Tuletise tabel Funktsioon Tuletis Näide y=c y ' =0 (2) ' =0 y=x y ' =1 (5x ) ' =5⋅1=5 1 1 ' y= x y ' =− x 2 () 5 x 5 =− 2 x y=√ x 1 3 y' = (3 √ x) ' = 2√x 2√x 5 4 y=x n y ' ...
C '= 0 y= a x n y ' = a * n * x n-1 [ f ( x ) ± g ( x )]' = f '( x ) ± g ' (x ) [ f ( x ) * g( x ) ]' = f '( x ) * g( x ) + f ( x ) * g '( x ) ' ' ( gf (( xx )) ) = f ( x ) * g ( x[ g)-f( x ) (]x ) * g ' ( x ) 2 y= f [ u( x )] y '= f ' (u ) * u ' ( x ) (s i n x )' = c o s x (c o s x )' = -s i n x 1 (t a n x )' = 2 c os x 1 (ln x)' = x (ex)'=ex 1 (logax)'= x ln a (ax)'= axln a
Matemaatika Funktsiooni tuletis Funktsiooni tuletiseks nimetatakse funktsioonimuudu ja argumendimuudu suhete piirväärtust argumendi muudu lähenedes nullile. lim x xlim f ( x + x ) - f ( x ) y ' = f ' ( x ) =x 0 = 0 y x Funktsiooni tuletise valemid: ' 1 1 =- 2 x x (x 2 ) ' = 2x x ' =1 c' = 0 [cf ( x)] ' = cf ' ( x ) ( x) ' = 1 2 x [ f ( x) ± g ( x)] ' = f ' ( x) ± g ' ( x) (x ) n ' = n x n -1 [ f ( x ) g ( x )] ' = f ' ( x) g ( x) + f ( x) g ' ( x) ' f ( x) f ' ( x) g ( x ) - f ( x) g ' ( x) = g ( x) [ g ( x )] 2 ( ax +b) ' = a (sin x) ' = cos x
TULETIS · Tuletise moodustamine: On antud funktsioon y = f ( x) . Järgnevalt on vaja leida funktsiooni muut: y = f ( x + x) - f ( x ) Seejärel lihtsustada muudu valemit. Lõpuks on vaja leida funktsiooni piirväärtus, mis ühtlasi on ka tuletis. Tuletist märgitakse [y']-ga. y f ( x + x ) - f ( x ) y ' = lim = lim x x x x Pärast koondamist ja taandamist lähendada või panna x võrduma nulliga. Nii kaob funktsioonist x ära
Vastus: Kaugus on e-1 . 1. y log 2 x 2 2. y 3 3x 3. y 2 0,5 x 4. y log 1 x 4 3 g) Joonestada funktsioonide graafikud: 5.Funktsiooni uurimine tuletise abil. a) Leidke funktsiooni y = x3 - 4x2 -3x -2 kasvamis- ja kahenemisvahemikud, maksimum- ja miinimunkoht. Vastus: X1=( ; 1/3 ), X2=(3 ; ); X=( 1/3 ; 3); xmax = - 1/3 ; xmin = 3. b) Antud on funktsiooni y = x3 -5x2 +3x - 11 1) Leidke selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud 2) Leidke selle funktsiooni vähim väärtus lõigul [ 0 ; 5 ] 3) Skitseeri funktsiooni graafik lõigul [ 0 ; 5 ] .
Tallinna Tehnikaülikool Diskreetne Matemaatika KODUTÖÖ *** 15****IAPB ****** Detsember 2015 1. Minu matriklinumbrile (155423) vastav loogikafunktsioon oma numbrilises 10nd esituses: f(x1, x2, x3, x4) = ∑ (2, 3, 7, 8, 9, 13)1 (1, 4, 5, 14, 15)_ 2. Esitada oma loogikafunktsiooni tõeväärtustabel: x1 x2 x3 x4 f 0000 0 0001 - 0010 1 0011 1 0100 - 0101 - 0110 0 0111 1 1000 1 1001 1 1010 0 1011 0 1100 0 1101 1 1110 - 1111 - 3. Leida MDNK (McClusky meetodil) ja MKNK (Karnaugh’ kaardiga); tuvastada, kas leitud MDNK ja MKNK on teineteisega loogiliselt võrdsed või mitte. MKNK leidmine: ...
suurus. Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste korrutis on lõpmata väike suurus. Arv e. Piirväärtuse arvutamine. L'Hospitali valem, selle kasutamise eeldused. Tuletis, selle rakendused Tuletis, selle geomeetriline tähendus. Funktsiooni tuletis on funktsiooni ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu tõkestamatul lähenemisel nullile. Geomeetriline tähendus ülesanne joone puutujast See tähendab, et funktsiooni tuletise geomeetriliseks vasteks on funktsiooni graafiku puutuja tõus punktis, mille abstsiss on x. Mehaaniline tähendus ülesanne punkti kiirjusest Tuletise arvutamine definitsiooni järgi. Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse ka diferentseerimiseks. Tuletise leidmiseks on vaja: 1. fikseerida argumendi mingi väärtus x 2. ja arvutada sellele vastav funktsiooni väärtus 3. anda argumendile muut x ja arvutada uuele 4. argumendi väärtusele x + x vastav 5
Tõestamisülesanded (1) 1. Osata tõestada, et mingi antud funktsioon on pidev etteantud piirkonnas (loengus näide e funktsiooni y = sin x kohta). 2. Tuletada funktsiooni y = sin x tuletise valem. 3. Tuletada funktsiooni y = cos x tuletise valem. Valem 1: + - cos - cos = -2 sin sin 2 2 y= cos (x+x) cos x= (kasutad nüüd valemit 1) : = - 2 sin (x+x+x / 2) * sin (x+x x / 2) = -2 sin (2x/2 + x/2) * sin x/2= =-2 sin (x + x/2) * sin x/2 y/x= - 2 sin (x + x/2) * sin x/2 = - sin x/2 * sin (x+ x/2) x x/2 y'= lim - sin x/2 * sin (x+ x/2) = lim - sin x/2 * lim sin (x+ x/2) = - sin x
s Ajamoment t + t : s = f (t + t) s2 (t = t2) Ajavahemikus t läbitud tee: M s s = f (t + t) f (t) vk = s Keskmine kiirus: t v = lim s s Hetkeline kiirus: t 0 t 4 Tuletise mõiste y y = f (x) y = f (x + x) - f (x) f (x+x) y f (x) x 0 x x+x x Funktsiooni y = f (x) tuletiseks f ´(x) kohal x nimetatakse piirväärtust y f ( x + x) - f ( x)
f(x)=x3, sest (-x)3=-x3 f(x)=sinx, sest sin(-x)=-sinx f(x)=tanx, sest tan(-x)=-tanx 3. Funktsiooni piirväärtuse mõiste ja sümbol. Piirväärtuse 5 omadust. - Kui funktsiooni f(x) argumendi x väärtuste jada xn läheneb arvule a ükskõik kummalt poolt, siis funktsiooni väärtuste jada f(xn) läheneb kindlale arvule A, siis see arv A ongi selle funktsiooni f(x) piirväärtus (argumendi x lähenemisel arvule a). - Kui xa, siis f(x)A - Omadused(5): 4. Funktsiooni tuletise mõiste (sõnad+sümbolid). Selgitav joonis. Ühe funktsiooni tuletise leidmine tuletise mõitsest/definitsioonist lähtudes. - Funktsiooni tuletis on funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. Funktsiooni tuletise väärtus mingis punktis näitab selle funktsiooni muutumise kiirust selles punktis. - 5. Joone puutuja võrrand ja selle tuletamine. Selgitav joonis! - y-y0=k*(x-x0) k=tan =f'(x0) 6
Kordamisküsimusi 3. teema kohta 1. Defineerida funktsiooni tuletis. Mis on diferentseeruv funktsioon ja diferentseerimine? Funktsiooni f tuletiseks punktis a nimetatakse järgmist suurust: f ( x )−f (a) f ' ( a )=lim x→ a x−a Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. 2. Esitada tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. Tuletist defineeriva piirväärtuse võib kirja panna ka argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu. Olgu nii nagu ennegi: ∆x = x − a → argumendi muut kohal a , ∆y = f(x) − f(a) →funktsiooni muut kohal a . Siis f ( x )−f ( a) ∆y ∆y f ' ( a )=lim =lim =lim
1 arcsin x 1 arccos x arctan x 1 2 1x 2 1 x2 1 x Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletise valemid: u x v x u x v x u x v x u x v x c u x c u x uv u v v u u u v uv v v2 Edasi vaatame ülesandeid. 1. Leia funktsiooni y = 2x3 + 4x2 – 5x + 8 tuletis. Lahendus: 2
Avaldist f'(x)x nimetatakse funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks ehk esimest järku tuletiseks kohal x ja selline > 0, et funktsiooni f(x) graafik on kumer hulgal (a - , a) ja nogus hulgal (a, a + ) voi nogus tähistatakse dy või df, dy=df= f'(x)x. Võttes y=x, saame dy=dx = x'x= x, dx argumendi hulgal (a - , a) ja kumer hulgal (a, a + ). diferentsiaal dy=f'(x)dx <->f'(x)= . Omadusi: *funktsiooni diferentsiaal on võrdeline argumendi muuduga *nullist erineva tuletise korral on funktsiooni muut ekvivalentne funktsiooni diferentsiaaliga piirprotsessi x->0 *f'(x)= *d(f+g) = df + dg 12. Joone asümptoodid. Asümptootilised avaldised. *d(f+g) =df*g + f*dg Kui joone y=f(x) punkti P kaugenemisel lõpmatusse punkti P kaugus mingist sirgest läheneb *d() =
Kuna sirged t ja t on paralleelsed, siis on nende tõusud omavahel võrdsed, seega Korrutades b - a-ga saame valemi (3.26). Kokkuvõttes: Lagrange'i teoreem väidab, et sileda joone lõikaja saab paralleellükkega viia selle joone puutujaks. Kõrgemat järku tuletised. Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv hulgas D. Siis on tema tuletis f hulgas D määratud funktsioon. Oletame, et f on samuti diferentseeruv hulgas D. Siis saame me arvutada funktsiooni f tuletise ehk funktsiooni f teise tuletise, mida tähistatakse f. Seda protseduuri võib jätkata. Funktsiooni f teise tuletise diferentseerimisel saame selle funktsiooni kolmanda tuletise f jne. Taylori polünomi valem. f(x) funktsiooni lineaarset lähendit punkti x = a ümbruses, mis avaldub valemiga Kui a = 0, siis nimetatakse Taylori poüunoomi ka McLaurini polünoomiks. Seega on funktsiooni f(x) McLaurini polünoom järgmine: TEOREEM- Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga
TÖÖLEHT: NIMISÕNATULETIS JA OMADUSSÕNATULETIS I OMADUSSÕNATULETIS Väljenda sõnaühend tuletise abil! Punnis silmadega ilma hammasteta- piima sarnane Mahla poolest rikas - mitte meeldiv - rahaliselt rikas
Tõesta neid. Kerge. 1.11 Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Liitfunktsiooni tuletis: Lause 1. Kui funktsioonidel f(x) ja g(x) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja f(x), siis liitfunktsioonil g(f(x)) on lõplik tuletis kohal x, kusjuures N1. Leiame funktsiooni y=sin2x tuletise. Olgu u=sinx ja y=u2. Seega Näitan, et teatud eeldustel peab paika seos N2. Leian tuletise: Lause 2. Kui lõigul [a, b] pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y=f(x) on kohal x nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil leidub tuletis kohal f(x), kusjuures Ehk Tõestus. Leian funktsiooni N. Leian mingi funktsiooni pöördfunktsioonist nt. Lause 3. Kui funktsioon y=f(x) on esitatud parameetrilisel kujul
seadete alt 14. Esitage 2 funktsionaalset seost tabelina! 15. Esitada 10 näidet operaatorite kohta Mathcadis! - liitmisoperaator Näiteks: - korrutamisoperaator Näiteks: - jagamisoperaator Näiteks: - astendamisoperaator Näiteks: - ruutjuure leidmise operaator Näiteks: - operaator juure leidmiseks Näiteks: - operaator faktoriaali leidmiseks Näiteks: pöördoperaator Näiteks: - operaator esimest järku tuletise leidmiseks Näiteks: - operaator kõrgemat järku tuletise leidmiseks Näiteks: variante on palju2 ( ) :=x gx16. Mis on Boole'i operaator? Esitage 5 näidet! Boole'i (pallet Boolean) operaator on loogika operaator, mis võimaldab kirjutada lauseid milles sisalduvad sõnad (võrdne, väiksem kui, suurem kui, väiksem-võrdne, suurem-võrdne, ei tohi võrduda, ei, ja, või jne) Näited: , , , , 17. Mis on pöördoperaator, pöördfunktsioon
2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ ) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1). Fermat’ lemma - kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f’(x1) = 0. 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv hulgas D. Siis on tema tuletis f’ hulgas D määratud funktsioon. Oletame, et f0 on samuti diferentseeruv hulgas D. Siis saame me arvutada funktsiooni f’ tuletise ehk funktsiooni f teise tuletise, mida tähistatakse f’’. Seda protseduuri võib jätkata. Funktsiooni f teise tuletise diferentseerimisel saame selle funktsiooni kolmanda tuletise f’’’ jne. Funktsiooni y = f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n − 1- järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n). Lõplikku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n-korda diferentseeruvaks. 21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem (tuletada pole vaja). Millal nimetatakse
f [g (x)] on pidev kohal g (a). Ehk liitfunktsioon on pidev, kui selle funktsiooni koostisosad on pidevad. See tulemus kehtib ka siis, kui liitfunktsioonil on mitu koostisosa. x y = cos 3 NT: Funktsioon 2 on kõikjal pidev, sest tema koostisosad x v= y = u , u = cos v ja 3 2 on kõikjal pidevad. 6. Tuletise mõiste, tuletise geomeetriline interpretatsioon (joone puutuja kaudu). funktsiooni tuletis - Funktsiooni y = f (x) tuletiseks f ´(x) kohal x nimetatakse piirväärtust x f ( x + x ) - f )( x ) f ( x ) = lim = lim x 0 y x 0 x kui see piirväärtus eksisteerib. dy df ( x ) f ( x ), y , y x , , Tuletise tähised: dx dx Geomeetriline interpretatsioon e
f ( x)dx = F ( x) + C F ( x) = f ( x). Integraal on funktsiooni piirväärtuste summa. 2. Esitada ja tõestada määramata integraali f ( x ) dx. omadused. · TEOREEM 1: Kahe või enama funktsiooni määramata integraalide summa on võrdne liidetavate funktsioonide summa integraaliga: On antud kaks määramata integraali f(x) dx ja g(x) dx . Nende integraalide summa: f(x) dx + g(x) dx = [f(x) + g(x)] dx TÕESTUSEKS LEIAME TULETISE MÕLEMAST POOLEST, NII VASAKUST KUI KA PAREMAST ja tuletised peavad andma sama tulemuse, teeme tagurpidise tehte, kontrollime, kas mõlemad funktsioonid on ühe sama funktsiooni algfunktsiooniks: ([f(x) + g(x)] dx)' = f(x) + g(x) ( f(x) dx + g(x) dx )' = (f(x) dx)' + ( g(x) dx )' = f(x) + g(x) f(x) + g(x) = f(x) + g(x) · TEOREEM 2: Konstantse teguri võib tuua integraalimärgi ette; kui a =
Funktsiooni piirväärtus perioodilisus. 1) selgitab funktsiooni trigonomeetrili ja tuletis Siinus-, koosinus- perioodilisuse mõistet ning siinus-, sed ja koosinus- ja tangensfunktsiooni funktsioonid ja tangensfunktsiooni mõistet; vahelduvvool. graafik ning 2) joonestab siinus-, koosinus- ja Tuletise omadused. tangensfunktsiooni graafikuid ning tähendus Mõisted arcsin m, loeb graafikult funktsioonide hetkkiiruse arccos m, arctan omadusi; näitel. Lõiming m. 3) leiab lihtsamate loodusteadust Lihtsamad trigonomeetriliste võrrandite ega
c) tegurda ax3 + bx2+ax+b= x2(ax+b)+ax+b = (ax+b)(x2+1) 7) lim an bn lim an lim bn n n n 8) lim an bn lim an lim bn n n n 9) lim anbn lim an lim bn n n n an 10) lim lim an lim bn n bn n n 11) Korrutise tuletise sõnastus ja valem (u * v ) ´ = Korrutise tuletis võrdub esimese teguri tuletise ja teise teguri korrutisega, millele on liidetud esimene tegur ja teise teguri tuletise korrutis. (u*v)’ = u’*v+u*v’ ' u 12. Jagatise tuletise sõnastus ja valem ()v
aga me ei saa integraali otseselt leida, kuna meil on tegemist liitfunktsiooniga ja suurus x sõltub omakorda mingist teisest suurusest. Sel juhul teeme integraalis kõigepealt muutuja vahetuse ja lahendame integraali kõigepealt ,,uue" muutuja järgi. Asendame x-i avaldise x=(t) Võtame eelduseks, et x=(t) on pidev funktsioon, millel leidub ka pöördfunktsioon. Kuna integraalis on vaja avaldada ka diferentsiaal dx, siis teeme seda: diferentsiaal on tuletise ja argumendi muudu (argumendi diferentsiaali) korrutis: järelikult on suurus dx = '(x) dt. Igal juhul tõestame, et muutuja vahetuse korral, kus x=(t), kehtib seos: f(x) dx = f[(t)]'(t)dt Selleks, et võrdust tõestada, peaksime olema suutelised mõlemast poolest võtma tuletise ja saama tulemuseks f(x) /vaata integraali omadusi/. [f(x) dx]' = f(x) see oli kähkukas Aga teist poolt tuleb diferentseerida kui liitfunktsiooni. Liitfunktsiooni diferentseerimisvalem on:
MÄÄRAMATA INTEGRAAL a) funktsioonid ja algfunktsioonid · Kui meil on teada funktsiooni tuletis, kuid peame leidma funktsiooni, millest selline tuletis saadud on, siis peame kasutama toimingut, mida nimetatakse INTEGREERIMISEKS · INTEGREERIMINE on tuletise võtmise pöördtehe: meil on ette antud tuletis ja me peame leidma selle kaudu funktsiooni, millest selline tuletis on saadud. Funktsiooni, millest tuletis on võetud, nimetatakse ALGFUNKTSIOONIKS. LÄHENEME NÜÜD ASJALE MATEMAATILISELT Def: Funktsioon F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon hulgal X , kui iga xX korral kehtib võrdus: dF ( x) = f ( x) dxfunktsioon saab olla mingile
olema teada x0, y0 ja k. N Leida puutuja võrrand ja tõusunurk joonele y = x + 4 x - 5 , kui puutepunkti abstsiss on -1. 2 Antud on x0=-1 1) y0 leidmiseks asendan x0 väärtuse algsesse funktsiooni valemisse: y 0 = ( - 1) + 4 ( - 1) - 5 = 1 - 4 - 5 = -8 2 2) Tõusu k leidmiseks asendan x0 väärtuse algse funktsiooni tuletise valemisse: y = 2x + 4 k = y ( - 1) = 2 ( - 1) + 4 = -2 + 4 = 2 3) Kasutan puutuja võrrandi valemit: y - ( - 8) = 2( x - ( - 1) ) y + 8 = 2x + 2 y = 2x + 2 - 8 y = 2x - 6 4) Tõusunurga leian taskuarvutil: = arctan k = arctan 2 = 63,40 N Leida joone y = x - 2 x + 7 puutuja võrrand, kui puutuja tõus on -4. 2 1) Kuna tõus on sama mis tuletise y = 2x - 2
vokaallõpulisele –ta või –sta. nda-tuletiste hulgas moodustavad väikese avatud muutmisverbide allrühma tõlkimisverbid ehk lingvatiivid – alussõnaks on keelenimetus ja nda-liitelise verbiga väljendatakse sellesse keelde tõlkimist: eestindama, lätindama, leedundama. i-liiteliste ja konversiooni teel moodustatud muutmisverbide hulgas on nn eraldamisverbe ehk privatiive, mille puhul tulemus ei teki, vaid eraldatakse millestki: rohima, juurima, sulgima. Tuletise kohandamine sobiva vormimalliga võib tähendusmoodustaja kuju muuta ning see kahandab vormi läbipaistvust ja komplitseerib tuletise tõlgendamist. Näiteks moodustus- tähenduselt seostuvad tulemomadusega ka tuletised võimaldama (vrd võimalik), avaldama (vrd avalik). Samuti pole alati selge, kas vormiliselt on verbistatud nimisõna sta-liitega või sellest tuletatud omadusõna ta-liitega: ilustama (vrd ilu, ilus), rõõmustama (vrd rõõm, rõõmus)
Korrutades b - a-ga saame valemi . Kokkuvõttes: Lagrange'i teoreem väidab, et sileda joone lõikaja saab paralleellükkega viia selle joone puutujaks. 23. Kõrgemat järku tuletiste ja diferentsiaalide definitsioonid (kõrgemat järku diferentsiaalide valemeid ei kusi). Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv hulgas D. Siis on tema tuletis f hulgas D määratud funktsioon. Oletame, et f on samuti diferentseeruv hulgas D. Siis saame me arvutada funktsiooni f tuletise ehk funktsiooni f teise tuletise, mida tähistatakse f. Seda protseduuri võib jätkata. Funktsiooni f teise tuletise diferentseerimisel saame selle funktsiooni kolmanda tuletise f jne. Funktsiooni y = f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n 1 - järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n). Lõplikku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n-korda diferentseeruvaks. Kui funktsioonil on olemas kõik tuletised f(n), kus n = 1, 2, 3, . .
1. Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning summa tuletis on tuletiste summa. Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon cf(x) Tõestus:Korrutise tuletisest y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) lähtuvalt, kui cR on konstant, siis y=c*f(x) tuletis on y'=f(x)*c'+f '(x)*c=0*f(x)+c*f '(x)=c*f '(x) Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka
1. Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning summa tuletis on tuletiste summa. Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon cf(x) Tõestus:Korrutise tuletisest y’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x) lähtuvalt, kui cR on konstant, siis y=c*f(x) tuletis on Tõepoolest, valem kehtib juhul n=1.
Piirväärtuse arvutamiseks kaotame avaldisest ära selle osa, mis muudaks selle avaldise lahendamatuks ning seejärel asendame arvuga ja saame vastuse. L'Hospitali valem, selle kasutamise eeldused- L'Hospitali valemit võime kasutada piirväärtuse arvutamise lihtsustamiseks ning reeglina kasutatakse seda ainult selliste piirväärtuste korral, mis sisaldavad mingisugust jagatist. L'Hospitali reegel seisneb selles, et me võtame sellest avaldisest tuletise ( iseseivalt nii ülevalt kui alt, MITTE JAGATISE TULETIST). Kui seejärel määramatus ära ei kao,siis võtame veel kord tuletist. Tuletis, selle rakendused Tuletis, selle geomeetriline tähendus- Funktsiooni tuletis on funktsiooni ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu tõkestamatul lähenemisel nullile. Teisiti öeldes on tuletis funktsiooni muutumise kiirus ning geomeetriliselt näitab funktsiooni tuletis funktsiooni tõusu punktis, mille abtsiss on x.
· Kui yuz ja lim y=lim z=a, siis ka lim u=a · Funktsioonil y=f(x) ei saa olla rohkem kui üks piirväärtus. L'Hospitali valem, selle kasutamise eeldused. See reegel on rakendatav ainult 0/0 ja / korral. Tuletis , selle rakendused. Tuletis, selle geomeetriline tähendus Funktsiooni tuletis on funktsiooni ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu tõkestamtul lähenemisel nullile. Funktsiooni tuletise geomeetriline tähendus on et funktsiooni graafiku puutuja tõus punktis mille abstsiss on x. Tuletise arvutamine definitsiooni järgi. · Funktsiooni tuletise leidmist nim ka diferentseerimiseks. Tuletise leidmiseks on vaja: · fikseerida argumendi mingi väärtus x ja arvutada sellele vastav funktsiooni väärtus · anda argumendile muut x ja arvutada uuele argumendi väärtusele x+x vastav funktsiooni väärtus · arvutada funktsiooni muut y
Öeldakse et funktsioonil on punktis x1 lokaalne miinimum kui: funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses ( ; ) ja iga x kuulumisel ümbrusesse korral kehtib võrratus f(x) f(x1) Sõnastada Fermat' lemma . Kui funktsioonil on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on selles diferentseeruv, siis f´(x1)=0 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n). 21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem. Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? Taylori polünoomi nimetatakse mcLaurini polünoomiks, kui a=0 22. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem, tõestust ei küsi). Kui f´(x) on suurem kui 0 iga x (a;b) korral siis on funktsioon f kasvav vahemikus (a;b). Kui
2. Iga - , + korral kehtib võrratus . Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma kui funktsioonil on punktis lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis = 0. 20) Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. Funktsiooni = -järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni -1-järku tuletise tuletist ja tähistatakse . Lõplikku -järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse -korda diferentseeruvaks. 21) Funktsiooni Taylori polünoomi valem (tuletada pole vaja). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? = + - + - + + - 1! 2! !
Maatriksi ridade vahetamine. Maatriksi rea elementide korrutamine 0-ist erineva arvuga. Maatriksi rea elementidele mistahes arvkordsete teise rea vastavate elementide liitmine. 8) Pöördmaatriks. Maatriksvõrrand. 9) Funktsiooni piirväärtus. Ühepoolsed piirväärtused. 10) Funktsiooni pidevus ja katkevus. Esineb esimest ja teist liiki katkevusi kui on tegu mingi arvuga siis on esimest järku, kui lõpmatusega siis teist järku. 11) Funktsiooni tuletise mõiste. Lõikaja ja puutuja tõus. Lõikaja ja puutuja tõusud ja sellised asjd, blah, ei viici otsida seda. Loodan, et ei küsita mult :D 12) Funktsiooni tuletise füüsikaline tähendus. 13) Tuletise tehetega seotud omadused. 14) Elementaarfunktsioonide tuletised. 15) Tuletis kui funktsiooni muutumise kiirus. Protsentuaalne muutumise kiirus. Kaevake vihikutes, praxis sai tehtud seda jama küll =) 16) Funktsiooni diferentsiaal.
. Kui vasak ja parempoolne piirväärtused on võrdsed. 49.Teoreem lõigul pideva funktsiooni nullkohast Funktsioon f(x) on pidev punktis a parajasti siis, kui argumendi muudu x lähenemisel nullile ka funktsiooni muut läheneb nullile. 50.Joone puutuja mõiste Kui punkti M1 piiramatul lähenemisel punktile M0 ükskõik kummalt poolt mööda joont lõikaja läheneb teatud asendile M 0 T , siis seda sirget nimetatakse joone puutujaks punktis M0. 51.Funktsiooni tuletise mõiste Funktsiooni tuletis on funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus, kui argumendi muut läheneb nullile. 52.Diferentseeruva funktsiooni mõiste Antud funktsiooni f (x) tuletise leidmist nimetatakse selle funktsiooni diferentseerimiseks. 53.Seos funktsiooni pidevuse ja diferentseeruvuse vahel 54.Konstandi, summa, korrutise ja jagatise tuletis Konstandi tuletis on null C =0 55.Liitfunktsiooni tuletis 56.Pöördfunktsiooni tuletis 57
, kui a < 0 (cos x ) = -sin x a (- ) = (- ) a = - , kui a > 0 ( tan x ) = 12 cos x 95. Liitfunktsioon ja selle tuletis a a = = 0, a R Liitf-ni tuletis võrdub välimise f-ni tuletise ja sisemise f-ni tuletise korrutisega - 96. Joone puutuja võrrand Y - y1 = f ( x)( X - x1 ) - , kui a < 0 s t k1 k 2 = -1 = a , kui a > 0 s t k1 = k 2 97
1.) Ülesandes toodud maksimaalse või minimaalse suuruse jaoks koostada funktsioon, kus argumendiks on soovitavalt üks otsitav. Kõik teised suurused avaldada selle kaudu. Võib kasutada argumendiks x-i ja funktsiooniks y-i. Võib kasutada ka muid tähistusi. 2.) leida funktsiooni tuletis argumendi järgi. 3.) Leida ekstreemumkohad 4.) Kontrollida, kas saadud ekstreemumkoht (kohad on maksimum- või miinimumkoht teise tuletise järgi. Näide: Olemasolevast materjalist saab valmistada tara pikkusega 16 meetrit. Kolmest küljest on vaja tarastada ristkülikukujuline maatükk laohoone ees. Missuguste mõõtmete korral on tarastatud maatüki pindala suurim? Olgu üks külg x meetrit, ja teine 16-2x meetrit. X x 16-2x Koostan pindala funktsiooni. S= a*b S= (16-2x) * x y= -2x2 + 16x Leian tuletise. Y' = -4x + 16
Teoreem on tõestatud. l'Hospitali reegel jääb kehtima ka siis, kui piirprotsessis xa asendada piirprotsessiga x või x-. 27. Kõrgemat järku tuletiste ja diferentsiaalide definitsioonid. Tuletada kõrgemat järku diferentsiaalide valemid. a. Kõrgemat järku tuletiste ja diferentsiaalide definitsioonid a.1. Funktsiooni n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist ja tähistatakse . a.2. Lõplikku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n-korda diferentseeruvaks. a.3. Kui funktsioonil on olemas kõik tuletised , kus n=1,2,3... ja neil on lõplikud väärtused, siis nimetatakse seda funktsiooni lõpmata arv kordi diferentseeruvaks. b. Tuletada kõrgemat järku diferentsiaalide valemid b.1
hulgast valime nõutud suurima või vähima väärtuse. 6 7 Lahendused I 1) Leiame funktsiooni y x3 5x 2 3 x 7 kasvamis- ja kahanemisvahemikud. a) Leiame funktsiooni y x3 5x 2 3 x 7 tuletise ja seejärel tuletise nullkohad. y = 3x2 10x + 3, 1 y 0 3x2 10x + 3 = 0 x1 , x2 3. 3 b) Arvestades funktsiooni tuletise avaldises y = 3x2 10x + 3 ruutliikme kordaja märki ja tuletise nullkohti skitseerime tuletist kujutava ruutfunktsiooni graafiku (parabooli). y >0 y >0
Joonis 9. Piirväärtuste arvutamisel võivad ette tulla nn. määramatused. Need on järgmised: ; ; 0*∞; ∞ - ∞; ; ; Funktsiooni tuletis Funktsiooni tuletis on funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile (kui see piirväärtus on olemas). Olgu meil funktsioon y=f(x) Joonis 10. ∆x – argumendi x muut ∆y – argumendi x muudule ∆x vastav funktsiooni muut ∆y = f (x+∆x) – f(x) Tuletise tähised: y ´ ; yx´ ; f´(x) ; (diferentsiaal) ; Tuletise definitsioon sümbolites: ∆y f ( x +∆ x )−f (x ) y ´ = lim = lim ∆ x →0 ∆ x ∆ x →0 ∆x Funktsiooni tuletise leidmist nim. diferentseeruv kui on olemas f ´(a). Kui funktsioon f(x) kirjeldab mingit protsessi (liikumist), siis selle funktsiooni tuletise väärtus kohal a on antud protsessi muutumise kiirus (intensiivsus) sellel kohal a. Joonis 11.
kui: a) Funktsioon on määratud mingis ümbruses b) Iga puhul kehtib võrratus Lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. · Fermat' lemma Kui funktsioonil on punktis lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis siis 4. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. N järku tuletis Funktsiooni n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist N järku diferentsiaal Funktsiooni n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku diferentsiaali . Kehtib valem Kõrgemat järku diferentsiaalid Teades, et funktsiooni tuletis on , kus suurus dy sõltub punktist a, kus ta arvutatakse argumendi muudust dx, olgu viimane konstantne. 5. Funktsiooni Taylori polünoomi valem. Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks?
3. Kui funktsioon f on pidev lõigul [a,b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c nii, et Tõestus Kolmas omadus lähtub esimesest kahest. Kui funktsiooni otspunktides on erineva märgiga väärtused siis peab nende vahele jääma 0, muidu ei saaks funktsiooni väärtus ühelt märgilt teisele üle minna. 18. · Funktsiooni tuletise definitsioon Olgu meil funktsioon f ja punkt a, mis kuulub selle funktsiooni määramispiirkonda. Funktsiooni tuletis on defineeritud järgmiselt: Kui funktsioon omab punktis lõplikku tuletist siis nimetame teda diferentseeruvaks. Tuletise leidmist kutsume aga diferentseerimiseks. · Tuletise valem argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu argumendi muut kohal a funktsiooni muut kohal a Siis Teoreem
17. Lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega: · Lõigul pidev funktsioon saavutab suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. · Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. 18. Def. Funktsiooni f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt Def. Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse, et ta on selles punktis diferentseeruv. Def. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu: Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised: 19. Def. Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f'(a) ja argumendi muudu x=x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy=f'(a)x. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena 20. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral:
17. Lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega: · Lõigul pidev funktsioon saavutab suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. · Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. 18. Def. Funktsiooni f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt Def. Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse, et ta on selles punktis diferentseeruv. Def. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu: Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised: 19. Def. Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f'(a) ja argumendi muudu x=x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy=f'(a)x. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena 20. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral:
l~oigu otspunktides erineva m¨argiga v¨a¨artused, siis on selle funktsiooni suurim v¨a¨artus positiivne ja v¨ahim v¨a¨artus negatiivne. Teisest ku¨ljest: vastavalt omadusele 2 saavutab f iga v¨a¨artuse oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse vahel. Kuna antud juhul 0 j¨a¨ab suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse vahele, siis kuskil peab vaadeldav funktsioon saavutama v¨a¨artuse 0. See t¨ahendabki, et l~oigul [a,b] leidub v¨ahemalt u¨ks punkt c, kus f(c) = 0. 18. Funktsiooni tuletise definitsioon. Funktsiooni f tuletis punktis a on de- fineeritud j¨argmiselt: f'(a) = lim xa f(x) - f(a) /x - a Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Kui funktsioon f omab punktis a l~oplikku tuletist, siis ¨oeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. x = x - a - argumendi muut kohal a, y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a.
vähim väärtus negatiivne. Teisest küljest: vastavalt omaduselel 2 saavutab f iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. Kuna antud juhul 0 jääb suurima ja vähima väärtuse vahele, siis kuskil peab vaadeldava funktsioon saavutama väärtuse 0. See tähendabki, et lõigul [a,b] leidub vähemalt üks punkt c, kus f(c)=0 20) · Funktsiooni tuletise definitsioon Funkts f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt: Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse, et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nim. diferentseerimiseks. · Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu Tuletist defineeriva piirväärtuse võib kirja panna ka argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu
vähim väärtus negatiivne. Teisest küljest: vastavalt omaduselel 2 saavutab f iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. Kuna antud juhul 0 jääb suurima ja vähima väärtuse vahele, siis kuskil peab vaadeldava funktsioon saavutama väärtuse 0. See tähendabki, et lõigul [a,b] leidub vähemalt üks punkt c, kus f(c)=0 20) · Funktsiooni tuletise definitsioon Funkts f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt: Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse, et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nim. diferentseerimiseks. · Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu Tuletist defineeriva piirväärtuse võib kirja panna ka argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu
Definitsioon: Funktsiooni y=f(x) tuletiseks argumendi x järgi nimetatakse funktsiooni muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. Funktsiooni y=f(x) tuletist punktis x tähistatakse f ' ( x ) , st f'(x) = def. ,kus muut (mis vastab argumendi muudule lim(xx0) y/x = lim(xx0) [(f(x0+ x)-f(x0)/ x] (*) Tähistatakse y` x` (y tuletis x järgi) v f`(x) v dy/dx v (d/dx)y Antud funktsiooni f(x) tuletise leidmist nimetatakse selle funktsiooni diferentseerimiseks. Näide 1: Leian funktsiooni y=x2 tuletise y' suvalises punktis ( nt. x=3) (2 2 y'= lim(xx0)= lim 2 + = 2x Kui x=3, siis y'=3*2=6 Definitsioon: Kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x= x0, s.o. kui eksisteerib
Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 ümbrus nii, et iga x korral sellest ümbrusest kehtib võrratus Selles ümbruses asuva arvu x me saame võtta punktist x1 nii vasakult kui ka paremalt. Asugu x punktist x1 vasakul. Siis x - x1 < 0. Jagame võrratuse negatiivse arvuga x - x1. Kuna negatiivse arvuga jagamisel võrratuse märk muutub vastupidiseks, saame See võrratus jääb kehtima ka siis, kui me võtame temast piirväärtuse protsessis x x1. Seega tuletise definitsiooni põhjal Järgnevalt olgu x punktist x1 paremal. Siis x - x1 > 0. Jagades võrratuse positiivse arvuga x - x1 saame Võtame piirväärtuse: Võrratused ja näitavad, et f(x1) 0 ja f(x1) 0. See on võimalik vaid siis, kui f(x1) = 0. Seega on lemma tõestatud juhul, kui x1-s on lokaalne miinimum. Analoogiliselt saab käsitleda ka juhtu, kui x1-s on lokaalne miinimum. 25. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu
y lim x x 0 Seetõttu on antud sellele piirväärtusele erinimetus ja sümbol. Funktsiooni f(x) muutumise kiirust kohal x0 nimetatakse funktsiooni tuletiseks kohal x0 ja tähistatakse f´`(X) y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f `( x0 ) lim lim . x 0 x x 0 x Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse diferentseerimiseks. Diferentsiaalarvutuse lõid 17. sajandil saksa matemaatik ja filosoof G. W. Leibnitz ning inglise matemaatik ja füüsik I. Newton. Diferentsiaalarvutuse loomist hinnatakse matemaatikas uues ajastu alguseks. Matemaatika arenguperioodi 17 .sajandi lõpust kuni 19. sajandi alguseni nimetatakse tänapäeval kõrgema matemaatika perioodiks. Ilma kõrgema matemaatikata poleks olnud
annaabi.ee 
