Diskreetne matemaatika II - kolmas kodutöö (0)

Diskreetne matemaatika II Kodused ülesanded 3 Olga Dalton 104493 IAPB21
ÜLESANNE 1
= 2 # + 8 $ , # = 1, $ = 1
Kirjutan välja karakteristliku võrrandi:
$ - 2 - 8 = 0
Leian karakteristliku võrrandi lahendid .
= 1 ± 1 + 8 = 1 ± 3 # = 4 I $ = -2
Seega on rekurrentse võrrandi lahend : = I# 4 + I$ (-2)
Leian I# ja c$ .
I# 4# + I$ (-2)# = 1 4I# - 2I$ = 1 4I# = 1 + 2I$ I# = 0,25 + 0,5I$ I# 4 + I$ (-2) = 1 $ $ 16I# + 4I$ = 1
16(0,25 + 0,5I$ ) + 4I$ = 1 4 + 8I$ + 4I$ = 1 12I$ = -3 I$ = -0,25 I I# = 0,125
Vastus: = 0,125 4 - 0,25 (-2)
ÜLESANNE 2
Koostan rekurrentse seose. Olgu An eri viiside arv, kuidas sportlane saab moodustada endale n- kilomeetrise treeningu. Uurin esialgu sportlase valikuid , milline tegevus valida kõige viimaseks .
Eeldan ülesande lahendamisel, et kaks 1-kilomeetrist ringi sama tegevust ei ole sama mis üks 2- kilomeetriline ring, sest kahe 1-kilomeetrilise ringi vahel saab sportlane ka puhata või näiteks vett juua, 2-kilomeetrilise ringi peab ta järjest ära tegema.
Sportlasel on lõpus kaks võimalust: ta valib kas 1- või 2-kilomeetrise ringi. Nii 1- kui ka 2-kilomeetrise tegevuse puhul on tal 3 võimalust, milline tegevus valida(kas ujumine , rattasõit või jooksmine ).
Kui ta valib viimaseks 1-kilomeetrilise ringi, jäävad tal otsustamiseks veel (n-1)-kilomeetri tegevused, (n-1)-kilomeetrilise treeningu koostamiseks on tal An-1 eri võimalust.
Kui ta valib viimaseks 2-kilomeetrilise ringi, peab ta veel koostama (n-2)-kilomeetrilise treeningu, milleks on tal An-2 eri võimalust.
= 3 # + 3 $ Seega on eri viiside arv, kuidas sportlane saab moodustada endale n-kilomeetrilise treeningu:
Leian algväärtused A0 ja A1.
A0 = 1, sest 0 kilomeetri puhul ei saa ta valida ühtegi tegevust ning ainuke ,,tegevus" ongi tühi hulk.
A1 = 3, sest sportlane saab valida, kas ta teeb ujumise, rattasõidu või jooksmise 1-kilomeetrilise ringi.
Lahendan saadud rekurrentse võrrandi.
Karakteristlik võrrand on: $ - 3 - 3 = 0 Diskreetne matemaatika II Kodused ülesanded 3 Olga Dalton 104493 IAPB21
Leian karakteristliku võrrandi lahendid.
3 21 3 21 3 ± 21 3 + 21 3 - 21 = 1,5 ± 1,5$ + 3 = ± = ± = # = I $ = 2 4 2 2 2 2 2
Seega on rekurrentse võrrandi lahend:
3 + 21 3 - 21 = I# + I$ 2 2
Leian I# ja c$ .
I# + I$ = 1 I# = 1 - I$ 3 + 21 3 - 21 I# + I$ = 3 2 2
3 + 21 3 - 21 (1 - I$ ) + I$ = 3 2 2
3 + 21 3I$ + 21I$ 3I$ - 21 I$ - + =3 2 2 2
3 + 21 - 3I$ - 21I$ + 3I$ - 21 I$ =3 2
3 + 21 - 2 21I$ = 6
2 21I$ = 21 - 3
21 - 3 I$ = 2 21
Kaotan irratsionaalsuse nimetajas : 21 - 3 21 21 - 3 21 7 - 21 I$ = = = 2 21 21 42 14
Leian I# -e.
7 - 21 14 - 7 + 21 7 + 21 I# = 1 - = = 14 14 14
Vastus: eri viiside arv, kuidas sportlane saab moodustada endale n-kilomeetrilise treeningu, on
7 + 21 3 + 21 7 - 21 3 - 21 = + 14 2 14 2
ÜLESANNE 3
Lähtun jaguvuse definitsioonist : I | I, kui leidub selline täisarv , et I = I Diskreetne matemaatika II Kodused ülesanded 3 Olga Dalton 104493 IAPB21
Kui I | I, siis I = I# ja kui I | I, siis I = I$ , kus # ja $ on mingid täisarvud.
Siis I + I = I# + I$ = I(# + $ ) ja I - I = I# - I$ = I(# - $ )
Jagades a-ga, saan:
I+I I(# + $ ) = = # + $ I I I-I I(# - $ ) = = # - $ I I
Et # ja $ on mingid täisarvud, siis ka # + $ ja # - $ on täisarvud, oleme jagamise tulemusena saanud täisarvu ja seega | + ja | - .
ÜLESANNE 4
Lähtun jaguvuse definitsioonist: I | I, kui leidub selline täisarv , et I = I
Kui I | I, siis I = I# ja kui I | I, siis I = I$ , kus # ja $ on mingid täisarvud.
Siis I $ + 3I + 2 I = (I# )$ + 3I$ + 2 I$ = I$ # $ + 3I$ + 2 I$ =
= I(I# $ + 3$ + 2 $ )
Jagades a-ga, saan:
I $ + 3I + 2 I I(I# $ + 3$ + 2 $ ) = = I# $ + 3$ + 2 $ I I
Uurin pärast jagamist allesjäänud liidetavaid:
I# $ ­ et a on täisarv ja # on täisarv, siis ka # $ on täisarv ja kahe täisarvu korrutis on ka täisarv.
3$ ­ et $ on täisarv, siis ka 3$ on täisarv.
2 $ ­ et # , $ ja I on täisarvud, kahe täisarvu korrutis on täisarv ja 2 täisarvuline aste on täisarv, siis ka 2 $ on täisarv.
Et ka kolme täisarvu summa on täisarv, siis oleme jagamise tulemusena saanud täisarvu ja seega kehtib | + + .
ÜLESANNE 5
Olgu n suvaline naturaalarv. Uurin, mis vastust on võimalik saada tehte J X 6 tulemusena.
Tähistan J X 6 vastuste hulka ehk võimalikkide jää
Nüüd uurin, kas arv n võiks olla algarv või mitte, vastavalt sellele, mis tuli tehte J X 6 tulemuseks.<< Diskreetne matemaatika II Kodused ülesanded 3 Olga Dalton 104493 IAPB21<
Seega kui J X 6 = 0 õ 2 õ 4, peab arv n jaguma 2-ga ehk tegemist on paarisarvuga.
Kuna algarvudest on ainuke paarisarv 2, siis jagades algarvu 6-ga ei ole võimalik saada jäägiks 0, 2 ega 4.< ning seega jagub n 3-ga. Kuna algarv võib jaguda ainult 1 ja iseendaga , siis kui J X 6 = 3, ei saa n olla algarv.
Jääkide hulgast A jäävad järele veel 1 ja 5. Jääk 5 on võrdväärne jäägiga -1. Kui J X 6 = 1 või J X 6 = 5, siis rahuldavad arvud n kõiki algarvudele püstitatud tingimusi, kuna arvud 6J - 1 ja 6J + 1 ei saa olla paarisarvud. Seega annab iga 3-st suurem algarv jagamisel jäägiks kas 1 või -1, kuna vastasel juhul ei saaks ta lihtsalt algarv olla.