Kogu Matemaatika täiendõpe (0)

1. Harilik murd kui jagatis
Harilik murd näitab, mitmeks võrdseks osaks on mingi tervik jaotatud ja kui mitu sellist osa on kokku võetud.
Näiteks: tähendab, et tervik on jaotatud viieks võrdseks osaks, millest on võetud 4 osa.
Harilikku murdu võib aga vaadata ka kui kahe naturaalarvu jagatist. Jagatavaks on murru lugeja ja jagajaks nimetaja . Seega on murrujoonel jagamismärgi tähendus.
Näiteks:
Kuna nulliga ei saa jagada, siis ei saa murru nimetaja olla null. Kui murru lugeja on null, siis on ka murru väärtus 0.
Näiteks:
Ülesanne

• Kirjuta murrud jagamismärgi abil: 1) 2)
  
• Kirjuta jagatis murruna: 1) 5 : 8 2) 1003 : 1 3) 25 : 5
  
• Kirjuta naturaalarvud 8 ja 50 vähemalt kahel viisil harilikku murruna
  
• Avalda murd naturaalarvuna: 1) 2) 3)
  
• Arvuta: 1) 2) 3) 4)
  

2. Lihtmurd ja liigmurd
Lihtmurd on murd, mille lugeja on nimetajast väiksem.
Näiteks
Lihtmurd on alati väiksem arvust 1
Näiteks
Liigmurruks nimetatakse murdu, mille lugeja on võrdne nimetajaga või sellest suurem.
Näiteks
Kui liigmurru lugeja ja nimetaja on võrdsed, siis on see murd võrdne arvuga 1
Näiteks
Kui murru lugeja on nimetajast suurem, siis see murd on suurem arvust 1
Näiteks
Ülesanne

• Millised järgnevatest murdudest on lihtmurrud ja millised liigmurrud :
  

, , , , ,

• Kirjuta üks murd, mille lugeja on 9
  
• Kirjuta üks murd, mille nimetaja on 8
  
• Kirjuta murd liiht- ja liigmurruna
  

3. Hariliku murru taandamine
Hariliku murru põhiomadus:
Kui murru lugejat ja nimetajat korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga, siis saame selle murruga võrdse murru.
Murru taandamine on murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva naturaalarvuga.
Näide:
(taandatud 2-ga)
Murdu saab taandada ainult siis, kui tema lugejal ja nimetajal on 1-st erinev ühistegur. Kui selline ühistegur puudub, siis ei saa murdu taandada..
Näited:
Selliseid murde nimetatakse taandumatuteks murdudeks.
Murdu saab võib taandada kahte moodi:

järk-järgult, valides lugeja ja nimetaja ühistegureid seni, kuni jõutakse taandumatu murruni.
( taandatud esialgu 2-ga ja siis veel 2-ga)

Korraga, jagades lugeja ja nimetaja nende suurima ühisteguriga
(taandatud 4-ga)
Ülesanne

• Taanda murrud: 1) 2) 3)
  
• Missuguse osa kilomeetrist moodustab 400 m?
  
• Taanda ja seejärel arvuta: 1) 2)
  

4. Murdude teisendamine ühenimelisteks
Murru lugeja ja nimetaja korrutamist ühe ja sama nullist erineva arvuga nimetatakse murru laiendamiseks.
Seda arvu, millega murru lugejat ja nimetajat korrutatakse, nimetatakse murru laiendajaks. Laiendaja kirjutatakse laiendatava murru kohale väiksese kaarekese sisse.
Näide: Kui laiendaja on 5, siis same , et
Kui murdu on vaja laiendada nii, et uue murru nimetaja oleks võrdne mingi etteantud arvuga, siis öeldakse, et murdu tuleb laiendada antud nimetajani.
Näide: Laiendame murdu nimetajani 15
Uue murru saamiseks on vaja leida selline laiendaja, millega murru
nimetajat korrutades saame 15. Kuna 15 : 5 = 3, tuleb laiendajaks võtta 3.
Seega saame:
Lugeja ja nimetaja korrutamine leitud laiendajaga tehakse tavaliselt peast. Laiendatud murd kirjutatakse antud murru ja võrdusmärgi järele.
Murru laiendamist saab kontrollida taandamisega. Taandamine ja laiendamine on teineteise pöördteisendused.
Murdu laiendades saab erinevate nimetajatega murrud asendada selliste murdududega, mille nimetajad on võrdsed. Sellisel juhul öeldakse, et erinimelised murrud teisendatakse ühenimelisteks.
Näide: Teisendame ühenimeliseks murrudja.
Selleks peab kõigepealt leidma ühise nimetaja, milleni on vaja mõlemat murdu laiendada. Kuna laiendaja leitakse uue nimetaja ja endise nimetaja jagamise teel, peab otsitav ühine nimetaja jaguma antud murdude nimetajatega. Ehk siis: Murdude ühine nimetaja on antud murdude nimetajate ühiskordne. 4 ja 6 ühiskordseteks on näiteks 12, 24, 36, 48, …. Et uued murrud oleksid võimalikult väikese nimetajaga, valitakse tavaliselt ühiseks nimetajaks antud nimetajate vähim ühiskordne. Antud juhul on selleks 12. Laiendajateks saame siis
ja teise oma.
Seega saame, et .
Ühenimelisteks teisendatavaid murde võib olla ka enam kui kaks.
Murdude ühenimelisteks teisendamisel pea meeles:

leia ühine nimetaja ehk siis antud murdude nimetajate väikseim ühiskordne;

jaga ühise nimetaja iga murru nimetajaga. – Nii leiad nende murdude laiendajad;

Korruta iga murru nimetajat ja lugejat vastava laiendajaga.
Mõnikord võib kaustada murdude ühise nimetaja leidmiseks ka sellist proovimisvõtet, et korrutada suurimat nimetajat (kui see ise ei sobi ühiseks nimetajaks) järjest arvudega 2, 3, 4, .., kuni jõuame arvuni, mis jagub iga antud nimetajaga.
Näide: teisendame nt ühenimelisteks murrud
Antud murdude nimetajate hulgas ei ole nende nimetajate ühiskordset. Suurim nimetaja on 12. Nüüd tuleb proovida korrutada antud murdude suurimat nimetajat ehk siis 12 järjest arvudega 2, 3 , 4… Proovime: - sobibki, sest arv 24 jagub iga nimetajaga.
Saame: .
Ülesanne

• Teisenda antud murrud ühenimelisteks: 1) ja 2) ja
  

5. Ühenimeliste murdude liitmine ja lahutamine
Ühenimeliste murdude liitmisel liidetakse nende murdude luhejad, nimetajad jäävad endiseks.
Ühenimeliste murdude lahutamisel lahutatakse vähendatava lugejast vähendaja lugeja, nimetaja jääb endiseks.
Näide:
,
Pärast murdude liitmist või lahutamist tuleb vastus taandada, kui võimalik.
Näide:
Ülesanne

• Arvuta: 1) 2) 3) 4)
  
• Sirje jätkas salli kudumist. Eile oli ta jõudnud kududa sallist, täna lõunaks aga võrra rohkem kui eile. Kui suur osa sallist on Sirjel veel kududa?
  
• Arvuta avaldise b + c – d väärtus, kui bc ja d
  
• Poodi minnes tuleb Argol jalgis käia km ja sõita bussiga km, Triinul tuleb aga jalgsi käia km ja bussiga sõita km. Kumma lapse tee poodi on pikem?
  

6. Liigmurru täis- ja murdosa
Iga liigmurdu võib vaadata naturaalarvu ja lihtmurru summana. Sel juhul nimetatakse naturaalarvu antud summas liigmurru täisosaks ja lihtmurdu murdosaks. Naturaalarvu ja lihtmurru summa kirjutatakse tavaliselt plussmärgita. Sellist arvu nimetatakse ka segaarvuks.
Näiteks
ehk
Kahest segaarvust on suurem see arv, mille täisosa on suurem. Kui täisosad on võrdsed, on suurem see arv, mille murdosa on suurem.
Näited ; .
Ülesanne

• Kirjuta antud murd segaarvuna:
  
• Kirjuta liigmurruna:
  

7. Segaarvude liitmine ja lahutamine
Segaarvude liitmisel liidetakse täisosad eraldi ja murdosad eraldi.
Näide:

Tavaliselt tehakse aga osa tehteid peast ja lahendus kirjutatakse lühemalt nii:
Näide:

Näide:
Segaarvude lahutamisel lahutatakse täisosast täisosa ja murdosast murdosa ning liidetakse tulemused.
Näide:

Ehk lühemalt
Kui vähendatava murdosa on väiksem vähendaja murdosast, tuleb vähendatava täisosast võtta 1 terve ja liita see vähendatava murdosaga. Edasi tuleb toimida juba segaarvude lahutamise reegli järgi.
Näide:

Ülesanne

• Arvuta: 1) 2) 3)
  
• Marek ja Magnus käisid nädalavahetusel reisil. Marek sõitis reisil autoga tundi ja Magnus tundi. Mitu tundi sõitis Marek reisil autoga rohkem, kui Magnus?
  
• Arvuta avaldise väärtus, kui ja .
  

8. Erinimeliste murdude liitmine ja lahutamine
Selleks, et liita või lahutada erinimelisi murde tuleb

teisendada murrud ühenimeliseks;

toimida ühenimeliste murdude liitmise või lahutamise reeglite järgi.
Näide: Leia summa
Lahendus:
Näide: Leia vahe
Lahendus:
Kui esineb segaarve, siis tuleb nende murdosad teisendada ühenimelisteks. Seejärel arvutada ühenimeliste murdosadega segaarvude liitmise või lahutamise reeglite järgi.
Näide:
Ülesanne

• Arvuta: 1) 2) 3) 4)
  
• Töölised pesid esimesel päeval , teisel päeval ja kolmandal päeval koolimaja akendest. Missuguse osa koolimaja akendest pesid koristajad kolme päevaga?
  
• Alise luges esimesel päeval raamatust, teisel päeval sellestvõrra vähem ja kolmandal päeval raamatust. Missuguse osa raamatust luges Alise kolme päevaga? Kas Alise jõudis raamatu kolme päevaga läbi lugeda?
  
• Markus käis suvel maasikaid korjates raha teenimas. Esimesel päeval jõudis ta korjata 15 kg maasikaid, teisel päeval jõudis ta aga korjata kg võrra rohkem maasikaid. Mitu kg maasikaid korjas Markus kahe esimese päevaga kokku?
  
• 
  
  

9. Kümnendmurdude teisendamine harilikeks murduseks
Iga kümnendmurdu saab vaadata kui naturaalarvu ja järguühiku jagatist.
Näide:

Et jagamismärgina võib kasutada ka murrujoont, siis saab need võrdused kirjutada ka teisiti, vastavalt:
Mõned tähtsamad teisendused jäta meelde.
Kui kümnendmurd on 1-st suurem, siis saab seda teisendada segaarvuks. Seda saab teha kahte moodi.
Näide:
Ülesanne

• Teisenda harilikuks murruks: 1) 4,21 2) 4,75 3) 0,125
  
• Teisenda kümnendmurrud harilikeks murdudeks ja seejärel liida või lahuta:
  

1)
2)

10. Harilike murdude teisendamine kümnendmurdudeks
Kuna harilik murd on jagatis, tuleb selle murru teisendamisel kümnendmurruks jagada lugeja nimetajaga.
Näide:
On olemas lõpmatuid kümnendmurdi ja lõplike kümnendmurdi.Lõplikud kõmnendmurrud on sellised, mille vastus on lõplik. nagu näiteks elnevas näites. Lõpmatud kümnendmurrud on sellised, mille jagamine ei lõppegi.
Näide:
Antud näites moodustavad numbrid 6 ja 3 lõpmatult korduvate numbrite rühma. Sellist korduvat numbrite rühma nimetatakse kümnendmurru perioodiks ja murdu ennast perioodiliseks kümnendmurruks.
Lõplik kümnendmurd tekib ainult siis, kui hariliku murru (taandatud kuju) nimetaja ei sisalda teisi algtegureid peale arvude 2 ja 5.Siinkohal tasub meelde tuletada millised on algarvud, mis on väiksemad, kui 20. Nendeks on . Kõigil teistel juhtudel tekib perioodiline kümnendmurd.
Näited:
See on lõplik kümnendmurd, kuna, selle murru nimetajas on algtegur 5.
See on lõpmatu ehk perioodiline murd, kuna selle murru nimetajas on algteguriks 3
Ülesandeid:

• Teisenda kümnendmurdudeks: 1) 2)
  

11. Pöördarvud
Kaht arvu, mille korrutis on võrdne ühega, nimetatakse teineteise pöördarvudeks.
Näide:
Pöördarvud on näiteks .
Hariliku murru pöördarv saadakse, kui vahetatakse ära selle murru lugeja ja nimetaja.
Naturaalarvu saab kirjutada hariliku murruna, mille nimetaja on üks. Seetõttu saab samamoodi leida ka iga naturaalarvu pöördarvu (välja arvatud 0).
Näide:
Ülesandeid

• Leia pöördarvud: 1) 2) 10000 3) 4) 0,2 5) 4,6
  

12. Harilike murdude jagamine
Selleks, et jagada harilikku murdu hariliku murruga, tuleb jagatav korrutada jagaja pöördarvuga. Seda võib kirja panna ka nii
Arvutamisel kirjutatakse jagatav ja jagaja pöördarv tavaliselt kohe ühisele murrujoonele ja võimalusel taandatakse.
Näide 1.

Näide 2.
Hariliku murru jagamisel naturaalarvuga, tuleb naturaalarv kirjutada murruna, mille nimetaja on 1.
Näide 3.
Kuna igal arvul peale nulli on pöördarv, siis kasutades harilikke murde on jagamine võimalik alati, väljaarvtud jagamine nulliga.
Ülesanne

• Arvuta: 1) 2) 3) 4) 5)
  

6)

• Tesienda kümnendmurd harilikuks murruks ja seejärel arvuta: 1)
  

2)
3)

• Kommid pakitakse 0,4 kg kaupa karpidesse. Mitu karpi saadakse kg kommidest?
  
• Kaks reisibussi hakkasid Raplast eriliinidel üheaegselt sõitma. Üks reisibuss läbis tunniga 77 km, teine tunniga 72 km. Kumma bussi kiirus oli suurem ?
  

13. Ülesandeid kõigile tehtetele murdudega
Kui ühes ülesanded esinevad nii kümnendmurrud kui ka harilikud murrud, siis üldiselt teisendatakse harilikud murrud kümnendmurdudeks, kuna kümnendmurde kasutatakse igapäeva elus sagedamini ja nendega on arvutamine lihtsam. Kui aga ülesandes on vaja leida täpne vastus ja harilik murd ei teisendu täpselt lõplikuks kümnendmurruks, tuleb kümnendmurrud teisendada harilikeks murdudeks, arvutada harilike murdudega ja anda ka vastus hariliku murru kujul
14. Tehted harilike murdudega
Arvutada:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9) 0,25∙
10) 1,5∙
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19) 1: 20) -16 + (-7) 21) -15 – ( -9) 22) -24 + 8 23) - 45 – 38 24) 12∙
Tehete põhiomadused
Vahetuvus ehk kommutatiivsus :
a + b = b + a
ab = ba
a(b + c) = (b + c)a
Ühenduvus ehk assotsiatiivsus a + (b + c) = ( a + b) + c
a(bc) = (ab) c
Jaotuvus ehk distributiivsus: a(b + c) = ab + ac
a(b - c) = ab – ac
Sulgude avamine : a + (b + c) = a +b + c a - (b + c) = a - b - c
a + (b - c) = a +b - c a - (b - c) = a - b + c
 
12