Matemaatiline analüüs 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus: ∆y = f’(a)∆x + β , kus β = r(∆x)∆x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆ x suhtes, kui ∆ x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut ∆y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f’(a)∆x ja teine on β. Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. Võrdleme neid suurusi ∆x suhtes. Esiteks, eelduse f’(a) 0 põhjal saame lim dy ∆x= lim f’(a)/∆x* ∆x= lim f’(a) = f(a) 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Teiseks kehtib lim β/ ∆x = lim r(∆x)∆x /∆x = lim r(∆x) = 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui ∆x ja t...
2011 Diskreetne Matemaatika Eksam 1. Mis on graafi värvimise ülesanne? Mis on kromaatiline arv? Joonistada mõni näide. Mis on kromaatiline arv 2 aluselisel graafil? Mis on täieliku graafi kromaatiline arv? 2. Hulgateooria mõiste sümmeetrilise vahe kohta. Taandada sümeetriline vahe cantori normaalkujuks. Kas see täielik normaalkuju on minimaalne? Taandatud? Täielik? Mis on sümmeetrilise vahe matemaatilises loogikas? 3. Avaldis (x1x2x3x4) = Mingi konjuktiivne funktsioon (ei mäleta) 1. Leida minimaalne DNK 2. Leida taandatud KNK 4. Funktsioon (x1x2x3) = E(0,2,5,6,7)1 1. Leida täielik KNK 2. Leida shannoni arendus DNK x2 järgi. 3. Leida tuletis x3 järgi. Jääk ära näidata minimaalsel kujul.
i t Loogikaalgebra põhiseosed. Loogikaavaldiste teisendamine. t Pidevateks funktsioonideks on sellised funktsioonid, mille graafik on s koordinaatteljestikus esitatav pideva (kõver)joonena. n — Loogikafunktsioonid I Matemaatilises analüüsis, differentsiaal- ja integraalarvutuses tegeletakse Tõeväärtustabelid. Normaalkujulised loogikaavaldised. just pidevate funktsioonidega. Loogikafunktsiooni normaalkujude minimeerimine. Kuna pidevate funktsioonide argumentideks on reaalarvud, siis on "pidev Loogikafunktsioonide süsteemid. Loogikaelemendid matemaatika" just reaalarvude matemaatika
oma teaduslikku tegevust. Juba tuhat aastat enne teda oli õpetatud, et Maa on meie päikesesüsteemi keskel, Kuu, Veenus, Merkuur, Päike, Marss, Jupiter ja Saturn tiirlevad Maa ümber. Kopernikul tekkis idee, et kogu see vaimne keerdsõlm laheneks üsna kergesti, kui ainult oletada planeetide ja Maa tiirlemist ümber Päikese. GEO- JA HELIOTSENTRISM 1514 . aastal levitas ta käsikirja Commentariolus ("Väikesed kommentaarid"). Ta pani Maa liikuma, Päikese seisma ning matemaatilises mudelis kasutas deferenti ja kahte epitsüklit. 1543. aastal avaldas ta oma peateose "Taevasfääride pöörlemisest" (De Revolutionibus orbium coelestium). AITÄH KUULAMAST JA VAATAMAST
planeetide liikumise teooria,mille järgi planeedid liiguvad ümber Päikese. (Heliotsentriline maailmasüsteem; Päike kreeka k. helios) "Commentariolus" 1514 levitas ta oma sõprade hulgas väikest käsikirja "Commentariolus" ("Väikesed kommentaarid"). Selles esitas ta ideid kuidas loobuda senisest Ptolemaiose maailmasüsteemist. Ta pani Maa liikuma, Päikese seisma ning matemaatilises mudelis kasutas deferenti ja kahte epitsüklit. Sõbrad kiitsid idee heaks, seda loeti Roomas paavstile ja kardinalidele ning sealtki saabus positiivne tagasiside. "Taevasfääride pöörlemisest" 1543 avaldas ta oma peateose "Taevasfääride pöörlemisest" ("De Revolutionibus orbium coelestium"). Ptolemaiose ekvantpunktid olid kadunud ning kõigi planeetide deferentidel oli üks ja sama
seisukorras. Juba tuhat aastat enne teda oli õpetatud, et Maa ümber, mis seisab liikumatuna meie päikesesüsteemi keskel, tiirlevad seitse taevakeha: Kuu, Veenus, Markuur, Päike, Marss, Jupiter ja Saturn. 1514. aastal levitas ta oma sõprade seas väikest käsikirja „Commentariolus“ ehk „ Väikesed kommentaarid“, milles ta esitas ideid kuidas loobuda senisest maailmasüsteemist. Ta pani liikuma Maa, Päikese seisma ning matemaatilises mudelis kasutas deferenti ja kahte epitsüklik. Ta sõbrad kiitsid idee heaks ning seda leoti ette ka Rooma paavstile ja kardinanile, kust saabus ka positiivne tagasiside. Oma peateose „Taevasfääride pöörlemisest“(„De Revolutionibus orbium coelestium“) avaldas ta 1543. aastal. Võrreldes „Väikeste kommentaaridega“ läks Kopernik selles teoses tunduvat sügavamale teemasse. Sisse oli toodud mitu uut matemaatilist lahendust. Selles töös väitis
kauguste summa lähtekolmnurga tippudest on minimaalne TA + TB + TC = minimaalne Torricelli punkt - T Fermat’ punkt • Pierre de Fermat [ferma:] (17.08.1601 – 12.01.1665) – prantsuse matemaatik. Töötas juristina ja tegeles matemaatikaga vaid vabal ajal. Oma tulemusi ei avaldanud, kuid kirjutas neist tuntud matemaatikutele. Olulisi tulemusi saavutas arvuteoorias (Fermat’ teoreemid), geomeetrias (võttis kasutusele koordinaatide meetodi), matemaatilises analüüsis (jõudis lähedale diferentsiaal- ja integraalarvutusele). On üks tõenäosusteooria rajajaid. Fermat’ punkt - F • Kolmnurga ABC tippe selle külgedele joonestatud võrdkülgsete kolmnurkade (BKC, CLA, AMB) uute tippudega (vastavalt K, L ja M) ühendavate sirgete (KA, LB ja MC) lõikepunkt. Fermat’ punkt - F Fermat’ punkt - F • Sõltuvalt võrdkülgsete kolmnurkade joonestamise suunast leidub üldiselt (kui
Kõiki pendleid iseloomustab isokroonsus ehk võime võnkeamplituudi muutumisel võnkeperioodi säilitada. Matemaatiliseks pendliks nimetatakse venimatu ja massitu niidi otsa riputatud punktmassi. Viies punktmassi tasakaaluasendist välja, liigub see mööda ringjoonelist kaart, mille kõverusraadius on võrdne niidi pikkusega. Reaalselt ei saa matemaatilist pendlit ehitada, kuid ligilähedasena võime vaadelda niidi otsa riputatud suurt raskust. Matemaatilises pendlis põhjustav võnkumist raskusjõu ja niidi tõmbejõu vastastikmõju. Väikese võnkeampliduudi korral sõltub pendli periood niidi pikkusest ja vabalangemisekiirendusest: 𝑙 𝑇 = 2π 𝑔 , (1) kus l- pendli pikkus [1 m] ja g- raskusjõukiirendus [1 m/s2]. Katse käik:
Bordeaux' hertsogi, hilisemat krahvi. 1838. a. naases Cauchy Pariisi, ning hakkas taas tööle Teaduste Akadeemias. Ta töötas mingi aja ka Prantsuse Kollezis.(lahkus sealt üsna pea, sest ei tahtnud anda truudusvannet;see oli religiooni vastane) Üsna kiiresti sai ta tööd Pikkuste Büroos Andis mitteametlikult loenguid Sorbonne'is. Cauchy suurimad saavutused · Cauchyle kompleksmuutuja funktsioonide teooria · Rangus matemaatilises analüüsis · elastsusteooria ja valguse dispersiooniteooria matemaatilise käsitluse loomine · Alates 29. detsembrist 1831 oli Cauchy Peterburi Teaduste Akadeemia välismaine auliige. · Pikk traktaat valguse dispersioonist. Cauchy teosed ja ka tööd/kirjutised, mis jäid välja ilmumata ,,Memuaar imaginaarsete radadega määratud integraalidest" (Memoire sur les integrales definies,prises entre des limites imaginaires, 1825).
Lepmann, K.Velsker Matemaatika 10.klassile 2. Õppeaine ajaline maht: 5 kursust (175 tundi) 3. Õppeaine eesmärgid:õpilane 1) saab aru matemaatika keeles esitatud teabest; 2) tõlgendab erinevaid matemaatilise informatsiooni esituse viise; 3) kasutab matemaatikat igapäevaelus esinevates olukordades; 4) väärtustab matemaatikat, tunneb rõõmu matemaatikaga tegelemisest; 5) arendab oma intuitsiooni, arutleb loogiliselt ja loovalt; 6) kasutab matemaatilises tegevuses erinevaid teabeallikaid; 7) kasutab arvutiprogramme matemaatika õppimisel. Õppeaine sisu: Käsitlevad teemad Käsitlevad Õpitulemused Lõiming tesite Läbivate alateemad ainevaldkonda teemade dega käsitlus
saj.) KONSPEKT 10.märts. Maailmapilt: o Humanismi ammendus pettumine o loodus- ja täpisteadus o 1543 Kopernik avastas, et maa keerleb ümber päikese. o Reformatsioon o ,,Looduse raamat" Platon loodusfilosoofia (poeesia) o G. Bruno maksis oma tõekspidamiste eest tuleriidal o Campanella solaarid (teda ei toetanud G.Galilei ta arvas et loodusraamatud tuleb kirjutada matemaatilises keeles) o 16.saj. loodi Fausti kuju o Unkvisitsioon- G.Galileil käsiti kirikust lahti öelda o ,,muistsed" ja ,,moodsad" (kaasaeg vs. traditsioon) o Prantsuse Akadeemia kõige tähtsam koht prantsuse keele puhtuse säilitamiseks o Boileau antiik oli ideaaliks o Ch. Perrault ,,Punamütsike", ,,Sinihabe", ,,Saabastega kass" o Herodotes ajaloo isa 11.märts Klassitsismi filosoofilise idee võtab kokku prantsuse teadlasee Rene Rescartes'i tõdemus:
Võib olla suuda asja selgitada järgmine näide. Oletame, et kogu rahvas on sajandeid kummardanud valejumalaid ja lõpuks saab talle tema eksitus selgeks. Enne vajaliku ranguse sissetoomist oli matemaatiline analüüs nagu terve Pantheon täis valejumalaid . Nende vääramises sai Cauchy, Gaussi ja Abeli kõrval üheks suurtest pioneeridest. Gauss oleks võinud siin juhtiv olla ammu enne Cauchyd. Ta ei taotlenud aga seda ja nii aitasid just cauchy artiklid ja õppetegevus rangusel matemaatilises analüüsis võimule pääseda. Teine põhjapanev teene, millega cauchy matemaatikat rikastas, on kompleksmuutuja funktsioonide teooria rajamine, elastsusteooria ja valguse dispersiooniteooria matemaatilise käsitluse loomine. Lähtudes langrange'i töödest võrranditeooria alal, hakkas ta süstemaatiliselt arendama rühmateooriat. Vastupidiselt paljudele eelkäijatele, kes said innustust matemaatika praktilistest rakendustest,
ülikoolis õigusteadust, usuteadust, astronoomiat. 15011503 õppis Kopernik Padova ülikoolis meditsiini ja matemaatikat. Mikolay Koperniku teosed Kuueteistkümnenda sajandi alguseks oli Kopernikul välja kujunenud heliotsentrilised vaated. 1514 levitas ta oma sõprade hulgas väikest käsikirja "Commentariolus" ("Väikesed kommentaarid"). Selles esitas ta ideid kuidas loobuda senisest Ptolemaiose maailmasüsteemise. Ta pani Maa liikuma, Päikese seisma ning matemaatilises mudelis kasutas deferenti ja kahte epitsüklit. Sõbrad kiitsid idee heaks, seda loeti Roomas paavstile ja kardinalidele ning sealtki saabus positiivne tagasiside. 1514 avaldas Kopernik Bütsantsi kirjaniku Theophylaktos Simokatta poeetiliste kirjade kogu, mille oli tõlkinud kreeka keelest ladina keelde. Mikolay Kopernik Klõpsake juhtslaidi teksti laadide redigeerimiseks Teine tase Kolmas tase
Neid peeti vägevateks ja surematuteks kuid inimestega sarnasteks. Kunsti traditsioonid tekkisid 6. saj eKr. 1. arhailine e vanaaeg 600-480 eKr 2. klassikaline e õitseaeg 480-323 eKr 3. hiline e hellenistlik aeg 323eKr-30 pKr Arhitektuur Kõige rohkem ehitati templeid, mis olid ristküliku kujulise põhiplaaniga. Põhilised ehitusmaterjalid olid kivi ja marmor, mida kaunistati värvidega. Kivide sidumiseks kasutati mördi asemel klambreid. Kõik templi osad on vastastikku matemaatilises sõltuvuses ja põhjendatud. Kandvad ja kantavad osad on tasakaalus ja tekib harmooniline tervik. Hooned mõjuvad pidulikult ja suursuguselt. Arhitektuurile on omane kuldsekesktee otsimine- äärmuste ja liialduste vältimine Arhitektuuris levis kolm stiili e orderit: 1. dooria- vanim stiil; madalad ja jässakad sambad. Ehitised raskepärased , kuid kindlad. Lihtsus ja rangus; sammastel puudub baas ja kapiteel tagasihoidlik-
1.Dem on teadus rahvastikust objekt: uurimisobjektiks on rahvastik 2.Dem haruteadused: 1.ajalooline demograafia, 2.rahvastiku statistika, 3.teoreetiline demograafia 3.Maltluse rahvastikuteooria: M uuris 18saj Inglismaad, kus rahva arv kahekordistus iga 25 aasta tagant st harvas geomeetrilises progressioonis. Põllumajandustoodang aga kasvas matemaatilises progressioonis. Tagajärjeks kartis ülerahvastiku nälga. Kui inimesed ei suuda seda protsessi ise reguleerida siis hakkavad seda tegema sõjad ja epideemiad. Ise soovitas jääda üksikuks või abielluda hiljem. Ta hindas õigesti rahvastiku kasvutempot kuid ei osanud ette näha tehnoloogia arengut ja seda et rasestumisvastased vahendid muutuvad kättesaadavaks juba 1880-aastatel. 4.Dem ülemineku e siirdeteooria: 1.Traditsooniline põlvkondade vahetamine-kõrge
("Väikesed kommentaarid"). Selles esitas ta ideid kuidas loobuda senisest Ptolemaiose maailmasüsteemist . Ta pani Maa liikuma, Päikese seisma ning matemaatilises mudelis kasutas deferenti ja kahte epitsüklit . Sõbrad kiitsid idee heaks, seda loeti Roomas
"Tõrksa taltsutus", "Suveöö unenägu", "Veneetsia kaupmees" jne Mikolaj Kopernik- heliotsentriline maailmamudel, Juba 16. sajandi alguseks olid Kopernikul välja kujunenud heliotsentrilised vaated. 1514 . aastal levitas ta oma sõprade hulgas väikest käsikirja Commentariolus ("Väikesed kommentaarid"). Selles esitas ta ideid kuidas loobuda senisest Ptolemaiose maailmasüsteemist. Ta pani Maa liikuma, Päikese seisma ning matemaatilises mudelis kasutas deferenti ja kahte epitsüklit. Sõbrad kiitsid idee heaks, seda loeti Roomas paavstile ja kardinalidele ning sealtki saabus positiivne tagasiside. Albrecht Dürer- saksa maalikunstnik ja graafik, renessansskunsti suurmeister. Albrecht Dürer on loonud õlimaale, joonistusi ja akvarelle. Tema loomingu tähtsaimaks osaks on graafika. Ta viljeles puu- ja vaselõiget(näiteks vaselõige "Melanhoolia"). Tuntud on tema portreed (sealhulgas autoportreed)
Platonil oli suur mõju kogu filosoofia ajaloo jooksul. Alfred North Whitehead (1861 1947) on öelnud, et Lääne filosoofia on vaid hulk ääremärkusi Platoni filosoofiale. Platoni põhiteos on ,,Riik". Oma õpetuses rebis Platon ideed lahti meeleliselt tajutavatest asjadest. Reaalseks pidas ta ideede -- EIDOSte (eidos on tõlkes väliskuju) -- maailma. (Tänapäeval vastavad eidostele matemaatiliselt formuleeritud füüsikaseadused matemaatilises loodusteaduses. Galileo Galilei seadis teadlikult eesmärgiks eksperimentaalselt tõestada platonismi. Selleks oli ta sunnitud teadlikult kõrvale heitma asjade KVALITEEDI, mida Aristoteles rõhutas.) Asjade maailma tunnistas Platon ainult niivõrd, kuivõrd see olevat ideede maailma jäljendiks. Ta kirjutas: ,,... petlik on nägemine, petlik on kuulmine ja teised tunded...". Ideed on olemas voorusest, headusest, aususest jne, kuid kõrgeim on idee ilust
Sõdur vihastus ning tappis ta oma mõõgaga. Plutarch pakub välja ka vähemtuntud versiooni, kus Archimedes tapeti allaandmiskatsel, kuna temaga kaasas olnud matemaatilised instrumendid tundusid sõdurile väärtuslike esemetena. Väidetavalt ärritas Marcellust Archimedese surm, kuna ta pidas teadlast väärtuslikuks ja kindral oli eelnevalt andnud käsu teda mitte vigastada. Archimedese viimased sõnad olevat olnud ,,Ära häiri mu ringe!", viide ringidele tema matemaatilises joonistuses, mida ta väidetavalt uuris, kui Rooma sõdur teda segas. See tsitaat on antud ka ladina keeles kui ,,Noli turbare circulos meos", kuid puuduvad kindlad tõendid sellest, et Archimedes ka päriselt neid sõnu öelnud oleks. Archimedese hauakambris on skulptuur, mis illustreerib tema lemmikut matemaatilist tõestust, koosnedes sama kõrguse ja diameetriga kerast ja silindrist. Ta tõestas, et kera ruumala ja pindala on kaks kolmandikku silindrist (k.a. põhjad)
Liikumise põhimõisted · Oluline nii ruumiline kui ajaline asukoht · Asukoha muutuse kirjeldamiseks võetakse kasutusele kiiruse mõiste- asukoha muutus ajas. · Kiirus on teepikkuse muutus ajaühikus · Asukohta mõõdetakse Sis meetrites. Aega sekundites. Liikumise teooria · Kirjeldamaks mistahes liikumisi suvalisel trajektoril arendati Leibnizi ja Newtoni poolt diferentsiaal- integraalaarvutus. Erinevad kiirused · Hetkkiirus, matemaatilises mõttes ülilühikese ajavahemiku kiirus · Keskmine kiirus · Maksimaalne-minimaalne kiirus jne · Igaüks tähistab erinevat asja, järelikult ülesannete lahendamisel tasub mõelda millest jutt käib. Võimsus on ajaühikus tehtud töö Ülesanne 1.Jalgrattur sõitis punktist A punkti B kiirusega 40 km h ja tagasi kiirusega 20 km h . Leida keskmine kiirus. (lahendus on vihikus). 2. Turist sõitis jalgrattaga ühest linnast teise.Pool teed läbis ta kiirusega 14 km h
registreerida süsteemi sees Tycho Brahe (1546-1601) - 14-aastaselt koges ta päikesevarjutust ja 1574. aastal nägi supernoovat. suurendas ta astronoomiliste nurkade mõõtmise täpsust 10 korda: 10 nurgaminutilt 1 nurgaminutile. Brahe tunnistas semiheliotsentrilist maailma – Maa on keskel, Päike liigub selle ümber ja planeedid omakorda ümber Päikese. Johannes Kepler (1571-1630)- „kärnane koer“. Veendunud, et Jumala tahe väljendub matemaatilises ilus. Esialgu pani ta lootuse viiele täiuslikule geomeetrilisele kujundile: tetraeeder, kuup, oktaeeder, dodekaeeder ja ikosaeeder. Kepleri teine seadus: Kui planeet on Päikesele lähemal, on tema kiirus suurem, kui kaugemal, siis väiksem. Sest planeedi mass ei muutu, aga tema kiiruse ja ringjoone raadiuse korrutis ei tohi muutuda. Epitsüklid-puhas geomeetria ja planeetide liikumise taga peab olema füüsikaline põhjus. Päikesel
andmetesse. See on eriti oluline otsuste tugisüsteemide ja prognoosimissüsteemide puhul. Närvivõrkudel ei ole selget arusaama nendes olevatest teadmistest, selle asemel on need kujutatud mustritena, mis omakorda mõjutavad võrgu komponente. Kõige tuntum tehisnärvivõrgust on pärilevivõrk, milles kõik ühendused sõlmede vahel liiguvad sisenditest väljundite suunas. Tehisnärvivõrkude üks eelistest on see, et ei ole vajadust suuri ja keerulisi protsesse kirjeldada konkreetses matemaatilises formaadis, sest närvivõrku saab võrrelda universaalse musta kastiga, mis leiab peaaegu iga süsteemi jaoks ligikaudse lahenduse. Tehisnärvivõrkude üks erilisemaid omadusi on, võrreldes teiste arvutuslike arhitektuuridega, selle õppimisvõime. Kui närvivõrgule on määratud kindel ülesanne, funktsioonide hulk, mida ta rakendab ja vaatluste hulk oodatud tulemustest, siis suudab närvivõrk leida kaalud, mille puhul on võimalik teha ennustusi mingi veaga.
kirjeldada TURINGI MASIN 1935-1937: artikkel Turingi masinast: universaalsus, mittelahenduvus Lihtne abstraktne arvuti, mida kasutatakse arvutatavuse ja selle piiride uurimiseks. Kuna masina seisundite ja lindil olevate tähiste arv on lõplik, siis on ka tabel lõpliku suurusega ja seda saab hoida lindil. LAMBDA ARVUTUS 1936: Churchi tees universaalsus, mittelahenduvus Lambda-arvutus (-arvutus) on formaalne arvutuste esitusviis. Seda kasutatakse matemaatilises loogikas ja funktsionaalprogrammeerimises. CLAUDE SHANNON Oli ameerika matemaatik, elektroonik ja kodeerija, keda tuntakse kui informatsiooniteooria isa. MIT, 1938, Shannon'i magistritöö sidus: Boole algebra , Elektrilülitid ja -skeemid, Bitid ja info kodeerimine, Info otsimise algoritmid, tema töö näitas, et elektroonikaseadmed suudavad kahendmuutujate abiga sooritada mistahes loogika- või arvulise tehte. ZUSE ARVUTID KONRAD ZUSE Programmeeritavate arvutite pioneer saksamaalt
MATEMAATILINE ANALÜÜS I. KORDAMISKÜSIMUSED 1. Muutuvad suurused (tähistus, jaotus). Matemaatilises analüüsis tähistatakse muutujad väikeste tähtedega (x, y, a jne). Näiteid muutujate vahelistest suhetest: „Patsiendi vererõhk sõltub ravimite manustamise hulgast“, „Ringi pindala sõltub raadiusest“ Jaotus: a) Konstantsed suurused – ei muutu, omavad alati ühte ja sama väärtust N: ühtlane liikumine – kiirus on konstantne, teepikkus on muutuv suurus) b) Muutuvad suurused N: mitteühtlane liikumine – nii kiirus kui teepikkus muuutvad 2
Funktsiooni asemel räägitakse abstraktsemate hulkade korral ka operaatorist või kujutusest. Kujutust : nimetatakse hulga teisenduseks. Funktsiooni mõiste hulgateoreetiline käsitlus samastab funktsiooni tema graafikuga, nagu me oleme seda reaalarvuliste funktsioonide korral harjunud mõistma, kus funktsiooni graafik on tasandi punktide ehk reaalarvupaaride hulk: ={(,) | =()}={(,()) | }×. Funktsiooni määramispiirkond matemaatilises analüüsis vastabki hulgale meie definitsioonis. Muutumispiirkond ehk funktsiooni väärtuste piirkond () on aga sihthulga mingi osahulk. Elemendi kujutis ja hulga kujutis Olgu antud funktsioon . Kui , ja =(), siis elementi nimetatakse elemendi kujutiseks (funktsiooniga ). Igal määramispiirkonna elemendil on parajasti üks kujutis. Näiteid elemendi kujutistest: 1) Vaatleme funktsiooni () = 2, : . Siis arvu 0 kujutis on 0, sest (0) = 0. Arvude
1.Mis on mõõtmine ? Mõõtmise võrrand. Mõõtmine on mingi füüsikalise suuruse võrdlemine sama liiki suurusega, mis on võetud mõõtühikuks. X = A*M X tundmatu füüsikaline suurus, M mõõtühik, A mõõtarv. 2.Mida nim otseseks, mida kaudseks mõõtmiseks? Otsene mõõtmine on see, kui saab mõõteriistaga kohe soovitud tulemuse mõõta. Kaudseks mõõtmiseks nimetatakse mingi suuruse väärtuse hindamist teiste, temaga matemaatilises sõltuvuses olevate suuruste abil. Need teised suurused võivad olla kas otseselt mõõdetavad, kirjandusest (tabelitest või nomogrammidelt) leitavad või arvuti (kalkulaatori) programmvarustusega kaasaskäivad. Otsitava suuruse leidmiseks peame kasutama valemeid, et soovitud tulemus lõpuks kätte saada. Kaudseteks tulemusteks on nt tihedus, eritakistus ja -soojus. 3.Mis on mõõtmisviga? Kuidas klassifitseeritakse neid?
Mehaanikas uuris ta elastsete kehade põrget, tsentripetaaljõudu ning pendli võnkumist. Huygensit loetakse Saturni rõngaste (täpsemalt A- ja B-rõnga) avastajaks, sest rõngaid varem vaadelnud Galileo Galilei ei mõistnud, mida ta näeb. Huygens oli esimene, kes nägi tõenäosusteooriat tõsise matemaatikavaldkonnana. Blaise Pascali innustusel pani ta oma tulemused kirja teoses "Arvutusest hasartmängudes" (1657). Huygensil on teeneid ka matemaatilises analüüsis. Avastas maakera lameduse pooluste kohtades, soovist oma kellu täiustada. Otsis alternatiivi ankrusüsteemile ja leidis, et ankrut võiks asendada spiraalvedru abil. Batenteeris taskukella idee. Otto von Guerice (20.november 1602, Magdeburg - 11.november 1686) Oli saksa teadlane, leiutaja ja poliitik.Uuris vaakumit füüsika ühes teadusharus. Leiutas kompressori, et saavutada vaakumit. Tõestas ära katseliselt vaakumi olemuse. Leiutas esimese elektrostaatilise generaatori.
Informatsiooni mõiste sisu hakkas 20.sajandi keskpaigast alates avarduma. Tõuke selleks andis teaduse ja tehnika areng. Varasema perioodil olid esikohal üksikuurijad ning kogu teadustöö problemaatika oli seotud tihedalt inimese ja tema käitumisega(intelluktaalse uudishimuga)Tehnika poolelt sai määravaks infotöötluse vahendite ehk arvutite kasutuselevõtt 20 sajandi II poolel. Teaduse poolelt mõjutasid eelkõige 19461948 ilmunud tööd küberneetikas ja matemaatilises infoteoorias. See oli periood, mil hakati rääkima informatsioonist kui teadusliku uurimise objektist. 2. Milline võiks olla parim infoteaduse praktilist/rakenduslikku olemust avav definitsioon? INFOTEADUS Infoteadus on noor teadus, mis uurib informatsiooni iseloomulikke tunnuseid ja infovahenduse protsessi põhiolemust.; infoteadus tegeleb informatsiooni kogumise, talletamise ja otsingu probleemidega. 3. Mis on infoteadused? Too näiteid.
f1(x) f1(x1) f1(x2) ... f1(xn) f2(x) f2(y1) f2(y2) ... f2(ym) Kovariatsioon cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)] cov( X , Y ) Korrelatsioonikordaja = -1 1 DX DY Statistika teooria III 1. Matemaatilise statistika põhiülesanne. Lihtne juhuvalik. Matemaatilise statistika põhiülesanne on üldkogumi parameetrite hindamine valimi põhjal. Klassikalises matemaatilises statistikas loetakse üldkogum reeglina lõpmatuks ja üldkogumi elementidel mõõdetud tunnust käsitletakse juhusliku suurusena. Lihtne juhuvalik: · Valimi iga element võetakse samast üldkogumist. · Üldkogumi igal elemendil on võrdne võimalus sattuda valimisse. · Elemendi valimisse sattumine on sõltumatu mistahes teise elemendi valimisse sattumisest/mittesattumisest. 2. Valimkeskmine kui üldkogumi keskmise punkthinnang. Valimkeskmise kui juhusliku suuruse jaotus.
1.3 Muutujad ja Parameetrid- Muutujad (ajast sõltuvad liikmed) kirjeldavad süsteemis toimuvaid dünaamilisi protsesse ja on üldiselt mõõdetadav. Orienteeritud süsteemis, kus on valdavalt tegemist informatsiooniliste protessidega, nimetatakse muutujaid tihti ka signaalideks. Parameetrid- Süsteemi või tema elementide iseloomustussuurused, mis esinevad enamasti dimensiooniga kordajatena süsteemi või mõnda elementi iseloomustavais võrrandeis (matemaatilises mudelis). Parameetri muutumisel muutuvad ka võrrandite lahendid ja sellest tulenevalt süsteemi omadused. Süsteemi parameetrid moodustuvad elementide parameetritest keerukal ja individualiseeritud viisil, seepärast on süsteemi hindamine ainuüksi elementide omaduste põhjal praktiliselt võimatu (suur on ühendusstruktuuri roll). Võib öelda, et parameetrid on süsteemi individuaalsuse kandjad. 1.4Sisend-, oleku- ja väljundmuutujad. 1)SISENDmuutujad- Ui(t), mis kajastavad välist toimet
täismuut.z=f(x+x;y+y)-t(x,y) dz=Zxdx+Zydy. Kuna argumentide x ja y piisavalt väikesteks muutusteks võib lugeda nende muutust ühiku võrra,siis seosest zdz järeldub, et majanduslikult annab täisdif vastava fn-i z=f(x,y)ligikaudse muudu argumendi x ja y väärtuste ühe ühikulise muutuse korralMajanduslikus mõttes annab diferentsiaal vastava fn-i Y=f(X)ligikaudse muudu argumendi x väärtuse ühe ühikulise muutuse korral..Matemaatilises mõttes on optimeerimine-maksimeerimine või minimeerimine ja ekstreemum on maksimum või miinimum.Selleks et leida f-i min või max peab y olema pidevalt diferentseeruv.Globaalsed ekstreemumid-Fn-i f(x) globaalseks max/min piirkonnas x nim tema suurimat/vähemat väärtust selles pk x.Seega kui fnil f(x) on lõigus xX=(a,b) suurim väärtus M punktis p ja vähim väärtus m punktis q,siis võime selle kirja panna kujul M=f(p)=maxf(x) m=f(q)=min f(x)
Selles veendumiseks liida arvud a + ib ja -(a + ib). Üldiselt Märkus: Selleks, et kirjutisi lühendada, võib tähistada kompleksarvu a + ib mõne Kui c > 0, siis - c = c ( -1) = c -1 = c i. tähega. Matemaatilises kirjanduses kasutatakse sel puhul sageli tähte z. Seega z = a + ib. Arvu z kaaskompleksarvu märkimiseks kasutatakse sümbo-lit z . Kirjutis Arve kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik, nimeta- takse z + z = 2a tähendab seda, et kompleksarvu ja selle kaaskompleksarvu summa on
Keele funktsioonid - vastastikune sõltuvus ehk interdependents (elementide vahel on kommunikatiivne seos, nt lauses alus ja öeldis. Poiss läheb. Mõlemad on ainsuses, muudame ühe mitmuseks, peame muutma ka teise.) - ühepoolne sõltuvus ehk determinatsioon (nt seos mis seob nimisõna omadussõnaga. Väike poiss. Siin sõna väike ainsus on põhjustatud nimisõna ainsusest. Mitte vastupidi.) - sõltumatus ehk konstellatsioon Kõige laiem on "keel" matemaatilises tähenduses- 2. Arusaama kitsam (chomsky)- "keel koosneb ahelatest, mis on moodustatud kindlate reeglite järgi- puhas süntaktika" ja laiemas mõttes on see reeglitevaba, ainuke reegel on, et elementidest moodustame jadasid, kõikvõimalikud jadad moodustavad keele Naturaalarvud vs täisarvud kumba rohkem? Need hulgad on sama võimsad Turingi masing ütluste pikkus pole limiteeritud, mälu on lõpmatu. Turingi sõnul võime selle abil fikseerida kõiki ütlusi, kadreerida igasugust
sin x
kui x < . Tulemus ütleb, et funktsiooni piirväärtus kohal x=0 on 1 s.o.
x
sin x
lin =1
x 0 x
sin x
Funktsiooni väärtuste saab võtta vastavast tabelist.
x
10. Arv e. Naturaallogaritmid
Matemaatilises analüüsis pakuvad erilist huvi logaritmid, mille aluseks on arv e, s.o. logaritmid
lodex. Logaritme alusel e nimetatakse loomulikeks logaritmideks ehk naturaallogaritmideks ja
märgitakse sümboliga lnx. Vaatleme, kuidas on loomulikud logaritmid seotud logaritmidega
suvalisel alusel a, kus a>1 või a>1 või 0
( reeglid 1A ) ja nende deskriptiivsete kirjelduste ( reeglid 2 A) ning ametliku keelehoolde normide vahel. Viimased on loomulikest normidest erinevalt kunstilikud. 8. Generatiivne grammatika Generatiivne grammatika on täpne üldteooria sellest, kuidas keelte grammatikaid 2 on võimalik formaliseerida ( vormidesse suruda), eriti süntaksi kohalt. Generatiivse grammatika põhiline idee seisneb sellise grammatika 2 koostamises, mis genereeriks ehk matemaatilises tähenduses produtseeriks kõik keele grammatilised laused, kuid mitte ühtki agrammatilist lauset. Selle lähenemisviisi mõjukaim esindaja on Noam Chomsky, tema teos Aspects on kõige tsiteeritum. Generatiivse grammatika teooria on oluliselt mõjutanud formaalse keeleteaduse arengut. See teooria on mitmes mõttes muutunud, tal on palju järglasi. 9. Onomatopoeetiline sõna. Onomatopoeetiline sõna ehk deskriptiivsõna on hääli matkiv sõna, milles sümboli
Sellisel kujul osutus mudel hiljem ebatäpseks. Sotsiaalfüüsikud. Peale II ms hakkasid sõbrad astronoom John O. Stewart ja geograaf William Warntz tegelema linnaplaneerimiseg. Selleks oli vaja linnadevahelise sõitude suuna ja mahu kohta vaja mingit reeglit. Migratsiooni gravitatsioonivalem - saranane Newtoni gravitatsioonivlemiga; võimaldas arvutada erinavaid liikumise suundi ja mahte. Paistis, et gravitatsioonivalem kirjeldab lihtsas ja selges matemaatilises vormis kaht nähtust lahutava ruumi mõju nende nähtuste vahelisele suhtlemisele. See mõju, mida natuke rutakalt hakati kutsuma vahemaa summutavaks toimeks muutus aga kiiresti üheks uutmoodi geograafia põhiteemaks. Chicago faktorökoloogia koolkond - Chicago ülikooli sotsioloogid 1920-tel. 1. Kasutusele võetud arvutite abiga tegid faktoranalüüsi. 2. Avastasid, et linnasotsioloogilistele nähtustele on omane kindel ruumiline korraldus. Torsten Hagerstrand (1916-?)
) (Additional fit indices – RMSEA võiks olla väiksem kui 0,08; TLI võiks olla suurem kui 0,9/0,95) (Path diagrammi joonisel alati mõõdetud tunnused kastides ja latentsed tunnused ringikestes) Peakomponentide analüüs PCA Peakomponentide analüüsi eesmärk on välja selgitada väiksem hulk komponente, mis vastutavad esialgsete muutujate varieeruvuse eest. Faktoranalüüs ja peakomponentide analüüs on matemaatilises mõttes erinevad. Faktoranalüüsi käigus eeldatakse, et mõõdetud muutujate varieeruvuse eest vastutavad tekkivad ühisfaktorid ja unikaalsed faktorid. Peakomponentide analüüsi käigus tekitatakse uued muutujad lihtsalt kui lineaarkombinatsioonid mõõdetud muutujatest Kinnitav faktoranalüüs (JASPis) Saab kontrollida tunnuste kuuluvust faktorisse (eelnevate analüüside alusel) Vaja teha valikud:
Tuleb vahet teha loomulike normide ( reeglid 1A ) ja nende deskriptiivsete kirjelduste ( reeglid 2 A) ning ametliku keelehoolde normide vahel. Viimased on loomulikest normidest erinevalt kunstilikud. 8. Generatiivne grammatika Generatiivne grammatika on täpne üldteooria sellest, kuidas keelte grammatikaid 2 on võimalik formaliseerida, eriti süntaksi seisukohalt. Gen grammatika põhiline idee seisneb sellise grammatika 2 koostamises, mis genereeriks ehk matemaatilises tähenduses produtseeriks (lubaks) keele kõik grammatilised laused, kuid mitte ühtki mittegrammatilist lauset. Selle lähenemisviisi mõjukaim esindaja on Noam Chomsky, tema teos Aspects on kõige tsiteeritum. Generatiivse grammatika teooria on oluliselt mõjutanud formaalse keeleteaduse arengut. See teooria on mitmes mõttes muutunud, tal on palju järglasi. 9. Onomatopoeetiline sõna Onomatopoeetilised sõnad ehk deskriptiivsõnad mitmesuguseid hääli matkivad sõnad nt
Tuleb vahet teha loomulike normide ( reeglid 1A ) ja nende deskriptiivsete kirjelduste ( reeglid 2 A) ning ametliku keelehoolde normide vahel. Viimased on loomulikest normidest erinevalt kunstilikud. 8. Generatiivne grammatika Generatiivne grammatika on täpne üldteooria sellest, kuidas keelte grammatikaid 2 on võimalik formaliseerida, eriti süntaksi seisukohalt. Gen grammatika põhiline idee seisneb sellise grammatika 2 koostamises, mis genereeriks ehk matemaatilises tähenduses produtseeriks (lubaks) keele kõik grammatilised laused, kuid mitte ühtki mittegrammatilist lauset. Selle lähenemisviisi mõjukaim esindaja on Noam Chomsky, tema teos Aspects on kõige tsiteeritum. Generatiivse grammatika teooria on oluliselt mõjutanud formaalse keeleteaduse arengut. See teooria on mitmes mõttes muutunud, tal on palju järglasi. 9. Onomatopoeetiline sõna Onomatopoeetilised sõnad ehk deskriptiivsõnad mitmesuguseid hääli matkivad sõnad nt
mõistuspärane mõtlemine on nö. puhas mõtlemine, st. mõtlemine, mis toetub üksnes iseendale, ning millesse ei ole segatud midagi meelelist. Arupärase mõtlemise näitena käsitleb Platon 6 Andrus Tool/Sissejuhatus filosoofia ajalukku/FLFI.01.053. matemaatikat, eelkõige geomeetriat. Geomeetria toetumine meelelisele kogemusele ilmneb selles, et geomeetrilisi figuure saab joonisel kujutada ja matemaatilises arutluses kasutatakse väga tihti sellist abivahendit. Platon osutab aga sellele, et geomeetria väited kehtivad sel juhul mitte jooniste, vaid geomeetriliste kujundite kohta. Viimaste kohta ütleme me tänapäeval, et need on “idealiseeritud objektid”. See tähendab, et nad kujutavad endast selliseid objekte, millel on niisugused omadused, mida meeltega tajutavatel objektidel olla ei saa. Näiteks jooned ja punktid, mis ei oma läbimõõtu, absoluutselt sirged jooned jne
Tuleb vahet teha loomulike normide ( reeglid 1A ) ja nende deskriptiivsete kirjelduste ( reeglid 2 A) ning ametliku keelehoolde normide vahel. Viimased on loomulikest normidest erinevalt kunstilikud. 8. Generatiivne grammatika Generatiivne grammatika on täpne üldteooria sellest, kuidas keelte grammatikaid 2 on võimalik formaliseerida, eriti süntaksi seisukohalt. Gen grammatika põhiline idee seisneb sellise grammatika 2 koostamises, mis genereeriks ehk matemaatilises tähenduses produtseeriks (lubaks) keele kõik grammatilised laused, kuid mitte ühtki mittegrammatilist lauset. Selle lähenemisviisi mõjukaim esindaja on Noam Chomsky, tema teos Aspects on kõige tsiteeritum. Generatiivse grammatika teooria on oluliselt mõjutanud formaalse keeleteaduse arengut. See teooria on mitmes mõttes muutunud, tal on palju järglasi. 9. Onomatopoeetiline sõna Onomatopoeetilised sõnad ehk deskriptiivsõnad mitmesuguseid hääli matkivad sõnad nt
Tegemist võib olla: kasvava ehk võrdelise seosega, s.t. ühe muutuva suuruse kasvades kasvab ka teise suuruse väärtus; konstantse seosega - kui sõltuva tunnuse väärtus ei muutu sõltumatu tunnuse väärtuse muutumisel; kahaneva ehk pöördvõrdelise seosega, s.t. kui sõltuv tunnus reageerib kahanemisega sõltumatu tunnuse väärtuse kasvule. 42. Korrelatsiooniseosed, nende iseloom ja vormid Korrelatiivsete seoste uurimiseks on matemaatilises statistikas välja töötatud korrelatsiooniteooria. Korrelatsiooniteooria käsitleb korrelatsioonanalüüsi ja sellega vahetult seotud regressioonanalüüsi meetodeid. Eristatakse korrelatiivseid seoseid kahe nähtuse vahel ehk paariskorrelatsiooni ning korrelatiivseid seoseid mitme nähtuse vahel ehk mitmest korrelatsiooni. Mitmese korrelatsiooni puhul on võimalik hinnata resultaatnähtuse seost iga faktornähtusega eraldi ja ka koos. Vastavalt sellele
Extraction Method: Maximum Likelihood. Rotation Method: Oblimin with Kaiser Normalization. a. Rotation converged in 4 iterations. Peakomponentide analüüs Peakomponentide analüüsi eesmärk on välja selgitada väiksem hulk komponente, mis vastutavad esialgsete muutujate varieeruvuse eest. Faktoranalüüs ja peakomponentide analüüs on matemaatilises mõttes erinevad. Faktoranalüüsi käigus eeldatakse, et mõõdetud muutujate varieeruvuse eest vastutavad tekkivad ühisfaktorid ja unikaalsed faktorid. Peakomponentide analüüsi käigus tekitatakse uued muutujad lihtsalt kui lineaarkombinatsioonid mõõdetud muutujatest (vaadake loengu konspektist jooniseid). Faktoranalüüsi on mõistlik kasutada, kui uurija on huvitatud faktoritest, mis
1. analüütiline esitus valemi(te) abil, 2. numbriline esitus tabeli abil, 3. geomeetriline esitus graafiku abil. Märkus. Kui funktsiooni y = f(x) korral on antud vaid teda määrav eeskiri,mää- ramispiirkond X pole aga fikseeritud, siis loetakse määramispiirkonnaks nende argumendi väärtuste x hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri omab mõtet (nn loomulik määramispiirkond). Näiteks on funktsiooni y = x -4 määramispiirkond X = [4,). Elementaarfunktsioonid. Matemaatilises analüüsis enim uuritud ja kõige sagedamini esinevad funktsioonid on elementaarfunktsioonid. Põhilisteks elementaarfunktsioonideks nimetatakse järgmisi funktsioone: 1) konstantne funktsioon y = c; 2) astmefunktsioon y = x ; 3) eksponentfunktsioon y = ax (a > 0); 4) logaritmfunktsioon y = log a x (a > 0, a 1 ); 5) trigonomeetrilised funktsioonid y =sin x, y =cos x, y = tan x, y = cot x; 6) arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x.
48. Mis iseloomustab projektsioone? a. Tasapinnaline koordinaat on matemaatiline funktsioon geograafilisest koordinaadist b. Funktsionaalsete seoste arv on määramatu suurus c. Tasapind on alati moonutustega d. Tasapinna mõõtkava ei saa olla katkematu. 49. Millised on olulisemad moonutused kartograafias? a. Jooned, pinnad, nurgad moonutaud b. Moonutuste liigid kindlas matemaatilises seoses c. Moonutuste suurus erinevas kaardiosas erinev d. Moonutused on väljendatavad arvulises suuruses, millest olulisem erimõõtkava 50. Kuidas esitatakse projektsioonimoonutusi? a. Moondeellips ehk moonutusellips b. Isokoolid c. Tabelid d. Graafikud 51. Mida näitab projektsiooni omadus, milliseid projektisooni omadusi esineb? a. Projektsiooni omadus näitab moonutuste iseloomu. b
näitame et
sin x
lim = 1 **
x 0 + x
Kuna nüüd on vaadeldavaks protsessiks nullile lähenemine paremalt, siis võime piirduda vaatlusel
määramispiirkonna alamhulgaga 0; . Illustreerimie olukorda järgmisel joonisel:
4
Vaatleme ringi raadiusega 1. Ringi kaarel on fikseeritud punkt P nii, et nurk
Kõik süsteemi muutujad on esitatavad reaalarvuliste hetkväärtustega aja funktsioonidena. Mistahes muutuja hetkväärtused võivad sõltuda teiste muutujate samadele või varasematele ajamomentidele vastavatest hetkväärtustest, kuid mitte tulevaste ajamomentide hetkväärtustest. Süsteemi (või selle elementide) parameetrid on süsteemi või tema elementide iseloomustus-suurused, mis esinevad enamasti dimensiooniga kordajatena süsteemi või mõnda elementi iseloomustavais võrrandeis (matemaatilises mudelis). Parameetrid võivad olla konstandid, sõltuda ajast või mudeli muutujatest. Parameetri muutumisel muutuvad ka võrrandite lahendid ja sellest tulenevalt süsteemi omadused. Süsteemi parameetrid moodustuvad elementide parameetritest keerukal ja individualiseeritud viisil, seepärast on süsteemi hindamine ainuüksi elementide omaduste põhjal praktiliselt võimatu (suur on ühendusstruktuuri roll). Parameetrid on süsteemi individuaalsuse kandjad.
ressursside optimaalseks jaotamiseks, pikemaajaliste mitmeperioodiliste investeeringute kohta, eelarvestamisel, investeerimis- ja laenuportfellide koostamisel ja turgude prognoosimisel. Kõrvuti planeerimisülesannete lahendamise meetodite väljatöötamisega on matemaatilise planeerimise uurimisobjektiks ka selliste võtete ja meetodite leidmine, mis võimaldavad majandusprobleeme formuleerida edasiseks uurimiseks sobival kujul. Matemaatilises planeerimises eeldatakse, et planeerimisega saavutada soovitav eesmärk on juba fikseeritud, nii et probleemiks jääb üksnes seda eesmärki parimal viisil realiseeriva plaani leidmise ülesande püstitamine ja lahendamine. 4.2. Lineaarne, mittelineaarne, dünaamiline ja stohhastiline planeerimine 1. Lineaarne planeerimine kui matemaatiline meetod võimaldab efektiivsemalt kasutada organisatsiooni ressursse, seadmeid, raha, aega. Aitab planeerida ja vastu võtta juhtimisotsuseid
Sabatöö meelevaldsus koertel, kassidel ja hobustel. Lihasööjad putukad, kus isane pakub emasele enne paaritumist tühja õhupalli lootuses ise terveks jääda. Ikoonilised märgid võivad olla ainult terminid, indeksaalsed märgid (indeksid) võivad olla terminid ja laused, sümbolid võivad olla kõik kolm. ,,Foundation of the Theory of Signs" , ,,Signs, Language and Behaviour". Bertrand Russell- oli inglise matemaatik, filosoof ja loogik Matemaatilises loogikas sõnastas Russell Russelli paradoksi, mis tõi ilmsiks naiivse hulgateooria vastuolulisuse: Hulk võib olla ükskõik misasjade hulk: kõikide hulkade hulk, mis sisaldab iseennast või hulgad mis ei sisalda iseennast. Charles Morris- Peirce'i üks tähtsamaid järglasi.Võttis kasutusele termini semioos ja pragmaatika kui ühena semiootika kolmest harust süntaktika ja semantika kõrval. Foundations of the Theory of Signs (1938).
tulemuseks nähtava rohekas-sinise valguse; või temperatuur ja molekulide kineetiline energia) Rules of correspondence, et kirjeldada mittevaadeldavaid nähtusi vaadeldavate abil (valguskiirte kirjel geom joonte abil)– meil peavad olema reeglid, et luua sidemeid- see on siiski kõigest terminoloogia Geom on joon lõpmatu ja absol sirge Interpretatsioon teooria selgitamiseks ei ole kunagi lõplik, alati saab lisada uusi viise mingi teoreetilise asja interpreteerimiseks. Matemaatilises süsteemis on see vastupidi. Kui rohkem vastavuses olevaid reegleid lisada ei saa, muutub teoreetiline tingimus osaks vaatlusest vms. Popper, seminar III OPTIMIST JA PESSIMIST Optimistlik vaatekoht, miks vale: Teaduslikud teooriad on kõigest vahendid. Teadmiste kinnitamine ja meie võime saada tõsikindlaid teadmisi. Tõele võib jõuda lähemale, kuid tõelist tõde ei ole võimalik püüda. Vale meetod – kinnitamine.
annaabi.ee 
