1. Mis on fni määramispiirkond ja kuidas seda tähistatakse? (õpikus lk. 125) 2. Mis on fni muutumispiirkond ja kuidas seda tähistatakse? 3. Mida nim. fniks?(lk. 124) 4. Mida nim. fni nullkohtadeks? Tähis ja tingimus. 5. Mida nim. fni positiivsuspiirkonnaks? Tähis ja tingimus. 6. Mida nim. fni negatiivsuspiirkonnaks? Tähis ja tingimus. 7. Millal nim. fni vahemikus kasvavaks? 8. Millal nim. fni vahemikus kahanevaks) (lk. 134) 9. Missugust fni nim. kasvavaks? 10. Missugust fni nim. kahanevaks?(lk. 136) 11. Millal on funktsioonil kohal xe maksimum? (lk. 136) 12. Millal on fnil kohal xe miinimum? 13. Missugust fni nim. paarisfniks? (lk. 147) 14. Milline omadus iseloomustab paarisfni graafikut? 15. Missugust fni nim. paariituks? (lk147,148) 16. Milline omadus iseloomustab paaritu fni graafikut? Vastused 1
Biootilisteks teguriteks nimetatakse organismide elutegevust mõjutavaid elusa looduse tegureid, mis tulenevad organismide kooselust (kisklus, herbivooria, sümbioos, parasitism, kommensalism). mis on populatsioon? Populatsioon ehk ühisel triitooriumil elavad ühe ja sama liigi isendid. millised näitajad iseloomustavad populatsiooni? Suurus ehk arvukus - isendite arv populatsioonis. Tihedus - isendite arv pinnaühikul millist populatsiooni nimetatakse stabiilseks, kasvavaks, kahanevaks? Stabiilne: (Vanade ja noorte isendite arv püsib tasakaalus). Kasvavaks: (Sündivus ületab suremuse ; arvukus suureneb. Keskkonnatingimused on soodsad). kahanevaks: (Isendite arvukus langeb; suremus ületab sündivuse). mis on populatsioonilained? Mida nad kirjeldavad? Populatsiooni arvukuse muutused periooditi. Kiskja ja saaklooma arvukus on teineteisest sõltuvuses. millest koosneb ökosüsteem? Ökosüsteem koosneb biootilisest (elus) ja abiootilisest (eluta) loodusest mis on biotsönoos
sin ( x) 10 5 0 5 10 5 5 Monotoonsed funktsioonid Funktsiooni f (x) nimetatakse piirkonnas A kasvavaks, kui a < b f (a) < f (b); monotoonselt kasvavaks, kui a < b f (a) f (b); kahanevaks, kui a < b f (a) > f (b); monotoonselt kahanevaks, kui a < b f (a) f (b); iga a, b A korral. y = ln x kasvav funktsioon, y=3 y = -2x + 1 kahanev funktsioon, y = ln x y = 3 võib lugeda nii monotoonselt kasvavaks kui ka
Funktsiooni määramispiirikond- valemina antud funktsiooni argumendi x selliste väärtuste hulk,
mille korral on võimalik funktsiooni f(x) väärtust välja arvutada.
Funktsiooni muutumispiirkond- funktsiooni väärtuste hulk ehk selle määramispiirkonna kujutis.
Kasvavaks nimetatakse funktsiooni y=f(x) vahemikus (a;b), kui selles vahemikus argumendi
väärtuste suurenedes ka funktsiooni vastavad väärtused suurenevad: kui x1
f (x + ) = f (x) iga x X korral. Vähimat positiivset väärtust, mille koraal kehtib võrdus, nimetatakse funktsiooni y = f (x) perioodiks. Monotoonsed funktsioonid. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse piirkonnas · Kasvavaks, kui a < b f (a) < f (b) · Monotoonselt kasvavaks, kui a < b f (a) f (b) · Kahanevaks, kui a < b f (a) > f (b) · Monotoonselt kahanevaks, kui a < b f (a) f (b) Tõkestatud funktsioonid. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse piirkonnas A tõkestatud funktsiooniks, kui leidub reaalarv k, nii et | f (x)| k iga x A korral. 2. Liitfunktsioon, pöörfunktsioon, elementaarfunktsioon. o Pöördfunktsioon. Funktsiooni y = f (x) (x X) pöördfunktsiooniks
funktsiooni väärtus on negatiivne. Funktsiooni negatiivsuspiirkonna leidmiseks tuleb määrata punktid x, kus f(x) < 0. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse kasvavaks (X) vahemikuks ]a;b[, kui selles vahemikus argumendi väärtuste suurenedes ka funktsiooni vastavad väärtused suurenevad: kui x 1 < x2, siis ka f(x1) < f(x2). Funktsioone, mille kasvamispiirkond ühtib määramispiirkonnaga nimetatakse kasvavateks funktsioonideks. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse kahanevaks (X) vahemikuks ]a;b[, kui selles vahemikus argumendi väärtuste suurenedes funktsiooni vastavad väärtused vähenevad: kui x 1 < x2, siis ka f(x1) > f(x2). Funktsioone, mille kahanemisvahemik ühtib määramispiirkonnaga nimetatakse kahanevateks funktsioonideks. Funktsiooni maksimum- ja miinimumkohti nimetatakse ühise nimega funktsiooni ekstreemumkohtadeks (Xe).
kasvamis ja kahanemisvahemike välja kirjutamiseks graafiku põhjal. ... oskad määrata ekstreemumi liiki. Funktsiooni kasvamine Funktsiooni y = f(x) nimetatakse kasvavaks vahemikus (a;b), kui selles vahemikus argumendi väärtuste suurenedes ka funktsiooni vastavad väärtused suurenevad. Kui x1 < x2, siis ka f(x1) < f(x2) Funktsiooni kahanemine Funktsiooni y = f(x) nimetatakse kahanevaks vahemikus (a;b), kui selles vahemikus argumendi väärtuste suurenedes funktsiooni vastavad väärtused vähenevad. Kui x1 < x2, siis ka f(x1) > f(x2) Kasvamis- ja kahanemisvahemikud Maksimaalse pikkusega vahemikku, milles funktsioon kasvab //kahaneb//, nimetatakse funktsiooni kasvamisvahemikuks //kahanemisvahemikuks// ja tähistatakse X //X//. NB! Funktsioonil võib olla ka mitu kasvamis- või kahanemisvahemikku.
väärtus on positiivne. f(x) > 0 Negatiivsuspiirkond argumendi need väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne Ekstreemumkohad -argumenti väärtused, mille korral funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks või vastupidi Ekstreemumpunktid - graafiku punktid, kus funktsioonil on kas suurim või vähim väärtus Funktsiooni y=f(x) nimetatakse piirkonnas X kasvavaks, kui selles piirkonnas igale suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus kahanevaks, kui igale suuremale argumendi väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus. Käänupunkt - Punkt, millest läbiminekul joon muutub nõgusast kumeraks või kumerast nõgusaks Kumeruspiirkond- vahemik, kus ükski tema punkt selles piirkonnas ei ole kõrgemal ühestki tema puutujast selles vahemikus Nõgususpiirkond vahemik, kus ükski tema punkt selles piirkonnas ei ole allpool ühestki tema puutujast selles vahemikus Joone asümptoot - sirge, millele joone graafik piiramatult läheneb
Vastasel juhul nimetatakse jada kahjuvaks. LIISI KINK 6 MATEMAATILINE ANALÜÜS I 8) Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid. Muutuvat suurust W nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui limW=0. Muutuvat suurust W nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim|W| = . 9) Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu. Funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste definitsioonid ja geomeetriline sisu. Neid definitsioone küsin ainult lõpliku a ja b korral. Funktsioonil ! on piirväärtus kohal , kui suvalises piirprotsessis , mis rahuldab tingimust , funktsiooni väärtus ! läheneb arvule . Funktsiooni piirväärtuse kirjutusviis on lim,+
Def. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub constant C>0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x+C)=f(x). Väikseimat sellist konstanti nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Def. Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui selles piirkonnas suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus. Def. Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui selles piirkonnas suuremale argumendi väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus. Def. Astmefunktsioon on funktsioon kujul y= , kus a on nullist erinev konstantse astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Def. Eksponentfunktsioon on funktsioon kujul y= , kus astme alus a on konstantne ja a>0 ja a1. Määramispiirkond X= ja väärtuste hulk Y=(0,). Def
Def. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub constant C>0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x+C)=f(x). Väikseimat sellist konstanti nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Def. Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui selles piirkonnas suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus. Def. Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui selles piirkonnas suuremale argumendi väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus. Def. Astmefunktsioon on funktsioon kujul y= , kus a on nullist erinev konstantse astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Def. Eksponentfunktsioon on funktsioon kujul y= , kus astme alus a on konstantne ja a>0 ja a1. Määramispiirkond X= ja väärtuste hulk Y=(0,). Def
ja tähistatakse dy või df.
dy=f´(x)x
DEF 2. Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk n-järku diferentsiaaliks nim. diferentsiaali selle funktsiooni
(n-1)-järku diferentsiaalist.
dny=d(dn-1 y)
1.15 Funktsiooni kasvamine, kahanemine. Lokaalne ekstreemum.
DEF 1. Funktsiooni y=f(x) nim. rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvalise
x1 (x-, x) ja x2 (x, x+) korral f(x1)
Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes nim.
paarituks funktsiooniks, kui f(-x)=-f(x)
DEF 7. Funktsiooni nim. perioodiliseks, kui leidub selline arv T0, et iga xX korral ka x+-
TX ja f(x+T)= f(x). Vähimat pos.arvu T mille korral f(x+T)=f(x) nim. funktsiooni
perioodiks.
DEF 8. Funktsiooni f nim. kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1X ja
x2X korral, mis rahuldavad võrratust x1
Def. Muutuva suuruse kõigi väärtuste hulka nimetatakse selle muutuva suuruse muutumispiirkonnaks. Def. Muutuvat suurust nimetatakse kasvavaks, kui tema iga järgnev väärtus on eelnevast suurem. Muutuvat suurust nimetatakse kahanevaks, kui tema iga järgnev väärtus on eelnevast väiksem. Vastavalt definitsioonile on funktsioon antud, kui on teada : a) funktsiooni määramispiirkond X, b) eeskiri, mis seab argumendi x igale väärtusele piirkonnas X vastavusse funktsiooni y väärtuse. Funktsiooni väärtused, mis vastavad kõigile argumendi väärtustele piirkonnas X, moodustavad funktsiooni muutumispiirkonna. Funktsiooni esitusviise: I Analüütiline esitus valemi abil II Geomeetriline esitus graafiku abil
Definitsioon 4
Funktsiooni f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant
T 6= 0, et iga xkuulub X korral kui x + T kuulubX kehtib f (x + T) = f (x).
V¨ahimat sellist positiivset konstanti T, juhul kui selline leidub,
nimetatakse funktsiooni f perioodiks.
Definitsioon 5
Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks hulgal tyhihulkeikuulu= D X, kui iga
x1,x2 2D v˜orratusest x1
asetsevate arvude x hulka, kusjuures arvud a ja b kuuluvad mõlemad vaadeldavasse hulka. Tähis kas [a, b] või võrratustega a x b. Kui arv a kuulub nende väärtuste hulka, mida x võib omandada, aga arv b mitte, saame poolkinnise vahemiku ehk poollõigu [a, b) või võrratustega a x < b. Def. Muutuvat suurust nimetatakse kasvavaks, kui tema iga järgnev väärtus on eelnevast suurem. Muutuvat suurust nimetatakse kahanevaks, kui tema iga järgnev väärtus on eelnevast väiksem. Mittekasvavaid ja mittekahanevaid muutuvaid suurusi nimetatakse monotoonseteks suurusteks. Kasvavaid ja kahanevaid muutuvaid suurusi nimetatakse rangelt monotoonseteks suurusteks. Def. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui leidub niisugune konstant M > 0 , et kõik muutuva suuruse väärtused, alates mingist väärtusest, täidavad x M tingimust - M x M , s.t.
Funktsiooni negatiivsuspiirkonna leidmiseks tuleb määrata need x väärtused, kus f (x) < 0. 12. Funktsiooni kasvamine funktsiooni y = f (x) nimetatakse kasvavaks vahemikus (a; b), kui selles vahemikus argumendi väärtuste suurenedes ka funktsiooni vastavad väärtused suurenevad: kui x1 < x2, siis ka f (x1) < f (x2). *Kasvamispiirkond maksimaalse pikkusega vahemik, milles funktsioon kasvab (tähis X) Funktsiooni kahanemine funktsiooni y = f (x) nimetatakse kahanevaks vahemikus (a; b), kui selles vahemikus argumendi väärtuste suurenedes funktsiooni vastavad väärtused vähenevad: kui x1 < x2, siis f (x1) > f (x2). *Kahanemispiirkond maksimaalse pikkusega vahemik, milles funktsioon kahaneb (tähis X) Ekstreemumkohad funktsiooni maksimum- ja miinimumkohad (tähis X e). Kohal x0 on funktsioonil y = f (x) maksimum, kui argumendi x kõigi väärtuste korral koha x 0 mingist ümbrusest kehtib võrratus f (x0) >/= f (x)
Funktsiooni uurimine Funktsiooni kasvamine ja kahanemine Funktsiooni f (x) nimetatakse piirkonnas A kasvavaks, kui a < b f (a) < f (b); kahanevaks, kui a < b f (a) > f (b); iga a, b A korral. f (b) funktsioon kasvab funktsioon kahaneb f (a) f (a) f (b) a b a b Funktsiooni f (x) nimetatakse piirkonnas A monotoonselt kasvavaks, kui a < b f (a) f (b); monotoonselt kahanevaks, kui a < b f (a) f (b); iga a, b A korral
punkti ristkoordinaatidega (x, y) = ((t), (t)). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. Neid võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. 8. Muutuvat suurust nim lõpmatult väikeseks e lõpmatult kahanevaks, kui lim=0. Muutuvat suurust nim lõpmatult kasvavaks, kui lim||=. Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos.Nimelt on nad teineteise pöördarvud. Teoreem lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos : Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus on lõpmatult kasvav. Tõkestatud suuruse def. : *0 10. Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega.
korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad miinus lõpmatuse ümbrusesse (-,-M), st rahuldavad võrratust x < -M. Sellise piirprotsessi tähistusviis on x - või lim x = -. Koonduvad ja hajuvad jadad - Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. Lõpmatult kahanevad ja kasvavad suurused - Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim = 0. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim || = . Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suurused on teineteise pöördarvud. Funktsiooni piirväärtuse denfitsioon - Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises 3 piirprotsessis x a, mis rahuldab tingimust x = a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. limxa f(x) = b
elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Koonduvad ja hajuvad jadad. Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. 8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid. Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim α = 0. Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim |α| = ∞ 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu. Funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste definitsioonid ja geomeetriline sisu. (Neid definitsioone küsin ainult lõpliku a ja b korral.) 10. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). Olgu α(x) ja β(x) lõpmatult kahanevad suurused protsessis x → a.
(lk 6) Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Perioodilise funktsiooni graafik kordub perioodi C järel. 11. Defineerida kasvav ja kahanev funktsioon. (lk 6) Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks hulgal D ⊆ X, kui iga x1, x2 ∈ D võrratusest x1 < x2 järeldub f (x1) < f (x2). Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks hulgal D ⊆ X, kui iga x1, x2 ∈ D võrratusest x1 < x2 järeldub f (x1) > f (x2). 12. Mis on astmefunktsioon? (lk 7) Astmefunktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul y = x α, kus α on nullist erinev reaalarv (e astendaja). Näiteks funktsioonid y = x −1 , y = √ x ja y = x 2020 on astmefunktsioonid. 13. Mis on eksponentfunktsioon? Esitada eksponentfunktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafikud. (lk 7, 13)
funktsioon). Rangelt monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on kasvav või kahanev. Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1 ∈ X ja x2 ∈ X korral, mis rahuldavad võrratust x1< x2, kehtib võrratus f(x1) < f(x2). 1. Naidata, et hulgal X pidevate funktsioonide ruumis C(X) sobib normiks (rahuldab normi Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui iga x1 ∈ X ja x2 aksioome) || f ||∞ := sup x∈X | f(x)|. ∈X korral, mis rahuldavad võrratust x1 < x2, kehtib võrratus f (x1) > f(x2). 3. Jada definitsioon. Koonduvad jadad, jada piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused. Jadaks nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N = {1, 2, 3, . . .} Ütleme, et jada {xn}∞n=1 koondub suuruseks a (ehk jada {xn}∞n=1 piirväärtus on a) kui iga 0 <
diferentsiaal punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja punkti ordinaadi muutu, mis vastab
argumendi muudule . Tihti kasutatakse valemit ka kujul . Geomeetriliselt teljestikul...
N. (a=1024)
1.15 Funktsiooni kasvamine, kahanemine. Lokaalne ekstreemum.
DEF 1. Funktsiooni y=f(x) nim. rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et
suvalise x1 (x-, x) ja x2 (x, x+) korral f(x1)
F f(x) n-järku tuletiseks nim f-i f(x) (n-1)-järku tuletise tuletits, st fn(x)=(fn-1(x)) ' F-i y=f(x) n-järku diferentsiaaliks nim diferentsiaali selle f-i n-1 järku diferentsiaalist dny=d(dn-1y) Funktsiooni y = f(x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvaliste x1 (x-,x) ja x2 (x; x + ) korral f(x1) < f(x) < f(x2). Kui funktsioon on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline 0, et 0|x| --y/x0 Funktsiooni y = f(x) nimetatakse rangelt kahanevaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvaliste x1 (x-,x) ja x2 (x; x + ) korral f(x1) f(x) f(x2). Kui funktsioon on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline 0, et 0|x| --y/x0 Fermat' teoreem väidab, et Kui F-il f(x) on punktis a lokaalne ekstreemum ja see f f(x) on diferentseeruv selles punktis, siis f-i tuletis punktis a=0 e f'(a)=0 Punkti a nim diferentseeruva f-i statsionaarseks punktiks, kui f'(a)=0
paarituks funktsiooniks, kui ∀x ∈ X : f(−x) = −f(x). Perioodiline funktsioon - Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline arv T ≠ 0, et iga x ∈ X korral ka x ± T ∈ X ja f(x + T) = f(x). Kasvav funktsioon - Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1 ∈ X ja x2 ∈ X korral, mis rahuldavad võrratust x1< x2, kehtib võrratus f (x1) < f(x2). Kahanev funktsioon - Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui iga x 1 ∈ X ja x2 ∈ X korral, mis rahuldavad võrratust x1 < x2, kehtib võrratus f (x1) > f(x2). Monotoonne funktsioon - funktsioon, mis kogu oma määramispiirkonnas on mittekahanev (monotoonselt kasvav funktsioon) või mittekasvav (monotoonselt kahanev funktsioon). Pöördfunktsioon - Funktsiooni y = f(x) (x ∈ X) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x=f -1 (y), mis igale arvule y ∈ Y = f (X) seab vastavusse arvu x ∈ X, kusjuures y = f(x).
alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku [a, a +¿¿ + ε). Siis kirjutatakse x → a . Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. 8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid. Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim α = 0. Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim |α| = ∞. 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu. Funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste definitsioonid ja geomeetriline sisu. Neid definitsioone küsin ainult lõpliku a ja b korral. Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → a,
1 ∈(x,x+δ) korral
2
f(x )
a arvutmiseks. Analüüs 1 Teooriatöö lühiküsimused. 1. Defineerida millal on punktis x = x0 funktsioonil f(x) miinimum (või maksimum) Maksimum on kui Piltlikult öeldes on maksimum graafiku tipp ja miinimum graafiku org. Ekstreemumpunkt näitab millal graafik muutub kasvavast kahanevaks ja vastupidi 2. Sõnastada f(x) ekstreemumi olemasolu jaoks tarvilik tingimus.Mis on kriitilised punktid.? Funktsiooni argumendi väärtusi mille korral kas tuletis võrdub nulliga voi lõplik tuletis puudub nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks punktideks(täpsemini:esimest jarku kriitilisteks punktideks). Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum siis x1 on selle funktsiooni kriitiline punkt
.. piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korrak saab näidata sellist jada elementi xn, millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a ümbrusesse (a - , a + ). või . Lõplikku piirväärtust nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse hajuvaks. 8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim=0. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim|| = . Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos: Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos. Nimelt on nad teineteise pöördarvud. Kehtib järgmine väide: Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus on lõpmatult kasvav. Tõestus: Tõestame selle väite esimese poole, so: kui on lõpmatult kahanev, siis on
Tarbitavate hüviste hulga kasvades marginaalkasulikkus
hüvise iga uue ühiku tarbimisel kahaneb. Analoogselt eelmise ül toodangufunktsiooni kohta
saame, et kasulikkusefunktsioon U = U(Q) on ülespoole kumer, st U''(Q)<=0 piirkonnas
{0;lõpmatus).
22. Mis on funktsiooni kasvamis- ja kahanemispiirkond, monotoonse kasvamise ja
kahanemise piirkond? Kuidas neid leida? Funktsiooni f(x) nimetatakse piirkonnas A
kasvavaks, kui a < b f(a)
Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x1, x2, x3, . . . piirväärtuseks, kui iga kuitahes vÄikese positiivse arvu korral saab nÄidata sellist jada elementi xn, millest alates kõik jÄrgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a Ümbrusesse (a - , a + ). Jada piirväärtuse kirjutusviis on jÄrgmine: xn a või lim xn = a . Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult vaikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim = 0. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim || = . Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos. Nimelt on nad teineteise pÖÖrdarvud. Teoreem 2.1. Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus on lõpmatult kasvav. Niisiis olgu lõpmatult kahanev, st 0. Me peame tõestama, et suurus = on lõpmatult kasvav, st| | =|| . Vastavalt selle piirprotsessi definitsioonile tuleb
f(x + ) = f(x) iga x X korral. Vähimat positiivset väärtust, mille korral see võrdus kehtib, nimetatakse funktsiooni y = f(x) perioodiks. Näiteks on perioodilised kõik trigonomeetrilised funktsioonid. Sealjuures on funktsiooni y = tan(x) perioodiks = , funktsioonide y = cos(x) ja y = sin(x) periood aga = 2. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid Funktsiooni f(x) nimetatakse piirkonnas A kasvavaks, kui a < b f(a) < f(b); kahanevaks, kui a < b f(a) > f(b); iga a, b A korral. Näiteks on funktsioon y = ln x kasvav funktsioon, funktsioon y = -2x + 1 aga kahanev funktsioon. Pöördfunktsiooni definitsioon Olgu funktsiooni y = f(x) määramispiirkond X ja muutumispiirkond Y. Kui iga y Y korral leidub täpselt üks x X , nii et y = f(x), siis öeldakse, et funktsioonil y = f(x) on olemas pöördfunktsioon määramispiirkonnaga Y ja muutumispiirkonnaga X. Pöördfunktsiooni
funktsiooni väärtuste hulk on negatiivne
+
X -positiivsuspiirkond
-
X -negatiivsuspiirkond
Parabooli haripunkti leidmine Xh=x1+x2/2, kui parabool ei lõiku x-teljega Xh=-b/2a
Kui x1
Tähistatakse f (x) C[a, b]. Funk-ni f nim. kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1 X ja x2 X korral, Lause. Elementaar funk-n on pidev oma määramispiirkonna sisepunktides. mis rahuldavad võrratust x1< x2 kehtib võrratus f(x1) > f(x2). Lause (Weierstraß'i teoreem lõigus pideva funktsiooni tõkestatusest): Lõigul [a, b] pidev f-n f(x) Funktsi-ni f nim. kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui iga x1 X ja x2 X on tõkestatud sellel lõigul st selle fun-ni väärtuste hulk sellel lõigul Y = {f(x)| x [a, b]} on korral, mis rahuldavad võrratust x1 < x2, kehtib võrratus f(x1) > f(x2). tõkestatud. Monotoonseks fun-ks nim. fun-ni, mis kogu oma määramispiirkonnas on mittekahanev Hulga (null kriipsuga) X R vähimat ülemist tõket nim-kse hulga X ülemiseks rajaks ja
Funktsiooni nimetatakse paarisfunktsiooniks kui x-X kehtib võrdus f(-x)=f(x) ja paarituks kui x-X ja f(-x)=-f(x) F.nim perioodiliseks, kui leidub konstant T0, et iga x-X korral kui x + T kuulub X-i kehtib f(x + T) = f(x). Vähimat sellist positiivset konstanti T, kui selline leidub, nimetatakse funkts f perioodiks. Liigitus: Funktsiooni f(x)nimetatakse piirkonnas X kasvavaks, kui selles piirkonnas igale suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus, ja kahanevaks, kui igale suuremale argumendi väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus. Seega kui x1 < x2 , kus x1 X , x2 X , siis kasvava funktsiooni puhul f ( x1 ) < f ( x2 ) , ja kahaneva funktsiooni puhul f ( x1 ) > f ( x2 ) Funts.y=f(x) pöördfunktsiooniks nim funkts y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Funkts.f on esitatud võrrandi F(x,y)=0 abil ilmuatamat kujul, kui x-X, F(x,f(x))=0
Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Piirprotsesside x ja x - definitsioonid. Jada piirväärtuse definitsioon. Koonduvad ja hajuvad jadad. Piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks ning piirväärtust mitteomavat jada hajuvaks. (Jada, millel on lõplik piirväärtus, nimetatakse koonduvaks jadaks.) 8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim = 0. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim ||= . Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos. Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos.Nimelt on nad teineteise pöördarvud. Kehtib järgmine väide. Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1/ on lõpmatult kasvav. Tõkestatud suuruse definitsioon. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. 9
funktsiooni graafikut mitmes punktis. ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline soes on antud Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. () kujul z=g[f(x)]. Tegemist on funktsiooni sümboliga g o f. kahanevaks suuruseks suhtes. 3.Paaris- ja paaritud funktsioonid. Perioodilised f ja g liitfunktsioon z=(g o f)(x)=g[f(x)] Tõestada, et lõpmatult kahanevate suuruste ja vahe on kõrgemat järku funktsioonid. Kasvavad ja Liitfunktsiooni määramispiirkond
Maclaurini valem.
8. Leibnizi valemi tõestus.
1. Cauchy kuju: Rn(x) = (0
.. piirväärtuseks, kui iga kuitahes vaikese positiivse arvu korral saab näidata sellist jada elementi xn , millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a ümbrusesse (a , a + ). Jada piirväärtust tähistatakse lim xn = a Tõestus: 9. Lõpmatult kahanevad, lõpmatult kasvavad ja tõkestatud suurused (näited). Kaks olulist teoreemi (näited). Lõpmatult kahanev. Muutuvat suurust a nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim a = 0. Näide: Lõpmatult kasvav. Muutuvat suurust a nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim = . Näide: Tõkestatud. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Näide: Teoreem1. Suurus a on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus on lõpmatult kasvav. Teoreem2. Kui suurus a on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis a on lõpmatult kahanev. 10. Funktsiooni piirväärtus
.. piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist jada elementi xn, millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a ümbrusesse (a - ,a + ). Koonduvad ja hajuvad jadad. Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. 8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim = 0. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim|| = . Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos (sõnastada vastav teoreem). Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1/ on lõpmatult kasvav. Tõkestatud suuruse definitsioon. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutisest.
korral saab näidata sellist jada elementi xn , millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a ümbrusesse (a ; a+) (Jada piirväärtuse kirjutusviis on järgmine: xna v õi lim xn=a ) Lõplikku piirväärtust omavat jada nim. koonduvaks, vastasel juhul nim. jada hajuvaks. 9) · Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse definitsioon Muutuvat suurust a nim. Lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim a = 0. Muutuvat suurust a nim. Lõpmatult kasvavaks, kui lim |a|=. · Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos ja teoreem Lõpmatult kahanev ja kasvav suurus on omavahel pöördarvud. Teoreem: Suurus a on lõpmatult kasvav siis ja ainult siis, kui suurus on lõpmatult kahanev. · Tõkestatud suuruse definitsioon Muutuvat suurust a nim tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud.
korral saab näidata sellist jada elementi xn , millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a ümbrusesse (a ; a+) (Jada piirväärtuse kirjutusviis on järgmine: xna v õi lim xn=a ) Lõplikku piirväärtust omavat jada nim. koonduvaks, vastasel juhul nim. jada hajuvaks. 9) · Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse definitsioon Muutuvat suurust a nim. Lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim a = 0. Muutuvat suurust a nim. Lõpmatult kasvavaks, kui lim |a|=. · Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos ja teoreem Lõpmatult kahanev ja kasvav suurus on omavahel pöördarvud. Teoreem: Suurus a on lõpmatult kasvav siis ja ainult siis, kui suurus on lõpmatult kahanev. · Tõkestatud suuruse definitsioon Muutuvat suurust a nim tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud.
Peale selle olgu mingisugune pidev ja monotoonselt kahanev funktsioon, mis rahuldab tingimusi: . Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui päratu integraal koondub, siis koondub ka rida . 2. Kui päratu integraal hajub, siis hajub ka rida . Funktsiooni nimetatakse monotoonselt kahanevaks, kui iga , kehtib mitterange võrratus . Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ( ). Kui arvrea korral on täidetud tingimused, et f(k)=ak, f(x)≥0 (xϵ[1,lõpmatus)) f(x) kahaneb (xϵ[1,lõpmatus)), siis rida ja päratu intergraal kas koonduvad või hajuvad samaaegselt. 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused
seab vastavusse arvu x X , kusjuures y = f (x).
*Monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on mittekasvav või
mittekahanev.
*Rangelt monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on kasvav või
kahanev.
*Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1,x2 X korral, mis rahuldavad võrratust
x1
Peale selle olgu mingisugune pidev ja monotoonselt kahanev funktsioon, mis rahuldab tingimusi: . Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui päratu integraal koondub, siis koondub ka rida . 2. Kui päratu integraal hajub, siis hajub ka rida . Funktsiooni nimetatakse monotoonselt kahanevaks, kui iga , kehtib mitterange võrratus . Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ( ). Kui arvrea korral on täidetud tingimused, et f(k)=ak, f(x)0 (x[1,lõpmatus)) f(x) kahaneb (x[1,lõpmatus)), siis rida ja päratu intergraal kas koonduvad või hajuvad samaaegselt. 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused
Peale selle olgu mingisugune pidev ja monotoonselt kahanev funktsioon, mis rahuldab tingimusi: . Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui päratu integraal koondub, siis koondub ka rida . 2. Kui päratu integraal hajub, siis hajub ka rida . Funktsiooni nimetatakse monotoonselt kahanevaks, kui iga , kehtib mitterange võrratus . Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ( ). Kui arvrea korral on täidetud tingimused, et f(k)=ak, f(x)0 (x[1,lõpmatus)) f(x) kahaneb (x[1,lõpmatus)), siis rida ja päratu intergraal kas koonduvad või hajuvad samaaegselt. 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused
elementi xn, millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a ümbrusesse (a - , a + ). Jada piirväärtuse kirjutusviis on järgmine: xn a v~oi lim xn = a . Koonduvad ja hajuvad jadad: Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. 8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid: Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim = 0. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim || = . Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos (sõnastada vastav teoreem): Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos. Nimelt on nad teineteise pöördarvud. Kehtib järgmine väide. Vaata lk 31 tõestust. Tõkestatud suuruse definitsioon: Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud
ii. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. 8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid. Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos (sõnastada vastav teoreem).Tõkestatud suuruse definitsioon. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva jada tõkestatud suuruse korrutisest. a. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid a.i. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim=0 a.ii. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim||=. b. Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos Suurus on lõpmatult kahanev ainult siis, kui suurus on lõpmatult kasvav. c. Tõkestatud suuruse definitsioon Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Suurus on tõkestatud, kui kõik suuruse
7. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Näidata, et kui funktsiooni tuletis on positiivne (negatiivne), siis funktsioon kasvab (kahaneb). Definitsioon Funktsiooni y = f (x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvaliste x1 (x - ; x) ja x2 (x; x + ) korral f (x1) < f (x) < f (x2). Lause Kui funktsioon y = f (x) on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline > 0, et Definitsioon Funktsiooni y = f (x) nimetatakse rangelt kahanevaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvaliste x1 (x - ; x) ja x2 (x; x + ) korral f (x1) > f (x) > f (x2). Lause Kui funktsioon y = f (x) on rangelt kahanev punktis x, siis leidub selline > 0, et Lause Kui f(a) = c > 0, siis funktsioon on rangelt kasvav punktis a. Kui f(a) = c < 0, siis funktsioon on rangelt kahanev punktis a. Tõestus. Kui funktsiooni y = f (x) tuletis f(x) on positiivne punktis a, st
annaabi.ee 
