Majandusanalüüsi korral uuritakse majandusalaste suuruste vahelisi seoseid, mis on kirjeldatud funktsionaalse sõltuvusena. Toome näiteks mõningad probleemid, mida võib uurida majandusanalüüs: · Kas toodangu hinna suurendamisel ettevõtte kasum suureneb või väheneb? · Millisel määral võivad kapitalimahutused asendada lisatööjõudu? · Millise tootmismahu juures on kulu tooteühiku kohta kõige väiksem? · Kui tundlik on hüvise nõudlus hinna muutustele? · Kuidas mõjutab maksude suurendamine laekumisi riigieelarvesse? Vastuste leidmiseks nendele küsimustele konstrueeritakse algul vastavad mudelid ja siis uuritakse neid diferentsiaalarvutuse meetodite abil. Ülesannete liigitus 1. Optimeerimisülesanded. Majandusalases tegevuses tuleb tihti analüüsida, millal on tootlikkus maksimaalne, kasum maksimaalne, kulud minimaalsed jne. Maksimumi ja miinimumi leidmist nimetatakse optimiseerimiseks. Tihti
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Arvud ja nende hulgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Funktsionaalne sõltuvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Astendamine. Polünoomid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Kulu-, tulu- ja kasumifunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Kasumifunktsioon lineaarse nõudlus- ja kulufunktsiooni korral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3. VÕRRANDID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
.............................................................. 5 2.1 Funktsionaalne sõltuvus .......................................................................................................... 5 2.2 Astendamine ja polünoomid ................................................................................................... 6 2.3 Mikromajanduses kasutatavad funktsioonid .......................................................................... 7 2.3.1 Kulufunktsioon ................................................................................................................ 7 2.3.2 Tulufunktsioon................................................................................................................. 9 2.3.3 Kasumifunktsioon ............................................................................................................ 9 2.3.4 Nõudlusfunktsioon ...................................................
4. Mis on funktsiooni graafik? Funktsiooni graafik on kõikide järjestatud paaride [x, f(x)] hulk, kus x on määramispiirkonna X element. {(x;y): f(x)=y} 5. Mis on pöördfunktsioon? Pöördfunktsioon on funktsioon, mis seab antud funktsiooni y=f(x) muutumispiirkonna igale väärtusele y vastavusse kõik need väärtused x funktsiooni määramispiirkonnast, mille korral y=f(x) x= f-1(y) 6. Mis on püsikulu, muutuvkulu, kogukulu ja keskmine kulu? Püsikulu (TFC) - kulu, mis ei sõltu kauba tootmismahust Muutuvkulu (TVC) - kulu, mis sõltub tootmismahust Kogukulu TC(Q) = TFC + TVC - muutuvkulu ja püsikulu summa Keskmine kulu AC(Q) - kogukulu jagatud toodetud kogusega, 7. Mis on tulu, keskmine tulu, kasum ja keskmine kasum? Kogutulu R(Q) - tulu, mis saadakse toodangu müügist R(Q)=pQ Keskmine tulu AR(Q)- tulu jagatud toodetud kogusega,
Valemi abil, graafiku alusel, tabeli abil. 4. Mis on funktsiooni graafik? Funktsiooni graafik on kõikide järjestatud paaride [x, f(x)] hulk, kus x on määramispiirkonna X element. 5. Mis on pöördfunktsioon? Pöördfunktsioon on funktsioon, mis seab antud funktsiooni y=f(x) muutumispiirkonna igale väärtusele y vastavusse kõik need väärtused x funktsiooni määramispiirkonnast, mille korral y=f(x) x=f-1(y) 6. Mis on püsikulu, muutuvkulu, kogukulu, keskmine kulu? Püsikulu (TFC) kulu, mis ei sõltu kauba tootmismahust. Muutuvkulu (TVC) kulu, mis sõltub tootmismahust. Kogukulu TC (Q) = TFC +TVC muutuvkulu ja püsikulu summa. Keskmine kulu AC (Q) kogukulu jagatud toodetud kogusega. 7. Mis on tulu ja keskmine tulu, kasum ja keskmine kasum? Kogutulu R (Q) tulu, mis saadakse toodangu müügist R (Q) = pQ. Keskmine tulu AR (Q) tulu jagatud toodete kogusega.
y 2 x 1 1 Joonis 1.13: y = arccos x 16 y 2 x 2 Joonis 1.14: y = arctan x y 2 x Joonis 1.15: y = arccot x 17 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunkt- sioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. Algebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni y = f (x) ja y = g(x) u ¨hise m¨a¨aramispiirkonnaga X. Funktsioonide f ja g summa on defineeritud kui kujutis, mis seab igale x X vastavusse muutuja y v¨a¨artuse valemiga y = f (x) + g(x). Funktsioonide f ja g summa loomulik t¨ahis on f + g. Seega kehtib f ja g summa puhul seos y = (f + g)(x) = f (x) + g(x).
2 Joonis 1.12: y = arcsin x y 2 x 1 1 Joonis 1.13: y = arccos x 16 y 2 x 2 Joonis 1.14: y = arctan x y 2 x Joonis 1.15: y = arccot x 17 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunkt- sioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. Algebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni y = f (x) ja y = g(x) u ¨hise m¨a¨aramispiirkonnaga X. Funktsioonide f ja g summa on defineeritud kui kujutis, mis seab igale x X vastavusse muutuja y v¨a¨artuse valemiga y = f (x) + g(x). Funktsioonide f ja g summa loomulik t¨ahis on f + g. Seega kehtib f ja g summa puhul seos y = (f + g)(x) = f (x) + g(x).
YMM3731 Matemaatiline analu¨u¨s I 2007/08 ~o.-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon - ioota - fii - kapa - hii - lambda - psii - müü - oomega
2007. aasta matemaatika riigieksami ülesanded koos lahenduste ja kommentaaridega 2 1. ÜLESANNE (5 punkti) Ülesannete tekstid 1 5x 1 I Antud on avaldis 2 , kus x 0 ja x . x 25 x 2 x 0 5 1) Lihtsustage see avaldis. 3 2) Arvutage avaldise väärtus, kui x 2 . Vastus andke täpsusega 10 2. 2 x 2 (9 x 2 x 0 ) 1 II Antud on avaldis , kus x 0 ja x . 1 3x 3 1)
süsteemis) 4. Mis on funktsiooni graafik? Funktsiooni f graafik on kõikide järjestatud paaride (x, f(x)) hulk, kus x on määramispiirkonna X element. 5. Mis on pöördfunktsioon? Pöördfunktsioon on funktsioon, mis seab antud funktsiooni y=f(x) muutumispiirkonna igale väärtusele y vastavusse kõik need väärtused x funktsiooni määramispiirkonnast, mille korral y=f(x). x= f-1(y) 6.Mis on püsikulu, muutuvkulu, kogukulu, keskmine kulu? Püsikulu on kulu, mis ei sõltu otseselt kauba tootmismahust (hoonete üür, kindlustus, halduskulud, TFC-total fixed cost). Muutuvkulu on kulu, mille suurus sõltub tootmismahust Q (TVC-total variable cost). Kogukulu on kõigi ettevõtte kulude summa (püsikulu+muutuvkulu=TC). Keskmine kulu on tootmise kogukulu jagatis toodangu kogusega (AC=TC/Q). 7. Mis on tulu ja keskmine tulu, kasum ja keskmine kasum? Kogutulu R(Q) - tulu, mis saadakse toodangu müügist R(Q)=pQ.
1 ÜHE MUUTUJA FUNKTSIOON. TEMA MÄÄRAMISPIIRKOND DEFINITSIOON 1. Kui muutuja x igale väärtusele hulgast X on mingi eeskirja f abil vastavusse seatud lõplik reaalarv y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud FUNKTSIOON ja seda tähistatakse y = f(x). DEFINITSIOON 2. Muutuja x väärtuste hulka, mille puhul f(x) väärtus on lõplik, nimetatakse funktsiooni y = f(x) MÄÄRAMISPIIRKONNAKS. X = { x R; f(x) väärtus on lõplik}. PÕHILISED ELEMENTAARFUNKTSIOONID: 1. Astmefunktsioonid: y = x , Q; 2. Eksponentfunktsioonid: y = ax, a > 0, a 1; 3. Logaritmfunktsioonid: y = loga x, a > 0, a 1; 4. Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x; 5. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x. 2 LIITFUNKTSIOON DEFINITSIOON 1. Funktsiooni, mille argumendiks ei ole sõltumatu muutuja, vaid tema mingi fu
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK Α α alfa Ν ν nüü Β β beeta Ξ ξ ksii Γ γ gamma Ο ο omikron Δ δ delta Π π pii Ε ε epsilon Ρ ρ roo Ζ ζ dzeeta Σ σ sigma Η η eeta Τ τ tau Θ θ teeta Υ υ üpsilon Ι ι ioota Φ φ fii Κ κ kap
1. Muutuvad suurused.
Def. 1 *Suurusi, mis omand erinevaid väärtusi(vaadeldavas protsessis) nim
muutuvateks suurusteks. *Suurusi, mis omand. konstantseid püsivaid väärtusi
nim jäävateks suurusteks e. konstantideks. *Tähistus: x,y,z...u,v,w,t *NT
ühtlane liikumine-> kiirus konstantne v, teepikkus ja aeg muutuvad *Muutuvad
suurused on tavaliselt reaalarvud-> geom võime esitada sirgel *absoluutsed
konstandid- mistahes protsessis vaadeldavad suurused: =3,14..., e =2,71
1. väärtused on diskreetsed x: x1,x2,x3 (arvjada) 2. väärtused omand pideva
alamhulga reaalteljel (+joonised!): *X={x IR|axib} lõik * X={x IR|a
MATEMAATILINE ANALÜÜS I § 1 REAALARVUD JA FUNKTSIOONID 1. Reaalarvu mõiste Tähistame sümboliga N kõigi naturaalarvude hulga, st N = {1, 2, 3,...} ja sümboliga Z kõigi täisarvude hulga, st Z = {...,3,2,1, 0, 1, 2, 3,...}. p Ratsionaalarvudeks nimetatakse arve kujul q , kus p ja q on täisarvud, q 0. Kõigi ratsionaalarvude hulga tähistame sümboliga Q. Ratsionaalarvudeks on parajasti need arvud, mis on esitatavad lõplike või lõpmatute perioodiliste kümnendmurdudena. Arve, mis on esitatavad lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdudena, nimetatakse irratsionaalarvudeks. Kõik ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud moodustavad reaalarvude hulga. Kõigi reaalarvude hulga tähistame sümboliga R. Iga lõplikku kümnendmurdu a= , 12 ...n saab esitada lõpmatu kümnendmurruna kahel viisil: a = , 12 ...n 00... või a = , 12 ...(n -1)99.
TTU¨ Matemaatikainstituut http://www.staff.ttu.ee/math/ Ivar Tammeraid http://www.staff.ttu.ee/itammeraid/ ¨ US MATEMAATILINE ANALU ¨ I Elektrooniline ~oppevahend Tallinn, 2001 Tr¨ ukitud versioon: Ivar Tammeraid, Matemaatiline anal¨ uu ¨ Kirjastus, ¨s I, TTU Tallinn 2001, 227 lk, ISBN 9985-59-289-1 ¨ Raamatukogu Viitenumber http://www.lib.ttu.ee TTU ~opikute osakonnas 517/T-15 c Ivar Tammeraid, 2001 Sisukord 0.1. Eess~ ona K¨aesoleva ~ oppevahendi aluseks on autori poolt viimastel aastatel Tallinna Tehnika¨ ulikoo- lis bakalaureuse~ oppe u ¨li~ opilastele peetud u ¨he muutuja funktsiooni diferentsiaal- ja inte- graalarvutuse loengud nimetuse "Matemaatiline anal¨ uu¨s I" all. Siiski ei ole tegu pelgalt u ¨hel semestril esitatu kirjapanekuga. Lisatud on
LTMS.00.022 ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS Loengukursus Tartu Ülikooli loodus- ja täppisteaduste valdkonna üliõpilastele 2019./2020. õppeaasta Toivo Leiger Joonised: Ksenia Niglas Pisitäiendused 2016–20: Märt Põldvere, Natalia Saealle, Indrek Zolk, Urve Kangro 2 Sisukord 1 Reaalarvud 6 1.1 Järjestatud korpused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Korpuse aksioomid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Täielik järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . .
MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2016 KÄRBITUD loengukonspekt Marek Kolk ii Sisukord 0 Tähistused. Reaalarvud 1 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Siin segatuletiste võrdsus ei ole juhuslik. Nimelt kehtib Teoreem 1. Kui funktsioon z f x, y ja selle osatuletised z x , z y , z xy ja z yx on mingi punkti ümbruses pidevad, siis selles punktis funktsiooni segatuletised on võrdsed, s.t. 2z 2z x y y x (z xy z yx ) Osatuletise rakendused. 1. Ekstreemumi leidmine. Funktsiooni z f x, y maksimumi ja miinimumi nimetatakse tema ekstreemumiteks. 2 2 Näide 7. Funktsioonil z x 1 y 2 1 on miinimum punktis 1, 2 . (Vaata allolevat joonist) Punkte P x 0 , y 0 , milles funktsiooni osatuletised on nullid või puuduvad (s.t. f f x x0, y0 0 ja y x 0 , y 0 0 või nendest kasvõi üks puudub), nimetatakse funktsiooni
f(x) statsionaarseteks punktideks. 24. Funktsiooni kriitiline punkt - funktsiooni statsionaarseid punkte ja punkte, kus funktsiooni tuletis on lõpmatu või ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni y = f(x) kriitilisteks punktideks. 25. Funktsiooni lokaalne ekstreemum - öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum ( miinimum ), kui leidub niisugune punkti a ümbrus , kus f (x) <= f(a) maksimum f (x) >= f(a) miinimum Lokaalse maksimumi ja miinimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum. 26. Funktsiooni lokaalne ekstreemumpunkt - punkti ( a ; f(a) ) nimetatakse lokaalseks ekstreemumpunktiks. ( x ja y väärtus mõlemad ) 27. Funktsiooni globaalne ekstreemum - funktsiooni f globaalseks e. absoluutseks maksimumiks (miinimumiks) piirkonnas A X nimetatakse tema suurimat (vähimat) väärtust selles piirkonnas. Globaalse maksimumi ja globaalse miinimumi ühine nimetus on globaalne ekstreemum. 28
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium REAALARVUDE PIIRKONNAD Kuna erinevates õpikutes kasutatakse reaalarvude piirkondade märkimiseks erinevaid tähistusi, siis oleks kasulik teada mõlemat varianti. Nimetus Tingimus Esimene
selles p-is.suhteline e lokaalne ekst.p.-lokaalses maksimump-s on fun-i väärtus küll suurem kui selle p-i naabruses,kuid ei pruugi olla kõige suurem kogu MP ulatuses. lagrangei kordaja meetod eesmärk-viia kitsendustega optimeerimisül vaba optimeerimist lubavale kujule. Näitab kuidas muutub sihifun-i opt.väärtus kitsenduse vabaliikme ühikulisel kasvamisel. Parima alternatiivi leidmist mingi kriteeriumi alusel nim optimeerimiseks. Maksimumi või miinimumi ühine matemaatiline nimetus on ekstreemum. Kuigi optim.ül nõuab tavaliselt kas maksimumi või min.leidmist, leitakse esmalt siiski kõik ekstreemumid ja seejärel tehakse kindlaks, milline neist on min või max. Kui tegu on ühe muutuja fun-ga siis optim.leitakse selline muutuja x väärtus, mis tagab fun-i y maksimaalse või minimaalse väärtuse. Esimest järku ting:selle abil selgitatakse välja kriitilised punktid, kus võib kuid ei pruugi asuda ekstreemum. Esim.j
Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Pöördfunktsioon. Seaduspärasust või teisendust, mis igale X elemendile x seab vastavuse ühe hulga Y elemendi y nim. argumendi x funktsiooniks ja kirjutatakse y=f(x) Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks on kõigi nende argumendi x väärtuste hulk, mille korral funktsioon omab mõtet ja on lõpliku väärtusega. Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna. Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x l
Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Pöördfunktsioon. Seaduspärasust või teisendust, mis igale X elemendile x seab vastavuse ühe hulga Y elemendi y nim. argumendi x funktsiooniks ja kirjutatakse y=f(x) Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks on kõigi nende argumendi x väärtuste hulk, mille korral funktsioon omab mõtet ja on lõpliku väärtusega. Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna. Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x l
MITME MUUTUJA FUNKTSIOON 1. Punkti ümbrus. Kinnine ja lahtine piirkond. Mitme muutuja funktsioon ja selle määramispiirkond. Def. 1.1. ( 0 0 )0 Punkti P x1 , x 2 ,..., x n ümbruseks n-mõõtmelises ruumis R n nimetatakse punktide hulka { U ( P ) , mis rahuldavad tingimust U ( P ) = Q( x1 , x 2 ,..., x3 ) R n ( P, Q ) < , kus } ( P, Q ) = PQ = (x1 - x10 ) + (x 2 2 - x 20 ) 2 ( + ... + x n - x n0 ) 2 Def. 1.2. Piirkonnaks D kahemõõtmelises ruumis nimetatakse selle ruumi osa, mis on piiratud mingi joonega L, mida nimetatakse rajajooneks. Kolme- või enamamõõtmelise ruumi piirkonnaks D nimetatakse selle osa, mis on piiratud
-1- - 1.Leia funktsiooni määramispiirkond. 3 x 3 x y y b) y 17 15 x 2 x log( 1 x ) 2 a) 4x 8 c) 2x 2 3 9 x y d) y = log( x2 + x -20 ) - 6x e) log 2 ( x 4) f) y = log x-1 x2
ülesannete lahenduskäik koosneb reeglina kolmest osast: tingimusteks, eristamaks neid esimest järku tarvilikest tingimustest. Olgu funktsioonil f(x,y) punktis P(x,y) lokaalne ekstreemum. 1.Leiame esialgse funktsiooni f(x,y) statsionaarsed punktid. Mingi piisavalt väikese muudu (x, y) jaoks saame lokaalse maksimumi korral f(x+x,y+y) <= f(x,y) st f<=0 ja lokaalse 2.Lahendame tingliku ekstreemumi ülesande(d) piirkonna rajajoonel : st leiame vastavate Lagrange'i funktsiooni(de) (x , y miinimumi korral f(x+x,y+y) >= f(x,y) st f >=0. Kaks korda pidevalt diferentseeruva funktsiooni korral saame kirja panna , ) := f (x , y ) + F (x , y ) statsionaarsed punktid
11. Mitme muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid Olgu antud funktsioon z = f (P ) P D . Def. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis A D lokaalne maksimum (miinimum), kui leidub punkti A ümbrus U ( A) nii, et f (P ) f ( A) (vastavalt f (P ) f ( A) ) iga P U ( A) korral. Tähistus: locmax f = f ( A) (vastavalt locmin f = f ( A) ) Analoogselt defineeritakse range lokaalne miinimum ja range lokaalne maksimum võrdus realiseerub ainult punktis A . Lokaalse miinimumi ja maksimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum. Teoreem 4. Olgu funktsioon f ( x1 ,..., x m ) diferentseeruv punktis A ning olgu punktis A funktsioonil f lokaalne ekstreemum. f x1 ( A) = 0 Siis kehtib ... . f ( A) = 0 xm Funktsioonil f eksisteerivad lõplikud osatuletised, kuna ta on diferentseeruv antud punktis. r Lisaks: df ( A) = 0 grad f ( A) = o Tõestus.
väärtused x funktsiooni määramispiirkonnast, mille korral y=f(x). Kui iga arvu y ϵ Y korral leidub ainult üks x ϵ X, mille korral y=f(x), siis öeldakse, et funktsioonil y=f(x) on pöördfunktsioon y=g(x) Mis on püsikulu, muutuvkulu, Püsiv kogukulu (TFC) – kulu, mis ei sõltu kogukulu, keskmine kulu? kauba tootmismahust (hoone üür, kindlustus) Muutuv kulu (TVC) – kulu, mille suurus sõltub tootmismahust Q. Kogukulu (TC) – kõigi kulude summa TC(Q)= TFC+TVC(Q) Keskmine kogukulu näitab kogukulu
1. Reaalarvud ja avaldised a, kui a 0 · Arvu absoluutväärtus a = - a, kui a < 0 · Astme mõiste ja omadused a 0 = 1, kui a 0 a1 = a a n = a a a a, kui n N 2 1 a-k = , kui a 0 ja k Z või ak kui a > 0 ja k Q m n a m , kui a > 0, m Z ja n N a = n 2 0, kui a = 0, m N 1 ja n N1
Kordamisülesanded 11 klass 1. Kombinatoorika ja tõenäosus a) Ühes klassis õpitakse 14 õppeainet. Mitmel erineval viisil saan nendest koostada ühe päeva tunniplaani, kui selles peab olema 7 erinevat õppeainet? Vastus: 17297280 b) Martinil on taskus viis viiekroonist ja neli kümnekroonist rahatähte. Kui suur on tõenäosus, et kahe kupüüri juhuslikul võtmisel on mõlemad viiekroonised? Vastus: 20/72 c) Tõenäosus leida pliiats kirjutuslaua esimesest sahtlist on 0,5, teisest sahtlist 0,7 ja kolmandast 0,4. Kui suur on tõenäosus , et pliiats on olemas a) täpselt ühes sahtlis b) vähemalt ühes sahtlis c) mitte üheski sahtlis
aga näidisülesandes võib nii teha!). Leidke selle kauba nõudluskõvera (seos nõutava koguse ja hinna 100 vahel): q A q A ( p A ) võrrand. Seos q A . pA Kauba B turu-uuringute tulemusena saadi teada, et juhul, kui kauba hind on 110 ühikut, ei osta seda mitte keegi, kui see on 109 ühikut, ostetakse kaupa 1 ühik, hinna 100 korral 10 ühikut jne. Nõudlus suureneb sama seaduspärasuse kohaselt, kuni koguseni 110, mida tarbitakse juhul, kui kaup on saadaval tasuta. Leidke kauba B nõudluskõvera võrrand. Seos qB 110 pB dq A 100 dqB Leidke nõudluskõverate kuju iseloomustavad seosed (tuletised!). 2 , 1 . dp A p A dpB Kas saadud tulemus kinnitab esimeses punktis leitud seaduspära
Majanduse alused Teema 2: Turumehhanism. Nõudlus ja pakkumine. Elastsus 1 Eesmärk: Selgitada: · kuidas toimib konkurentsiturg · nõudluse ja pakkumise seadust ja funktsiooni · nõudlust ja pakkumist mõjutavaid mittehinnafaktoreid · tasakaaluhinna ja - koguse kujunemist · defiitsiidi ja ülepakkumise mehhanismi · nõudluse ja pakkumise dünaamikat ja erinevaid elastsuse liike nõudluse hinna elastsust nõudluse tuluelastsust 2
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
