Huvitavad Punktid kolmnurgas (0)

Huvitavad punktid
kolmnurgas
 
 
Huvitavad punktid kolmnurgas
I seeria
• Külgede  keskristsirgete   lõikepunkt
• Nurgapoolitajate lõikepunkt
• Mediaanide lõikepunkt
• Kolmnurga kõrguste või nende 
pikenduste lõikepunkt
Neid huvitavaid punkte käsitletakse koolis
 
 
Kolmnurga külje keskristsirge
Keskristsirge 
(ehk  mediatriss)  – 
antud  küljega  selle 
keskpunktis 
ristuv 
sirge. Keskristsirge iga 
punkt 
on 
lõigu 
otspunktidest  võrdsel 
kaugusel. 
 
 
Külgede keskristsirgete 
lõikepunkt - R
 
 
Kolmnurga keskristsirgete lõikepunkt võib 
asetseda ka väljaspool kolmnurka või 
kolmnurga küljel.
 
 
Külgede keskristsirgete lõikepunkt on 
kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks.
 
 
Kolmnurga nurgapoolitaja
Nurgapoolitaja (ehk 
bisektor) – kiir, mis 
lähtub nurga tipust ja 
poolitab nurga, s.t. 
jaotab selle kaheks 
võrdseks nurgaks. 
Nurgapoolitaja iga 
punkt asetseb nurga 
haaradest võrdsel 
kagusel. 
 
 
Kolmnurga nurgapoolitajate 
lõikepunkt - N
 
 
Nurgapoolitajate lõikepunkt on kolmnurga 
siseringjoone keskpunktiks
 
 
Kolmnurga mediaan
Kolmnurga mediaan 
( ehk küljepoolitaja) – 
kolmnurga tippu 
vastaskülje 
keskpunktiga ühendav 
lõik, ka selle pikkus. 
 
 
Kolmnurga mediaanide 
lõikepunkt - M
 
 
Kolmnurga kõrgus
• Kolmnurga kõrgus  – 
kolmnurga mingist 
tipust selle tipu 
vastasküljele või tema 
pikendusele 
joonestatud ristlõik, ka 
selle lõigu pikkus. 
 
 
Kolmnurga kõrgus
• Kolmnurga kõrgus 
võib asetseda ka 
väljaspool kolmnurka. 
 
 
Kolmnurga kõrguste või nende 
pikenduste lõikepunkt ehk 
ortotsenter - K
 
 
Huvitavad punktid kolmnurgas
II seeria
• Gergonne’i punkt
•  Nagel ’i punkt
• Isoperimeetriline punkt
• Spieker’i punkt
•  Torricelli  punkt
•  Fermat ’ punkt
 
 
Gergonne’i punkt
Joseph Diaz Gergonne [žergon] 
(19.06.1771 – 04.05.1859) – prantsuse 
astronoom ja  matemaatik . Töötas 1795 – 1815 
Niemes’i tsentraalkooli ja aastast 1816 
Montpellier’i ülikooli professorina. 
Matemaatikas töid algebrast (lineaarvõrrandite 
teooria, kombinatoorika) ja geomeetriast 
(kolmnurga  geomeetria , 1827 andis joonte 
klassifikatsiooni).
 
 
Gergonne’i punkt - E
Kolmnurga siseringjoone ning külgede 
puutepunkte vastastippudega ühendavate 
sirgete lõikepunkt.
 
 
Nagel’i punkt
Christian August Nagel (17.05.1821 – 
23.10.1903) – saksa geodeet ja matemaatik. 
Matemaatilised tööd peamiselt geomeetrias 
(kolmnurga Nageli punkti defineeris 1836).
 
 
Nagel’i punkt
Kolmnurga KLM külgringjoonte ning 
külgede puutepunkte vastastippudega 
ühendavate sirgete lõikepunkt - G.
 
 
Isoperimeetriline punkt - J
• Kolmnurga ABC selline sisepunkt J, mille 
korral tekkivate  kolmnurkade  ABJ, BCJ ja 
CAJ ümbermõõdud tulevad võrdsed. 
 
 
Spieker’i punkt
Theodor Spieker [spi:ker] (08.08.1823 – 
09.04.1013) – saksa matemaatik. Töötas 
gümnaasiumiõpetajana. Kirjutas 1862 
geomeetriaõpiku, mida Saksamaal kasutati ligi 
pool sajandit. Uuris mediaalkolmnurga 
siseringjoone omadusi.
 
 
Spieker’i punkt - S
Kolmnurga ABC mediaalkolmnurga KLM 
siseringjoone, nn. Spiekeri ringjoone 
keskpunkt - S
 
 
Spieker’i punkt - S
Spieker’i punkt osutub kolmnurga ABC 
siseringjoone keskpunkti ja Nagel’i punkti 
ühendava lõigu keskpunktiks.
 
 
Spieker’i punkt - S
 
 
Torricelli punkt
• Evangelista Torricelli [torritšelli] 
(15.10.1608 – 25.10.1647) – itaalia füüsik 
ja matemaatik.Töötas aastast 1642 Firenze 
ülikooli professorina. Töid matemaatikast, 
mehaanikast, optikast jm. Oskas kindlaks 
määrata kujundi raskuskeskme koordinaate, 
uuris joonte omadusi.
 
 
Torricelli punkt - T
• Kolmnurga ABC külgedele sellest 
kolmnurgast väljapoole joonestatud 
võrdkülgsete kolmnurkade (BKC, CLA, 
AMB) ümberringjoonte lõikepunkt T.
• Torricelli punkt osutub selliseks, mille 
kauguste summa lähtekolmnurga tippudest 
on minimaalne
TA + TB + TC = minimaalne
 
 
Torricelli punkt - T
 
 
Fermat’ punkt
• Pierre de Fermat [ferma:] (17.08.1601 – 
12.01.1665) – prantsuse matemaatik. Töötas 
juristina ja tegeles matemaatikaga vaid vabal ajal. 
Oma tulemusi ei avaldanud, kuid kirjutas neist 
tuntud matemaatikutele. Olulisi tulemusi saavutas 
arvuteoorias (Fermat’ teoreemid), geomeetrias 
(võttis kasutusele koordinaatide meetodi), 
matemaatilises analüüsis (jõudis lähedale 
diferentsiaal- ja integraalarvutusele). On üks 
tõenäosusteooria rajajaid.
 
 
Fermat’ punkt - F
• Kolmnurga ABC tippe selle külgedele 
joonestatud võrdkülgsete kolmnurkade 
(BKC, CLA, AMB) uute  tippudega  
(vastavalt K, L ja M) ühendavate sirgete (KA, 
LB ja MC) lõikepunkt.
 
 
Fermat’ punkt - F
 
 
Fermat’ punkt - F
• Sõltuvalt võrdkülgsete kolmnurkade 
joonestamise suunast leidub üldiselt (kui 
ABC pole just võrdkülgne  kolmnurk ) kaks 
erinevat Fermat’ punkti. Järgmisel joonisel 
näidatu osutub ühtlasi ka ABC Torricelli 
punktiks.
 
 
Fermat’ punkt - F
 
 

Document Outline

• Huvitavad punktid kolmnurgas
• Huvitavad punktid kolmnurgas I seeria
• Kolmnurga külje keskristsirge
• Külgede keskristsirgete lõikepunkt - R
• Kolmnurga keskristsirgete lõikepunkt võib asetseda ka väljaspool kolmnurka või kolmnurga küljel.
• Külgede keskristsirgete lõikepunkt on kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks.
• Kolmnurga nurgapoolitaja
• Kolmnurga nurgapoolitajate lõikepunkt - N
• Nurgapoolitajate lõikepunkt on kolmnurga siseringjoone keskpunktiks
• Kolmnurga mediaan
• Kolmnurga mediaanide lõikepunkt - M
• Kolmnurga kõrgus
• Slide 13
• Kolmnurga kõrguste või nende pikenduste lõikepunkt ehk ortotsenter - K
• Huvitavad punktid kolmnurgas II seeria
• Gergonne’i punkt
• Gergonne’i punkt - E
• Nagel’i punkt
• Slide 19
• Isoperimeetriline punkt - J
• Spieker’i punkt
• Spieker’i punkt - S
• Slide 23
• PowerPoint Presentation
• Torricelli punkt
• Torricelli punkt - T
• Slide 27
• Fermat’ punkt
• Fermat’ punkt - F
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32