Ühe muutuja funtsiooni diferentsiaal- ja integraalarvutuse põhivalemid Funktsioon Diferentseerimisvalem Põhiintegraal Konstant a '=0 adx =axC n-1 n1 Astmefunktsioon x ' ' ' =nx x x ' ' dx = n1 C 1 2 x '= 2 x xdx = 3 x 3C x x x Eksponentfunktsioon a ' =a ln a a x dx= lna a C e x dx=e...
Kuu "tahaks" lennata otse, kuid Maa gravitatsioonijõud tõmbab teda tagasi ja muudab liikumistee ringikujuliseks. Newton mõistis sedagi, et täpselt samamoodi "kukuvad" planeedid ümber Päikese, mille tohutu gravitatsioon hoiab neid orbiidil lõksus. Ta arvutas matemaatiliselt välja planeetide täpse kiiruse ja orbiidi kuju. See oli hirmkeeruline ülesanne, mis võttis tal aega aastaid ning mille tarvis ta pidi koguni leiutama uue matemaatikaharu, diferentsiaal-integraalarvutuse Asi oli seda väärt. Tal õnnestus välja selgitadanii see, kuidas gravitatsioon töötab, kui ka kolm "liikumise seadust", millele allub kõigi universumi kehade liikumine, aatomitest galaktikateni.
Diegrid-Juhiks oli Gerrard Winstaney. Asus kaaskondlastega ülesse harima jääkmaad luues kehvikute koloonia. Olid rahulikud ja täitsid seadusi. Independid-põhilised toetajad olid ohvitserid SAKSAMAA Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)- uus filosoofia Oli filosoof ja matemaatik, kelle vaadete lähtekohaks oli kujutlus monaadidest. Need on looduse vaimsed alged, mida on väga palju. Kõige krooniks on jumal. Matemaatikuna avastas diferentsiaal- ja integraalarvutuse. Majandusliku ja ühiskondliku arengu suunajaks oli riigivõim. Leibniz arvas, et teadus peab tooma praktilist kasu. Tähtis oli ka teadlaste jõupingutuste ühendamine Christian Thomasius(1655-1728)- kõlblusfilosoof Oli valgustaja, kes arvas, et filosoofia peab olema üldarusaadav ja tooma praktilist kasu. Rõhutas hariduse andmist õpetuse asemel. Hakkas ladina keele asemel kasutama saksa keelt ülikoolis, kui selle eest saadeti ta linnast välja
ÕPPEAINE MATEMAATILINE ANALÜÜS I (kood YMM3731) PROGRAMM Õppeaine eesmärk · Anda ühe muutuja funktsiooni diferentsiaal- ja integraalarvutuse teoreeti-lised alused. · Õpetada lahendama mainitud teooriaga seotud põhilisi ülesandeid. · Näidata esitatud teooria võimalikke rakendusi praktikas ja teistes teadus- harudes. · Harjutada üliõpilasi matemaatilise sümboolikaga. Maht: 5 EAP ainepunkti, nädalatundide arv 2-0-2. Eeldusained: pole. Õppeaine sisu (orienteeruva loenguteks jaotusega): 1. Kasutatav sümboolika. Funktsiooni mõiste ja omadused. Elementaarfunktsioonid. 2
Esimesi leiutisi oli peegelteleskoop,mis suurendas astronoomiliste vaatluste efektiivsust.Teleskoobi abil avastati,et päikesevalgus koosneb paljudest eri värvustest,mis moodustavad spekri.Jõudis järelduseni,et planeetide liikumine ümber Päikese toimub elliptilisi trajektoore mööda.Teadustööd ülistab raamat ,,Loodusteaduse matemaatilised printsiibid"(1687), selles on sõnastatud Newtoni seaduse nime all mehaanika põhialused ja gravitatsiooniseadused.Leiutas diferentsiaalja integraalarvutuse.1705 tõsteti ta aadliseisusesse. Looduse süsteem:Karl Linne.Huvitus loodusest ja korraldas uurimisretki Rootsi eri piirkondadesse.Reisimuljete mõjul asus loodust süstenatiseerima.Leidis,et elav loodus jaguneb 3:taime,loomaja kiviriigiks.Kujutlus kiviriigist kui alavlooduse osast tekkis sellest,et põldudel ja aedades üha uued kivid maapinnast esile kerkisid.Taimeriigi puhul rõhutas sugulist paljunemist
definies,prises entre des limites imaginaires, 1825). ,, Määramata sügavustega raske vedeliku pinnal levivate lainete teooria" (Etablir la theorie de la propagation des ondes a la surface d'un fluide pesant d'une profondeur infefunie). ,,Infinitesimaalarvutuste loengute kokkuvõte" (Resume des locons sur le calcul infitesimal), ilmus 1831. a. Peterburis pealkirja alla ,,Kuninglikus Polüdehnilises Koolis õpetatavate diferentsiaal- ja integraalarvutuse kursuste lühiesitus" ajakiri ,,Matemaatika harjutused" (Exercices d'Analyse Mathematique etde Physique).(jäi ilmumata) ,,Aruanded" (Comtes rendus). (Teaduste Akadeemia väljaanne, kuhu Cauchy kirjutas artikleid. Veel Cauchy'st o Cauchy naiseks sai Aloise de Bure, kellega ta 1818. a. abiellus ja nelikümend aastat koos elas. o Neile sündis kaks tütart, , keda kasvatati rangelt usklikena
SISUKORD SISSEJUHATUS Käesoleva referaadi eesmärk on tutvustada lähemalt ühte 18.sajandi suurimat Saksa filosoofi ja matemaatikut Gottfried Wilhelm Leibnitzit (1646-1716). Ta oli Isaac Newtoni kaasaegne, kuid temast sõltumatult, mõtles välja diferentsiaal- ja integraalarvutuse. Samuti oli osaline energia jäävuse seaduse formuleerimisel. Leibnitz tegi palju teisigi olulisi teaduslikke ja matemaatilisi kaastöid. Leibnitzi võib nimetada matemaatilise loogika rajajaks. 1671-1674 konstrueeris nelja põhitehet sooritava arvuti. Kuigi Leibnitzi doktriin oli heterodoksne, uskus ta siiralt Jumalasse ja kirjutas kaitsekõne Kolmainsuse õpetusele. Ta astus ägedalt vastu Descartes´i ja Spinoza vaadetele. Ta püüdis edutult leida ühist alust katoliiklikule ja
Sinna kogus teadlane kokku selle valdkonna teadmised, korrastas need ning avaldas õpikutes tihti ka omi töid. 1748. aastal avaldatud "Introductio" kahes köites kasutas ta lõpmatute trigonomeetriliste ridade jaoks praegu kasutatavat kuju,seal oli ka algebralise elimineerimisteooria osa ning peatükk zeeta funktsioonist ja algarvud. Tähelepanuväärne on ka 1755. aastal avaldatud kolmeköiteline ,,Institutiones calculi differentialis" millele järgnes 1768. aastal sama mahukas õpik integraalarvutuse kohta. Ka need raamatud sisaldasid lisaks kogutud ja korrastatud teadmistele Euleri poolt juurde lisatut teadmisi integraal- ja diferentsiaalarvutuse kohta. 1770. aastal ilmus Eulerilt algebra õpik ,,Die Vollständige Anleitung zur Algebra". Kasutatud kirjandus 2. Kuulsaid XVII - XVIII sajandi matemaatikuid 5 Peeter Müürsepp Tallinn : Valgus, 1975 3. Heino Koppel Tallinn : Koolibri, 2000
Isaac Newton(1643-1727) Füüsik ·Teda on peetud 17.saj suurimaks füüsikuks, astronoomiks ja matemaatikuks. ·Leiutas peegelteleskoobi- suurendas vaatluste efektiivsust ·Selle abil avastati, et päikesevalgus koosneb tegelikult paljudest eri värvustest, mis mood. spektri. ·Jõudis järeldusele, et planeetide liikumine ümber päikese toimub elliptilisi trajektore mööda. ·Temalt mehhaanika põhialused ja gravitatsiooniseadused. ·Leiutas diferentsiaal-ja integraalarvutuse. Karl Linné(1707-1778) Looduse süsteem. ·Teda huvitas elav loodus, korraldas palju uurimisretki. ·Süstematiseeris loodust ·Leidis, et kogu elav loodus jaguneb kolmeks: taime-, looma- ja kiviriik. Kiviriik kui elav loodus- pani tähele, kuidas põldudel ja aedades üha uued kivid maapinnast esile kerkivad. ·Jagas taime-ja loomariigi sugukondadesse ja neisse kuuluvatesse liikidesse- seejuures andis nimetuse 5900 taimele. Keemia
võrdsus e jumalakartus), ei taodeldud ühiskonnakorra muutmist vaid selle täiustamist usu abil. Nad nõudsid, et tavaline usklik loeks iga päev Piiblit. Gottfried Wilhelm Leibniz- uus filosoofia Lähtekohaks oli kujutlus monaadidest( looduse vaimsed alged, mida on lõputult, iga monaad on ka kogu universumi peegeldus.). Kõige krooniks on jumal, kes pidi maailma loomisel lähtuma temast mitteolenevatest igavestest ideedest. Ta (olles matemaatik) avastas diferentsiaal- ja integraalarvutuse. Majandusliku ja ühiskondliku arengu suunajaks pidas riigivõimu. Pidas vajalikuks Saksamaa ühendamist, lõppeesmärk oli maailma harmoonia. Veel leidis, et teadus peaks tooma praktilist kasu ja oli üks Preisi Teaduste Akadeemia asutajaid. Christian Thomasius- kõlblusfilosoof Uskus, et õpetatuse asemel on valgustatuse ülesanne olla haritud ja selle tõttu hakkas Leipzigi ülikoolis loodusõiguse loenguid pidama saksa keeles (varasemalt ladina), mille eest saadeti ta Saksamaalt välja
23. Algfunktsioon. Määramata integraal ja selle omadused. 24. Integraalarvutuse põhiteoreem (tõestusega). 25. Ositi integreerimine ja muutuja vahetus Kuna eksisteerivad piirväärtused Võtame piirväärtuse, kui n ja , siis (tõestusega). 26
aastal. Oluline oli Encyclopedia puhul see, et siin käsitleti teaduse ja ühiskonna mõisteid süstemaatiliselt uue ideoloogia seisukohtade järgi. ( Prantsusmaa ) · G. W. Libnize filosoof ja matemaatik, kelle vaadete lähtekohaks oli kujutlus monaadidest. ( Need on looduse vaimsed alged, mida on lõputult palju, kusjuures iga monaad on ka kogu universiumi peegeldus. ) Matemaatikuna avastas Newtonist sõltumatuna diferentsiaal- ja integraalarvutuse. Arvas, et teadus peab eelkõige tooma praktilist kasu. ( Saksamaa ) · C. Von Wolff ehitas nn terve mõistuse filosoofia, mille tõttu teda peetaksegi ratsionalismi üheks rajajaks Saksamaal. Thomasiuse eeskujul avaldas ta tööd saksa keeles ning lõi sellega hulga termineid, millega tänapäeva saksa teaduskeelt oleks raske ette kujutada. ( Saksamaa ) · J. G. Von Herder pooldas progressi ideed, mille järgi ühiksoona kõrgeim seisund oli
teatavate tsükloidi puudutavate ülesannete lahendamises. Jansenistid olid kindlad Pascali võidus, mida taheti kasutada kloostri positsioonide kindlustamiseks. Pascali lahendused tunnistatigi parimaiks, kõik ülesanded lahendas ära ka John Wallis. Christiaan Huygens lahendas neli ülesannet ja leiutas selle käigus tsükloidilise pendli. Tema töö lõpmata väikeste suuruste analüüsimisel annab alust pidada teda Isaac Newton ja Leibnizi vahetuimaks eelkäijaks diferentsiaal- ja integraalarvutuse loomisel. 5 Füüsika Blaise Pascal on üks hüdrostaatika rajajaid. 1646 kordas ja laiendas Pascal Evangelista Torricelli katseid, uurides vedelikutaseme muutumise põhjuseid kolvis. Tulemused läksid vastuollu keskaegse dogmaga looduse tühjusekartusest horror vacui, millega nähtust seni põhjendati. Õigupoolest pidas Pascal tühjusekartust algul mõõdetavaks
Pascali teoreemi. Mersenne'i järgi tuletas ta sellest hiljem nelisada järeldust ja teoreemi, kuid Pascali "Täielik traktaat koonuslõikelistest tasapindadest", mis olnud matemaatika arengust sadakond aastat ees, on kaotsi läinud. Säilinud on vaid mõned Gottfried Leibnizi ümberkirjutused. Tema töö lõpmata väikeste suuruste analüüsimisel annab alust pidada teda Newtoni ja Leibnizi vahetuimaks eelkäijaks diferentsiaal- ja integraalarvutuse loomisel. 2.3. Füüsika Blaise Pascal on üks hüdrostaatika rajajaid. Hüdrostaatika on hüdromehaanika ja hüdraulika haru, mis uurib tasakaalus olevat vedelikku. Vaakumieksperimente jätkates sõnastas Pascal ka Pascali seaduse: Vedelikud ja gaasid annavad rõhku edasi kõigis suundades ühteviisi. Nii saadakse ka seadusele vastav valem p= F/S, kus p on rõhk(rõhk on vaadeldavale kehale mõjuv rõhumisjõud pinnaühiku kohta), F on jõud ning S pindala. Pascali järgi on nimetatud
o Ei eitanud niimoodi usku · Pietismis luterliku kiriku sees kujunenud vool, mis pööras tähelepanu vagadusele ja võrdusele Saksa valgustusideoloogia lähtus sellest o Rajajad Spener ja Francke · Gorrfried Wilhelm Leibniz: - uus filosoofia o Vaadete lähtekohaks oli kujutlus monaadidest (looduse vaimsed alged, universumi peegeldus) o Kõige krooniks on Jumal o Avastas diferentsiaal ja integraalarvutuse (sõltumatult Newtonist) o Arvas ,et riigi abil saab parandada kõike o Töö pidi meeldiv olema o Arvas, et teadus peab tooma praktilist kasu o Oluliseks pidas teadlaste jõupingutuste ühendamist (tegi seltse jne) · Christian von Wolff ratsionalist o Esitas terve mõistuse filosoofia o Arvas, et loodus on andnud kaasa kalduvused ja ülesanded o Astus ateismi vastu o Oli valgustatud absolutismi poolt
ja 5., koos rajadega ning: 1) Kui rajad on vôrdsed on integral 0; 2) Integral rajadega a-b on integralide a-c ja c-b summa, kui c kuulub lôiku a-b. Newton-Leibnizi valem - b n b a = - = a f ( x)dx b f 37. Integraalarvutuse rakendusi. ( x ) dx F (b ) F ( a ) F ( x ) a lim f ( a i ) x i = x 0 i =1 Integraalarvutuse rakendusi: Kaare pikkuse arvutamine Pöördkehade ruumalade leidmine ja pindalade leidmine b b L = 1 + [ f ' ( x )] 2 b
Francke toonitas eriti koolide rajamise vajadust. Pietistid taotlesid ühiskonnakorra täiustamist usu abil. 3.1. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Gottfried Wilhelm Leibniz oli filosoof ja matemaatik, kelle vaadete lähtekohaks oli kujutlus monaadidest, mis on looduse vaimsed alged , mida on lõputult palju. Kusjuures iga monaad on ka kogu universumi peegeldus. Tähtis koht oli ka Jumalal. Matemaatikuna avastas Leibniz Isaac Newtonist sõltumatult diferentsiaal-ja integraalarvutuse. Ühiskondliku ja majandusliku arengu suunajaks pidas Leibniz riigivõimu, arvates , et just riigi abil saab parandada töötajate olukorda, seejuures hoolitseda ka vaeste eest. Eesmärgiks pidi olema küllus ja kõigipoolne rahulolu. Suurt tähelepanu pööras ta ka teaduse arendamise küsimusele. Ta arvas, et teadus peab tooma eelkõige praktilist kasu. Väga oluliseks pidas ta ka teadlaste jõupingutuste ühendamist, organiseerides seltse ja muid ühendusi. Leibniz oli Preisi
Enda arusaamist ja teadmisi kõigest, millest me suudame.",,Vabadus on tunnetatud paratamatus Gottfried Wilhelm von Leibniz Spinoza ja Locke'i kaasaegne, töötas filosoofilises õhkkonnas, mille oli loonud Desc. Polnud elukutseline filosoof.8. valdas ladina keelt ning luges kreeka ja rooma filosoofide teoseid.15. alustas Leipzigi ülikoolis filosoofia- juuraõpinguid.20. kaitses õigusteaduste doktori kraadi.29. arendas välja diferentsiaal- ja integraalarvutuse (enne Newtonit).30. tõlkis ladina keelde Platoni Phaidoni ja Theaitetose.Oli tujukas ja mõistuslik inimene.Paljud ideed arendas välja kirjavahetuses, kuid ei viimistlenud neid avaldamiseks.Kirjavahetuses sadade inimestega. Säilinud on umbes 15 000 kirja.Oli oikumeenilise liikumise suur eelkäija.Noorusaastatel oli vaimustuses oma ilusast välimusest (vt pilte!) ja intelligentsest jutust.Suure osa oma elust töötas õukondades
(1.2) df ( x) = f ( x) + C Tõepoolest df = f ' ( x)dx 2. (1.3) d[ f ( x)dx] = f ( x)dx (1.3') d [ f ( x)dx] = f ( x) dx 3. Lineaarsus (1.4) [f ( x) + g ( x)]dx = f ( x)dx + g ( x)dx Võttes tuletised saame, vp f ( x) + g ( x) ja pp f ( x) + g ( x) Tuletise võrdusest järeldub, et avaldised ei saa erineda rohkem kui konstandi poolest. © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 39 Integraalarvutuse põhiteoreem (tõestusega). Teoreem 1 (integraalarvutuse põhiteoreem) Ühe ja sama funktsiooni kaks algfunktsiooni võivad erineda ainult konstandi poolest. Tõestus: Olgu funktsiooni f (x) kaks algfunktsiooni F (x) ja G (x) Vaatleme funktsiooni h( x) = F ( x) - G ( x) Me näeme, et h' ( x) = F ' ( x) - G ' ( x) = f ( x) - f ( x) = 0 Kasutades Lagrange'i valemit saame, h( x) - h( x 0 ) = h' ( x)( x - x 0 ) = 0 Siit järeldubki, et h( x) = h( x 0 ) = C1 F ( x) - G ( x) = C1
(1.2) df ( x) = f ( x) + C Tõepoolest df = f ' ( x)dx 2. (1.3) d[ f ( x)dx] = f ( x)dx (1.3') d [ f ( x)dx] = f ( x) dx 3. Lineaarsus (1.4) [f ( x) + g ( x)]dx = f ( x)dx + g ( x)dx Võttes tuletised saame, vp f ( x) + g ( x) ja pp f ( x) + g ( x) Tuletise võrdusest järeldub, et avaldised ei saa erineda rohkem kui konstandi poolest. © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 39 Integraalarvutuse põhiteoreem (tõestusega). Teoreem 1 (integraalarvutuse põhiteoreem) Ühe ja sama funktsiooni kaks algfunktsiooni võivad erineda ainult konstandi poolest. Tõestus: Olgu funktsiooni f (x) kaks algfunktsiooni F (x) ja G (x) Vaatleme funktsiooni h( x) = F ( x) - G ( x) Me näeme, et h' ( x) = F ' ( x) - G ' ( x) = f ( x) - f ( x) = 0 Kasutades Lagrange'i valemit saame, h( x) - h( x 0 ) = h' ( x)( x - x 0 ) = 0 Siit järeldubki, et h( x) = h( x 0 ) = C1 F ( x) - G ( x) = C1
pindala läheb arvesse negatiivsena. Sellisel juhul kujutab R b a f(x)dx geomeetriliselt positiivselt ja negatiivselt 𝑎 loetud pindala vahe: ∫𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐴1 − 𝐴2 , kus A1 – x-teljest ülalpool olev pindala, A2- x-teljest allpool olev pindala 32. Määratud integraali omadused. 33. Määratud integraali arvutamine Newton-Leibnizi valemi abil (valem). NB! See teoreem annab integraalarvutuse ja diferentsiaalarvutuse vahelise seose. Väga tähtis seos. Näitab, et integreerimine ja diferentseerimine on teineteise pöördoperatsioonid. 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑎 34. Asendusvõte (kuidas valida uus muutuja, rajade vahetamine). 35
a a a kus ja on mingid reaalarvud · Monotoonsus: Olgu aIntegraalarvutuse keskväärtusteoreem: Kui funktsioonid f ja g ning f g on intregeerivad lõigus[a,b] ja funktsioon g säilitab märki selles lõigus, siis: b b f ( x) g ( x)dx = µ g ( x)dx a a (0) kus µxinf
teiste poolt, pani Cauchy 1821. a. kokku oma Polütehnilises Koolis peetud analüüsi loengud. See raamat jäi kaua aega teadusliku ranguse musternäiteks. Cauchy teose ,,Infinitesimaalarvutuste loengute kokkuvõte" (Resume des locons sur le calcul infitesimal) tõlkis vene keelde Peterburi teaduste Akadeemia erakorraline akadeemik Viktor Jakovlevis Bunjakovski (1804-1889) ja see ilmus 1831. a. Peterburis pealkirja alla ,,Kuninglikus Polüdehnilises Koolis õpetatavate diferentsiaal- ja integraalarvutuse kursuste lühiesitus" . (Alates 29. detsembrist 1831 oli Cauchy Peterburi Teaduste Akadeemia välismaine auliige.) Eessõnas soovitab Bunjokovski võtta raamat kasutusele kõrgemates õppeasutustes. Sest ta on parem teiste autorite omadest. Bunjokovskil oli oma õpetaja Cauchyga arvatavasti väga hea vahekord, sest eelmainitud teose eessõnas kirjutab ta, et tema käes on Cauchy trükis avaldamata prantsuskeelne käsikiri
Teleskoobi abil avastati, et päikesevalgus koosneb paljudest eri värvustest, mis moodustavad spektri. Uurides planeetide liikumist umber päikese, jõudis Newton järeldusele, et see toimub eptilisi trajektoore mööda. Tema teadustööd üldistab kõige paremini raamat "Loodusteaduste matemaatilise printsiibid", milles on sõnastatud Newtoni seaduste nime all teaduse ajalukku läinud mehhaanika põhialused ja gravitatsiooniseadused.Leibnizist sõltumata leiutas ta diferentsiaal- ja integraalarvutuse. Juba 1703. aastal valiti ta Londoni Kuningliku Seltsi presidendiks ja aastal 1705 tõsteti ta aadliseisusesse. Rootslane Karl Linné on teadusajalukku läinud botaanikuna kes süstematiseeris looduse. Linné leidis et kogu loodus jaguneb kolmeks: taime-, looma- ja kiviriigiks. Kujutlus kiviriigist kui elavloodusest tekkis sellest, et Linné pani tähele, kuidas põldudel ja aedades üha uued kivid maapinnast kerkivad. Taimeriigi puhul rõhutas ta sugulist paljunemist
mateeriat uurivad teadused (füüsika ja arstiteadus), mis peaksid arenema teoloogidepoolse vahelesegamiseta, 2) hingeasjadega tegelevad teadused, mis on seotud teoloogiaga Füüsika: Isaac Newton Suurim füüsik, astronoom ja matemaatik. Leiutas peegelteleskoobi. Avastas spektrivärvused. Jõudis järeldusele, et planeedid liiguvad elliptilisi trajektoore mööda. Mehhaanika põhialused ja gravitatsiooniseadused on ajalukku läinud Newtoni seaduste nime all. Leiutas diferentsiaal- ja integraalarvutuse. Looduse süsteem: Karl Linné Leidis, et kogu elav loodus jaguneb kolmeks: taime-, looma- ja kiviriigiks. Jagas taime- ja loomariigi sugukondadesse ja neisse kuuluvatesse liikidesse, andes ladinakeelse nimetuse 5900 taimele. Keemia tekkimine Probleeme põhjustas põlemisprotsessi seletamine. Tekkis flogistoniteooria, mille kohaselt eraldub põlemisel nähtamatu tulemateeria. A. L de Lavoisier väitis, et õhk koosneb gaasidest. 1789 ilmus raamat, kus ta loetles 33 nö
lõpmatu. Ta ütleb et kõik mis on, on jumalas ja ilma jumalata ei saa mitte miski olemas olla. Tulemuseks on determinism, mille poolest Spinoza metafüüsika ongi kuulus. Tema vaatevinklist on argimõtlemises vead. Leibniz (1646-1716) Ta on olnud üks mitmekülgsemaid geeniusi maailmas. Ta ei tegutsenud kunagi elukutselise filosoofina. Tema isa oli moraalifilosoofia professor. Kogu elu kiitles Leibniz oma haridusega. 29 aastaselt arendas ta välja diferentsiaal- ja integraalarvutuse. Ta oli eriskummaline, tujukas ja mõistatuslik inimene. Pidas palju kirjavahetusi, säilinud on umbes 15 000 kirja. Tänu tema tegevusele loodi Berliini Akadeemia. Suure osa oma ajast töötas ta erinevates õukondades nõuandja, ajalookirjutaja ja raamatukoguhoidjana. Ta oli kõigi aegade suurimaid loogikuid. Üks tema olulisi iseid puudutab teaduslikku ideaalkeelt, mida ta ise nimetas characteristica universalis. See oleks üldine ja ühtne mõtlemise keel. Leibnizi metafüüsika
6 Saksamaa. Kuna Saksamaal oli usk südamelähedam ei hakanud valgustusideed nõnda kibedalt kiriku ja usumaailma võimalusi. Ideoloogias oli tähtsal kohal pietism mis õhutas kristlikku armastust ja vagaduse tähtust. Saksa filosoofi ja matemaatiku Gottfried Wilhelm Leibnizi (1646-1716) vaadete lähtekohaks oli kujutus monaadidest. Matemaatikuna avastas ta Isaac Newtonist sõltumatult diferentsiaal-ja integraalarvutuse. Leibniz pidas riigivõimu väga suureks majandusliku ja ühiskondliku arengu suunajaks. Tema arvates oleks riik saanud parandada töötajate olukorda, samal ajal hoolitsedes ka vaeste eest. Samuti oli tal selline arvamus, et piisab ainult poolest päevast töö tegemisest, mida saadab laul ja õpetlikud kõnelused. Tema meelistegevus oli kollektiivsete pidusöömaaegade korraldamine, kus inimesed vestlesid kunstist ja kirjandusest. Leibniz pidas vajalikuks Saksamaa ühendamist
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 9.5 Kõvertrapetsi pindala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 9.6 Numbriline integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 10 Määratud integraal 93 10.1 Newton'i-Leibniz'i valem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 10.2 Integraalarvutuse keskväärtusteoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 10.3 Määratud integraal ülemise raja funktsioonina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 11 Määratud integraali rakendusi 99 11.1 Pindala parameetriliste võrrandite korral * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 11.2 Kõversektori pindala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teleskoobi abil avastati, et päikesevalgus koosneb tegelikult paljudest eri värvustest, mis moodustavad spektri. Uurides planeetide liikumist ümber Päikese, jõudis ta järeldusele, et see toimub elliptilisi trajektoore mööda. Tema teadustööd üldistab kõige paremini raamat ,, Loodusteaduse matemaatilised printsiibid" , milles on sõnastatud newtoni seaduste nime all teaduse ajalukku läinud mehhaanika põhialused ja gravitatsiooniseadused. Leiutas diferentsiaal- ja integraalarvutuse. Looduse süsteem: Karl Linne (1707-1778) Huvitus eelkõike elavast loodusest ja korraldas uurimisretki Rootsi eri piirkondadesse , sealhulgas Lapimaale. Reisimuljete mõjul asus ta loodust süstematiseerima. Ta leidis, et kogu elav loodus jaguneb kolmeks : 1) taimeriik 2) loomariik 3)kiviriik. Kujutlus kiviriigist kui elavlooduse osast tekkis sellest, et Linne pani tähelem kuidas põldudel ja aedades üha uued kivid maapinnast esile kerkivad. Taimeriigi puhul rõhuta ta sugulist paljunemist
kui kõrgemat väärtust armastav. Nimetab kolme tõetasandit: igavesed jumalast ehk ideed; asjade (niivõrd tõesed, kui palju langeb kokku jumalikega); mõtlemise ja väidete (..... kui palju langeb kokku asjade tõega). Mis on tõde - üksnes vaimus arvatav õigsus. 2. G.W. Leibnitz ja tema õpetus monaadidest Universaalne õpetlane omal ajal, akadeemia omaette. Skolastik ja antiikfilosoofiat tundis hästi, tõlkis Platoni teoseid. 20-selt doktorikraad juuras. 29 arendas diferentsiaalja integraalarvutuse. Newtoniga kanakene. Lei mõistatuslik. Suurem osa mõtteid sündis kirjavahetuse teel. Üle 15 000 kirja. Suur unistus ühendada kõik kristlikud kirikud üheks Issanda kirikuks. Unistas Euroopa kristlike riikide ühendusest. Metropoliit diplomaatide seltsis. Suur panus filosoofia ajaloos. Kaasaegse loogika rajaja. Võimalikult lihtsad ja üldised ideed peavad leidma väljenduse universaalsetes sümbolites ja need omakorda siduda mõistuses sõnadeks. Teaduslik
liikmeks. Teleskoobi abil avastati, et päikesevalgus koosneb paljudest eri värvustest, mis moodustavad spektri. Uurides planeetide liikumist umber päikese, jõudis Newton järeldusele, et see toimub eptilisi trajektoore mööda. Tema teadustööd üldistab kõige paremini raamat "Loodusteaduste matemaatilise printsiibid", milles on sõnastatud Newtoni seaduste nime all teaduse ajalukku läinud mehhaanika põhialused ja gravitatsiooniseadused.Leibnizist sõltumata leiutas ta diferentsiaal- ja integraalarvutuse. Juba 1703. aastal valiti ta Londoni Kuningliku Seltsi presidendiks ja aastal 1705 tõsteti ta aadliseisusesse. Rootslane Karl Linné on teadusajalukku läinud botaanikuna kes süstematiseeris looduse. Linné leidis et kogu loodus jaguneb kolmeks: taime-, looma- ja kiviriigiks. Kujutlus kiviriigist kui elavloodusest tekkis sellest, et Linné pani tähele, kuidas põldudel ja aedades üha uued kivid maapinnast kerkivad. Taimeriigi puhul rõhutas ta sugulist paljunemist
Seega 0 lim = F ( x )dx 0 0 a F (x )dx = [g (x ) - f (x )]dx = g (x )dx - f (x )dx 0 a a a a b b f (x )dx g (x )dx a a Integraalarvutuse I keskväärtusteoreem Teoreem: Kui lõigus [a, b] on funktsioonid f ja g integreeruvad ja g säilitab märki, siis [inf f ( x ), sup f ( x )] x [a, b] nii, et b b f (x )g ( x )dx = g (x )dx a a
. . 118 5.3.4 Integraali keskväärtusteoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.4 Pidevate ja katkevate funktsioonide integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.4.1 Pidevate ja monotoonsete funktsioonide integreeruvus . . . . . . . . . 120 5.4.2 Katkevate funktsioonide integreeruvus . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.5 Diferentsiaal-integraalarvutuse põhiteoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.6 Päratud integraalid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.6.1 Lõpmatute rajadega integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.6.2 Tõkestamata funktsiooni päratu integraal . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.7 Wallise valem ja Euler–Poissoni integraal . . . . . . . . . . . . .
maatikuanne. Teda huvitasid mehaanika, füüsika, keemia. Uuris elastsust ja avastas kuulsa seaduse, lühima füüsikateaduses - ut tensìo sic. vis - deformatsioon on võrdeline jõuga. Leiutas balanssiiri, mis tegi võimalikuks täpse kella ja kronomeetri konstrueerimise, ning mikromeetri. Koos Papiniga valmistas ette pinda aurumasina ilmumisele. Kuulsaim nende kuulsuste seas oli Isaac Newton (1643-1727), diferentsiaal-ja integraalarvutuse leiutaja, seda mõistagi koos Leibniziga. Oma suurima kuulsuse saavutas Newton teosega "Philosophiae naturalis principia mathematica" ("Loodusteaduse matemaatilised printsiibid", 1687) gravitatsiooni kohta. Mõtleva masina idee On säilinud hispaania filosoofi, teoloogi ja alkeemiku Raymun-dus Lulluse (1235-1315) valmistatud masina täpne kirjeldus. Tema põhilisteks harrastusteks olid loogika ja keemia.
[x(t )] + [y (t )] dt . 2 2 Osakaare Pi -1 Pi pikkus si = ti -1 Kuna joon AB on sile, siis x (t ) ja y (t ) on pidevad. Seega [x(t )]2 + [ y(t )]2 on samuti pidev piirkonnas [t i -1 , t i ]. Seega saame integraalile rakendada integraalarvutuse I keskväärtusteoreemi igas osalõigus [t i -1 , t i ], mille kohaselt leiduvad punktid i [t i -1 , t i ] nii, et si = [x( i )]2 + [ y( i )]2 (ti - ti-1 ) = [x( i )]2 + [ y( i )]2 ti . Valides esimest liiki joonintegraali integraalsummas punktid Qi = ( x( i ), y ( i )) i = 1,..., n saame n f ( x, y )ds = lim f (Q )s i i = max si 0 AB i =1
(b) Kui f (x) ≤ g (x) iga x ∈ [a, b] korral ja funktsioonid f, g : [a, b] → R on integreeruvad, Siis (c) Olgu a ≤ b. Kui f on lõigus [a, b] integreeruv funktsioon, siis ka seosega |f| (x) := |f (x)| määratud funktsioon |f| on integreeruv ja 5) keskväärtusteoreem (lause 12.7): Kui f on lõigus [a, b] pidev funktsioon, siis leidub selline c ∈ (a, b), et 51. Diferentsiaal- ja integraalarvutuse põhiteoreem (*) Tõestada keskväärtusteoreemi abil põhiteoreem 12.8 Kui f on lõigus [a, b] pidev funktsioon, siis funktsioon G on lõigus [a, b] diferentseeruv ja G′ (x) = f (x) iga x ∈ [a, b] korral. Teisisõnu, G on funktsiooni f algfunktsioon lõigus [a, b]. Eeldame, et f : [a, b] → IR on pidev funktsioon. Olgu x ∈ [a, b] suvaline, näitame, et funktsioon G on punktis x diferentseeruv. Kui z ∈ [a, b] ning z ≠ x, siis, arvestades integraali aditiivsuseomadust (vt. lause 12
· Juba 1676 a. tõlkis ta ladina keelde Platoni · J.Locke eristas välistaju ja sisetaju. Phaidoni ja Theateitose. · G.Berkeley leidis, et välistaju rõhutamine viib · 20 aastaselt kaitses õigusteaduste doktori kraadi. lõpuks sensualismi ja materialismi. · 29. aastaselt arendas välja diferentsiaal ja · Sügavalt uskliku piiskopina rõhutas ta "sisetaju" integraalarvutuse, mis tõi pöörde matemaatikasse osatähtsust. ja füüsikasse. · Substants on olematu fiktsioon. Samasugune · Eluloolist fiktsioon on ka kujutlus üldisest mateeriast. · Isaac Newton oli tulnud Inglismaal samadele · Tunnetusõpetus tulemustele. Kujunes vaidlus prioriteedi üle. · Mis siis reaalselt eksisteerib
ilmumisest. Kahtlemata on ka „puhtal matemaatikal” omad võlud ja neistki võib raamatu huviline lugeja aimu saada, aga matemaatika tähtsus on palju laiem. See on keel, milles on kirja pandud kaasaegne loodusteadus, füüsika sealhulgas ja eriti. Pole imestada, et üks moodsa füüsika alusepanijatest – Sir Isaac Newton – oli ühtlasi 34 ka diferentsiaal- ja integraalarvutuse looja, viimaseta muutuksid Newtoni kuulsad seadused rakendusväärtuseta metafoorideks. Matemaatilised mudelid ja meetodid leiavad edukat rakendamist eluteadustes, nende kasutamisel omandavad aga ka sotsiaal- ja humanitaarteadused uue üldistus- ja ennustusjõu. innustuseks Galileo Galilei on ligi nelisada aastat tagasi kirjutanud: „Filosoofia on kirja pandud
annaabi.ee 
