadiomajakas on kindla asukohaga raadiosaatja, mis väljastab ainult temale omaseid raadiosignaale. Raadiopeilingaator on raadiovastuvõtja, mis võimaldab määrata saabuva raadiokiirguse suunda. Laeval või lennukil paikneva raadiopeilingaatori abil määratakse eri raadiomajakate signaalide päralejõudmise suunad ja nende suundade vahelised nurgad. Lähtudes raadiomajakate koordinaatidest võib nüüd kindlaks teha laeva või lennuki koordinaadid. Ülemaailmne asukoha määramise süsteem (ingl.k. Global Positioning System, lüh. GPS, eesti vaste: Globaalne Punkti Seire) põhineb uuritava punkti ja raadio- majakana toimiva Maa tehiskaaslase (sidesatelliidi) vahekauguse ülitäpsel mõõt- misel. Uuritavas punktis paiknev vastuvõtja registreerib mitmelt erinevalt satelliidilt üheaegselt lähtuvate raadiosignaalide päralejõudmises esinevaid ajalisi nihkeid.
Lainete levimiskiirus on määratud levimiskeskkonna omadustega. Pikilainetel tahkises (pinguletõmmatud nööris või traadis) v = (T / S)1/2 (T - pingutusjõud, - tihedus, S - ristlõikepindala). Ristlainetel tahkises v = (E /)1/2 ( E - elastsusmoodul, - tihedus). Pikilainetel vedelikus v = (B /)1/2 (B - ruumelastsusmoodul, - tihedus). Pikilainetel gaasis v = (k p /)1/2 (k - moolsoojuste suhe, p - rõhk, - tihedus). Lainefunktsioon määrab lainetusel levivate võnkumiste hälbe u sõltuvalt koordinaatidest ja ajast. Piki x-telge leviva tasalaine korral lainefunktsioon u(x , t) = A cos ( t - k x), kus suurust k nimetatakse lainearvuks. Lainearv k = 2 / näitab, kui mitu lainepikkust mahub 2 meetrisse. Huygens'i printsiip: Lainefrondi iga punkti võib vaadelda uute lainete allikana. Lainete difraktsioon on lainete kõrvalekalle sirgjoonelisest levimisest (levik varju piirkonda). Difraktsioon on hästi jälgitav, kui tõkke või ava mõõtmed on lainepikkusega samas suurusjärgus.
Asümptoodi võrrand on x = a. Olgu sirge x = a joone y = f(x) vertikaalasõmptoot. Kui punkt M = (x, y) eemaldub lõpmatusse joont y = f(x), siis vastavalt asümptoodi definitsioonile tema kaugus sirgest x = a läheneb nullile. Seega peab punkti M x- koordinaat lähenema arvule a kas vasakult või paremalt, st kas x a- või x a+. Teisest küljest: kuna punkti M kaugus koordinaatide alguspunktist kasvab piiramatult, siis peab vähemalt üks selle punkti koordinaatidest piiramatult kasvama. Nagu nägime, x koordinaat läheneb lõplikule arvule a. Seega kasvab punkti y-koordinaat piiramatult, st kas y - või y . Me saame formuleerida järgmise väite. Sirge x = a on joone y = f(x) asümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest: lim f (x) = - lim f (x)= xa- xa- lim f(x) = - lim f(x) = xa+ x a+
annaabi.ee 
