Mõõtmised topograafilisel kaardil II Punkti geodeetiliste ja ristkoordinaatide määramine (0)

 
LABORATOORNE TÖÖ NR. 2  
 
Mõõtmised topograafilisel kaardil II  Punkti  geodeetiliste  ja 
ristkoordinaatide  määramine  
 
Ülesanne  1.  Määrata  laboratoorses  töös  nr.  1  märgitud  kolme  punkti   geodeetilised   ja 
ristkoordinaadid ja kanda need tabelisse 2.1.  
Tabel 2.1. Punktide geodeetilised ja ristkoordinaadid 
Punkt
B
L
X
Y
1
59 11' 53"
24 59' 22"
6562,5
556,550
2
59 12' 58"
25 01' 16"
6564,55
558,4
3
59 11' 16"
25 00' 35"
6561,4
557,7
 
 
Maapinna punktide asukoht plaanidel ja kaartidel määratakse kindlaks koordinaatide 
abil. Põhilised kasutatavad koordinaatide süsteemid on järgmised. 
1. Geodeetilised koordinaadid on punkti laius B ja pikkus L. 
Maa  kuju  määravaks  matemaatiliseks  pinnaks  võetakse  pöördellipsoid. 
Nivoopinnaks  nimetatakse  rahulikus  asendis  olevat  ookeanide  ja   merede  
veepinda, mis mõtteliselt on laiendatud maismaa alla. Suure territooriumi jaoks 
plaanide  ja   kaartide   koostamisel  ehitatakse  meridiaanide  ja   paralleelide   võrk. 
Maa  telge  läbivate  tasandite  lõikumisel  ellipsoidiga  tekivad  tõelised  e. 
geograafilised  meridiaanid,  Maa   teljega   risti  olevate  tasandite  lõikumisel 
ellipsoidiga−  paralleelid.  Üks   sellistest   tasanditest  läbib  Maa  tsentri  ja 
moodustab  lõikude  ellipsoidiga   ekvaatori   (ATK′).  Paralleelid  on  ringi-, 
meridiaanid  poolringikujulised,  kui  silmas  pidada,  et  Maa  on  kerakujuline. 
Laiuse  määramisel on koordinaatide alguseks ekvaatori  tasapind , sest see omab 
muutumatut asendit Maa pinnal. Laius B on nurk, mis moodustub antud punkti 
läbiva  loodijoone,  täpsemini  ellipsoidi  normaali  ja  ekvaatori  tasapinna  vahel. 
Laius võib omada kõiki väärtusi 0o-st  ekvaatoril  kuni 90o-ni nii põhja kui lõuna 
suunas ja seda  nimetatakse vastavalt kas põhja- või lõunalaiuseks. Laius B on 
joonisel  2.1  tähistatud  B-ga,  see  on  kaarele  KK′  vastav  nurk   meridiaani  
tasapinnal .  Geograafiline  laius  määrab  ära  antud  punkti  paralleeli   arvulise  
väärtuse. Eesti asub paralleelide 57°,5 ja 59°,7 vahel.  
Pikkus  L  on  nurk,  mis  moodustub  antud  punkti  läbiva  meridiaani 
tasapinna  ja  algmeridiaani  (Greenwichi  meridiaani)  tasapinna  vahel.  Pikkusi 
arvestatakse  algmeridiaanist  ida  ja  lääne  suunas  (0o−180o)  ning  nimetatakse 
vastavalt ida- või läänepikkusteks. Pikkus L on tähistatud joonisel 2.1 tähega L 
ja  teda  mõõdetakse  kaarele  K′A  või  BK  vastava  nurgana.  Maapinna  punkti 
asendit  määravat  pikkust  ja  laiust  nimetatakse  antud  punkti  geograafilisteks 
koordinaatideks .  Kui  geograafilised  koordinaadid  on  arvutatud  ellipsoidile 
redutseeritud  geodeetiliste  mõõtmiste  järgi,  siis  nimetatakse  neid  koordinaate 
geodeetiliseks  pikkuseks  ja laiuseks. Geograafilisi koordinaate võib määrata ka 
astronoomiliste vaatlustega. Sel teel saadud astronoomilised pikkused ja  laiused  
erinevad veidi geodeetilistest koordinaatidest. 
 
1 
Koostanud : Ene Ilves 
 
L 
B 
Punkti K paralleel (KB) 
K 
B 
A 
T 
N 
K′ 
L 
KN-punkti K  normaal  
Punkti K meridiaan (KK′) 
Joonis 2.1. Geodeetilised koordinaadid 
 
2. Ristkoordinaadid on X ja Y. Et igale koordinaatide paarile  vastaks  tasapinnal ainult 
üks  punkt,  on  kokku  lepitud  koordinaatide  väärtuste  ette  kirjutada  pluss-või   miinus  
märk. 
 
x- telg  on  telgmeridiaan  kaardiprojektsiooni 
tasandil või temaga paralleelne suund 
+x 
IV veerand 
I veerand 
 
 
+X, −Y 
+X, +Y 
−y 
+y 
y-telg on ekvaatori joon 
III veerand 
II veerand 
 
 
kaardiprojektsiooni tasandil 
või temaga paralleelne 
−X, −Y 
−X, +Y 
suund. 
−x 
Joonis 2.2. Ristkoordinaatide määramine 
 
 
Maa  on  jaotatud  Gauss-Krügeri  kaardiprojektsioonis  meridiaanidega  6o 
tsoonideks.  Iga  tsooni  keskmine  meridiaan  ehk  telgmeridiaan  on  ristkoordinaatide 
süsteemi  X-telg.  Y-teljeks  on  võetud  ekvaatori  joon  või  sellega  paralleelne  joon. 
Telgmeridiaaniks  loetakse  meridiaane,  mis  asuvad  üksteisest  6o  kaugusel  alates  3o 
meridiaanist.  Telgmeridiaanid  on  meridiaanid,  mille  pikkuseks  on  3o,  9o,  15o  jne. 
Telgmeridiaane on kokku 60. Igas 6o tsoonis kehtib  omaette  ristkoordinaatide süsteem. 
Punkti  koordinaatide  määramisel  võetakse  aluseks  punktile  lähim  telgmeridiaan. 
Joonistel  kujutatakse  koordinaattelgi  ristuvate  sirgetena.  X  ehk   abstsiss   on  positiivne 
ekvaatorist  põhja  pool  ja  negatiivne  lõuna  pool.  Y  ehk   ordinaat   on  positiivne 
telgmeridiaanist ida pool ja negatiivne lääne pool. Telgmeridiaanil on ordinaadi väärtus 
500  km.  Y-koordinaadi  kolm  viimast  numbrit   tähistavad   kilomeetreid  ja  esimesed 
tsooni numbrit. 
 
2 
Koostanud: Ene Ilves 
Põhjalaius BA=58º10'+ΔB 
60ʺ=3,7cm 
ΔBʺ=4,35cm 
ΔBʺ=70ʺ=1'10ʺ 
BA=58º11'11ʺ 
Idapikkus  LA=27º20'+ΔL 
60ʺ=1,9cm 
ΔLʺ=3,7cm 
ΔLʺ=117ʺ=1'57ʺ 
BA=27º21'57ʺ 
Joonis 2.3. Kaardileht 1:50 000 
3 
Koostanud: Ene Ilves 
Joonisel 2.3 on kujutatud kaardileht 1: 50 000  mõõtkavas  (baaskaart), mille aadress ehk 
nomenklatuur   on  5442.  Punkti  B  ristkoordinaadid  (TM   Baltic '93,  TM-B,  so  Eesti  baaskaardi 
koordinaatsüsteem) on X ja Y. Sellele koordinaatsüsteemile tugineb ühtne Balti kaardisüsteem. 
Kaardile  on  kantud  see  10×10  cm  võrk  musta  värviga.  Et  saada  teada  punkti  B  X- koordinaati , 
tuleb kaardilehelt leida sellele punktile lähima lõunapoolse ristkoordinaatide võrgu joone väärtus 
ja  sellele  liita  juurdekasv  (∆x).  Juurdekasv  näitab,  kui  palju  on  punkt  kõrgemal  lähimast 
lõunapoolsest võrgu joonest. Punkti B X- koordinaat  (1 cm vastab 500 m): 
 XB=6 455 000+∆x=6 455 000+(1,35 × 500)=6 455 675m.  
Y  koordinaadi  leidmiseks  samale  punktile  tuleb  kaardilehelt  leida  punktile  lähima 
läänepoolse  koordinaatvõrgu joone väärtus ja sellele liita juurdekasv (∆y). Juurdekasv on kaugus 
lähimast  läänepoolsest  koordinaatvõrgu  joonest  punktini  B.  Punkti  B  Y-koordinaat:  YB=695 
000+∆y=695 000+(1,20 × 500)=695 600m. 
 
Punkti A geodeetilised koordinaadid leitakse valemite  
BA=BS+∆B 
ja LA=LW+∆L abil, 
kus BS on punktist lõuna pool asuva lähima paralleeli laius, 
LW on punktist lääne pool asuva lähima meridiaani pikkus, 
∆B ja ∆L on laiuse ja pikkuse juurdekasvud. 
Juurdekasvu saab vahetult  kaardilt  mõõtes. Selleks joonestatakse kaardile minutilõikude punaste 
ristide järgi paralleelid ja meridiaanid. Punktist A lõuna pool asuv lähim paralleel omab väärtust 
58°10′  ja  lääne  pool  asuv  meridiaan  omab  väärtust  27°20′.  Nüüd  tuleb  punktist  A  tõmmata 
ristsirged  kuni  nende  minutilõikudeni.  Järgnevalt  mõõdetakse  joonlaua  abil  ära  kaugus 
täisminutist punktini A nii mööda paralleeli kui ka mööda meridiaani. Saame vastavalt pikkuse 
ja laiuse juurdekasvud ∆B ja ∆L. ∆B″ ja ∆L″arvutatakse välja suhtest: 
 
 
1′ = 60 ′ = 3,7 cm
 
 
kaardilt;
 
mõõdetakse
 
1′ = 60 ′ =
cm
 
1,9
kaardilt
 
mõõdetakse
 
B
∆ ′ =
cm
 
4,35
kaardilt;
 
mõõdetakse
 
L
∆ ′ = 3,70 cm
 
kaardilt
 
mõõdetakse
 
60 ′ ×
35
4
60 ′ × 70
3
∆B ′ =
= 0
7 ′ = 1′ 0
1 ′
∆L ′ =
= 117 ′ = 1′ 57 ′
7
3
9
1
 
Punkti A geodeetilised koordinaadid on: 
BA=BS+∆B″=58°10′+1′10″=58°11′10″, 
LA=LW+∆L″=27°20′+1′57″=27°21′57″. 
 
3.  Geodeetilised  ja  ristkoordinaadid  määravad  punkti  plaanilise  asukoha  ellipsoidil  või  kaardil. 
Et  Maa  füüsilise  pinna  punktid  asuvad  kõrgemal  nullnivoopinnast,  on  igale  punktile  tarvis 
määrata  veel  kolmas  koordinaat  −  kaugus  nivoopinnast  mõõdetuna  mööda  loodijooont.  Seda 
suurust  nimetatakse  punkti  absoluutkõrguseks  ehk  altituudiks.  Joonisel  2.4  on  punkti  O 
absoluutkõrgus tähistatud  H  ja punkti P absoluutkõrgus  H . 
O
P
Punkti kõrguse võib määrata ka vabalt valitud nivoopinna suhtes. Sel juhul nimetatakse punkti 
kõrgust suvaliseks ehk suhteliseks kõrguseks. Joonisel 2.4. on punkti O suhteline kõrgus  
Suht
H
 
O
ja  punkti  P  suhteline  kõrgus  on 
Suht
H
.  Vabalt  valitud  pind  võib  olla   suvaline   pind,  näiteks 
P
õpperuumi põrand. 
Geodeetiline  kõrgus  h  on  selle  punkti  kaugus   referentsellipsoidi   pinnast  mööda  normaali 
(vertikaalne  sirge).  1992.aastast  on  kasutusel  rahvusvaheline  ellisoid  GRS-80  (Geodetic 
Reference System), mille suhtes on määratud riigi geodeetilise põhivõrgu punktide geodeetilised 
kõrgused GPS mõõtmistega ( Global   Positioning  System). 
4 
Koostanud: Ene Ilves 
 
 
 
O 
Punkti O nivoopind 
Suht
HO
h  
o punkti O geodeetiline kõrgus 
Suht
H P
H  punkti O absoluutne kõrgus 
O
Punkti P nivoopind 
P 
Suht
H
H
 punkti O suhteline kõrgus 
O
O
H P
Suhteline nivoopind 
h  
o
Nullnivoo, mere nivoopind 
Referentsellipsoid  
16,2-20,7m Eestis 
∼16,2 m  Narva –Jõesuus 
∼20,7m  Ruhnu  saarel 
Joonis 2.4. Punkti absoluutne ja suhteline kõrgus 
 
Ülesanne  2.  Lahendada  geodeetiline  pöördülesanne,  s.t.  leida  määratud  joonte  otspunktide 
ristkoordinaatide järgi joonte pikkused ja võrrelda arvutatud joonepikkusi laboratoorses töös nr. 
1 mõõdetud joonepikkustega. 
 
Geodeetilise pöördülesande lahendamine 
 
Pöördülesandeks nimetatakse joonte horisontaalprojektsioonide ja direktsiooninurkade (rumbide) 
leidmist  joonte otspunktide ristkoordinaatide järgi. Laboratoorses töös nr. 2 ülesandes 1 on 
määratud kolmele punktile ristkoordinaadid. Ristkoordinaatide järgi saab leida joonte pikkused. 
 
+x 
2
2
s
Δx
+ Δy
X − X
+ Y − Y
12
( 2
)2
1
( 2
)2
1
∆Y
2
2
2
2
12 
s
Δx
+ Δy
X − X
+ Y − Y
23
( 3
2 )
( 3
2 )
2
2
2
2
2 
s = Δx
+ Δy
X − X
+ Y − Y
31
( 1
3 )
( 1
3 )
α12=R12 
 
y
∆
Y − Y
2
1
∆X
arctan  R
; rumbi  järgi arvutatak e
s α
12 
12
12
x
∆
X − X
Y
s12 
2
1
1 
X
α saamiseks tuleb jä lg ida x
∆
ja y
∆ märki
2 
12
1 
y
∆
x
∆
X
sinα
cosα
1 
12
12
s
s
12
12
+y 
x
∆
y
∆
s
12
cosα
sinα
12
12
Joonis 2.5. Geodeetilise pöördülesande lahendamine 
 
 
5 
Koostanud: Ene Ilves 
Punktide geodeetiliste koordinaatide järgi saab arvutada joonte pikkused alljärgneval 
internetiaadressil:   http://www.ngs.noaa.gov/cgi-bin/Inv_Fwd/inverse2.prl  
või  http://www.ga.gov.au/geodesy/datums/vincenty_inverse.jsp 
 
 
Andmete sisestamise  järjekord esimesena toodud veebilehel: 
 
1. ellipsoid on GRS-80, ekvatoriaalraadius 6378137,000m ja polaarraadius- 6356752,3141m 
2. sisesta  joone ühe otspunkti nr ja tema põhjalaius ja idapikkus 
3. sisesta joone teise otspunkti nr ja tema põhjalaius ja idapikkus 
4. arvuta pikkus ja  asimuut  Se  
Arvutatud  joonte  pikkusi  võrreldakse  laboratoorses  töös  nr.  1  mõõdetud  vastavate  joonte 
pikkustega. Tulemused koonda  tabelisse 2.2. 
 
Tabel 2.2. Mõõdetud ja arvutatud joonepikkuste võrdlus 
Plaanilt  
Ristkoordi-naatide 
Geodeetiliste 
järgi arvutatud S
koordinaatide järgi 
Joon 
mõõdetud Smõõd 
arvut 
arvutatud 
Smõõd − Sarvut 
Smõõd − Se 
Se 
1-2 
  2750
 
2761,3m
 
 
 
2705,268m
-11,3m
45m
2-3 
  3250
 
3255,8 m
 
 
-5,8m
 
3222 ,679m 
27m
3-1 
  1600
 
1591,3 m
 
1629.155m
 
8,7m
  -28m
 
 
 
Smõõd − Sarvut = ∆S1-2 ≤ 4m 
 
Plaanilt  mõõdetud  joonepikkuse  ja  plaanilt  mõõdetud  joone  otspunktide  koordinaatide 
järgi arvutatud joonepikkuste täpsused ja lubatavad erinevused. 
 
1.  Plaanilt  vahetult  mõõdetud  joonepikkuse  täpsus  võrdub  tema  otspunktide  asendi  määramise 
täpsusega. Prof . A. Maslovi järgi on see  m = ± ,
0 08 mm . 
s
2. Plaanilt graafiliselt määratud ristkoordinaatide järgi arvutatud joonepikkuse määramise täpsus: 
m′ = m
2
,  
s
k
kus   m = m = m  on joone otspunkti abstsissi (x) või ordinaadi määramise täpsus. 
k
x
y
Näiteks  Drobõševi  joonlauaga  konstrueeritud  koordinaatvõrgu  puhul  on  mk=  ±  0,11  mm  ja 
m ′s=  0,16  mm.  Järelikult  vahetult  mõõtes  saab  joone  pikkuse  plaanil  määrata  kaks  korda 
täpsemini kui graafiliselt määratud koordinaatide järgi arvutades. 
Joonepikkuse  lubatava  vea ∆S võime võtta võrdseks täpsuse kahekordse väärtusega, s.t. 
∆S = 2ms 
1:50  000  mõõtkavas  plaanil  võime  seega  kahel   erineval   viisil  saadud  joonepikkuste 
lubatavaks erinevuseks võtta  
∆S = 2×ms×M = 2×0,08× 50000 = 2×4 = 8 m, kus M on mõõtkava  nimetaja. 
 
 
 
Kodune ülesanne: Lahendada ülesanded 1 ja 2.  
Järgmisel nädalal esitada: Ülesannete 1 ja 2 lahendid . 
6 
Koostanud: Ene Ilves