· Olgu (x,y) 0. siis saab integraalsummas olevat korrutist (P i) Si tõlgendada kui silindri ruumala, mille põhi on S i ja kõrgus (Pi) Selline silinder tähistatakse Zi-ga. IntegraalsummaVn on järelikult silindrite ühendi Z=Z1 U Z2 U...U Zn ruumala. Silindrite ühend Z on treppkeha, mille ülemine pind on tükiti tasapinnalineomades hüppeid erinevate kõrgustega naaber silindrite liitekohtades. 2. Kahekordse integraali mõiste ja geomeetriline sisu. · Kui on pidev piirkonnas D, siiis on integraalsummal V n taolises piirprotsessis lõplik väärtus. Seda piirväärtust nim funktsiooni kahekordseks integraaliks piirkonnas D ja tähistatakse (x,y)dxdy · Olgu (x,y)0. Vaatleme keha Q, mis on ülalt piiratud pinnaga z = (x,y) alt tasandiga z = 0 ja küljelt silindriga, mille moodustajad on paralleelsed z-teljega ja juhtjooneks piirkonna D rajajoon
Tallinna Tehnikaülikool Määratud integraali ligikaudne arvutamine trapetsvalemiga Referaat Koostas: Denis Rästas 155552IAPB Õpperühm: IAPB15 Juhendaja: Gert Tamberg Tallinn 2016 1. MÄÄRATUD INTEGRAAL........................................................................................... 3 1.1. Pindfunktsioon ja tema tuletis.....................................
Nüüd toon sisse piirprotsessi 0 (= max x(k). DEF. Kui leidub piirväärtus 0 Sn'ist ja see ei sõltu kuidas on lõik [a;b] jaotatud osalõikudeks ega sellest kuidas on valitud (k) osalõikudel, siis seda piirväärtust nim. f(x) määratud b integraaliks rajades a'st b'ni ja tähistatakse f ( x)dx a 2. Määratud integraali põhiomadused. b n f ( x)dx = lim f (k )xk a 0 k =1 b b b 1) [ f ( x) + g ( x)]dx = f ( x)dx + g ( x)dx a a a 2) konstandi saab tuua integraali ette, sellest järeldub et ka lahutamistehe sarnaselt liitmisega ekisteerib 3) kui f(x)>=0 [a;b] siis on ka integraal rajades a'st b'ni f(x)'ist >= 0'iga
Vähendatud programm 1. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kahekordse integraali definitsioonid. Kahekordse integraali geomeetriline sisu. 2. Kahekordse integraali omadused (põhjendusi ei küsi). 3. y- ja x-telje suhtes regulaarsed piirkonnad. Kahekordse integraali esitus kaksikintegraalina y- ja x-telje suhtes regulaarsete piirkondade korral. Millal nimetatakse piirkonda regulaarseks? 4. Muutujate vahetus kahekordse integraali all. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse (esitada vastav valem tuletamata). 5. Kolmemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kolmekordse integraali definitsioonid. 6. Kolmekordse integraali omadused (põhjendusi ei küsi). 7. Kolmekordse integraali esitamine kolmikintegraalina. 8. Muutujate vahetus kolmekordse integraali all. 9. Silinderkoordinaadid ja nende seosed ristkoordinaatidega. Kolmekordse integraali teisendamine silinderkoordinaatidesse
Tallinna Tehnikaülikool Referaat Määratud integraali ligikaudne arvugtamine trapetsi valemiga. Veahinnangud. Näited. Tatjana Kruglova 142442IAPB Sisukord Määratud integraal.................................................................................................................................3 Pindfunktsioon ning selle tuletis........................................................................................................3 Kõverjoonelise trapetsi pindala.......................................................
y = sin D cos - sin J = = cos 2 + sin 2 = J = sin cos Pindalade ja ruumalade arvutamine kahekordse integraali abil D f(x; y)0 V = f ( x; y ) dxdy (joon) V = f ( x; y )dxdy - g ( x; y ) dxdy * D D D V = [ f ( x; y ) - g ( x; y )]dxdy Eeldusel, et: (x; y)D ja (x; y)g(x; y) D Kolmekordse integraali mõiste ja arvutamine =(x; y; z) määratud ja pidev ruumilises punktihulgas V [V: v1; v2; v3;..
Määratud integraali ligikaudne arvutamine. Trapetsvalem. n sn = f (k ) xn [a; b] (joon) b-a jagame n osalõiguks h=b-a/n. Siis xo=a; x1=a+h; x2=a+kh;...; xn=b (=a+nh) juhul k =1 kui h0n (joon) k-nda trapetsi pindala: [(xk-1)+(xk)]/2h jne. Pindala saab kui kõikidest väikestest pindaladest võtta b b -a integraal rajades a-b ja valem on siis: f ( x)dx a 2n ( y0 + 2 y1 + 2 y2 + ... + 2 yn -1 + yn ) Pindala arvutamine ristkoordinaatides b [a;b] (joon) y=(x); y=g(x) ja (x)g(x) ning S = [ f ( x) - g ( x) ]dx Kui aga joon on antud parameetrilisel kuju...
Järelikult mingi µ = f ( ) korral ( a b ) on , s.t. b f (x )dx =f ()(b - a) a . 23. MUUTUVA ÜLEMISE RAJAGA INTEGRAAL (teoreem 5.3) Olgu määratud integraalis alumine raja fikseeritud ja ülemine raja muutuv. Siis muutub ka integraali väärtus, s.t. integraal on ülemise raja funktsioon. Tähistame muutuva raja x'ga ning integreerimismuutuja t'ga. Et see integraal on ülemise raja funktsioon, tähistame ta (x). Kui f(x) on pidev funktsioon ja , siis kehtib võrdus: =f(x) Teisisõnu: määratud integraali tuletis ülemise raja järgi on võrdne integreeritava funktsiooniga, kusjuures integreerimismuutuja on asendatud ülemise rajaga. TÕESTUS
3 o Normaalvõrrandite süsteem moodustatakse järgmiste valemite abil: a xi2 + b xi = xi yi i i i ja a xi + bn = yi i i o Geomeetriliselt näitab prognoosisirge ära kas katseandmetega xi ja yi määratud punktid P(xi, yi) asuvad sellel sirgel või selle läheduses. Kahekordse integraali mõiste Kui integraalsummal eksisteerib piirväärtus protsessis n läheneb lõpmatusse, mis ei sõltu piirkonna D osadeks jaotamise viisist ja punkti Pi valikust neis osades, siis nim funktsiooni w=f(x,y) integreeruvaks piirkonnas D ja integraalsumma piirväärtust nim selle funktsiooni kahekordseks integraaliks üle piirkonna D. lim=f(x,y)dxdy n> D Lause: Kui funk. on tõkestatud piirkonnas D, siis ta on integreeruv. Kahekordse integraali omadusi
s Q0. 2. Määratud integraal ja selle geomeetrilised rakendused: tasapinnalise kujundi pindala, joone kaare pikkus, pöördpinna ruumala ja pindala, näiteid Nimetatakse integraalsummade piirväärtuseks. Newton-Leibinzi valem lubab määratud integraale arvutada määramata integraalide abil. Integreerimise omadusi: 3+2 valemit Rakendused: 1) Tasap. kujundi S=int(ülem-alum) 2) Joone kaare pikkus VALEM 3)Pöördpinna ruumala VALEM 4) Pöördpinna pindala 3. Kahekordse integraali definitsioon ja omadused: aditiivsus, lineaarsus, monotoonsus, absoluutne integreeruvus, keskväärtusteoreem, näide Vaatleme tasapinnal xy joonega L piiratud kinnist piirkonda D. Olgu selles piirkonnas antud pidev funktsioon z=f(x,y). Jagame piirkonna D n osapiirkannaks, mille pindalad tähistame ΔS1, ΔS2 … ΔSn. Võtame igas piirkonnas punkti PiЄ ΔSi. Siis summat Vn=Σni=1f(Pi)ΔSi nimetame funktsiooni z=f(x,y) integraalsummaks. Kui eksisteerib
2 1 2 1 Nulltuletisteoreemi kohaselt (kui funktsioon omab vahemiku igas punktis tuletist ja see tuletis on kõikjal 0, siis funktsioon on konstantne) on F2 ( x ) - F1 ( x ) = const m.o.t.t. Def Funktsiooni y = f(x) määramata integraaliks nimetatakse avaldist y = f ( x) dx = F(x) + C, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja C konstant, mida nimetatakse integreerimiskonstandiks. Muutujat x nimetatakse integreerimismuutujaks. Integraali märgi all olevat funktsiooni f(x) nimetatakse integreeritavaks funktsiooniks. Integraalialuseks avaldiseks nimetatakse avaldist f(x)dx. Näide: 2 xdx = x +C 2 1. MÄÄRAMATA INTEGRAALI OMADUSED 1. Tuletis määramata integraalist võrdub integreeritava funktsiooniga [ f ( x) dx ] = f ( x ) 2. Diferentsiaal määramata integraalist võrdub integraalialuse avaldisega: d f ( x ) dx = f ( x ) dx 3
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL
Infotehnoloogia teaduskond
Referaat
Määratud integraali ligikaudne
arvutamine Simpsoni valemiga.
Veahinnangud. Näited
2015
Määratud integraali arvutamine
Simpsoni valemiga
Simpsoni valemiga määratud integraali leidmiseks teosteme lõigu [a, b] alajaotuse 2n
võrdseks osaks:
x 0 a x1 x 2 ... x 2 n 1 b x 2 n
Joonis 1
ja märgime jaotuspunktidele x1, x2, ...., x2n-1 vastavad punktid funktsiooni f(x) graafikul
AB vastavalt tähtedega P1, P2, ... , P2n-1, kusjuures P0 = A, Pn = B (joonis 1).
Olgu i mingi paaritu arv (0
iseloomustab funktsiooni kiirema muutumise sihti. 14.Tuletis suvalise ühikvektori suunas(tähistus, leidmine) f ( x 0 +ah ; y 0 +hb )−f ( x 0 , y 0 ) Du f ( x 0 , y 0 ) =lim Osatuletuis punktis h→ 0 h x0,y0 ühikvektori u=a,b suunas. 15.Kahekordse integraali omadused. Kuidas arvutada kahekordset integraali? OMADUSED: Lineaarsus Adiktiivsus. Kui piirkond D on jaotatud kaheks piirkonnaks D1,D2 millel pole ühiseid seesmisi punkte Monotoonsus Kõigepealt arvutan sisemise integraali, panen rajad asemele ja siis välimise integraali ja panen rajad asemele. 16.Kahekordse integraali rakendusi Kujundi pindala leidmine Keerukamate kujundite massi Massikeskmeid 17
25. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x (tuletada pole vaja). 26. Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. 27. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (ilma tõestusteta). 28. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Esitada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks (tuletada pole vaja). Ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks: 29. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. 30. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Esitada vastav valem ilma tuletamata. 31. Määratud integraali omadused (ilma põhjendusteta). 32
(integreerimiskonstant), nimetatakse funktsiooni f (x) määramata integraaliks ja 0 tähistatakse () st () = () + . Määramata integraali tuletis on tingimuste f(x) = O(1), g(x) = O(1) (x [, ]) põhjal(( )- f( )) 0. võrdne integreeritava funktsiooniga st ( ())'= f(x)
korral kehtib võrdus Algfunktsiooni üldavaldis Kui F on funktsiooni f algfunksioon hulgas D, siis on kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F+C, kus Määramata integraal Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldis ja tähistatakse e Määramata integraal ei ole ühene funktsioon tal on lõputult erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Teisalt võib tõlgendada integraali, kui üheste funktsioonide parve , kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon, kujutades seda funktsiooni xy-konrdinaadistikus saame joonteparve mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje paralleellükk abil. 12. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)
7. Lokaalsete ekstreemumite leidmise algoritm. 8. Globaalsete ekstreemumite leidmise algoritm. Võrdlus lokaalsete ekstreemumite leidmisega. 9. Pinna puutujatasandi võrrand. Mis on lineariseerimine ja mis on selle idee? 10. Täisdiferentsiaali valem. Rakendusi (nt veahinnang). 11. Gradient (definitsioon, omadused ja tähistused). 12. Tuletis suvalise ühikvektori suunas (tähistus, leidmine). 13. Kahekordse integraali omadused. Kuidas arvutada kahekordset integraali? 14. Kahekordse integraali rakendusi. 15. Üleminek polaarkoordinaatidele (millal kasutada, valemid üleminekuks). 16. Kolmekordse integraali omadused. Kuidas arvutada kolmekordset integraali? 17. Üleminek silinderkoordinaatidele (millal kasutada, valemid üleminekuks). 18. Üleminek sfäärikoordinaatidele (millal kasutada, valemid üleminekuks). 19. Kolmekordse integraali rakendusi. 20
21. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite mõisted. Statsionaarne punkt. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kahemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused. 22. Kahemuutuja funktsiooni tingliku ekstreemumi mõiste. Lagrange'i funktsioon. Kahemuutuja funktsiooni tinglike ekstreemumite seos Lagrange'i funktsiooni statsionaarsete punktidega. 23. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kahekordse integraali definitsioonid. Kahekordse integraali geomeetriline sisu. 24. Kahekordse integraali omadused (sh omadused 3-5 koos põhjendustega). 25. y- ja x-telje suhtes regulaarsed piirkonnad. Kahekordse integraali esitus kaksikintegraalina y- ja x-telje suhtes regulaarsete piirkondade korral. Millal nimetatakse piirkonda regulaarseks? 26. Ruumala arvutamine kahekordse integraali abil. Tuletada vastav valem. 27. Muutujate vahetus kahekordse integraali all. Kahekordse integraali
C on mingi reaalarv, sest G (x) = F (x) + C = F (x) = f (x). Saab näidata, et funktsioon G(x) = F (x) + C kirjeldab kõiki antud funktsiooni y = f (x) algfunktsioone. Definitsioon 3.2 Funktsiooni f kõigi algfunktsioonide hulka F (x) + C nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse f (x)dx = F (x) + C. Definitsioonis 3.2 esinevaid sümboleid nimetatakse järgmiselt: - integraali märk x - integreerimismuutuja f (x) - integreeritav funktsioon f (x)dx - integraalialune avaldis C - integreerimiskonstant Näide 3.2 Kasutusele võetud sümboolikas on 2xdx = x2 + C, sest (x2 + C) = 2x ja sin xdx = - cos x + C,
Funktsiooni 2 nimetatakse funktsiooni algfunktsiooniks hulgas 3, kui iga 3 korral kehtib võrdus 2 . Kui 2 on funktsiooni algfunktsioon hulgas 3, siis kõik funktsiooni algfunktsioonid hulgas 3 avalduvad kujul 2 4, kus 4 on suvaline konstant. Funktsiooni algfunktsioonide üldavaldist 2 4, kus 4 on konstant, nimetatakse funktsiooni määramata integraaliks ja tähistatakse 5 2 4, kus 4 on konstant. Määramata integraali võib tõlgendada kui üheste funktsioonide parve 2 4, kus konstandi 4 igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil - LIISI KINK 13
Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni F algfunktsioonide üldavaldist F + C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks. Geomeetriline sisu: Iga x korral on määramata integraalil lõpmata palju väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Määramata integraali võib vaadelda kui üheste funktsioonide parve, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. 27. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (ilma tõestusteta). 1. 2. 3. 28. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Integraali avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Valitakse mingi funktsioon u ja integreeritakse muutuja x asemel muutujat u. Eeldades et valitud
5 M¨ a¨ aratud integraal 5.1 M¨ a¨ aratud integraali mo ~iste Olgu funktsioon y = f (x) m¨a¨aratud l~oigul [a; b]. Jaotame l~oigu [a; b] suvalisel viisil punktidega x1 , x2 , ... xn-1 n osal~oiguks, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk-1 < xk < . . . < xn = b. Tekkinud osal~oigud on [xk-1 ; xk ], kus k = 1, 2, . . . , n. T¨ahistagu xk = xk - xk-1 k-nda osal~oigu pikkust. Edasi valime igalt osal~oigult t¨aiesti suvalise punkti k [xk-1 ; xk ], k = 1, 2, . .
Teooria 3 1.Riemanni summa. Määratud integraali (Riemanni mõttes) definitsioon. Riemanni summa lõigul [a,b] (f) = ∑ . Kui eksisteerib piirväärtus = ∑ , mis ei sõltu [a,b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide valikust, siis öeldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul [a,b] ning seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x) määratud integraaliks ehk Riemanni integraaliks lõigul [a,b] ja seda tähistatakse ∫ . 2
Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks a tähistatakse ∫ f (x)dx . Seega definitsiooni kohaselt ∫ f (x)dx = F(x)+C. Geomeetriline sisu. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil. 27. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (ilma tõestusteta). ∫ dx =x+C x a−1 ∫ x a dx = a+1 + C , kus a ≠ -1 dx ∫ x = ln |x| + C x a ∫ a x dx = lna + C , kus a>0, a ≠ 1 ∫ sin xdx = - cosx + C ∫ cos xdx = sinx + C dx ∫ cos2 x = tanx + C dx ∫ sin2 x = - cotx + C
Määramata integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator. Funktsiooni f algfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F, mis rahuldab tingimust F'(x) = (x)= f(x). Definitsioon (määramata integraal) Avaldist kujul F(x) + C; kus F(x) on funktsiooni f (x) mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant (integreerimiskonstant), nimetatakse funktsiooni f (x) määramata integraaliks ja tähistatakse st . Määramata integraali tuletis on võrdne integreeritava funktsiooniga st ( )'= f(x). Tõestus: ( )'= (F(x)+C)'=F'(x)= f(x). d( )= ( )'dx = f(x)dx = F'(x)dx= dF(x). Operaatorit L:V->W nimetame lineaarseks kui on täidetud tingimused: a)L(f+g)= L(f) + L(g) kui f, g V (aditiivsus) b) L(cf) = cL(f) kui f V ja c R (homogeensus). Määramata integraal on lineaarne operaator, st =
ainult teatud erikujuliste pinnatükkide, nagu ristkülik, romb, kolmnurk, trapets jne puhul. Kõverjoonega piiratud pinnatükkidest oskame leida ainult ringi pindala. Meie järgmiseks ülesandeks on õppida leidma kõverjoonega piiratud pinnatüki suurust integreerimise teel. 1) Esmalt tuleta meelde olulisemad integreerimisvalemid ja reeglid. 2) Summa (vahe) integraal võrdub liidetvate integraalide summaga(vahega) 3) Konstantse teguri võib tuua integraali märgi alt integraali ette. Newton-Leibnizi valem 4) Newton-Leibnizi valem määratud integraali arvutamiseks. 5) Määratud integraali arvutamiseks • leitakse integreeritava funktsiooni algfunktsioon; • leitakse algfunktsiooni väärtused ülemise ja alumise raja kohal; • lahutatakse algfunktsiooni väärtusest ülemise raja kohal algfunktsiooni väärtus alumise raja kohal. 6) 7) Näiteülesanded • Kasutatud allikad: www.google.ee
suurused a ja b määrata: juhul x- seosest lim x- (f(x)-kx-b)=0 millest saame, 1 et k= lim x- f(x)/x ^ b= lim x-(f(x)-kx); *juhul x+ seosest lim x+ (f(x)-kx-b)=0, millest saame, et k=lim x+ f(x)/x ^ b= lim x+(f(x)-kx). Kui uuritaval juhul vaadeldavad piirväärtused suuruste k ja b leidmiseks eksisteerivad, siis eksisteerib kaldas., kui ei, siis mitte. 35. Määramata integraali omadused Selles punktis tõestame kolm määramata integraali omadust ja kasutame neid omadusi integreerimisel. Omadus 1. [ f ( x ) + g ( x )]dx = f ( x )dx + g ( x )dx , s.t. kahe funktsiooni summa määramata integraal on võrdne nende funktsioonide määramata integraalide summaga. Kaks määramata integraali on võrdsed, kui nad erinevad teineteisest ülimalt konstandi võrra ehk nende tuletised on võrdsed. Näitame seda. Võttes vasakult poolt tuletise, saame punkti 4.1
F+C. Jõudsime vastuolule. Teoreem tõestatud. c. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist , kus C on konstant, nim funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse Iga x korral on määramata integraalil palju erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitad konstandist C. Teisest küljest võib määramata integraali tõlgendada kui üheste funktsioonide parve y=F(x)+C, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy- koordinaadistikus saame joonteparve, mille joone on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil. (JOONIS) 34. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused( sh omadus 3 koos tõestusega). a. Integraalide tabel
Sõnastada teoreem algfunktsioonide uldavaldise kohta (tõestust ei kusi). FUNKTSIOONI MÄÄRAMATA INTEGRAAL ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x kuulub D korral kehtib võrdus F (x) = f(x). Teoreem Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Määramata integraali mõiste. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse f(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt f(x)dx = F(x) + C , C - konstant . Algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. Geomeetriline sisu Määramata integraal ei ole ühene funktsioon. Iga x korral on tal lõpmatult palju erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C
iga korral. c.iii. Nulltuletist omab ainult konstantne funktsioon, seega , kus C on konstant. Sealt järeldub d. Määramata integraal Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldis ja tähistatakse e e. Geomeetriline sisu: Määramata integraal ei ole ühene funktsioon - tal on lõputult erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Teisalt võib tõlgendada integraali, kui üheste funktsioonide parve , kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon, kujutades seda funktsiooni xy-konrdinaadistikus saame joonteparve mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje paralleellükke abil. 12. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (sh omadus 3 koos tõestusega) a. Määramata integraali omadused: b. 3. omaduse tõestus: b.i. Kasutades leiame seose = 13
See tähendab, et suurus t on suuruse igrek funktsioon, y sõltub suurusest t. ÄRME UNUSTA, ET FUNKTSIOON POLE MIDAGI MUUD KUI MUUTUV SUURUS, MIS SÕLTUB mingil viisil MINGITEST TEISTEST SUURUSTEST. Aga seisame vastu olukorrale, kus ka t sõltub omakorda teisest muutujast: t=( x), mis tähendab, et t on omakorda x funktsioon. Nii saame kokkuvõtlikult kirjutada, et y= f[(x)]. Sellist põhimõtet saab kasutada ka integreerimises, kui meil on funktsiooni f(x) integraal f(x) dx , aga me ei saa integraali otseselt leida, kuna meil on tegemist liitfunktsiooniga ja suurus x sõltub omakorda mingist teisest suurusest. Sel juhul teeme integraalis kõigepealt muutuja vahetuse ja lahendame integraali kõigepealt ,,uue" muutuja järgi. Asendame x-i avaldise x=(t) Võtame eelduseks, et x=(t) on pidev funktsioon, millel leidub ka pöördfunktsioon. Kuna integraalis on vaja avaldada ka diferentsiaal dx, siis teeme seda: diferentsiaal on tuletise ja
ulatuses. 1 Üks algfunktsioon funktsioonile y = x 2 on F ( x ) = x 3 3 Valemi (3) kohaselt on pindala 1 3 1 2 S = F (1) - F ( - 1) = 1 - ( - 1) = 3 3 3 3 MÄÄRATUD INTEGRAALI MÕISTE Arvutame trapetsi abBA pindala teisel teel. Jaotame lõigu [a, b ] n osalõiguks. Osalõikude pikkused tähistame x1 , x2 , , xn Jaotuspunktides joonestame ordinaadid, mis jaotavad trapetsi n väiksemaks kõverjoonseks trapetsiks. Valime igal osalõigul [ xi -1 , xi ] vabalt ühe punkti i Saame 1 , 2 , , n Kujundame igale osalõigule ristküliku, mille kõrguseks on graafiku ordinaat valitud punktis vastavalt f ( 1 ) , f ( 2 ) , , f ( n )
ulatuses. 1 Üks algfunktsioon funktsioonile y = x 2 on F ( x ) = x 3 3 Valemi (3) kohaselt on pindala 1 3 1 2 S = F (1) - F ( - 1) = 1 - ( - 1) = 3 3 3 3 MÄÄRATUD INTEGRAALI MÕISTE Arvutame kõverjoonse trapetsi abBA pindala teisel teel. Jaotame lõigu [a, b ] n osalõiguks. Osalõikude pikkused tähistame x1 , x2 , , xn Jaotuspunktides joonestame ordinaadid, mis jaotavad trapetsi n väiksemaks kõverjoonseks trapetsiks. Valime igal osalõigul [ xi -1 , xi ] vabalt ühe punkti i Saame 1 , 2 , , n Kujundame igale osalõigule ristküliku, mille kõrguseks on graafiku ordinaat valitud punktis vastavalt f ( 1 ) , f ( 2 ) , , f ( n )
MÄÄRATUD INTEGRAAL, SELLE RAKENDUSED 1.1 Määratud integraali rakendused 1.2 SISSEJUHATUS MÄÄRATUD INTEGRAALI a) Integraalne alam ja ülemsumma · On antud funktsioon y= f(x), mis on PIDEV lõigul [a;b] (argumendi väärtused) · Sellel lõigul eksisteerib kaks olulist väärtust: funktsiooni suurim väärtus ja funktsiooni vähim väärtus. · Tähistame funktsiooni f(x) suurima väärtuse tähega M ja väikseima väärtuse tähega m · Funktsiooni väärtusi näitab graafiliselt y-telg (alati!) N2
Kordamisküsimused matemaatilise analüüsi (II) II osaeksamiks 2013 1. Kahekordne integraal (integraalsumma, kahekordse integraali definitsioon, kahekordse integraali omadused (vastavad teoreemid tõestuseta)). n Moodustame summa: Vn = f ( P1 )s1 + f ( P2 )s 2 + ... + f ( Pn )s n = f ( Pi )s i i =1 Seda summat nimetatakse funktsiooni f(x,y) integraalsummaks üle piirkonna D. Teoreem 1. Kui funktsioon f(x,y) on kinnises piirkonnas D pidev, siis
Siin viimane ' võrrand on tegelikult w = 0 . 2. Avaldame avaldisest g(x;y)=0 ühe muutuja (see pole aga kahjuks alati võimalik) ja asendame ta z = f(x, y) avaldisse, nii on tagatud , et g(x;y)=0 ja lisaks saime z avaldisest ühe muutuja kõrvaldada. Esimest meetodit nimetatakse Lagrange kordajate meetodiks. Integraal Algfunktsiooni ja määramata integraali mõiste. Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatkse niisugust funktsiooni y=F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F´(x)=f(x) Algfunktsioone võib olla palju sest suvalist konstanti C, ei tea. Funktsiooni y=f(x) määramata integraaliks nimetakse avaldist y = f ( x) dx = F(x) + C, kus F(x) on funktsioonif(x) algfunktsioon ja c konstant , mida nimetatakse inegreerimiskonstandiks. Integraali seos tuletisega
Jõudsime vastuolule. Teoreem tõestatud. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F( x )+C , kus C on konstant, nim funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse f ( x ) dx f ( x ) dx=F ( x ) +C Iga x korral on määramata integraalil palju erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitad konstandist C. Teisest küljest võib määramata integraali tõlgendada kui üheste funktsioonide parve y=F(x)+C, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille joone on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil. (JOONIS) 34. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (sh omadus 3 koos tõestusega). Integraalide tabel 1. dx=x+C 2.=+1+1+, -1 3. dx ax
23. Kahe muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali mõiste, valem 24. Ligikaudsed arvutused täisdiferentsiaali abil. Kõrgemat järku osatuletised. 25. Kahe muutuja funktsiooni lokaalsete ja globaalsete ekstreemumite mõisted, nende leidmine. Ekstreemumi leidumise tarvilikud ja piisavad tingimused. 26. Tinglikud kriitilised punktid. Lagrange’i kordajate meetod tinglike ekstreemumite leidmiseks 27. Gradient, tuletis antud antud suunas. 28. Kahekordse integraali mõiste ja geomeetriline tõlgendus - kõversilindri ruumala, tasandilise kujundi pindala. Kahekordse integraali omadused, arvutamine. 29. Muutuja vahetus kahekordses integraalis, üleminek polaarkoordinaatidele 30. Kolmekordse integraali mõiste, arvutamine. 31. Muutuja vahetus kolmekordses integraalis, üleminek silindrilistele ja sfäärilistele koordinaatidele. Kolmekordse integraali rakendused: keha ruumala ja massi valem.
Contents 1.Kordse integraali mõiste. Kahekordne intgeraal. Kahekordse integraali omadused...............1 2.Regulaarsed ja normaalsed piirkonnad. Kaksikintegraal. Kahekordse integraali arvutamine kaksikintegraali abi..................................................................................................................... 1 3.Muutujavahetus kordses integraalis. Jakobiaan. Polaarkoordinaadid.....................................2 4.Kolmekordne integraal ja selle arvutamine rist-, silinder- ja sfäärkoordinaatides..................3 5.Teist liiki joonintegraal ja Greeni valem.................................................................................4 6
funktsiooni z=f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse sümboliga Piirkonda D nim. integreerimispiirkonnaks. Kui f(x,y)0 piirkonnas D, siis kahekordne integraal tähendab geomeetriliselt niisugust kõversilindri ruumala, mis alt on piiratud xy- tasandi piirkonnaga D, ülalt funktsiooni z=f(x,y) graafikuks oleva pinnaga ja küljelt silinderpinnaga, mille moodustaja on paralleelne z-teljega ja juhtjooneks piirkonna D rajajoon. Kahekordse integraali omadusi: 1. Kahe funktsiooni summa kahekordne integraal on võrdse nende funktsioonide kahekordsete integraalide summaga: 2. Kui c on konstant, siis: 3. Kahe funktsiooni vahe kahekordne integraal on võrdne nende funktsioonide kahekordse integraalide vahega: 4. Kui piirkond D on jaotatud kaheks piirkonnaks D1 ja D2, millel pole ühiseid seesmisi punkte, ja funktsioon z=f(x,y) on pidev piirkonna D kõikides punktides, siis: 2
Viimane on tegelikult w'=0. -Lagrange kordaja , seega on see Lagrange kordajate meetod. 2. Avaldame avaldisest g(x;y)=0 ühe muutuja (see pole aga kahjuks alati võimalik) ja asendame ta z = f(x, y) avaldisse, nii on tagatud , et g(x;y)=0 ja lisaks saime z avaldisest ühe muutuja kõrvaldada ning saame ülesande lahendada. Integraal Algfunktsiooni ja määramata integraali mõiste- Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni y = F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F ( x ) = f ( x ) . Funktsioonil on lõpmata palju algfunktsioone, mis erinevad üksteisest konstantse liidetava poolest. Funktsiooni y = f(x) määramata integraaliks nimetatakse avaldist y = f ( x) dx = F(x) + C, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja C konstant, mida nimetatakse integreerimiskonstandiks.
Kui f-il leidub algfunktsioon G, mis ei avaldu kujul . Kuna G ja F on ühe ja sama funktsiooni f algfunktsioonid siis saame iga korral. Nulltuletist omab ainult konstantne funktsioon, seega , kus C on konstant. Sealt järeldub Määramata integraal Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldis ja tähistatakse e Määramata integraal ei ole ühene funktsioon tal on lõputult erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Teisalt võib tõlgendada integraali, kui üheste funktsioonide parve , kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon, kujutades seda funktsiooni xy-konrdinaadistikus saame joonteparve mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje paralleellükk abil. 34. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Määramata integraali omadused: 1. 2. 3. Tõestus Kasutades leiame seose 35. Asendusvõte määramata integraali avaldamisel
1.Kordse integraali mõiste. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kahekordse integraali definitsioonid. Kahekordse integraali geomeetriline sisu. Kahekordse integraali omadused. Kui eksisteerib , mis ei sõltu osapiirkondadeks Dj jaotamise viisist ega punktide Pj ϵ Dj valikust, siis seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse Olgu D kinnine tõkestatud piirkond ruumis R2. Olgu z = ƒ (x,y) piirkonnas D määratud pidev funktsioon. Jaotame piirkonna D n tükiks ∆S1,∆S2,…,∆Sn.Tähistagu ∆Si samaaegselt nii i- ndat tükki kui ka i-nda tüki pindala
Kui y = kx+b on joone y = f(x) asümptoot protsessis x , siis k ja b avalduvad valemitega Algfunktsiooni mõiste. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x D korral kehtib võrdus F (x) = f(x). TEOREEM- algfunktsioonide üldavaldise kohta Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Määramata integraali mõiste. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistataksef(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt f(x)dx = F(x) + C , C konstant Geomeetriline sisu Määramata integraal ei ole ühene funktsioon. Iga x korral on tal lõpmatult palju erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Teisest küljest võib
Definitsioon 17. Funktsiooni f kõikide algfunktsioonide üldavaldist F(x) +C, kus F on funktsiooni f mingi algfunktsioon, C suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks. Funktsiooni f määramata integraal tähistatakse sümboliga f ( x ) dx. Seega f ( x)dx = F ( x) + C F ( x) = f ( x). Integraal on funktsiooni piirväärtuste summa. 2. Esitada ja tõestada määramata integraali f ( x ) dx. omadused. · TEOREEM 1: Kahe või enama funktsiooni määramata integraalide summa on võrdne liidetavate funktsioonide summa integraaliga: On antud kaks määramata integraali f(x) dx ja g(x) dx . Nende integraalide summa: f(x) dx + g(x) dx = [f(x) + g(x)] dx TÕESTUSEKS LEIAME TULETISE MÕLEMAST POOLEST, NII VASAKUST KUI KA PAREMAST ja tuletised peavad andma sama tulemuse,
Integraal Videos seletatakse integraali ülesandeid väga põhjalikult. Videos see tundub väga kerge ja lihtsasti arusaadav. Kindlasti nende ülesannete lahendamine ja arusaamine võtab natukene rohkem aega, kui 25 minutit. Tunnis käsitlesime algselt kergemaid ülesandeid ja hiljem tõstsime raskustaset. Mis tähendab seda, et 25 minutiga teemat päris selgeks ei saa, aga teema teeb arusaadavamaks küll. Video valisin teema tutvustaja järgi ning kuna see tundus ka huvitav. Üleliigset informatsiooni videos ei
Teoreem: Kui F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon, s.t F’(x)=f(x), siis seda on ka iga funktsioon F(x)+C, kus C on konstant Definitsioon: Avaldsit F(x)+C, kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja C suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks Teoreem: Igal funktsioonil, mis on pidev lõigus {a,b }, on olemas algfunktsioon selles lõigus Näited: 25. Kõvertrapetsi pindala leidmise ülesanne. Määratud integraali mõiste. Tähistused. Teoreemid integreeruva funktsiooni kohta. Geomeetriline tähendus. Ülesanne: Mõiste: funktsiooni f(x) määratud integraaliks nimetakse piirväärtust rajades a-st b-ni Tähistused: a= integraali alumine rada b= integraali ülemine rada Teoreemid: TEOREEM: Lõigus {a,b} pidev funktsioon f(x) on integreeruv selles lõigus TEOREEM: Lõigus {a,b} monotoone funktsioon f(x) on integreeruv selles lõigus
34. Integraalide tabel. 1. ʃdx = x + C , kuna (x + C)’ = 1. 2. ʃxa dx = x a+1 /(a+1) + C, kus a −1, Kuna (x a+1 /a+1 + C)’= (a + 1)* xa /a+1 = xa. 3.ʃdx /x = ln|x| + C. 4. ʃa x dx = a x/ lna + C , kus a > 0,a 1 5. ʃsinx dx = −cosx + C. 6. ʃcosxdx = sinx + C. 7.ʃdx /cos2 x = tanx + C. 8.ʃ dx /sin2 x = −cotx + C. 9. ʃdx /k 2+x 2 = 1/k * arctan x/k + C. Erijuht: ʃ dx /1+x2 = arctanx + C. 10.ʃdx /√ k2−x2= arcsin x/ k + C. Määramata integraali omadused (sh omadus 3 koos tõestusega). 1.ʃ[f(x) ± g(x)]dx =ʃf(x)dx ±ʃg(x)dx. NB! Omadus 1 ei kehti korrutamise ja jagamise korral! See tähendab, et ʃ [f(x)g(x)]dx ʃ f(x)dx · ʃg(x)dx ja ʃ [f(x) : g(x)]dx ʃf(x)dx : ʃ g(x)dx. 2. ʃaf(x)dx = a ʃf(x)dx, kus a on konstant. 3. Kui ʃf(x)dx = F(x) + C ja a, b on konstandid, siis ʃ f(ax + b)dx = 1/ a * F(ax + b) + C. Tõestame omaduse 3. Selleks me peame näitama, et ( 1 /a * F(ax + b) + C )’= f(ax + b).
77.Kuidas leitakse funktsiooni asümptoote? 78.Ühe muutuja funktsiooni algfunktsioon. Kui ühemuutuja funktsioon on y=2x Ja meile on vaja leida algfunktsion, leidmiseks me kasutame integrali siis võtame integralir ühe muutuja funktsioonist 79.Algfunktsioonide hulga üldkuju. Kui F(x) ja G(x) on kaks erinevat funktsiooni f(x) algfunktsiooni, siis nad erinevad teineteisest mitte rohkem kui konstandi võrra. 80.Määramata integraali mõiste Kui F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon, siis avaldist F(x) + C, kus C on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse f(x)dx. 81.Määramata integraali omadused [f(x)+g(x)]dx =f(x)dx + g(x)dx, st kahe funktsiooni summa määramata integraal on võrdne nende funktsioonide määramata integraalide summaga. Kui a on konstant, siis af(x)dx = af(x)dx, st konstantse teguri saab tuua
Küsimused: 1.Määratud integraali (Riemanni mõttes) definitsioon. Darbouc ülem- ja alamsummad. Riemanni summa ja Darboux’ summade seos-viimane pilt. ∫ f ( x ) dx st ∫ f ( x ) dx=F ( x ) +C . Määramata integraali tuletis on f (¿ ξi) ∆ xi SΠn n võrdne integreeritava funktsiooniga st ( ∫ f ( x ) dx )’= f(x). Tõestus: ( ∫ f ( x ) dx Riemanni summa lõigul [a,b] (f) =
annaabi.ee 
