Arvu pii ajaloost (0)

1. ARVU π AJALOOST
Arvu π väärtuse arvutamisega on tegelenud paljud matemaatikud läbi aegade. Näiteks sai Aryabhata I lähisväärtuse 3,1416 VI sajandi alguses, kasutades selleks ühikringjoonesse kujundatud korrapärase 384-nurga ümbermõõtu. Tuli välja, et arv π tekib ka ülesannetes, millel pole ringjoonega ega hulknurkadega midagi ühist. Prantsuse loodusteadlane G. L. Leclerc de Buffon avaldas 1777 . aastal π arvutamiseks võtte, mida nimetatakse Buffoni ülesandeks. Selle valemi põhjal on saadud 3408 viskega π ≈ 3,1415929. Peale Ludolph van Ceuleni arvutusi leidis inglane Abraham Sharp 1699. aastal arvule π 72 õiget kohta. Prantslane T. F. de Lagny andis 1719. aastal 127 õiget kohta, hiljem selgus, et 113. koha number oli väär – see ilmnes kuulsa austria-jugoslaavia arvutaja ja logaritmitabelite koostaja Georg Vega töö põhjal, kes leidis 1794. aastal 136 õiget kohta arvule π. Selle arvu 200 kümnendi kohta sai 1844 . aastal fenomenaalne saksa arvutaja Zacharias Dase, 250 kümnendi kohta aga selleaegne Tartu ülikooli astronoom-vaatleja Thomas Clausen 1848. aastal. Inglane William Shanks aga, alustanud arvutusi 1850. aastal, leidis 1853. aastaks 607 ja 1873. aastaks 707 kümnendkohta arvule π. Ent alles 1946. aasta paiku selgus, et Shanksi arvutustes oli viga 528. kümnendkohast alates. Nimelt tuli välja see aastail 1946 – 1948 tehtud arvutustes, kui leiti arvule π 808 kümnendkohta. Siis veel elektronarvuteid ei kasutatud, kuid viimaste abiga on tehtud edasised avastused arvu π väärtuse täpsustamisel. Nii leidis arvuti IBM 7090 USA-s arvule π 1961. aastal 100 265 kümnendikohta, kusjuures kogu see arvutamine võttis aega 13 tundi ja 5 minutit, sellest 42 minutit kulus tulemuse teisendamiseks kahendsüsteemist kümnendsüsteemi. Sellest artikli avaldasid USA ajakirjas „Mathematics of Computation“ 1962. aastal Daniel Shanks (ei ole midagi ühist William Shanksiga) ja John Wrench. Osutus, et ettevaatus oli vajalik – tulemused ühtisid esialgu vaid 70 695 kümnendkohani. Ent viga leiti kiirelt ja siis ühtisid mõlema valemi järgi saadud π väärtused täielikult. Muide, juba XVIII sajandi algul hakati kasutama arvu π kümnendkohtade arvutamisel valemeid, mis sisaldavad arkustangenseid.
Tänapäeval leidub küllaldaselt arvutusmatemaatika ja statistika probleeme, mille lahendamisel arvu π kümnendkohtade jada on kasulik rakendada. Näiteks uute elektron-
arvutite kontrollimisel võib arvutada vastava programmi abil arvu π teatav hulk kümnendkohti. Ka paljude statistikaülesannete lahendamisel tuleb kasutada mõnda juhuslike arvude jada, niisuguse jada aga moodustavadki arvu π kümnendkohad. Näiteks ka noorte arvutajate ettevalmistusel on arvu π leidmiseks koostatud programmid kasulikeks õppevahenditeks jne.
Teatavasti tõestas saksa matemaatik J. H. Lambert 1767. aastal, et π on irratsionaalarv, kuid tema tõestus ei olnud päris korrektne . Prantsuse matemaatik A. M. Legendre tõestas 1794. aastal lõplikult arvu π irratsionaalsuse ja ühtlasi ka arvu π ruudus irratsionaalsuse. Ent ikkagi jätkusid otsingud ringjoone sirgestumise probleemi lahendamiseks. Nimelt polnud teada, kas irratsionaalarvude hulk piirdub algebraliste arvudega , s.t. arvudega, mis on ratsionaalarvuliste kordajatega algebraliste võrrandite lahenditeks, või on olemas veel teisi, mittealgebralisi irratsionaalarve. Viimase puhul võiks oletada, et kui π on irratsionaalne algebraline arv, siis võiksid esined algebralised võrrandid irratsionaalarvuliste kordajatega. See omakorda tähendaks, et sirkli ja joonlaua abil saab ringjoont sirgestada. Alles 1844. aastal näitas prantsuse matemaatik J. Liouville, et on olemas irratsionaalarve, mis pole ühegi ratsionaalarvuliste kordajatega algebralise võrrandi lahenditeks. Ta nimetas neid arve transtsendentseteks, s.t. mittealgebralisteks arvudeks. Kuigi juba inglise matemaatik J. Wallis XVII sajandil avaldas esmakordselt mõtte, et ringjoone sirgestamise ülesanne ei ole lahendub sirkli ja joonlaua abil, õnnestus tal seda tõestada alles XIX sajandi kaheksakümnendal aastail. Nimelt näitas 1882. aastal Freiburgi ülikooli professor Ferdinand von Lindemann , et π on transtsendentne arv. Siit pälvis Lindemann ka „arvu π võitja“ hüüdnime. Ringjoone sirgestamise ülesandele, samuti nagu ringi kvadratuuri ülesandele, on leitud arvukalt ligikaudseid lahendusi sirkli ja joonlaua abil.(Kärner, Levin 1983: 152-156)
Aastal 2010 augustis anti teada et, π väärtusest kindlaks tehtud 5 miljardit komakohta. Sellega purustati alles sama aasta alguses püstitatud varasem rekord , mis oli 2,7 miljardit komakohta. (Vikipeedia 11.12.2010)