6 -7 Tabel 2. Maatriks L 7.8 5.55 8.5 Tabel 3. Kaalumaatriks W 6 0 0 0 4 0 0 0 3 Lähtudes nendest andmetest ja kasutades kaalutud normaalvõrrandite lahendamiseks T −1 T mõeldud valemit X =( A WA ) A WL , leidsime maatriksi X (Tabel 4), mis koosneb T otsitavatest muutujatest x ja y. A tähistab maatriksi A transponeeritud maatriksit, st T −1 read ja veerud on omavahel ära vahetatud. Maatriks ( A WA ) tähistab aga transponeeritud maatriksi A, kaalumaatriksi W ja maatriksi A korrutise pöördmaatriksit. Selle saame kui kasutame Excel’I funktsiooni MINVERSE. Maatriksite omavahelisel korrutamisel on tähtis järjekord, seetõttu tuleb hoolikalt jälgida, et tehted toimuksid valemis ettenähtud järjestuses
milliste korrutis aga on 0-maatriks (A*B= v B*A=). Selliseid maatrikseid nimetatakse 0-teguriteks 13. Mõiste 6: Baasmaatriksisks nimetatakse (m x n) järku maatrikseid , milles i-nda rea ja j-nda veeru ühine element ij on arv 1 ning kõik ülejäänud elemendid on võrdsed 0-ga 14. Mõiste 7: Sümmeetriliseks nimetatakse ruutmaatsiksit, kui transponeeritud maatriks on võrdne algmaatriksiga (on peadiagonaali suhtes sümmeetriline) A^T = A. 15. Mõiste 8: Kaldsümmeetriliseks nimetatakse ruutmaatriksit, kui on täidetud tingimus, et pöördmaatriks võrdub transponeeritud maatriksiga. A^T = -A 16. Mõiste 9: Nilpotentseks nimetatakse ruutmaatriksit, kui maatriks astmel n võrdub nullmaatriksiga. Arv n on vähim naturaalarv, mille korral võrdus on tõene ja seda nimetatakse nilpotentsuse astmeks. 17
peadiagonaali elemendid on võrdsed Mõiste 5: Maatrikseid nimetatakse 0-teguriteks, kui 0 maatriksist erinevaid maatrikseid A ja B (A ; B), milliste korrutis aga on 0-maatriks (A*B= v B*A=). Selliseid maatrikseid nimetatakse 0-teguriteks Mõiste 6: Baasmaatriksisks nimetatakse (m x n) järku maatrikseid ij, milles i-nda rea ja j- nda veeru ühine element on arv 1 ning kõik ülejäänud elemendid on võrdsed 0-ga Mõiste 7: Sümmeetriliseks nimetatakse ruutmaatsiksit, kui transponeeritud maatriks on võrdne algmaatriksiga (on peadiagonaali suhtes sümmeetriline) Mõiste 8: Kaldsümmeetriliseks nimetatakse ruutmaatriksit, kui on täidetud tingimus, et pöördmaatriks võrdub transponeeritud maatriksiga. Mõiste 9: Nilpotentseks nimetatakse ruutmaatriksit, kui maatriks astmel n võrdub nullmaatriksiga. Arv n on vähim naturaalarv, mille korral võrdus on tõene ja seda nimetatakse nilpotentsuse astmeks.
maatriksi kõik väljaspool peadiagonaali paiknevad elemandeid on võrdsed nulliga. Sellist diagonaalmaatriksit, mille kõik peadiagonaali piknevad elemendid on võrdsed nimetatakse skalaarmaatriksiks. Ruutmaatriksit nimetatakse involutiivseks maatriksiks, kui on rahuldatud tingimus, et pöördmaatriks võrdub algmaatriksiga. Ruutmaatriks on idempotentne, kui A^2=A, see on ruutvõrrand millel on lõpmata palju lahendeid. Ruutmaatsiksit nimetakase sümmeetriliseks, kui on rahuldatud tingimus, et transponeeritud maatriks on võrdne algmaatriksiga... st on peadiagonaali suhtes sümmeetriline. Ruutmaatriksit nimetatakse kaldsümmeetriliseks, kui on täidetud tingimus, et pöördmaatriks võrdub transponeeritud maatriksiga. Ruutmaatriksit nimetatakse nilpotentseks, kui on täidetud tingimus, et maatriks astmel n võrdub nullmaatriksiga. Arv n on vähim naturaalarv, mille korral võrdus on tõene ja seda nimetatakse nilpotentsuse astmeks. Nullmaatriksist erinevaid maatrikseid, milliste korrutis aga on
maatriksi kõik elemendid on nullid. Nullmaatriksi tähiseks on Θ. ● vastandmaatriks Maatriksi A vastandmaatriksiks nimetatakse maatriksit, mille elementideks on maatriksi A elementide vastandarvud. Maatriksi A vastandmaatriksi tähiseks on −A. Seega (m, n)-maatriks B = (bkl) on (m, n)- maatriksi A = (aij ) vastandmaatriks, kui bij = −aij . 4 ● transponeeritud maatriks Maatriksi A transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude äravahetamisel. Maatriksi A transponeeritud maatriksi tähiseks on A T . ● sümmeetriline maatriks Maatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks, kui AT = A ● kaldsümmeetriline maatriks Maatriksit A nimetatakse kaldsümmeetriliseks, kui AT = −A. Tehted maatriksitega: ● maatriksite võrdsus Me nimetame maatriksit A = (aij ) võrdseks maatriksiga
elementideks. Maatriksiks nimetatakse ¨umarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on ristatavad read ja veerud. Maatriksit, mille ridade arv on v~ordne veergude arvuga, s.t. m = n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, mille ridade arv erineb veergude arvust, s.t. m 6= n, nimetatakse ristk¨ulikmaatriksiks. Ruutmaatriksit m~o~otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨arku maatriksiks. nimetame (m, n)-maatriksit nullmaatriksiks, kui selle maatriksi k~oik elemendid on nullid. Maatriksi A transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude ¨aravahetamisel. Maatriksi A transponeeritud maatriksi t¨ahiseks on AT. Pöördmaatriks esineb ainult maatriksil mille ridade arv = veergude arvuga Determinant- Determinant: Ruutmaatriksi A determinant on ARV (skalaar), mis on selle maatriksi poolt üheselt määratud. Determinandi abiga saab määrata ridade lineaarset sõltumatust. Determinant aitab leida pöördmaatriksit
t. leiduvad sellised maatriksid A ja B, et AB BA ; 2. maatriksite korrutamine on assotsiatiivne, s.t. A (BC)= (AB) C alati, kui vaadeldavad maatriksid on korrutatavad; 3. liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega, s.t. A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC BC alati, kui antud tehted on teostatavad; 4. kui eksisteerib maatriksite korrutis AB, siis a(AB)=(aA)B=A(aB) iga a korral. m-ndat järku ühikmaatriksiks nimetatakse m-ndat järku ruutmaatriksit. 9. Transponeeritud maatriks. Sümmeetriline maatriks. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi A = (aij ) R m×n transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit AT = (bij ) R n×m , mille veeruvektoriteks on parajasti maatriksi A, s.t. b ji = aij iga i ja j võimaliku väärtuse korral. Ruutmaatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks, kui AT = A . Maatriksi A ridade elementaarteisenduseks nimetatakse üleminekut maatriksilt A
Ruutmaatriksit mille determinant |A|0 nim regulaarseks maatriksiks. Ruutmaatriksit mille determinant on samaselt 0(|A|=0) nim singulaarseks maatriksiks. Regulaarne maatriks on regulaarse pöördmaatriksi P regulaarse maatrikisi A pöördmaatriks, A-1 on samuti regulaarne. |A -1|=1/|A|; singulaarsel maatriksil pole pöördmaatriksit . AT on saadud A selle ridade ja veergud ümber vahetamise teel, A T nim A transponeeritud maatriksiks (AT)T=A. Ruutmaatriksit A nim sümmeetriliseks maatriksiks kui ta rahuldab tingimust AT=A. Ruutmaatriksit A nim kaldsümmeetriliseks maatriksiks kui ta rahuldab tingimust A T=-A. Ruutmaatriksit A nim ortogonaal maatriksiks kui rahuldab tingimust A -1=AT. Ruutmaatriksit A nim nilpotentseks kui ta rahuldab tingimust A N=; vähimat naturaalarvu N mille korral kehtib võrdus AN+K=AN·AK nim nilpotentsuse astmeks. Ruutmaatriksit A nim idempotentseks kui ta rahuldab tingimust A2=A
-1 1 0 0 -1 1 0 0 -1 Tabel 4. Mõõtmistulemuste maatriks L. 36.465 3.243 -3.797 -35.914 Eelpool leitud maatrikseid kasutades leiame tundmatute parameetrite maatriksi X. T −1 T T Maatriks X (Tabel 5) leitakse valemi X =( A WA ) A WL abil, kus A on maatriksi A transponeeritud (read ja veerud vahetatud) maatriks ja ( AT WA )−1 on maatriksi ( AT WA ) pöördmaatriks. Samuti saame leida mõõtmistulemuste parandite (hälvete) maatriksi V= AX-L (Tabel 6). Tabel 5. Tundmatute parameetrite maatriks X. 36.466 39.710 35.913 Tabel 6. Mõõtmistulemuste parandite maatriks V. 0.00084 0.00071 0.00092 0.00053 Järgnevalt leiame tasandusjärgse kaaluühiku standardhälbe S0 ning kasutame selleks valemit S 0=
elemendid nullid. Diagonaalmaatriks - on ruutmaatriks, kus ainult peadiagonaalil asuvad elemendid, mis ei ole nullid. Ühikmaatriks nim. maatriksit, kus peadiagonaali elemendid on 1-ed ning ülejäänud elemendid on 0-id Nullmaatriks Maatriks, mille kõik elemendid on nullid. Maatriksi tähis on Vastandmaatriks - nimetatakse maatriksit, mille elementideks on maatriksi A elementide vastandarvud. Maatriksi A vastandmaatriksi tähiseks on -A. Transponeeritud maatriks Maatriksi A transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude äravahetamisel. Maatriksi A transponeeritud maatriksi tähiseks on AT. m×n-maatriksi A transponeeritud maatriks AT on n×m-maatriks , kus Omadused: Sümmeetriliseks maatriks - nimetatakse ruutmaatriksit A, mis langeb kokku oma transponeeritud maatriksiga: Sümmeetrilise maatriksi A = (aij) kõikide elementide puhul kehtib seega .
J ja K maatriksid, mis viime programmi Matrix ja arvutame uue parandite maatriksi X (Tabel 8). Kuna parandid dx=dy= 0, siis punkti B koordinaadid võrreldes esimese tasandusega ei muutu. Tabel 8. Parandite maatriks X 0.0000 0.0000 Leiame hälvete maatriksi V=JX-K (Tabel 9). Tabel 9. Hälvete maatriks V 14.709 - 1.66818 - 56.1556 8 -0.0465 0.00884 Järgnevalt saame leida kaaluühiku standardhälbe S0. Selleks on meil vaja hälvete maatriski transponeeritud maatriksit VT, kaalumaatriksit W ja hälvete maatriksit V. Lisaks suuruseid m (mõõtmiste arv) ja n (tundmatute arv). Tulemuseks saame S 0= 8,967. Viimase lähenduse andmete põhjal saame leida punkti B tasandatud koordinaatide täpsushinnangud Sx ja Sy. Selleks on meil vaja eelnevalt leitud kaaluühiku standardhälvet ning kovariatsioonimaatriksi Qxx (Tabel 10) peadiagonaali elemente. Täpsushinnanguteks saame Sx= 0,0694 ja Sy= 0,057. Tabel 10. Kovariatsioonimaatriks Qxx 0
y nim kujutuseks hulgast V hulka W ning märgitakse üles järgmiselt: f:VWvõi V (f)W või xy või y=f(x) DEF 2: Kui iga x korral hugast V on eeskirja f abil vastavusse seatud üks kindel y hulgast W, siis öeldakse, et tegemist on ühese kujutamisega hulgast V hulka W Determinant reaalarv, millele on vastavusse seatud ruutmatriks. DEF 3: Determinandi arvutuseeskiri: Determinantide omadusi 1) Det väärtus ei muutu, kui tema read ja veerud vastavalt ümber paigutada (transponeeritud maatriks) 2) Kui det teatavad 2 rida/veergu omavahel ümber paigutada, siis muutub det märk vastupidiseks 3) Det mingi rea/veeru kõigi elementide läbi korrutamisel ühe ja sama arvuga korrutub kogu det läbi sama arvuga 4) Kui det on teatavad kakse rida/veergu kas võrdsed või võrdelised, siis võrdub kogu det väärtus nulliga 5) Kui det mingi rea/veeru iga element kujutab kahe liidetava summat, siis on võimalik
1 0 K 0 0 1 K 0 Em = = diag ( 1; 1; ... ; 1) Rm× m . M M O M 0 0 K 1 9. Transponeeritud maatriks. Sümmeetriline maatriks. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Def. 1. Maatriksi A = ( aij ) Rm× n transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit AT = ( b ji ) Rn× m , mille veeruvektoriteks on parajasti maatriksi A reavektorid (maatriksi A read on paigutatud maatriksi AT veergudeks), s.t. b ji = aij iga i ja j võimaliku väärtuse korral. Def. 3. Ruutmaatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks, kui AT = A .
37.Ühikmaatriks-Maatriks mille peadiagonaalis on ainult arvud 1( { δ ij= 1, kuii= j 0, kuii≠ j } 38.Nullmaatriks- maatriks on nullmaatriks, kui selle maatriksi kõik elemendid on nullid tähis :Θ 39.Vastandmaatriks- maatriks, mille elementideks on maatriksi elementide vastandarvud. Maatriksi A vastandmaatriksi tähiseks on –A. (no lihtsalt märgid on vastupidised) 40.transponeeritud maatriks-maatriks, mis saadakse maatriksi ridade ja veergude äravahetamisel. Tähis AT 41. sümmeetriline maatriks- Maatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks, kui AT=A 42.kaldsümmeetriline maatriks- kui AT= -A 43.maatriksite võrdsus-Maatriksid on võrdsed, kui nendel on samad mõõtmed ja ühesugustel kohtadel on võrdsed elemendid 44.maatriksite liitmine-Maatriksite A ja B summat tähistatakse A+B ja defineeritakse valemiga a11 +b 11 a12 + b12 ⋯a 1n +b 1 n
Esialgsete muutujate väärtustega tuleb leida ka võrrandite väärtused. Tegelike mõõtmistulemuste ja esialgsete parameetrite põhjal leitud väärtuste vahe annab meile K maatriksi (Tabel 12). Tabel 11. Jacobi maatriks 7 2 -4 -27.6 11.8 -9 Tabel 12. K maatriks -0.15 -0.24 0.00 Nagu eelpool mainitud, siis peame arvestama mõõtmistulemuste kaaludega. Seetõttu toimub parandite leidmine valemi X= (JTWJ)-1JTWK abil, kus JT on maatriksi J transponeeritud (TRANSPOSE) maatriks ja (J TWJ)-1 on maatriksite JT, W ja J korrutise pöördmaatriks (MINVERSE). Olemasolevate maatriksite põhjal saame leida muutujate x ja y parandid δx ja δy. Valemit järgides saame tulemuseks maatriksi X (Tabel 13), mis sisaldab endas muutujate x ja y parandeid (δx ja δy). Tabel 13. Maatriks X muutujate x ja y paranditega esimesest lähendusest 0.003 0.007 Näeme, et δx oleks arvutuste lõpetamiseks piisavalt väike, kuid δy on veel liialt suur.
tingimuse determinandi võrdumiseks nulliga. Mis sisaldab ka tingimusi 1,2 ja 3. Nimelt võrdub determinant nulliga parajasti siis kui determinandi read veerud on lineaarselt sõltuvad. Tehted ruutmaatriksitega A=(aik) ja B=(bik) Maatriksid A ja B loetakse võrdseteks kui nende vastavad elemendid on võrdsed, so A=B kui aik=bik. Maatriksite A ja B summaks A+B nim maatriksit mille elementideks on maatriksite A ja B vastavate elementide summa so A+B=(aik+bik) Transponeeritud maatriks Maatriksit (aki) mis on saadud maatriksist A=(aik) ridade ja veergude ümbervahetamisel, nim maatriksi A transponeeritud maatriksiks ja märgitakse sümboliga A või A´ A=A`=(aki) Ühikmaatriks n²- maatriksit E, mille peadiagonaali elemendid on ühed ja ülejäänud elemendid on nullid, nim ühikmaatriksiks. Ühikmaatriks on korrutamisel neutraalne AE=EA=A Adjungeeritud maatriks Aik maatriksi A elemendi aik alamdeterminant. Leiame maatriksi (Aik) ja transporeerime selle.
Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Maatriksi järk. Ruutmaatriks. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Vastandmaatriks. Lineaarsete tehete omadused. Transponeeritud maatriks. Maatriks on arvude, funktsioonide või muude elementide korraldatud kogum × . Maatriksil on m rida ja n veergu, kus a11; a12; ...a1n; jne on maatriksi elemendid. Kui me räägime järkudest, siis esimest järku matriks on a, teist on a, a, a, a, kui räägime kolmandat järku siis a,a,a,a,a,a,a,a,a (9) Ruutmaatriksi ridade ja veergude arv on sama. Kui me räägime skalaariga korrutamisest, see tähendab lihtslat arv korrutame
võrdsed (Nt.: linnade vahelised kaugused). 1 2 3 A= 2 0 4 3 4 6 6. MAATRIKS RIDA m=1 A = ( 1; 2; 4; 1,75 ) 7. MAATRIKSVEERG n=1 5 A= 4 3 8. TRANSPONEERITUD MAATRIKS selle tähis on At (ÜMBERPAIGUTAMINE) toimub vastavate ridade ja veergude ümberpaigutamine. 1 2 3 1 4 A= 4 5 6 At = 2 5 3 6 9. PÖÖRDMAATRIKS tähistatakse A-1 TEHTED MAATRIKSITEGA
-(-A) = A, - = . 6 Maatriksite (1.3) vastandmaatriksid on vastavalt -1 -7 -A = , -B = ( -1 2 -3 ) , -2 -5 -1 -C = -4 , -D = ( -10 ) . 1 Definitsioon 1.9. Maatriksi transponeeritud maatriksiks nimetatak- se maatriksit, mis saadakse antud maatriksist ridade ja veergude ¨ aravahe- tamisel. Maatriksi A transponeeritud maatriksit t¨ahistatakse A abil. N¨aiteks (m, n)-maatriksi (1.2) transponeeritud maatriksiks on (n, m)- maatriks a11 a21 . . . am1 a a22 . . . am2
Maatriksite (1.3) vastandmaatriksid on vastavalt −1 −7 −A = , −B = ( −1 2 −3 ) , −2 −5 −1 −C = −4 , −D = ( −10 ) . 1 Definitsioon 1.9. Maatriksi transponeeritud maatriksiks nimetatak- se maatriksit, mis saadakse antud maatriksist ridade ja veergude ¨ aravahe- tamisel. Maatriksi A transponeeritud maatriksit t¨ahistatakse A abil. N¨aiteks (m, n)-maatriksi (1.2) transponeeritud maatriksiks on (n, m)- maatriks a11 a21 . . . am1 a a22 . . . am2
· Maatriksite korrutamine : erimese teguri A veergude arv peab võrduma teise teguri B ridade arvuga. A (m*n) ja B (n*p). A*B = C, mille elemendid c ik leidakse summana: Seega tuleb korrutismaatriksi elemendi cik leidmiseks korrutada maatriksi A i-nda reamaatriksi ja maatriksi B k-nda veerumaatriksi vastavad elemendid ja saadud korrutised liita. Nt 1: Nt 2: · Maatriksi transponeerimine: transponeeritud maatriks on maatriks AT, mille veergudeks on maatriksi A vastavad read. 3. Determinandi mõiste, järk, tähistused. Miinor, alamdeterminant. Igale ruutmaatriksile saab vastavusse seada ühe reaalarvu, mis leaitakse ühe ja sama algoritmi järgi ruutmaatriksi elementide abil. Saadud arvu nim selle ruutmaatriksi determinandiks. Täh | A|. Ruutmaatriksi A järku nim ka determinandi järguks.
12 A= . Viimast kahte maatriksit nimetatakse ka vektoriteks. 4. Ruutmaatriksit, mille elemendid paiknevad peadiagonaali suhtes sümmeetriliselt, nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks; 1 4 7 4 2 5 7 5 9 näiteks A = . 5. Kui maatriksis A vahetada omavahel vastavad read ja veerud, siis saadud maatriksit nimetatakse transponeeritud maatriksiks ja tähistatakse AT või A´; näiteks 1 2 3 1 4 7 4 5 6 2 5 8 7 8 9 3 6 9
miinor tuleks maatriksi ülemisse vasakusse nurka. Teisenduseks kasutame elemntaarteisendusi. * maatriksi rea korrutamine nullist erineva teguriga; * maatriksi ühele reale k-kordse teise rea liitmine; * maatriksi ridade ümberpaigutamine. Elementaarteisendused ei muuda maatriksi astakut. Nende abil teisendatakse maatriksid nii, et kõik maatriksi elemendid ühel pool peadiogonaali võrduksid nulliga. Maatriksit AT=(aki) nim maatriksi A=(aik) transponeeritud maatriksiks. See on saadud maatriksi A ridade ja veergude ümbervahetamisel. Olgu Aik maatriksi elemendi aik alamdeterminant. Leiame maatriksi (Aik) ja transponeerime selle maatriksi. Sellist maatriksit nim adjengeeritud maatriksiks. Pöördmaatriksiks nim maatriksit 3. Lineaarsed võrrandisüsteemid Tundmatuid x1; x2; x3, ..., xn esimeses astmes sisaldavaid võrrandeid nim lineaarseteks. Korrastatud süsteem:
Viimast kahte maatriksit nimetatakse ka vektoriteks. 4. Ruutmaatriksit, mille elemendid paiknevad peadiagonaali suhtes sümmeetriliselt, nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks; 1 4 7 4 - 2 5 7 5 9 näiteks A = . 5. Kui maatriksis A vahetada omavahel vastavad read ja veerud, siis saadud maatriksit nimetatakse transponeeritud maatriksiks ja tähistatakse AT või A´; näiteks 1 2 3 1 4 7 4 5 6 2 5 8 7 8 9 3 6 9 A= , siis AT = . 6. Ruutmaatriksit, mille kõik peadiagonaalist väljaspool asuvad
Viimast kahte maatriksit nimetatakse ka vektoriteks. 4. Ruutmaatriksit, mille elemendid paiknevad peadiagonaali suhtes sümmeetriliselt, nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks; 1 4 7 näiteks A = 4 -2 5 . 7 5 9 5. Kui maatriksis A vahetada omavahel vastavad read ja veerud, siis saadud maatriksit nimetatakse transponeeritud maatriksiks ja tähistatakse AT või A´; näiteks 1 2 3 1 4 7 T A= 4 5 6 , siis A = 2 5 8 . 7 8 9 3 6 9 6
maatriksit C = (cik), mille elemendid cik leitakse summana: Seega tuleb korrutismaatriksi elemendi cik leidmiseks korrutada maatriksi A i-nda reamaatriksi ja maatriksi B k-nda veerumaatriksi vastavad elemendid ja saadud korrutised liita. Maatriksi transponeerimine: maatriksi transponeerimiseks vahetatakse selle read ja veerud. (m × n)-maatriksi A = (aij ) transponeeritud maatriksiks nimetatakse (n × m)-maatriksit AT = (bji ), mille veergudeks on parajasti maatriksi A vastavad read 3. Determinandi mõiste, järk, tähistused. Miinor, alamdeterminant. determinant ruutmaatriksile algoritmiga vastavusse seatud arv. Igale ruutmaatriksile saab vastavusse seada ühe reaalarvu, mis leitakse ühe ja sama algoritmi järgi ruutmaatriksi elementide abil. determinandi järk ruutmaatriksi A järk Tähistus detA või |A|
F1 F2 x1 0,94331 -0,28039 x2 0,70669 -0,16156 x3 0,92825 -0,30210 x4 0,38926 0,91599 x5 0,32320 0,93608 Faktorlaadungite maatriksi korrutamisel oma transponeeritud maatriksiga saame reprodutseeritud korrelatsioonimaatriksi R7 , mille peadiagonaali elementideks on kommunaliteetide väärtused. Kuna kommunaliteedi väärtused on peadiagonaali elementideks, siis esimese muutuja kommunaliteet on võrdne peadiagonaali esimese liikme väärtusega. 0,96845 0,71193 0,96034 0,11035 0,04241 0,71193 0,52552 0,70480 0,12709 0,07717 0,96034 0,70480 0,95292 0,08461 0,01722
Summa A+B kahe m × n maatriksi A ja B vahel leitakse elemethaaval: Liitmine (A + B)ij = Aij + Bij, kus 1 i m and 1 j n. Maatriksi A korrutamisel skalaariga c korrutatakse kõiki maatriksi elemendid ükshaaval läbi skalaariga c: Skalaariga korrutamine (cA)i,j = c · Aij. m × n maatriksi A transponeeritud maatriks AT on n × m maatriks, mis saadakse veergude ja ridade ära Transponeerimi vahetamisel: ne (AT)i,j = (A)j,i. Maatriksite liitmine (lahutamine) on vimalik siis ja ainult siis, kui nad on üht ja sama järku, s.t kui neil on ühesugune arv veergusid ja ühesugune arv ridu. Näiteks Maatriksi korrutiseks veeruvektoriga nimetatakse veeruvektorit , mille elemendid on
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 NÄIDE 7.13. Eksponentvõrrandi lahendamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 NÄIDE 8.1. Maatriksesituse kasutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 NÄIDE 8.2. Maatriksesituse kasutamine turu analüüsil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 NÄIDE 8.3. Transponeeritud maatriksid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 NÄIDE 8.4. Maatriksite korrutis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 NÄIDE 8.5. Tootmiseks vajalike komponentide arvu leidmine maatriksarvutuse abil . . . . . . . . . . 65 NÄIDE 8.6. Maatriksalgebra kasutamine tootmise planeerimisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 NÄIDE 8.7
LPÜ-ga duaalne ülesanne max-põhikujul LPÜ duaalne ülesanne 1. Esialgse ül igale kitsenduele seame vastavusse duaalse ül tundmatud: y1, y2,..,ym 2. Duaalse ül kitsenduste süsteemi vabaliikmeteks on esialgse ül sihifunktsiooni kordajad c1,c2 Duaalse ül kitsenduste arv sõltub esialgse ül muutujate arvuga 3. DÜ kitsenduste süsteemi kordajate maatriks on esialgse ül kitsenduste süsteemi kordajate maatriksi transponeeritud kuju. 4. DÜ nõutakse sihifunktsiooni miinimumi. 5. Max –põhikujulise ül duaalse ül kõik kitsendused on võrratused ≥ 6. Max-põhikujulise ül DÜ muutujuatelt yi nõutakse mittenegatiivsust yi ≥0 1. Esialgse ülesande igale kitsendusele seada vastavusse duaalse ülesande tundmatu ehk esialgse ülesande m tingimusele vastavad duaalsed tundmatud yi ( y1, y2, ..., ym). 2. Esialgse ülesande n tundmatule xj (x1 , x2 ,…, xn) seada vastavusse sama arv tingimusi
Maatriksite teoorias E ja O mängivad sama rolli, mis arvud 0 ja 1 aritmeetikas. Maatriksit, mis sisaldab ainult ühte rida (veergu), nimetatakse vektormaatriksiks. Vektormaatriksit saab esitada järgmisel kujul:: a1 a A = 2 , B = ( b1 b2 bn ) a m Definitsioon 4. Maatriksit, mille ridadeks on algmaatriksi veerud ja veergudeks algmaatriksi read, nimetatakse transponeeritud maatriksiks ja tähistatakse AT. Näide 3: 1 - 2 T 1 0 , A = A= 0 7 - 2 7 . Maatrikseid kasutatakse andmete süstematiseerimiseks, nende kompaksteks esitamiseks ja töötlemiseks, lineaarvõrrandite süsteemide esitamiseks ja lahendamiseks, mitmesuguste teisenduste sooritamiseks. 1.2. Tehted maatriksitega 2. Liitmine
Maatriksite teoorias E ja O mängivad sama rolli, mis arvud 0 ja 1 aritmeetikas. Maatriksit, mis sisaldab ainult ühte rida (veergu), nimetatakse vektormaatriksiks. Vektormaatriksit saab esitada järgmisel kujul:: a1 a A = 2 , B = ( b1 b2 bn ) a m Definitsioon 4. Maatriksit, mille ridadeks on algmaatriksi veerud ja veergudeks algmaatriksi read, nimetatakse transponeeritud maatriksiks ja tähistatakse AT. Näide 3: 1 - 2 T 1 0 A = , A = . 0 7 - 2 7 Maatrikseid kasutatakse andmete süstematiseerimiseks, nende kompaksteks esitamiseks ja töötlemiseks, lineaarvõrrandite süsteemide esitamiseks ja lahendamiseks, mitmesuguste teisenduste sooritamiseks. 1.2. Tehted maatriksitega
.. b^k xki )2 min 2 i Normaalvõrrandite süsteem maatrikskujul Peale osatuletiste nulliga võrdsustamist saadakse normaalvõrrandite YX T = b^ ( X T X ) süsteem k tundmatu b^1 , b^2 , ... , b^k jaoks y i nb^1 b^2 x2i b^3 x3i ... b^k xki XT on transponeeritud maatriks (read ja veerud vahetatud) yx i 2i b^1 x2i b^2 x22i b^3 x2i x3i ... b^k x2i xki Vektori b^ leidmiseks korrutame vasakult poolt XTX pöördmaatriksiga yx i 3i b^1 x3i b^2 x2i x3i b^3 x32i ... b^k x3i xki yx b^1 xki b^2 x2i xki b^3 x3i xki ... b^k xki2 ( X T X ) 1 YX T = b^
tippu y. g. Refleksiivse transitiivse sulundi seos: (x, y) R* tähendab, et x = y või leidub suunatud ahel tipust x tippu y. 30) a. R täiendrelatsiooni R' maatriks on ¬R = (¬rij). b. Ühendrelatsiooni R S maatriks on R S = (rij sij). c. Ühisosa R S maatriks on R & S = (rij & sij). d. R pöördrelatsiooni R-1 maatriks on RT = (rji), st transponeeritud maatriks (read ja veerud on vahetatud). e. ** Kui relatsioonide R X × Y ja S Y × Z maatriksid on vastavalt R = (rij) ja S = (sij), siis kompositsiooni R S maatriks on maatriksite R ja S (Boole'i) korrutis: RS = (cij), kus ... f. **Relatsiooni astme maatriksi saab leida järjestikuse korrutamise teel: R1 = R, Rn+1 = Rn R Graafid 31) a
Kõrgema matemaatika kordamisküsimused 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Transponeeritud maatriks 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. 3. Teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste
BA, siis öeldakse, et A ja B on kommuteeruvad 2. maatriksite korrutamine on assotsiatiivne, st (AB)C = A(BC) 3. maatriksite korrutamise suhtes leiduvad ühepoolsed ühikud. (Kehtib omadus A kuulub Kmxn => EmA = AEn = A) 4. liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega: A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC 5. kui eksisteerib maatriksite korrutis AB, siis a(AB) = (aA)B = A(aB), a R 8. Maatriksite transponeerimine. Transponeerimise omadused. Maatriksi A = ||aij|| Rmxn transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit AT = ||bji|| Rnxm, mille veeruvektoriteks on parajasti maatriksi A reavektorid, st bji = aij iga i ja j võimaliku väärtuse korral Ruutmaatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks, kui A T = A Maatriksite transponeerimise omadused 1. (AT)T = A iga maatriksi A korral 2. (A + B)T = AT + BT iga A, B Rmxn korral 3. (cA)T = cAT iga c R ja maatriksi A korral 4. (AB)T = BTAT iga A Rmxn ja B Rnxp korral 9
Relatsioonide kompositsiooni maatriks. Relatsiooni astme maatriks. Nende arvutamine. [2] Täiendusrelatsiooni, ühedi, ühisosa ja pöördrelatsiooni maatriks o Olgu relatsioonide R, S maatriksid vastavalt R =(rij) ⊆ X × Y ja S=(sij). Siis ○ R täiendrelatsiooni R’ maatriks on ¬R = (¬r ij) ○ Ühendrelatsiooni R⋃S maatriks on R⋁S=(rij ⋁sij) ○ Ühisosa R⋂ S maatriks on R&S=(rij & sij) ○ R pöördrelatsiooni R1 maatriks on RT = (rji), st transponeeritud maatriks (read ja veerud on vahetatud) Relatsiooni kopositsiooni maatriks o Kui relatsioonide R ⊆X × Y ja S ⊆Y × Z maatriksid on vastavalt R=(r ij) ja S = (sij), siis kompositsiooni R ∘S maatriks on maatriksite R ja S (Boole’i) korrutis: RS=( c ij ) , kus cij =r i 1∧s 1 j ∨… ∨r ℑ ∧smj =¿ k=1 ¿ m r ik∧s kj 29 ( )
5) Olgu maatriksid A, B, C ja nullmaatriks O kõik sama järku maatriksid ning R. Sel juhul maatrikstehete jaoks kehtivad järgmised omadu- sed: A+B = B + A, (liitmise kommutatiivsus) A + (B + C) = (A + B) + C, (liitmise assotsiatiivsus) · (A + B) = A + B, A+O = A. Definitsioon 1.8 Maatriksi A transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit AT , mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude äravahetamisel: AT = (bij ), bij = aji , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. (1.6) 9 PEATÜKK 1. MAATRIKSID JA DETERMINANDID Olgu maatriksid A ja B sama järku maatriksid ning R
2) [A ± B, C] = [A, C] ± [B, C] (aditiivsus) 3) [A, B] = [A, B] = [A, B] (homogeensus) 4) [A, BC] = [A, B]C + B[A, C] (Leibnizi valem) 5) [[A, B], C] + [[B, C], A] + [[C, A], B] = 0 (Jacobi identsus) Omadused 1) - 5) on nn Poissoni-Lie algebra definitsioonseo- sed. Neid algebraid kasutatakse laialdaselt mehhaanikas. 4 Transponeerimine ja selle omadusi 4.1 Transponeerimine Maatriksi A Matk × n transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit AT Matn × k , mille veergudeks on maatriksi A read (loomulikus j¨arjestuses). N¨ aide Transponeerime maatriksi 1 4 1 2 3 A= Mat2 × 3 AT = 2 5 Mat3 × 2 4 5 6 3 6 1 2 3 (AT )T = = A Mat2 × 3
Paljudes uuemates ingliskeelsetes õpikutes on kõnealune tehe siiski contraposition , vt Kreeft, 2005: 171–172, Copi & Cohen, 2008: 202–203, Hausmann et al. 2010: 327–329. Esineb ka käibeloleva eestikeelse terminoloogiaga kokkusobivat terminit transposition, ent peamiselt vanemates materjalides ja veebientsüklopeediates. 12 Joonis 5.4 Väite transpositsiooni Venni diagrammid. Iga kujundi all on kõigepealt esitatud originaalväide ning vahetult selle all transponeeritud väide. Üldjaatava ja osaeitava väite transponeerimisel väitega väljendatu sisuliselt ei muutu. Üldeitava väite transponeerimisel jääb eelduse predikaadiga haaratud hulk tuletise subjektiga haaratud hulgast osaliselt välja, st üldeitav väide transponeerub osaeitavaks. Kolmas kujund kinnitab, et teadaoleva info põhjal pole võimalik olla kindel, kas tuletise predikaadiga haaratud hulk (mitte-P ja mitte-S) sisaldab vähemalt ühte elementi
2008: 202203, Hausmann et al. 2010: 327329. Esineb ka käibeloleva eestikeelse terminoloogiaga kokkusobivat terminit transposition, ent peamiselt vanemates materjalides ja veebientsüklopeediates. 12 Joonis 5.4 Väite transpositsiooni Venni diagrammid. Iga kujundi all on kõigepealt esitatud originaalväide ning vahetult selle all transponeeritud väide. Üldjaatava ja osaeitava väite transponeerimisel väitega väljendatu sisuliselt ei muutu. Üldeitava väite transponeerimisel jääb eelduse predikaadiga haaratud hulk tuletise subjektiga haaratud hulgast osaliselt välja, st üldeitav väide transponeerub osaeitavaks. Kolmas kujund kinnitab, et teadaoleva info põhjal pole võimalik olla kindel, kas tuletise predikaadiga haaratud hulk (mitte-P ja mitte-S) sisaldab vähemalt ühte elementi
annaabi.ee 
