1. Kordamisteema Algebraliste avaldiste lihtsustamine Lihtsustamiseks kasutatakse: 1) Ühise teguri sulgude ette toomist. Kui on vaja muuta avaldises märke, tuleb sulgude ette tuua miinusmärk. 2) Ühise nimetaja leidmist: kui kõigi liikmete nimetajad on lahti kirjutatud, siis ühiseks nimetajaks valitakse kõige suurem nimetaja ja lisatakse teistest nimetajatest see, mida valitud nimetajas pole. Kui on tegemist astmetega, tuleb
TEHTED ALGEBRALISTE MURDUDEGA TEGURDAMINE - esita hulkliige korrutisena I ühise teguri sulu ette toomine 2a + 6abc = 2a(1 + 3bc) NB! „ -1” ette: a -1 = - (-a + 1)= -(1 – a); -a – 1= - (a + 1); a + 1= - (-a – 1) II valemid: 1. a 2 – b 2 = (a – b)(a + b) 2. a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 = (-a - b) 2 3. a 2 – 2ab + b 2 = (a – b) 2 = (b - a) 2 III rühmitamine IV ruutkolmliikme tegurdamine st. lahenda vastav ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 b b 2 4ac lahendivalemiga x1; 2 2a ja pane lahendid vastandarvudena sulgudesse - ax 2 + bx + c = a( x - x1 )(x - x 2 ) V kui muud ei saa, pane hulkliikmele lihtsalt sulud ümber (kui on + või – märke) 2 – a = ( 2 – a) TAANDAMINE- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühiste teguritega. Nendeks võivad olla üksikud täisar...
TEHTED ALGEBRALISTE MURDUDEGA TEGURDAMINE - esita hulkliige korrutisena I ühise teguri sulu ette toomine 2a + 6abc = 2a(1 + 3bc) NB! ,, -1" ette: a -1 = - (-a + 1)= -(1 a); -a 1= - (a + 1); a + 1= - (-a 1) II valemid: 1. a 2 b 2 = (a b)(a + b) 2. a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 = (-a - b) 2 3. a 2 2ab + b 2 = (a b) 2 = (b - a) 2 III rühmitamine IV ruutkolmliikme tegurdamine st. lahenda vastav ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 b b 2 4ac lahendivalemiga x1; 2 2a ja pane lahendid vastandarvudena sulgudesse - ax 2 + bx + c = a( x - x1 )(x - x 2 ) V kui muud ei saa, pane hulkliikmele lihtsalt sulud ümber (kui on + või märke) 2 a = ( 2 a) TAANDAMINE- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühiste teguritega. Nendeks võivad olla üksikud täisarvud, ük...
MLF 1121 Geofüüsikaline hüdrodünaamika (Matemaatika ülevaade I) Jüri Elken Kursuses vajalik matemaatika Lineaarne algebraliste võrrandite süsteem Olgu n tundmatuga m võrrandist koosnev süsteem a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = f 1 a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = f 2 ................................... a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = f m maatrikskujul AX = F , a11 a12 ... a1n a a 22 ... a 2 n kus A = 21 , ..
docstxt/1364641070471.txt
- Avaldise teisendamine tähendab avaldise võimalikult lihtsa või meile sobiva kuju andmine. - Võrdust, mille poolteks on võrdsed avaldised nim. samasuseks. Näide: 2. Arvulise murru taandamine - Taandamine-murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva avaldisega * tegurdatakse murru lugeja ja nimetaja; * taandatakse arvulised tegurid * taandatakse muutujat sisaldavad võrdsed tegurid. Näide: 3. Korrutamine ja jagamine Korrutamine- algebraliste murdude korrutis võrdub murruga, mille lugejaks on antud murdude lugejate korrutis ja nimetajaks murdude nimetajate korrutis. 1. Tegurdamine 2. Viime ühisele murrujoonele 3. Taandame lugejas ja nimetajas olevad ühesugused liikmed(taandada saab tervet sulgu) Jagamine algebraliste murdude jagamiseks korrutatakse jagatav murruga, mis on saadud jagajast selle lugeja ja nimetaja vahetamise teel. 1. Tegurdamine 2. Jagajas vahetame nimetaja ja lugeja pooled 3
Algebraliste murrud © T. Lepikult, 2010 Algebraliste murdude korrutamine Kahe algebralise avaldise jagatist nimetatakse algebraliseks murruks. Tehteid algebraliste murdudega sooritatakse nagu harilike murdudega: Kahe murru korrutiseks on murd, mille lugejaks on teguriteks olevate murdude lugejate korrutis, ja nimetajaks on teguriteks olevate murdude nimetajate korrutis: a c ac b d bd Näide x y 3x z ( x y ) (3x z ) . 3a y 5 x 5 x (3a y )
õppevahenditeks jne. Teatavasti tõestas saksa matemaatik J. H. Lambert 1767. aastal, et on irratsionaalarv, kuid tema tõestus ei olnud päris korrektne. Prantsuse matemaatik A. M. Legendre tõestas 1794. aastal lõplikult arvu irratsionaalsuse ja ühtlasi ka arvu ruudus irratsionaalsuse. Ent ikkagi jätkusid otsingud ringjoone sirgestumise probleemi lahendamiseks. Nimelt polnud teada, kas irratsionaalarvude hulk piirdub algebraliste arvudega, s.t. arvudega, mis on ratsionaalarvuliste kordajatega algebraliste võrrandite lahenditeks, või on olemas veel teisi, mittealgebralisi irratsionaalarve. Viimase puhul võiks oletada, et kui on irratsionaalne algebraline arv, siis võiksid esined algebralised võrrandid irratsionaalarvuliste kordajatega. See omakorda tähendaks, et sirkli ja joonlaua abil saab ringjoont sirgestada. Alles 1844. aastal näitas prantsuse matemaatik J
Murru taandamine Algebraliste murdude taandamiseks kasutatakse: 1) ühise teguri sulgude ette toomist 4x + 8 4( x + 2) 2 N = = 2 x + 4 x 2 x( x + 2) x 2 2) abivalemeid 5a - 50 5( a - 10) 5 a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b ) N = = a - 100 ( a + 10 )( a - 10 ) a + 10 2 ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
ülesanded arvutuslike meetoditega, siis kujutavas geomeetrias lahendatakse kõik graafiliselt. Seega on siin joonisel eriline koht. Siin on joonis põhivahend, mujal illustreeriva tähendusega. Seega joonis peab üheselt määrama kujutatud objekti kõik geomeetrilised omadused. Kui see tingimus on täidetud siis nimetatakse teda objekti määravaks jooniseks. Algebraline geomeetria on geomeetria haru, mis uurib algebraliste muutkondade ja nende mitmesuguste üldistuste omadusi Analüütiline geomeetria on matemaatika haru, mis uurib geomeetrilisi objekte algebra vahenditega kordinaatide meetodil.Kitsamas tähenduses mõistetakse analüütilise geomeetria all esimest ja teist järku joonte ning pindade teooriat. Viimane asjaolu tingib tasapinnalise ning ruumilise analüütilise geomeetria eristuse. Elementaargeomeetria on geomeetria haru, milles kõrgemat matemaatikat kasutamata
· Kasutame murru nulliga võrdumise tunnust: murru väärtus võrdub 0-ga, kui tema lugeja võrdub 0-ga A( x) A( x) 0 0 B( x) B( x) 0 A( x) Võrrandi viimine kujule 0 B( x) Kõik liikmed tuleb kirjutada ühisele murrujoonele Tuletan meelde murdude liitmise ja lahutamise eeskirja! Murrud tuleb teisendada ühenimelisteks. Algebraliste murdude liitmine ja lahutamine 1. Et leida murdude ühist nimetajat, tegurdan kõikide murdude nimetajad ja leian siis nende vähima ühiskordse. 2. Leian kõikidele murdudele laiendajad (tegurid, mis antud murru nimetajast on puudu võrreldes ühise nimetajaga). 3. Nimetajasse kirjutan leitud ühise nimetaja. Lugejasse kirjutan esialgsete lugejate ja leitud laiendajate korrutiste summa/vahe. A( x) Murdvõrrand kujul 0 B( x)
· Peab olema ühemõtteline 5. Exceli risttabel üks andmeanalüüsil kasutatav MS Exceli vahend on Pivot Table (nn. pöördtabel või risttabel), mille abil on võimalik ühendada tabeli mitme veeru andmeid ja analüüsida suurt hulka andmeid. Tulemuse võib lasta esitada ka graafilise diagrammina. 6. Algoritmiline keel (komponendid) mõeldud arvutist sõltumatute protsesside kirjeldamiseks. Selle abil esitatakse aritmeetilised arvutused algebraliste avaldistena. Selles kasutatakse spetsiaalseid lausekonstruktsioone peamiste algoritmiliste juhtstruktuuride (seeria, korduse ja hargnemise) esitamiseks. Võimalik on sisendi-väljundi kirjeldamine. Ning saab erinevate objektide omadusi esitada kasutades erinevaid andmetüüpe (arvud, massiivid, hulgad, kirjed, puud, graafid jne). (V.Viies)Neid võib klassifitseerida: Kasutusala järgi, struktuuri järgi (semantiline lähenemine). Praktiliselt jaotati 5-ks rühmaks.
Koidula Gümnaasium Sisseastumiseksamid: Matemaatika Eesti keel Inglise keel Matemaatika (60 min) 1) Arvuhulgad, nende omadused; 2) Arvutamine kümnend- ja harilike murdudega; 3) Protsendi mõiste tundmine ja selle kasutamine ülesannete lahendamisel; 4) Lineaar-, ruut-, murdvõrrandite lahendamine; 5) Lineaar- ja ruutvõrrandisüsteemide lahendamine; 6) Tekstülesannete lahendamine (lineaarvõrrandi, ruutvõrrandi, lineaar-võrrandisüsteemi või ruutvõrrandisüsteemi abi; 7) Algebraliste avaldiste lihtsustamine; 8) Ringjoone pikkus ja ringi pindala; 9) Ruudu, ristküliku, rööpküliku, kolmnurga, trapetsi ja rombi ümbermõõt ja pindala; 10) Trigonomeetria kasutamine geomeetriliste ülesannete lahendamisel; 11) Kuubi, risttahuka ja püstprisma ruumala ja pindala leidmine Koidula Gümnaasium Eesti keel (30 min) Eesti keele töö koosneb kahest osast: 1
Funktsiooni lokaalne ekstreemum. Joone kumerus ja nõgusus. Käänupunktid. 9. Funktsiooni uurimine. Iteratsioonimeetod. 10. Määramata integraal ja selle omadused. Määramata integraalide tabel. Muutujate vahetus määramata integraalis. Ositi integreerimine määramata integraalis. 11. Hulkliikme teguriteks lahutamine. Ratsionaalfunktsiooni osamurdudeks lahuta-mine. Lihtsamate osamurdude integreerimine. 12. Trigonomeetriliste ja hüperboolsete funktsioonide integreerimine. 13. Algebraliste funktsioonide integreerimine. Mitte-elementaarsed integraalid. 14. Määratud integraal ja selle omadused 15. Määratud integraal ülemise raja funktsioonina. Newton-Leibnizi valem. Muutujate vahetus ja ositi integreerimine määratud integraalis. 16. Määratud integraali rakendused. Päratud integraalid. Õppeaine jaotub kahte ossa: 1. Diferentsiaalarvutus (loengud 1-9). 2. Integraalarvutus (loengud 10-16). Harjutustunnid: Vastavalt loengumaterjalile. Iseseisva töö korraldus:
Tähtsaks kujunes Luca Pacioli, keda peeti majandusarengu isaks, kes avaldas 1494 aastal raamatu ,, Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita" itaalia-ladina segakeeles, mis oli saanud oluliseks majandusarvestuses. Selle raamatuga algas memoriaali ehk päevaraamatu, zurnaali ja pearaamatu kasutamine. Deebeti ja kreediti vormis kanti andmed zurnaali, seega oli ta esimene süstematiseerija. Täiendasid juba hiljem Gerolamo Cardanolt kogumisandmikud, algebraliste võrrandite lahendamine, samuti hasartmängudest tõi ta välja petmismeetodid ja näiteks Simon van Stevin võttis kasutusele kümnendmurrud ja nimetas esmakordselt raamatupidamist teadusena ja väitis, et arvutus on peale mikrotasandit ka makrotasandil. Tekkis kontode klassifitseerimine, kuid bilansiskeemil paiknes veel passiva vasakul ja aktiva paremal pool. 17 sajandil Jacques Savary oli teine suur tegija ja tema teos, kus oli 1700 lehekülge, kus oli ka äriseadustik, jagas kontod
2.8 Trigonomeetriliste funktsioonide integreerimine I Üldine trigonomeetriline asendus: II t=tanx Kui R(-u,-v)=R(u,v), siis R(u,v)=R(u,(v/u)u)=R1(u,v/u), kusjuures R(-u,v/u)=R1(-u,-v/- u)=R(-u,-v)=R(u,v)=R1(u,v/u). Muutuja R1(u,v) sisaldab ainult muutuja x paaris astmeid. III t=sinx Kui R(-u,v)=-R(u,v) , siis R(u,v)=uR1(u2,v) ja on otstarbekas kasutada muutuja vahetust t=sinx: N TAGASIASENDUS! 2.9 Hüperpoolsete funktsioonide integreerimine I Üldine 2.10 Algebraliste funktsioonide integreerimine +TAGASIASENDUS! III Diferentsiaalbinoom Avaldist , kus , , on ratsionaalarvud(Q) ning a, bR, nim diferentsiaalbinoomiks. Lause:Diferentsiaalbinoomi integraal osutub elementaarfunkiooniks juhul, kui , või on täisarv. 1)Kui on täisarv, siis olgu n murdude ja ühine nimetaja, siis muudab avaldise ratsionaalseks muutujate vahetus . 2)Kui on täisarv, siis asendades , saame ,et , ja . Olgu m murru nimetaja; siis selle
(j) A=Fs*cosa Konstantse jõu poolt tehtud töö võrdub jõu ja nihke arvväärtuste ning jõu ja nihkevektori vahelise nurga cos korrutisega. Töö ühikuks on töö 1J, mida teeb jõud 1N kui selle mõjul keha nihkub jõu suunas 1m kui liikuvale kehale on rakendatud mitu jõudu, siis iga jõud sooritab mingi töö. Nende jõudude kogutöö on võrdne üksikute jõudude poolt sooritatud tööde algebraliste summaga. Jõud võib teha positiivset või negatiivset tööd. VÕIMSUS :Võimsus iseloomustab töö tegemise kiirust. Võimsus võrdub töö ja selle tegemiseks kulunud aja suhtega. N=A/t Võimsus on 1W, kui töö on 1J tehakse 1s jooksul . A=Nt 1Ws=1J KINEETILINE JA POTENSIAALNE: Keha või kehade süsteemi võimet teha tööd nim. energiaks. Energiat, mis on kehal liikumise tõttu, nim. kineetiliseks energiaks. E k=mv2/2 Energiat, mida omavad kehad vastasmõju tõttu nim
Ka poegadel tekkisid sellest probleemid. Hans Mathiasel tuli jälle masendus ja ta lahkus koolist. Niels tegi väga head tööd matemaatikas, aga sai kehvu hindeid teistes tundides. Nielsi õpetaja Brent Michael Holmboe aitas Nielsil raha saada, et too saaks Royal Fredericki ülikooli (nüüd Oslo ülikooli). Aastal 1821 astus Niels ülikooli sisse, kui ta oli juba kõige tuntum matemaatik Norras. Ta õpetajal Holmboel ei olnud enam midagi talle õpetada. Samal aastal hakkas Niels uurima algebraliste võrrandite astmeid ja leidis, et viienda ja kõrgema astme algebralised võrrandid ei ole radikaalides lahenduvad. See tegi ta väga kuulsaks teiste matemaatikute seas ja teda kutsuti tihti välismaale üritustele. Abel kirjutas isiklikult kuningas Karl III Johanile ning saigi 1825 lõpuks oma reisiks valitsuse stipendiumi. Tal oli plaan sõita kõigepealt Saksamaale Göttingeni matemaatik Gaussi juurde ning seejärel Pariisi. Ent Kopenhaagenisse jõudes mõtles
Hindamine ja ülesande täpsustamine Süntees Protsessi lõpp Analüüs Modelleerimine 7. Modelleerimisülesannete liigitus kasutatavate võrrandite iseloomu järgi. · ainult funktsionaalsete sõltuvustega (sh. algebraliste võrranditega) mudelid; · harilike diferentsiaalvõrranditega mudelid; · osatuletistega diferentsiaalvõrranditega mudelid. 8. Nimetage programmpakettide neli põhigruppi. Automatiseeritud projekteerimissüsteemi funktsioneerimise kindlustamiseks on vaja luua vastavad programmipaketid. Neid pakette võib liigitada nelja gruppi: · rakendusliku iseloomuga programmid - konkreetse konstruktsiooni arvutused,
saadud nii, et nende õlad langeksid lõiguga AB. Jõud oleksid asetatud kahele paralleelse sirgele, mis on risti lõiguga AB. Liites need jõud P1, P2, P3 saame resultandi: R= P1+P2+P3 R'= P3- P2-P1 Jõud R ja R' moodustavad jõupaari (R,R') Järeldus: jõupaarid (F1,F1') , (F2, F2') , (F3,F3') taanduvad üheks jõupaariks (R,R'), mida nim resulteerivaks paariks. Resulteeriva paarimoment võrsub liidetavate paaride algebraliste summaga. Tähistatakse: m0 m0=m(R,R')=-Rd= -( P1+P2-P3)d= -P1d-P2d+P3d=m1+m2+m3=m(F1,F1')+m(F2, F2')+m(F3,F3'). Järelikult: tasapinnas mistahes viisil paigutatud jõupaare saab liita. Nende liitmisel saadakse üks resulteeriv jõupaar, mille moment võrdub liidetavate jõupaaride momentide algebraliste summaga. M(R,R')=(üleval n, all j=1)m(Fj, Fj') Et paaride süsteem oelks tasakaalus peab resulteeriva jõupaarimoment võrduma O. m(R,R')=0
korpuseks. Ringi om+ ea=ae=a + s Korpust, milles korrutamine on kommutatiivne, nim. kommutatiivseks 3. Kui vektorid on kollineaarsed, siis nende korpuseks. Komm ring + eelmise om + s kompleksarvude hulk on areaalkorrutis on 0. algebraliste süsteemide mõistes kommutatiivne korpus. Aditiivset Abeli rühma, milles on defineeritud skalaariga korrutamine, mis rahuldab postulaate 1*-4*, nim. vektorruumiks. 4. a'(b')=(a')b'=(a'b')
kolmnurgad ise asetsevad tahukal. Tulemuse välja joonestamisel tahkude diagonaale välja ei joonestata. 47. Mille poolest erineb tasakõver ruumikõverast? Iga pinna tasandiline lõige osutub tasakõveraks (erijuhul sirgeks). Tasakõverad asuvad üleni ühel tasapinnal. Tuntuim tasakõver on ringjoon. Kahe kõverpinna lõikejoon on üldjuhul ruumikõver. Tuntuim ruumikõver on kruvijoon. 48. Mis on algebralise kõverjoone järk? Algebraliste tasakõverate järk on projekteerimise suhtes invariantne, s.t. sõltumata projekteerimise liigist projekteeruvad nad sama järku joonteks. 49. Sõnastage lause teist järku joonte paralleelprojektsioonide kohta. Teist järku paralleelprojektsiooniks on samanimeline teist järku joon (s.t. ellips projekteerub ellipsiks). 50. Nimetage kõik teist järku jooned. ellips; hüperbool; parabool. 51. Skitseerige ellipsi punkti P konstruktsioon, kui on antud ellipsi teljed. 52
tänapäeval elektronarvutite abil arvu arvutamiseks. 1767. aastal tõestas saksa matemaatik J. H. Lambert, et on irratsionaalarv, kuid tema tõestus ei olnud päris korrektne. Arvu irratsionaalsuse tõestas 1794. aastal lõplikult prantsuse matemaatik A. M. Legendre, ühtlasi tõestas ta ka arvu 2 irratsionaalsuse. See ei lõpetanud aga sugugi otsinguid ringjoone sirgestamise probleemi lahendamiseks. Nimelt ei olnud teada, kas irratsionaalarvude hulk piirdub algebraliste arvudega, s.t. arvudega, mis on ratsionaalarvuliste kordajatega algebraliste võrrandite lahenditeks, või on olemas veel teisi, mittealgebralisi irratsionaalarve. Kui oletada, et on irratsionaalne algebraline arv, siis võiksid esineda algebralised võrrandid irratsionaalarvuliste kordajatega, mis aga tähendaks, et sirkli ja joonlaua abil saaks ringjoont sirgestada. Alles 1844. aastal näitas prantsuse matemaatik J.
NÄIDE 1: 2x² + 5x = x (2x + 5) NÄIDE 2: 7y + 14x + 35 = 7 (y + x + 5) 8. Kahe üksliikme summa ja vahe korrutis, kaksliikme ruut, kaksliikme kuup, kuupide summa ja vahe valemid. Ruutude vahe (a+b)(a-b)= a²- b² Vahe ruut (a-b)²= a²-2ab+b² Summa ruut (a + b)² = a² + 2ab + b² Summa kuup (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Kuupide summa a³ + b³ = (a + b)(a² + 2ab + b²) Kuupide vahe (a-b)(a²+ab+b²)= a³-b³ Vahe kuup (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ 9. Algebraliste valemite lihtsustamine. NÄIDE 1. Leiame avaldise (x + 2)² + (3x3 - 14x) : x - (2x - 5)² väärtuse, kui x = -0,5. Kõigepealt lihtsustame avaldise: (x + 2)² + (3x3 - 14x) : x - (2x - 5)² = x² + 4x + 4 + 3x² - 14 - 4x² + 20x - 25 = 24x - 35. Leiame nüüd avaldise väärtuse: 24(-0,5) - 35 = -12 - 35 = - 47. 10. Lineaarvõrrandite lahendamine 1. kui võrrand sisaldab harilikke murde, siis vabaneme nendest, korrutades võrrandi mõlemaid pooli kõigi murdude ühise nimetajaga 2
1 z1 = z2 ⇔ a = c ja b = d; 2 z1 ± z2 = (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i 3 z1 · z2 = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i 4 z1 z1 · z¯2 a + bi ac + bd bc − ad = 2 = = 2 + 2 i. z2 |z2 | c + di c + d2 c + d2 Kompleksarvude liitmine on analoogiline vektorite liitmisega. Korrutamine algebralisel kujul on tavaline algebraliste avaldiste korrutamine. Jagamine defineeritakse korrutamise kaudu. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl ¨ Ulesanne Leida kompleksarvude summa, vahe, korrutis, jagatis, moodulid ja kaaskompleksid: 1 z1 = 3, z2 = −4i 2 u1 = 2 − 5i, u2 = 3 + i 3 w1 = 1 + i, w2 = −3 + 2i Teist ja kolmandat j¨
1.15 Tehted astmete ja juurtega Avaldised 2.1 Ratsionaalavaldised · Ratsionaal on avaldis, milles võivad esineda muutujate ja/või arvude +, -, korrutamine, jagamine ning astendamine · Kui avaldis ei sisalda muutujaid jagajas, siis nimetatakse seda täisavaldiseks, vastasel juhul on tegemist murdavaldisega · Avaldist kujul a/b, kus a ja b on täisavaldised, nimetatakse algebraliseks murruks · Ratsionaalavaldiste teisendamine taandub tehetele algebraliste murdudega · Erinimeliste algebraliste murdude liitmisel (lahutamisel) laiendatakse need esmalt ühenimelisteks. Ühiseks nimetajaks valitakse korrutis, mille tegureiks on üksikute murdude nimetajate kõigi erinevate tegurite kõrgeimad astmed. 2.2 Irratsionaalavaldised e juuravaldised Muutujatel on avaldistes vaid sellised väärtused, mille korral kõik juuritavad ja vastavad juured on mittenegatiivsed 2.3 Irratsionaalavaldiste tegurdamine 2
märkidega (punkt, sidekriips). Näiteks: 15 krooni 25 senti tuleks kirjutada 15,25 kr. Kui nähtust iseloomustava näitaja juurdekasv on suurem kui 100%, tuleb suurenemine näidata tekstis mitte protsentides, vaid kordades. Nii näiteks on parem kirjutada, et toodang suurenes vaadeldaval perioodil 2,2 korda; ei ole soovitav märkida, et toodangu juurdekasv oli 120%. Arvväärtusi ei tohi poolitada ega ka mõõtühikut üle viia teisele reale. Arvude ja algebraliste sümbolite vahele ei jäeta vahet. Kuupäevade äranäitamiseks kasutada numbrilist või sõnalis- numbrilist kirjutusviisi, kusjuures kuu nimetus märgitakse nimetavas käändes. Näited: 06.03.2000, kus 06 märgib kuupäeva, 03 kuud 06.03.00 6. märts 2000 Tekstis kuupäeva märkides võib aastaarvule lisada sõna "aasta" vajalikus käändes või lühendi "a". TABELID Üldnõuded. Tabeleid kasutatakse arvulise materjali või standardsete arvutuste süstematiseeritud ja kompaktseks
kirjeldada loogikalagebra valemitega. Need valemid kirjel. Kõigi süsteemi el. vahelisi seoseid ja sõltuvusi sõltumatute muutujate ja nende funkt.näol, millel võib olla väärtused 1 või 0. Skeemid koostataxe loogilise sünteesi võtteid kasut. Kasut.hetkel integraalseid pooljuhtel. 11. Loogikalülituste sünteesi ja projekte. Alused-Sünteesi all mõistetaxe etteantud tingimusi rahuldava juht.skeemi algebraliste struktuurivalemite koostamist . Sün- teesi käigus saadaxe väljund-ja vahemuutujate algebralised avaldused, mis võim- aldavad nende alusel koostada min.elementide arvuga juhtimisskeemi. Projekt. etapid- 1. skeemi töösünaline kirj.koostamine 2.talitlustingimuste esitamine 3.Loogikavalemi minimeerimine 4.lülitusskeemi koostamine. Sign.jagunevad- 1. Sisendsign 2.väljudsign. 3.vahesign. 12. El.ajamite juht.skeemide sõlmed loogikaelem.baasil- Loogikatehete
Tartu Ülikool Teaduskool VÕRRATUSED Metoodiline juhend TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud Hilja Afanasjeva Jüri Afanasjev Tartu 2003 Juhendmaterjal on jätkuks TÜ Teaduskooli I kursusel läbitöötatud brosüürile E. Tamme "Algebraliste võrrandite lahendamisest". Vaadeldakse kõrgema astme võrratuste lahendamist intervallmeetodiga, absoluutväärtusi sisaldavaid võrratusi ja juurvõrratusi. Õppematerjali koostamisel kasutatud kirjandus: Abel, E. jt Aritmeetika ja algebra. Tartu, 1984 Gabovits, J. Võrratused. Tartu, 1970 Jürimäe, E., Velsker, K. Matemaatika käsiraamat IX - XI klassile. 2. tr. Tallinn, 1984 Litvinenko, V. N
väärtus = arv x ühik X = {x}[x] . Ühik on täpselt defineeritud suurus, mida leppeliselt kasutatakse teiste sama liiki suuruste võrdlemiseks ja kvantitatiivseks iseloomustamiseks. Ühikute süsteem vaadeldava süsteemi põhiühikud koos nende abil saadud tuletatud ühikutega moodustavad ühikute süsteemi. Ühikute süsteem on põhi- ja tuletatud ühikute kogum, mis on määratletud kooskõlas antud suuruste süsteemile kehtivate reeglitega. 1) Ühikutega füüsikavõrrandite kohaselt algebraliste tehete tehes saame tulemusekssama süsteemi ühiku 2) Ühes süsteemis on igal suurusel üks kindel algühik. Kasutusel on mitmeid standardseid süsteeme, kuna ühes või teises uurimis- või tegevusvaldkonnas võib üks või teine süsteem anda mugavamad arvutusvalemid Põhiühik on põhisuuruse vaadeldav ühik suuruste süsteemis. Tuletatud ühik on tuletatud suuruse ühik vaadeldavas suuruste süsteemis. Süsteemne ühik on vastava ühikute süsteemi põhi- või tuletatud ühik
sidekriips). Näiteks: 15 krooni 25 senti tuleks kirjutada 15,25 kr. Kui nähtust iseloomustava näitaja juurdekasv on suurem kui 100%, tuleb suurenemine näidata tekstis mitte protsentides, vaid kordades. Nii näiteks on parem kirjutada, et toodang suurenes vaadeldaval perioodil 2,2 korda; ei ole soovitav märkida, et toodangu juurdekasv oli 120%. Arvväärtusi ei tohi poolitada ega ka mõõtühikut üle viia teisele reale. Arvude ja algebraliste sümbolite vahele ei jäeta vahet. Kuupäevade äranäitamiseks kasutada numbrilist või sõnalis- numbrilist kirjutusviisi, kusjuures kuu nimetus märgitakse nimetavas käändes. Näited: 06.03.2000, kus 06 märgib kuupäeva, 03 kuud 06.03.00 6. märts 2000 Tekstis kuupäeva märkides võib aastaarvule lisada sõna “aasta” vajalikus käändes või lühendi “a”. Tabelid Üldnõuded. Tabeleid kasutatakse arvulise materjali või standardsete arvutuste süstematiseeritud ja
paiknevad jõujooned tihedamalt. Joonte tihedus: E= 1/(40)*q/r². Superpositsiooniprintsiip- kui antud elektrivälja punktis tekitavad elektrivälja mitmed laengud,siis resultant elektrivälja tugevus on võrdne üksikute laengute poolt tekitatud elektriväljatugevuste vektoriaalse summaga. Väljatugevuse vektorvoog- e=EScos (V/m) ; EndS(V/m). Gaussi teoreem-elektriväljatugevuse vektorvoog läbi kinnise pinna on võrdne selle pinna sees olevate laengute algebraliste summaga ja mis on jagatud elektrilise konstandiga 0. (s) EndS=1/0qi. Punktlaengu elektriväli-E=kq/r², tasandi elektriväli- E=/20, erinimeliselt laetud tasandi E=/0, sfääri elektriväli-, kui r>R, r=kaugus keskpunktist R=sfääri radius siis, E(r)=1/(40)*q/r². kui r=R, siis E(R)= /0. Elektriväli juhi sees ja juhid elektriväljas-. Elektriväli aines sõltub nüüd eeskätt sellest, kuivõrd need laengud võivad oma asukohta muuta. Kui mingisugused laengukandjad
.. · Ilmutamata funktsioonid on sellised , mis pole kujul y= ... 4. Ühesed ja mitmesed funktsioonid · Ühesed funktsioonid on funktsioonid, kus igale x-i vastab täpselt üks y-i väärtus. · Mitmesed funktsioonid on sellised funktsioonid, kus ühele x-ile vastav vähemalt kaks y-i väärtust. 5. Algebralised funktsioonid · Algebralised funktsioonid on funktsioonid, mis saadakse lõpliku arvu algebraliste tehte rakendamise teel. a. Täisratsionaalsed funktsioonid ehk astmefunktsioonid b. Murdratsionaalsed funktsioonid ehk kahe täisratsionaalse funktsiooni jagatis c. Irratsionaalsed funktsioonid ( sisaldavad lisaks eelnevale veel juurimist) d. Mittealgebralised funktsioonid Liitfunktsioon- on funktsioon, kus sõltuv muutuja y sõltub argumendist x mitme funktsiooni vaheldusel
1011 0011<-jääk 40. Hulkliikmete liitmine ja korrutamine, kui kordajad kuuluvad lõplikku korpusesse GF (2m ) (loengumaterjal 13.(loeng 10.märts)) Tsükkel koodide kirjeldamiseks kasutatakse koodide esitamist hulkliikmetena. Tsükkel koodid kuuluvad nn algebraliste koodide klassi. Selliste koodide kirjeldamiseks ja analüüsiks sobivate hulkliikmete tehete jaoks on kõige sobivam kasutada kordajaid, mis kuuluvad mingisse lõpplikku korpusesse. Selliste koodide kirjeldamiseks ja analüüsiks sobivate hulkliikmete tehete jaoks on kõige sobivam kasutada kordajaid, mis kuuluvad mingisse lõpliku korpusesse. Neid lõplike korpusi nim. Galois korpusteks ja tähistatakse GF (pm ). Siin p on algarv ja m on täisarv
Vastupidiselt paljudele eelkäijatele, kes said innustust matemaatika praktilistest rakendustest, arendas Cauchy oma teooriaid nende eneste pärast, küsimata, kas tema poolt väljamõeldu on üldse kuskil rakendatav. Ta tungis aina sügavamale, nägi algebra valemite taga seoste seaduspärasusi, isoleeris need ja jõudis nii rühmateooriani. Tänapäeval on see elementarne ja ometi keerukas teooria paljudel puhta ja rakendusmatemaatika aladel põhjapaneva tähtsusega, alates algebraliste võrrandite teooriast kuni aatomi ehituse kirjelduseni. Rühmateooria on ka kristallide geomeetria alus, kui nimetada ainult ühte tema rakendusaladest, ning tema edasiaretused ulatuvad isegi mehaanikasse ja diferentsiaalvõrrandite teooriasse. Cauchy elu ja iseloom meenutavad mõningal määral vaest Don Quijotet: me ei tea, mille puhul naerda ja milles kaasa tunda. Tema isa, Louis Rrancois, oli vooruse ja vagaduse eeskuju.
muutuja y ja paremal muutujast x sõltuv avaldis. 5. Ilmutamata funktsioon- funktsioon, mille väärtused leitakse x ja y siduvast võrrandist. 6.Ühesed funktsioonid- nimetakse sellist fuktsooni, kus argumendi ühele väärtusele on seatud vastavusse ainult üks funktsiooni väärtus. 7. Mitmesed funktsioonid- nim funktsiooni, kus argumendi ühele väärtusele on seatud vastavusse mitu funktsiooni väärtust.(Ruudud jne) 8.Algebraline funktsioon-nim funktsiooni, mis saadakse x-st lõpliku arvu algebraliste tehete teel 8.1. Täisratsionaalsed funktsioonid- nime funktsiooni kujul: y=anxn + an-1xn-1 +K+a1x+a0 ,kus n on positiivne täisarv ja a reaalarvud. 8.2 Murdratsionaalsed funktsioonid nim kahe hulk liikme jagatist. Y= y=anxn + an-1xn-1 +K+a1x+a0 / y=bnxn + bn-1xn-1 +K+b1x+b0 8.3. Irratsionaalsed funktsioonid- nim algebralist funktsiooni, kui lisaks eelpool toodud tehetele võetakse argumendi sisaldavast avaldisest juur. Kõik ülejäänud funktsioonid on mittealgebralised ehk transtsendentsed.
Vaikse ookeani Grööni, Arktika, lõunaosa, Lõuna- Lõuna-Atlandi, Atlandi, India Vaikse ook. ookeani lõunaosa, Lõunaosa, Antarktika Antarktika süsteem asendatakse algebraliste Elektrilaengud tekivad pilves “soojade” võrrandite süsteemiks. raheterade ja jääkristallide kokkupuutel Fujita-Peasoni skaala. (positiivsed ioonid suunduvad soojematelt Rossby. objektidelt külmematele)
Kõigepealt leiame arvu a = r(cos + i sin ) mõned astmed. g) ( 3 - i)5 h) (-1 - 3 i)8 i) (-1 + 2i)12 a2 = r2(cos2 + 2 i cos sin + i2 sin2 ) = r2(cos 2 + i sin 2). a3 = r3(cos3 + 3 icos2 sin + 3 i2 cos sin2 + sin3 ) = = r3(cos 3 + i sin 3). 3 Abraham de Moivre (1667 - 1754) - prantsuse matemaatik. ALGEBRALISTE VÕRRANDITE LAHENDAMISEST KOMPLEKSARVUDE RAKENDUSI Kompleksarve läheb vaja väga paljudel elualadel, siinkohal piirdume ainult n-astme algebraliseks võrrandiks nimetatakse võrrandit, mille vasakuks pooleks paari näitega. on n-astme polünoom ja paremaks pooleks arv 0: a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an = 0, a0 0
tekstülesannete lahendamisele. Õpitakse ka lihtsamaid võrrandeid, protsent- arvutust ja geomeetrilisi kujundeid. tehakse algust statistika õppimisega (tulp- ja sektordiagramm, aritmeetiline keskmine). Palju tähelepanu pööratakse matemaatika kasutamisele igapäevases elus. 12 VII - IX klassis laiendatakse arvuhulka irratsionaalarvudeni, õpitakse arvu ruutjuurt, tehteid algebraliste avaldistega, lineaar- ja ruutfunktsiooni, trigonomeetriat täisnurkses kolmnurgas, ruutvõrrandeid ja 2 tundmatuga võrrandisüsteeme, andmete klassifitseerimist, suhtelist sagedust, andmete esitamise viise. Gümnaasiumis õpib umbes 60% õpilastest matemaatika lühikest kursust ja 40% pikka kursust. Ka Soomes koosneb ainekava gümnaasiumis ühesuguse pikkusega (38 tundi ) kursustest, kuid nende sisu erineb pikas ja lühikeses kursuses (tärniga märgitud kursused on ühesuguse sisuga).
Xij abil. Valem (4.5) saab n¨uu¨d kuju |X| = xi1 Xi1 + xi2 Xi2 + . . . + xin Xin . (4.6) 38 Vastav valem i-nda veeru fikseerimisel on |X| = x1i X1i + x2i X2i + . . . + xin Xin . (4.7) Valemeid (4.6) ja (4.7) nimetatakse determinandi |X| arendisteks vastavalt i-nda rea ja i-nda veeru j¨ argi. Kahe viimase valemi t¨ahtsus seineb selles, et avaldiste paremal pool on algebraliste t¨aiendite j¨ark u ¨he v~orra v¨aiksem kui maatriksi X j¨ark. Veel meeldivam on valemite (4.6) v~oi (4.7) rakendamine, kui vastavalt maatriksi X i-nda rea v~oi i-nda veeru elementide seas on v~oimalikult palju nulle. Viimane on saavutatav, rakendades eelnevalt determinandi omadusi. 39 5. TEOREEM MAATRIKSITE KORRUTISE DETERMINANDIST Teoreem 5.1
……. 12 3.1 Astmed ……………………………………………………………… 12 3.2 Juured ………………………………………………………………. 14 3.3 Näited astendamisest ja juurimisest ………………………………… 15 3.4 Korrutamise abivalemid …………………………………………….. 17 3.5 Hulkliikme lahutamine teguriteks …………………………………... 17 3.6 Näited algebraliste avaldiste teisendamisest ………………………… 18 3.7 Lineaarvõrrand ……………………………………………………… 22 3.8 Ruutvõrrand ……………………………………………………...… 23 3.9 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine …………………………….. 23 3.10 Näiteid lineaarvõrrandite ja ruutvõrrandite lahendamisest ning ruutkolmliikmete teguriteks lahutamisest ……………………..….… 24 3
Xij abil. Valem (4.5) saab n¨uu¨d kuju |X| = xi1 Xi1 + xi2 Xi2 + . . . + xin Xin . (4.6) 38 Vastav valem i-nda veeru fikseerimisel on |X| = x1i X1i + x2i X2i + . . . + xin Xin . (4.7) Valemeid (4.6) ja (4.7) nimetatakse determinandi |X| arendisteks vastavalt i-nda rea ja i-nda veeru j¨ argi. Kahe viimase valemi t¨ahtsus seineb selles, et avaldiste paremal pool on algebraliste t¨aiendite j¨ark u ¨he v˜orra v¨aiksem kui maatriksi X j¨ark. Veel meeldivam on valemite (4.6) v˜oi (4.7) rakendamine, kui vastavalt maatriksi X i-nda rea v˜oi i-nda veeru elementide seas on v˜oimalikult palju nulle. Viimane on saavutatav, rakendades eelnevalt determinandi omadusi. 39 5. TEOREEM MAATRIKSITE KORRUTISE DETERMINANDIST Teoreem 5.1
koma asemel teiste märkidega (punkt, sidekriips). Näiteks: 15 krooni 25 senti tuleks kirjutada 15,25 kr. Kui nähtust iseloomustava näitaja juurdekasv on suurem kui 100%, tuleb suurenemine näidata tekstis mitte protsentides, vaid kordades. Nii näiteks on parem kirjutada, et toodang suurenes vaadeldaval perioodil 2,2 korda; ei ole soovitav märkida, et toodangu juurdekasv oli 120%. Arvväärtusi ei tohi poolitada ega ka mõõtühikut üle viia teisele reale. Arvude ja algebraliste sümbolite vahele ei jäeta vahet. Kuupäevade äranäitamiseks kasutada numbrilist või sõnalis- numbrilist kirjutusviisi, kusjuures kuu nimetus märgitakse nimetavas käändes. Näited: 06.03.2001, kus 06 märgib kuupäeva, 03 kuud 06.03.01 6. märts 2001 Tekstis kuupäeva märkides võib aastaarvule lisada sõna "aasta" vajalikus käändes või lühendi "a" (Referaadi vormistamine ... 2005). 11. TABELID Üldnõuded
koma asemel teiste märkidega (punkt, sidekriips). Näiteks: 15 krooni 25 senti tuleks kirjutada 15,25 kr. Kui nähtust iseloomustava näitaja juurdekasv on suurem kui 100%, tuleb suurenemine näidata tekstis mitte protsentides, vaid kordades. Nii näiteks on parem kirjutada, et toodang suurenes vaadeldaval perioodil 2,2 korda; ei ole soovitav märkida, et toodangu juurdekasv oli 120%. Arvväärtusi ei tohi poolitada ega ka mõõtühikut üle viia teisele reale. Arvude ja algebraliste sümbolite vahele ei jäeta vahet. Kuupäevade äranäitamiseks kasutada numbrilist või sõnalis- numbrilist kirjutusviisi, kusjuures kuu nimetus märgitakse nimetavas käändes. Näited: 06.03.2001, kus 06 märgib kuupäeva, 03 kuud 06.03.01 6. märts 2001 Tekstis kuupäeva märkides võib aastaarvule lisada sõna "aasta" vajalikus käändes või lühendi "a" (Referaadi vormistamine ... 2005). 11. TABELID Üldnõuded
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 15.7 Tehted trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvudega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 16 Kompleksarvu juured. Eksponentkuju 145 16.1 Kompleksarvu n-astme juured . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 16.2 Kompleksarvu eksponentkuju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 16.3 Algebraliste võrrandite lahendamisest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 vi Peatükk 0 Tähistused. Reaalarvud 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud .
Mitte põlevate ainete põlemissoojused on võrdsed nulliga. Hessi peenestamine ei ole võimalik, kuna siis tekivad lahused. üleminek, nimetatakse redoksreaktsioonideks . seadusest järeldub: 1) keemilise reaktsiooni soojusefekt on võrdne 6.2 Lahuste kontsentratsioonide väljendusviise. Ainete Redoksreaktsioonidel on suur tähtsus looduses, tehnikas : saaduse tekkesoojuste algebraliste summaga, millest on lahutatud lahustuvus. Tahke aine lahustumisel vedelikus lahkuvad aine näiteks keemiliste vooluallikate töötamisel, korrosioonil, lähtainete tekkesoojuste algebralne summa. 2) Keemilste pinnalt molekulid ja ioonid ja jaotuvad difusiooni tõttu ühtlaselt lahus- põlemisel, hingamisel, raku ainevahetuses. reaktsioonide soojuseffekt on võrdne lähtainete põlemissoojuste tis
sageli võimalik induktiivselt Toomas Ruuben. TTÜ Raadio ja sidetehnika 113 instituut. Loogikafunktsioonid, loogikavõrrandid Muutujate arvu suurendamine. Näide: Kui F=A&B ja A=a&b, B=c&d, siis F=a&b&c&d Siinjuures F on nelja argumendi loogiline korrutis, F=1 ainult siis, kui a=b=c=d=1 Kahendfunktsioonide teisendusvalemitel on suur analoogia algebraliste teisendustega Toomas Ruuben. TTÜ Raadio ja sidetehnika 114 instituut. 57 Loogikafunktsioonid, loogikavõrrandid Nr. Teisendusvalemid Teisenduse alus 1. x+y=y+x x·y=y·x Kommutatiivsus 2
Nende väheste asjade hulgas, mis ta teab ja kindlalt teab, on tähtsam see, et on veel palju asju, mis ta hiljem tundma õpib. Tal on universaalne vaim, mitte käsitustelt, vaid võimelt neid omandada. Tal on lahtine, tark, kõigele valmis olev ja õpetatav vaim. Èmilel on teadmisi ainult looduse alat ja puhfüüsikalisi. Ajalugu ta ei tunne ja sama vähe teab ta, mis on metafüüsika või moraal. Ta tunneb geomeetriajooniste abil abstraktset ruumi ja algebraliste märkide abil abstraktset suurust. Ta hindab võõrast asja ainult suhtumise kaudu temasse- see hindamine on täpne ja kindel, mitte segatud eelarvamustega. Mis on talle kasulik, seda hindab ta kõige kõrgemalt, ta ei lase end kõigutada avalikust arvamusest. Èmile on töökas, kannatlik, kindel ja julge. Ta on vähetundlik pahedele, oskab kannatada mehiselt, sest pole õppinud sõdima saatuse vastu. Mis on surm, seda ta veel hästi ei tea, kuid vabalt elada ja võimalikult
b b b 3 b3 b 3 2 a 4 a 2 b 2 2ab 1 a 6 b 2 2a 5 b a 4 b6 b6 Ratsionaalavaldised ja murdvõrrandid Ühenimeliste algebraliste murdude liitmine ja lahutamine 1. Arvuta. 3 5 a) 4 4 Lahendus: 3 5 35 8 2 4 4 4 4 1 5 b) 6 6 Lahendus: 1 5 1 5 6 1 6 6 6 6 9 3 c) 7 7 Lahendus: 9 3 93 6 7 7 7 7 5 3 d) 9 9 Lahendus: 5 3 53 2 9 9 9 9 2. Lihtsusta. an an a) a a Lahendus: a b 2ab a b b) a 2b 2 a 2b 2
E=F/q Elektrivälja 1.3 Gaussi teoreem ja selle rakendussed tugevus mõõdab tinglikes ühikutes pinda läbivate jõujoonte arvu. Elektrivälja praktikas tugevuse vektor-ta on vektroriaalne Gaussi teoreem-elektriväljatugevuse suurus(E-vektor) ja on alati suunatud vektorvoog läbi kinnise pinna on võrdne plussilt miinusele.E=F/q (N/C ; V/m) selle pinna sees olevate laengute algebraliste summaga ja mis on jagatud Välja tugevus ei sõltu väljapunkti asetatud elektrilise konstandiga 0. proovilaengust. Elektrivälja tugevus näitab, kui suur jõud mõjub selles väljas (s) EndS=1/0qi. ühikulise positiivse laenguga kehale. Pideva ruumlaengu korral on võrrandi Mitmest kehast koosneva ja elektrit paremas pooles summa asemel integraal.
annaabi.ee 
