Pythagorase teoreem referaat (1)

Albu Põhikool
Pythagorase teoreem
Koostas:Merilin Talimaa
Juhendaja : Ivi Madison
Albu 2011

Pythagorase teoreem

SISSEJUHATUS
Pythagoras on usutavasti kuulsaim Sokratese- eelne filosoof , kuid tema isik on ümbritsetud nii suurest hulgast legendidest, et ajaloolist tõde on raske eritleda. Kindel pole seegi, kas ta ise midagi kirja pani, kõik teadmised Pythagorase isiku ja õpetuste kohta pärinevad hilisemast ajajärgust, peamiselt meie aja esimestest sajanditest. Tema kaasaegsed, Platon ja Aristoteles näiteks, mainivad teda oma kirjutistes vaid mõnel korral. Andmed Pythagorase kohta on ka küllaltki vastukäivad. Herakleitos (ca. 544-483 eKr) kirjutas: ``palju teadmine ei tee targaks, muidu oleks ta targaks teinud .. Pythagorase``. Kreeka ajaloolane ja luuletaja Herodotos (ca. 484-425 eKr) seevastu nimetas Pythagorast ``suurimaks targaks hellenite seas``.
Raskused Pythagorase adekvaatsel kirjeldamisel võib jagada kolmeks. Kõigepealt pütaagorlaste seltsi ülesehitus, mis ei meenutanud niivõrd filosoofide ühendust, kui usulist sekti. Usuliste sektide eripära seisneb aga selles, et kui selle liidrit just ei jumalikustata, siis heroiseeritakse ja kanoniseeritakse piisavalt, et reaalse isiku elu legendide uttu mähkida. Seltsi religioosne iseloom tingis ka olukorra, kus kõik seltsi liikmete poolt väljastatud teooriad ja doktriinid omistati seltsi juhile — st. Pythagorasele. See asjaolu on seotud ka antiikajal valitsenud suhtumisega, kus mõttele andis suurema autoriteedi teadmine, et tegu pole millegi uue ja revolutsioonilisega, vaid antiikse ja juba mõeldu uuesti- või ümbermõtestamisega. Kolmandaks on pütaagorlaste kohta raske andmeid leida seltsi iseloomustanud salastatuse tõttu, mis tulenes selle liikmete veendumusest, et matemaatilised - ja muud teadmised pole mitte kõik avaldamisele kuuluvad. Isocrates on ütelnud, et saladust hoidvaid Pythagorase jüngreid hinnatud vaikimise pärast kõrgemalt kui tolle ajastu kuulsamaid oraatoreid nende kõneosavuse pärast.
PYTHAGORASE ISIK
On teada fakt, et oma sünnisaarelt Samoselt rändas ta välja umbes 40-aasta vanuses, pidades vastuvõtmatuks türann Polykratese valitsemist. Kuna Polykratese valitsemisaastate kohta on usaldusväärseid andmeid, võib Pythagorase sünniaja paigutada 570 aasta paiku eKr. Seejärel olevat ta rännanud ringi, eeldatavasti Egiptuses ja Babüloonias. Hiljem asus ta elama Itaalias asuvasse Kreeka kolooniasse Krotoni linna, kus rajas mingi poolreligioosse organisatsiooni või ordu, mis nii Itaalias kui Sitsiilias elavate kreeklaste juures palju pooldajaid leidis. Elu lõpupoole oli Pythagoras poliitilistel põhjustel sunnitud Krotonist lahkuma ja oma elu viimased aastad veetis Metapontionis.
Krotoni linna ajaloos on huvitav sündmus, mida on püütud Pythagorase isikuga siduda. Piirkonna esimesed mündid ilmusid Krotonis käibele Pythagorase eluajal, mis aga annab alust põnevatele teooriatele, on fakt, et tehniliselt märkimisväärsed ja esteetiliselt kaunid mündid tekkisid äkki, ilma mingi evolutsioonilise arenguta. See oleks ajaloolaste sõnul võimalikuks osutunud Leonardo da Vinci masti geeniuse osavõtul. Krotonil tol ajajärgul peale Pythagorase sedamasti inimesi aga ette näidata polnud. Kõigele lisaks oli Pythagoras kaupmehe ja graveerija poeg ning ilmselt valdas mündivermimiskunsti küllaldasel määral. Selle teooria paikapidavus eeldaks Pythagorase kuulumist tõusvasse kaupmeeste klassi ja võiks selleläbi seletada ka tema huvi matemaatika vastu. Teooria on küll huvitav, kuid vähemalt huvi matemaatika vastu tekkis Pythagorasel tõenäoliselt läbi muusika .
Pythagorase isikuga on seotud palju legende. Ta oli suursuguse välimusega, mistõttu jüngrid samastasid teda Kreeka valgusjumala Apolloni endaga. Pooljumalastaatus on ka ilmselt põhjuseks, miks Pythagorase isiku kohta nii palju kokku luuletatud on. Kord kui teda lahti riietumas nähti, märgati tal kullast puus olevat. Teinekord jõge ületades olevat jõgi teda valju häälega tervitanud. Huvi tekkimine arvude ja matemaatika vastu on samuti seotud legendiga. Kord olevat Pythagoras sepikojast möödunud ja kuulatama jäänud. Ta kuulis kaunist helide kooskõla, mille tekitasid erineva raskusega sepahaamrite löögid. Raskust, millega vasar alasile langeb saab aga mõõta ja selleläbi arvudes väljendada. Heli kõrgus sõltub võnkuva helikeele pikkusest. Viimast saab samuti mõõta, st. arvuliselt väljendada. Mõned toonid kõlavad koos harmooniliselt, mõned mitte. Et heli kõrgus sõltub pikkusest, siis kujutab ka harmoonia endast teatavat arvudevahelist suhet. Kui harmoonilise kooskõla olemus on aga arvude suhe, ei tähenda see rohkemat ega vähemat, kui arvu valitsemist kõige üle. See, kas Pythagorase kinnismõte arvu primaarsusest just selle sündmuse läbi sündis, on enam kui küsitav.
Legendide genereerimine on vast veidi ka Pythagorase enda süü. Tagasihoidlikkusega mees just ei hiilanud. Kõik mõistuslikud elusolendid jagas ta kolmeks : Jumalad, inimesed ja Pythagorose-sarnased (pooljumalad). Samuti mäletas Pythagoras oma hinge eelmiseid kehastusi. Neist esimene oli olnud ühe varaseima ja mitmekülgsema kreeka jumala Hermese poeg, kellest alanud uuestisündide seeria tagajärjel oligi ta sündinud Pythagorasena. Sisuliselt pidas Pythagoras end jumala pojaks. Tema jüngrid ei pöördunud oma õpetaja poole kunagi nimeliselt, öelda tuli kas ``see mees`` või ``tema``. See sarnaneb kangesti Vana Testamendi kolmanda käsuga, mis ütleb: ``sa ei tohi Jehoova , oma looja nime asjata suhu võtta`` Pythagorase autoriteeti oma koolis näitab kasvõi see, et kõige tugevam argument mistahes vaidluses oli viide Pythagorasele : ``tema ise ütles``.
Maailma teadusele ja eriti matemaatikale on Pythagorase panus aga olnud märkimisväärne. Talle omistatakse sõna `filosoofia` leiutamine, samuti võttis Pythagoras esimesena kasutusele arvu `ruudu` ja `kuubi` mõisted, rakendades sellega geomeetria mõisteid aritmeetikas. B. Magee väidab, et ``see kreeka filosoof ja matemaatik oli esimene inimene, kes tuli mõttele, et kogu materiaalse maailma toimimist võib väljendada matemaatiliste terminite kaudu``. Huvitav on see, et Platon, kes on Pythagorase nime vaid mõnel korral maininud, on temalt üsna palju ideid üle võtnud.
PYTHAGORASE KOOL
Pythagoras lõi oma organisatsiooni Lõuna-Itaalia Kreeka koloonias Krotoni linnas. Ordu oli midagi religioosse organisatsiooni ja filosoofilise ühenduse vahepealset. Viidi läbi religioosseid harjutusi, valitses müsteeriakultus ja askeetlik distsipliin . Harrastati ka kunste - gümnastikat, muusikat, tegeldi arstimisekunsti ja teadustega. Koolis valitses range reglementeeritus - tõusti enne päikesetõusu, siis meenutati eelmise päeva sündmusi, sest eilne on tänasega tihedalt seotud. Edasi siirduti mereranda päikesetõusu jälgima. Õhtul võeti aga jälle kokku möödunud päev ja mõeldi läbi toimunu: kuidas päev veedeti, mida tehti, mis tegemata jäi. Koolis kehtisid rohked ettekirjutused . Mõned näited: lahkudes ära vaata tagasi; jalanõusid jalga pannes alusta paremast, jalgu pestes vasakust jalast; pääsukesi ei tohi majas pidada etc. Siin tuleb loomulikult tähelepanu pöörata asjaolule, et nii mõnelgi puhul võib Pythagorasesse või tema koolkonda puutuva puhul tõde olla segatud väljamõeldisega. Tolle aja koha harjumatu oli, et kooli võeti vastu nii mehi kui naisi, tingimuseks oli loomulikult inimese vabadus.
Kooli astuda soovija pidi esimesed viis aastat vaikima ja kuulama ning omaks võtma talle jagatud õpetused, kandes akusmaatiku nimetust, alles seejärel oli õigus tõusta täieõiguslikuks liikmeks — matemaatikuks. See võib olla seletatav ka puhtloogiliste põhjustega. Kool meelitas nimelt ligi kaht tüüpi inimesi: esiteks matemaatilise filosoofia entusiaste ja teiseks religioosseid pühendunuid, kelle ideaaliks oli pütaagorlaste askeetlik eluviis, mis sarnanes tugevasti orfikute õpetusele ja õigustas end sarnaste müstiliste uskumuste süsteemi kaudu. On tõenäoline, et filosoofiline tiib ei olnud vaimustuses vagadest pühendunutest ja võib-olla isegi halvustas ebausku, kuid kooli loomisel tähtsat rolli mänginud usulisest küljest ei saanud kuidagi mööda vaadata. On võimalik, et selle vastuolu tasakaalustamiseks seadis Pythagoras sisse akusmaatikute ja matemaatikute süsteemi, kus akusmaatikutel oli vaid üldine ülevaade koolis arendavatest teadustest ja teaduste arendamisega kõrgemal tasemel tegelesid matemaatikud. See näitaks Pythagorase juures peale religioossete tõekspidamiste ka ratsionaalset lähenemist, mis on ühe inimese juures küllalt harvaesinev kombinatsioon.
Õppetöö koolis oli suuline , õpetused salajased. Hiljem küll avaldati mõned teosed, kuid Pythagorase enda kirjutiste kohta puuduvad andmed. Diogenes Laertiose sõnul kirjutas Pythagoras kolm teost: `` Kasvatusest ``, ``Riigist`` ja ``Loodusest``. Talle omistatakse ka rohkem teoseid, kuid selge on see, et pole sugugi kindel, kas Pythagoras ise üldse midagi kirja pani. Kanti ju kõikide koolkonna esindajate saavutused Pythagorase arvele. Levinud on legend Hippasusest, keda karistati kas geomeetria saladuste avaldamise või matemaatilise avastuse enda omaks kuulutamise eest. Tema saatuseks oli kas uppumissurm või koolist väljaheitmine ja sümboolse hauakääpa püstitamine, mis väljendaks suhtumist , et kooli ja pütaagorlaste jaoks on Hippasus edaspidi surnud.
Poliitilistelt vaadetelt olid pütaagorlased aristokraalik-konservatiivsed ja saavutasid tollases ühiskonnas küllaltki suure mõjujõu. Sajandivahetuseks olid nad saavutanud kõrged positsioonid Krotoni valitsemises, kuid krotonlane Cylon õhutas rahva ülestõusule, mis kujunes üsna veriseks ja mille käigus paljud pütaagorlased tapeti või saadeti maalt välja. Huvitaval kombel see pütaagorlasi ei murdnud, pärast vaheaega nende mõjuvõim taastus ja isegi laienes. Pythagoras aga oli ülestõusu tagajärjel sunnitud Krotonist lahkuma ja veetis oma viimased elupäevad pagenduses Musese kloostris Metapontionis, kus ta ca. 497 eKr tõenäoliselt nälga suri.Ülestõusu algataja Cyloni kohta on arvatud, et ta oli jõudeelaja, keda moraalsetel kaalutlustel keelduti pütaagorlaste hulka vastu võetamast, teiselt poolt kujutas ta endast opositsiooni pütaagorlaste ultrakonservatiivsele poliitikale, mis kuulutas ühiskonna ülemaks üksikisikust. Pütaagorlaste pääs tagasi võimu juurde aga ei kestnud kaua ja juba 5. saj keskel eKr leidis aset järgmine pütaagorlastevastane liikumine, mille käigus järelejäänud liikmed Kreekasse pagendati. Phliuses ja Teebas loodi küll uued keskused ja ideesid levitati mujalgi, kuid koolkond oli üle Lõuna-Itaalia ja Kreeka laiali pillutatud, ühtne struktuur kadunud ja pikkamisi pütaagorlaste liikumine hääbus. Teadmised viidi liikumise liidrite poolt hauda kaasa või pärandati järglastele, kelle poolt neid küll mitu sugupõlve alal hoiti, kuid sisuliselt lagunes koolkond 4. sajandil eKr.
RELIGIOOSSED JA EETILISED VAATED
Pütaagorlaste religioossed vaated, eriti hingede rändamise õpetus, meenutab orfikute õpetust ja sankhja koolkonda india filosoofias. Pythagoras ise uskus tuliselt hingede rändamise teooriasse , väites et mäletab oma hinge eelmisi kehastusi. Hingede rändamise teooria kohaselt on keha vangla , millesse hing on asetatud varasemate süütegude eest. Maailm on elav, igavene ja jumalik ning elab, hingates sisse õhku ümbritsevast ääretusest. Ka inimese eluvaim tuleneb õhust, mis tõestab et inimese hing on õhk, mis omakorda näitab lähedat sugulust mikro - ja makrokosmose vahel, universumi ja inimese vahel. Universum on üks, igavene ja jumalik. Inimesed aga jagunenud ja surelikud. Inimese põhiosa — hing — see-eest on aga surematu, sest kujutab endast sädet või osakest jumalikust ja universaalsest hingest, mis on lahku lõigatud universaalsest hingest ja vangistatud lagunevasse ja surelikku kehasse. Pärast surma tuleb eksimused lunastada kas kahetsuse teel allilmas Tartaroses või perioodiliselt korduvates taaskehastumistes (kas inimese või looma kehas). Pikaaegse, puhast, kõlbelist ja rangelt askeetlikku elu hõlmava puhastumisprotsessi järel pöördub hing tagasi kehatule ja täiuslikule vaimuelule, ühineb Jumalaga.
Säärane taassünniteooria annab võimaluse tõmmata paralleele vana-kreeka filosoofia ja aasia usundite vahel. Pythagorase eluajal, kui vana-kreeka filosoofia oli alles kujunemisjärgus, õitsesid hinduism ja budism täies vaimujõus, levinuna üle tohutute alade Aasias. See fakt on andnud uurijatele alust eeldada kultuurisidemeid ja aasiapoolseid mõjutusi kreeka mõtteviisi arengule. Peamised kahtlusalused, just nimelt taassündide teooria tõttu, on Pythagoras ja Platon.Platoni puhul tuleb mõjutusena kindlasti kõne alla Pythagoras ise, kelle mõtteid ta selgelt väljendanud ja edasi arendanud on. Mõningase lihtsustamise tulemusel võib ehk lausa öelda, et pütaagorlaste liikumine 4. saj. eKr mitte ei hävinud, vaid hajus platonismi
Pütaagorlaste religioosne maailmapilt oli pigem rahvapärane, ühtlasemat teoloogiat arvatavasti ei tekkinudki. Ranget ja askeetlikku elukõlblust filosoofiliselt peaaegu ei põhjendatud, toonitati pigem aukartust jumalate, vanemate, ülemuste ja seaduste ees, isamaa-armastust, ustavust sõprade vastu, enesevalitsemist, mõõdukust ja puhtust isiklikus elus. Kehtis usk deemonitesse ja haldjatesse, kellena nähti õhus või allilmas olelevaid hingi. Askeetlik eluviis hõlmas ka taimetoitlust, keelatud oli aga näiteks ka ubade toiduks tarvitamine. Arvatakse, et ka ``voorusi`` seletati nö. arvuteooriaga, kuid täpsemad andmed selle kohta paraku puuduvad.
ARVUTEOORIA
Pythagorase huvi matemaatika vastu omandas müstilise mõõtme ja lõpnes arvu kui kõige oleva aluseks kuulutamisega. Arvu ei vaadeldud abstraktse mõistena, vaid kui reaalsete asjade tõelise olemuse konkreetset kehastust . See tähendab sisuliselt kaht : ühelt poolt on kõik asjad tekkinud arvust ja teiselt poolt on asjad arvude koopiad . Eksisteerib kaks maailma, asjade- ja arvude maailm. Asjade maailm on muutlik, olles vaid arvude maailma koopia. Viimane teooria on tõenäoliselt huvi pakkunud Platonile , kes tuli hiljem välja mõttega täiuslikust ideedemaailmast ja varjudest koopaseinal, mis inimeste jaoks reaalset maailma kujutavad. Ühesõnaga — kogu maailm seisab arvulistes vahekordades. Igale arvule näiteks vastab konkreetne kujund. 1 tähistab punkti, 2 sirgjoont, 3 tasapinda, 4 ruumi või keha etc. Arvu ruut kujutab endast õigluse sümbolit - tegu on võrdsete tegurite korrutisega, mis sümboliseerib samaga sama tasumise põhimõtet. Kõige täiuslikumaks arvuks peeti aga kümmet, sest ta on esimese nelja arvu summa, 1+2+3+4=10, ja need neli arvu, väljendatuna punktidest kolmnurgana, moodustavad täiusliku kolmnurga — tetractyse. Kreeka muusika intervalle võib väljendada suhetena 1:2, 3:2 ja 4:3, esimesed neli arvu sümboliseerivad geomeetrias punkti, sirgjoont, tasapinda ja keha, kõik see oli pütaagorlastele selgeks vihjeks, et arv 10 on täiuslik ja sisaldab endas arvu olemust.
Kõik arvud on jaotatud kaheks: paaris- ja paarituteks, piiramatuteks ja piiratuteks. Paaritud arvud seavad piiri kahega jagamisele, olles seega piiratud, paaris arvud seevastu on piiramatud , sest ei sea jagamisele mingisuguseid piire . Kreeklaste mõtteviisis kandis ``piiratud`` õnnetoovamat tähendust, sümboliseerides vormi ja korda, sellal kui ``piiramatu`` tähendab midagi vormitut ja seega ilmselgelt negatiivset. Piiratud-piiramatu vastandus on kõigi asjade põhiomadus. Vaieldamatult kuulsaim matemaatiline saavutus mida omistatakse otseselt Pythagorasele, ja millele on ka tema nimi antud, tõestab, et täisnurkse kolmnurga kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga . Teadmised täisnurksest kolmnurgast olid inimkonnal juba varemgi, Vanas-Egiptuses näiteks kasutati maatükkide väljamõõtmisel kolmnurka külgedega vastavalt 3, 4 ja 5 ühikut, selle teooria tõestajaks aga peetakse Pythagorast ennast.
Kõige tuntum on Pythagorase teoreem täisnurkse kolmnurga kohta: kaatetite ruutude summa on võrdne hüpotenuusi ruuduga. Pärimus ütleb, et kui Pythagoras selle seaduspärasuse avastas või tõestas, siis tõi ta hekatombi, s.o sajast härjast koosneva ohvri. Tegelikult ei tarvitsenud see üldsegi olla täpselt selline ohver: hekatombiks nimetati lihtsalt suurt ohvrit – mitte alati polnud need härjad ning mitte alati polnud ohvriloomi sada.
Esmalt tõestame seda nii nagu tegi Eukleides oma raamatus “Elemendid.” Vastavalt Eukleidese teoreemile on
ja
Liites need kokku saame, et
Esitan siinkohal selle teoreemi ja tema tõestuse mõttekäigu sellisena, nagu pärines see Pythagoraselt.
Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile ehitatud ruudu pindala võrdub ülejäänud kahele küljele ehitatud ruutude pindaladega.
Eeldame, et hüpotenuusi ümber on selle täisnurkse kolmnurga täpsed koopiad. Suure ruudu pindala on ühelt poolt leitav kui (a + b)2. Et kolmnurga pindala on , siis teiselt poolt on suure ruudu pindala leitav kui
, seega
Teisendades võrdust, saame a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab ehk a2 + b2 = c2.  MOTT

a2 + b2 = c2    c = (ruutjuur) a2 + b2

a = kaatet
b = kaatet
c = hüpotenuus
Olgu meil antud ruut küljepikkusega . Selle ruudu pindala avaldub kujul . Konstrueerime ruudu A+B sisse veel ühe ruudu külepikkusega C.  Selle ruudu pindala avaldub siis kujul . Avaldame nüüd selle ruudu pindala läbi ruudu A+B pindala ehk , kus on täisnurkse kolmnurga pindala. Lahti kirjutatult saame siis, et . Viimane 2AB tekkis sellest, et . Koondame vastavad liikmed ja saamegi,
TERAVNURGA TRIGONOMEETRIA TÄISNURKSE KOLMNURGA LAHENDAMISEKS
Täisnurkse kolmnurga mittetäisnurkse nurga α siinuseks nimetatakse selle nurga vastaskaateti ahüpotenuusi c pikkuse jagatist. ning
Täisnurkse kolmnurga mittetäisnurkse nurga α koosinuseks nimetatakse selle nurga lähiskaateti bhüpotenuusi c pikkuse jagatist. ning selle täisnurkse kolmnurga
Täisnurkse kolmnurga järgi defineeritakse tangens nii: täisnurkse kolmnurga mittetäisnurkse nurga α tangensiks nimetatakse selle nurga vastaskaateti a ning lähiskaateti b pikkuse jagatist.
KOSMOLOOGIA
Pütaagorlased arendasid tänu oma matemaatilisele taibukusele tublisti edasi kosmoloogiat. Pythagorase arvatav õpetaja Anaximandros ütles lahti teooriast, et Maa on kindlal alusel seisev ketas. Pütaagorlased väitsid esimestena, et Maa ja teised taevakehad on kerakujulised , seda ``tõestasid`` nad väitega, et maailm tervikuna on korrapärane ja kaunis. Kõige täiuslikumaks ja ilusamaks kehaks aga peeti kera, seega - Maa ei saa mingil juhul olla lame, et olla vastavuses täiusliku maailmaga, ta peab olema kera . Samuti väitsid pütaagorlased esimestena, et päikese ja tähtede liikumine taevavõlvil on näiline — tegelikult liigub maakera ise. Kogu liikumine tiirleb aga kerakujuliselt ümber mingi keskse tulekolde, mis asub teisel, Maa asustamata poolel ja on seega inimestele nähtamatu. Keskne tulekolle on soojuse, valguse ja elu ürgallikas, mille ümber keerleb kogu ülejäänud maailm . 3. saj. eKr jättis Pythagorase kodusaarelt Samoselt pärit Aristarchos tsentraaltule teooria kõrvale ja väitis, et keskmes on hoopis päike ja Maa tiirleb selle ümber. Pütaagorlast Aristarchost võib seega nimetada esimeseks heliotsentristliku maailmapildi juurutajaks. See revolutsiooniline idee jäi paraku järgmiseks kaheks tuhandeks aastaks kuni Kopernikuse revolutsioonini tuha alla hõõguma.
Maailm koosneb vastuoludest. Nagu arvudeteoorias juba märgitud, seisneb põhikonflikt piiratud-piiramatu vastanduses. Sellest tuletasid pütaagorlased 10 põhivastuolu — piiratud ja piiramatu, sirge ja kõver, üks ja palju, parem ja vasem, mehelikkus ja naiselikkus , paigalolev ja liikuv, pimedus ja valgus, otsene ja kaudne, hea ja kuri ning ruut ja püstkülik.
Sidudes neid vastuolusid akustikast pärit avastustega, väitsid pütaagorlased, et seda vastuolulisust kannab maailmas mingi ürgne harmoonia, milles kogu vastuolulisus ja mitmekesisus moodustab ühtse harmoonilise terviku, mida pütaagorlased nimetasid ``kosmoseks``.
Pütaagorlased leidsid veel ühe võimaluse sidumaks muusika kosmoloogiaga. Selleks on ``sfääride muusika``. Taevakehade liikumisel läbi viienda elemendi — eetri, tekib heli, mille kõrgus sõltub taevakeha suurusest ja liikumise kiirusest Kõik taevakehad üheskoos moodustavad aga harmoonilise terviku, kõlades nn. sfääride muusikana. Meie seda ei kuule , sest oleme selle sisse sündinud ja sellega lapsest peale harjunud . Vahemärkusena võiks mainida, et Pythagoras otse loomulikult kuulis, teda oli õnnistatud lihtsalt nii terava kuulmisega.