Loogika – sissejuhatus ja põhimõisted (0)

Loogika – sissejuhatus ja põhimõisted
Järeldus on 1 lause
Klassikalise loogika põhiseadused :
 samasuse ehk identsuse seadus,
 vasturääkivusseadus,
 välistatud kolmanda seadus, Aristoteles (384-322)
 vb aluse seadus. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716)
Loogika roll
Loogika ei suuda üldjuhul öelda meile, millised väited või uskumused vastavad tõele. Tõde tähendab, et me teame, kuidas asjad on. Loogika ei ütle meile seda. Loogika valdamine aitab meil otsustada, kas meie väljakujunenud uskumused ja seisukohad on omavahel kooskõlas.
Kooskõlalisus
Hulk väiteid või uskumusi on omavahel kooskõlas parajasti siis, kui kõik selle hulga liikmed saavad olla korraga tõesed. Vastasel juhul on see hulk mittekooskõlaline. Sellisel juhul ütleme, et vaatlusaluseid väiteid ei saa korraga jaatada.
Näide:
Oletame, et keegi usub kõike järgnevat :
Igaüks, kes võtab astroloogiat tõsiselt, on hullumeelne.
Mari on minu õde ja ükski minu õdedest ei ole abielus hullumeelsega.
Mari abikaasa Jüri loeb igal hommikul ajalehest horoskoopi.
Igaüks, kes loeb igal hommikul horoskoopi, võtab astroloogiat tõsiselt.
Lause loogikas
Jüri on näljane.
Kui lause on tõene, siis ütleme, et selle lause tõeväärtus on T.
Kui lause on väär, siis selle lause tõeväärtus on V.
Arutlused
Arutlus on lausehulk , mille üks liige (järeldus) arvatavalt tuleneb ülejäänutest (eeldustest). Igaüks, kes kõvasti töötab, saavutab edu.
Jaan töötab kõvasti.
Jaan saavutab edu.
Deduktiivne kehtivus
Arutlus on deduktiivselt kehtiv parajasti siis, kui ei ole võimalik, et tema kõigi eelduste tõesuse korral on järeldus väär (st ei ole võimalik kooskõlaliselt jaatada tema eeldusi ja eitada järeldust). Vastasel juhul on arutlus deduktiivselt mittekehtiv .
Näited
Iga kurt on muusikaliselt andekas.
Beethoven oli kurt.
Beethoven oli muusikaliselt andekas.
Iga indialane on budist.
Igal budistil on kaks pead.
Beethoven oli indialane.
Beethovenil oli kaks pead.
Deduktiivselt kehtival lausel võib olla
 kõik eeldused ja järeldus tõesed
 üks või rohkem väära eeldust ja tõene järeldus
 üks või rohkem väära eeldust ja väär järeldus
Deduktiivselt kehtival arutlusel ei saa olla ainult tõeseid eeldusi ja väära järeldust.

Näited
Eesti iseseisvus aastal 1910 .
Eesti iseseisvus enne aastat 1915. deduktiivselt kehtib
Iga ruut on ring.
Iga ring on ristkülik.
Iga ruut on ristkülik. Deduktiivselt kehtib – väärus läheb tõeseks
Igal naisel on ema.
Monica Lewinsky on naine.
Bill Clinton on mees. ei kehti – järeldus pole seotud eeldustega
Deduktiivne korrektsus
Arutlus on deduktiivselt korrektne parajasti siis, kui see arutlus on deduktiivselt kehtiv ja tema kõik eeldused on tõesed. Vastasel juhul on arutlus mittekorrektne.
Näited
Tallinn on Eesti pealinn.
Eesti pealinn asub riigi loodeosas.
Tallinn asub Eesti loodeosas.
deduktiivselt kehtiv, kuid kas korrektne? Loogika ei ütle seda, kas Tallinn asub loodes või põhjas
C vitamiin aitab külmetuse vastu.
C vitamiin ei aita külmetuse vastu.
C vitamiin on kasutu.
deduktiivselt kehtiv – eeldused ei ole tõesed. ei ole korrektne – eeldused pole kõik tõesed
Induktiivne tugevus
Arutlus on induktiivselt tugev parajasti siis, kui tema järeldus on tõenäoliselt tõene eelduste tõesuse korral. Vastasel juhul on arutlus induktiivselt nõrk.
Näited
Kolm kurti inimest ajaloos on olnud muusikaliselt andekad.
Beethoven oli kurt.
Beethoven oli muusikaliselt andekas. Väga nõrk
Üheksakümmend üheksa protsenti kurtidest inimestest on muusikaliselt andetud.
Beethoven oli kurt.
Beethoven oli muusikaliselt andetu. Tugev
deduktiivselt kehtetud mõlemad
Fotosüntees toimub ainult taimedes.
Kaktused on taimed.
Kaktustes toimub fotosüntees.
deduktiivselt mittekehtiv, kuna ei toimu KÕIGIS taimedes
Loogikaline väärus
Lause on loogikaliselt väär parajasti siis, kui see lause ei saa olla tõene, st seda lauset ei saa kooskõlaliselt jaatada.
Näited
On olemas maa, mis ei ole maa.
Päike on täht ja päike ei ole täht.
Mõni mees on isa, kuigi ükski isa ei ole mees.
Loogikaline tõesus
Lause on loogikaliselt tõene (on tautoloogia) parajasti siis, kui see lause ei saa olla väär, st seda lauset ei saa kooskõlaliselt eitada.
Näited
Roos on roos.
Täna on esmaspäev, kui täna ei ole mõni teine päev.
Iga laev on kaubalaev või mõni laev ei ole kaubalaev.
Loogikaline määramatus
Lause on loogikaliselt määramata (kontingentne), kui see lause ei ole loogikaliselt väär ega tõene.
Loogikaline ekvivalentsus
Kaks lauset on loogikaliselt ekvivalentsed parajasti siis, kui nende tõeväärtus ei saa olla erinev, st kui ei ole võimalik kooskõlaliselt jaatada neist ühte ja eitada teist.
Näited
Mari võitis malepartii Jüri vastu.
Jüri kaotas malepartii Marile.
ekvivalentsed
Kalifornias toodetakse valget veini.
Kalifornias toodetakse punast veini.
ei ole ekvivalentsed
Harjutused
Millised järgnevatest väidetest on tõesed, millised väärad? Selgita.

Kehtivatel arutlustel on ainult tõesed eeldused. – väär väide, võib olla vääri eeldusi.

Korrektne arutlus peab olema kehtiv. – tõene, korrektsuse definitsoon nõuab seda

Väära järeldusega arutlus ei saa olla kehtiv. – väär, siis peab olema ka vääri eeldusi

Arutlus, mille kõik eeldused ja järeldus on tõesed, peab olema korrektne. – väär, ta ei pruugi kehtiv olla (2 tingimust – korrektsus ja kehtivus) nt Bill Clintoni näide

Kui lausehulgas sisaldub loogikaliselt väär lause, siis on see hulk mittekooskõlaline. – (ei saa kunagi tõene olla, kooskõlalisus – kõik liikmed saavad olla tõesed) – tõene

Ainult tõeste eeldustega kehtiv arutlus peab olema korrektne. – (kõik eeldused on tal tõesed, ühtegi väära pole, kehtiv ka) – tõene, korrektsuse definitsioon nõuab

Kehtiv arutlus peab olema korrektne. – väär, sellisel juhul poleks korrektsusel ja mittekorrektsusel vahet

Tõeste eelduste ja väära järeldusega arutlus võib olla kehtiv. – väär, kehtivuse definitsoon välistab selle

Tõeste eelduste ja väära järeldusega arutlus võib olla korrektne. – kui pole kehtiv, pole ammugi ka korrektne. Korrektsus eeldab kehtivust. väär

Kaks väära lauset ei saa olla loogikaliselt ekvivalentsed. – väär, saavad küll (Mari ja Jüri näide)

Arutlus, mille kõik eeldused ja järeldus on tõesed, peab olema kehtiv. – väär, ei pea (Bill Clintoni näide). Kui seost pole eelduse ja järelduse vahel, ei pea olema kehtiv

Kõik tõeste järeldustega arutlused on kehtivad. – väär, ei ole tingimata. Eeldused on ka kõik tõesed, aga eelduse ja järelduse vahel pole seost. Kui järeldus oleks loogikaliselt tõene, siis kehtiks

Arutlus, mille järeldus on loogikaliselt ekvivalentne ühega oma eeldustest, on kehtiv. – mõlemad võivad tõesed, mõlemad võivad väärad olla. (Grupp eeldusi, grupp järeldusi – mõlemad tõesed, Bill Clintoni näide, kõik on tõene aga ei kehti, pole mingit seost eelnevaga , ükskõik mida järeldus väidab, peab olema väär, ekvivalentsus tagab tõesuse, järelikult ei saa ka siin tekkida tõestest eeldustest väära järeldust; grupp eeldusi, grupp järeldusi – mõlemad väärad, selle põhjal pole võimalik mittekehtivus, kehtivus garanteeritud). Tõene väide
Vasta järgmistele küsimustele.

Oletame, et kellegi arvates on New York USA pealinn? Kas seetõttu on tema uskumused mittekooskõlalised? – NY ei ole USA pealinn (tegelikult üldse osariik, mitte linn, linn on NYC). Ei saa öelda, et uskumused mittekooskõlalised. Ta eksib ühe fakti osas. Me ei saa midagi järeldada tema uskumuste kooskõlalisuse kohta, need võivad olla kooskõlas.

Selgita, miks loogika üldjuhul ei suuda kindlaks teha, millised kehtivatest arutlustest on korrektsed. Millistel tingimustel saaksime puhtalt loogikale toetudes öelda, et arutlus on korrektne? – peab olema kehtivus ja kõigi eelduste tõesus. 1)Loogika ei ütle midagi eelduste tõesuse kohta. ( tlna loodeosas..näide),kehtiv arutlus, järeldus tuleneb eeldustest – seda ütleb loogika, aga kas konkreetsed eeldused ka tõesed on, peame ise teada saama, seda loogika ei ütle. 2)Eeldused peavad kõik olema loogikaliselt tõesed (tautoloogilised), järeldus ilmselt ka, muidu kaob kehtivus ära, kehtiv peab nkn olema, eeldused peavad olema kõik loogikaliselt tõesed (tautoloogia)

Oletame, et arutlus kehtib, aga selle järeldus on väär. Mida saame öelda eelduste kohta? – vähemalt üks eeldus peab olema väär, muidu tekib võimalus et tõestest eeldustest on tehtud väär järeldus, mis tekitab mittekehtivuse. Üks eeldustest peab olema loogikaliselt väär, muidu võime kehtivuse ära kaotada

Oletame, et arutlusel on loogikaliselt väär eeldus. Selgita, miks see arutlus peab olema deduktiivselt kehtiv vaatamata sellele, millise tõeväärtusega on ülejäänud eeldused ja järeldus. – Ükskõik millised on teised eeldused ja milline on järeldus, arutlus on ikkagi kehtiv. Miks me ikka loogikaliselt väära eelduse võtame aluseks, sealt ei saaks midagi järeldada

Oletame, et arutlusel on eeldus, mis on loogikaliselt ekvivalentne loogikaliselt väära lausega. Kas see arutlus peab olema kehtiv? – üks eeldustest on igal juhul väär, järeldustest ei tea midagi – peab olema kehtiv, sest alati üks eeldustest on väär, kui 1 eeldustest on loogikaliselt ekvivalentne loogikaliselt väära lausega; mõlemad väärad. Kõik eeldused tõesed olla ei saa, vhmlt 1 alati väär, seega arutlus on kehtiv – mittekehtivuseks peab olema võimalik, et kõik eeldused on tõesed ja järeldus väär, 1 väär lause, järelikult on kehtiv

Oletame, et arutluse järeldus on loogikaliselt tõene. Selgita, miks see arutlus peab olema kehtiv sõltumata sellest, millise tõeväärtusega on tema eeldused. Selgita, miks niisugune arutlus võib olla korrektne, aga ei pruugi. – 1)kehtib otseselt kehtivuse definitsooni tõttu. Loogikaliselt tõene lause on loogikaliselt tõene, iseenesest alati tõene, sõltumata sellest millised on eeldused. Eeldused ei mängi mingit rolli. Loogikalisust tõesust saab tõestada tühjast hulgas, tautoloogia ei vaja eeldusi, on iseenesest tõene. Paratamatult tõene. Roos on roos, mina olen mina. Mingit tuge pole vaja, lihtsalt on tõesed. 2) võib olla korrektne, aga ei pruugi? Eeldusteks võib olla ükskõik mis sellise arutluse puhul, kõik eeldused ei pruugi tõesed olla kuni selleni, et eeldusi ei pruugi üldse olla. Eelduste hulk võib olla tühihulk. Tautoloogiad on tuletatavad tühjast hulgast ehk ei millestki

Oletame, et arutluse eeldused moodustavad mittekooskõlalise lausehulga. Selgita, miks see arutlus peab olema kehtiv. Selgita, miks ta peab olema mittekorrektne. – see lausehulk peab olema erinevate tõeväärtustega; kõik ei saa kunagi olla korraga tõesed, seega peab olema kehtiv – kehtivuse definitsooni kohaselt. (esimene näide, astroloogia – laused eraldi võetuna tõesed, aga kõik korraga tõesed olla ei saa). Korrektsuse definitsooni kohaselt peab olema mittekorrektne. Kehtivus on automaatselt olemas, korrektsus automaatselt puudub. Nt c vitamiin – 2 eeldust olid omavahel vastuolus , need moodustavadki mittekooskõlalise lausehulga.

Oletame, et miljonist lausest koosnev hulk on kooskõlaline . Moodustatakse uus hulk nii, et selle iga lause on loogikaliselt ekvivalentne vähemalt ühe lausega esialgsest hulgast. Kas ka uus hulk on kooskõlaline? – miljon või kümme või kaks – pole vahet, sel juhul kõik laused peavad korraga olema tõesed. <; 2.hulk li
kas uus hulk on paratamatult selline, et ka seal on kõik laused korraga tõesed?
üritame näidata vastupidist. Proovime toppida uude hulka väära lause, seega peaks esimesest hulgast ka mingisugune lause olema väär. Ei saa uude hulka ühtegi väärust tekitada. Seega tõepoolest , uus hulk on kooskõlaline
Arutluse kehtivus
Korrektsust ei pea eesmärgiks seadma, ei oska võib-olla välja selgitada
Kehtivus alati deduktiivne, tugevus induktiivne. Küsimus kas kehtib või mitte?

Eeldus - Iga imetaja on selgroogne.
Eeldus - Mõni mereloom on imetaja.
Järeldus - Mõni mereloom on selgroogne.
on kehtiv arutlus. Järeldus tuleneb eeldustest loogilise paratamatusega

Iga A on B.
Mõni C on A.
Mõni C on B.
on kehtiv arutlus (sama mis esimene, sama loogiline vorm)

Mõni A on B.
Iga C on A.
Iga C on B.
ei kehti (isegi kui oleks mõni c on b)

Kes iganes tööle võetakse, tal peavad olema tugevad soovituskirjad.
Mihklil ei ole tugevaid soovituskirju.
Mihklit ei võeta tööle.
kehtib (??)

Rein ja Jaak on kõvad töömehed.
Rein on järjekindel.
Igaüks, kes on kõva töömees ja järjekindel, saavutab edu.
Rein saavutab edu.
kehtib

Ükski mereloom ei ole imetaja.
Delfiinid on mereloomad .
Delfiinid ei ole imetajad .
Sarnane esimesega. Kehtib. (tegelikult ei vasta tõele, korrektne see arutus pole, kuid järeldus tuleneb eeldustest)

Toomas on kõigist oma õdedest targem.
Toomas ja Mari on vend ja õde.
Mari on kõigist oma vendadest targem.
Türannosaurus Rex oli kiskja .
Kehtib, aga ei ole korrektne, sest eeldused sisaldavad vastuolu. Eeldused moodustavad mittekooskõlalisuse hulga. Eeldused ei saa olla korraga tõesed. Mittekehtivust olla ei saa (definitsooni kohaselt – ei ole võimalik et kõik eeldused on tõesed). Rexi kohta pole eeldustes midagi öelda

Kalle saab loogikakursuse eest viie ja Kalle ei saa loogikakursuse eest viit .
Kalle lõpetab ülikooli.
Kehtib, ei ole korrektne. Eeldus on loogikaliselt väär lause, see ei saa kunagi tõene olla. Kuna ei saa olla tõene, ei saa olla arutlus ka korrektne

FC Barcelona on kõige tugevam jalgpalliklubi.
Eesti järgmine peaminister on naine või Eesti järgmine peaminister ei ole naine.
Eeldus saab olla tõene, järeldus ei saa olla väär, järeldus on tautoloogia – on paratamatult nii, et peaminister on kas naine või on mees, tegemist on kehtiva arutlusega, aga kas korrektne? Loogikasiseselt otsustada ei saa
Lauseloogika süntaks ja semantika
Kõige olulisem sümbol ongi lause, täpsemini lihtlause :
lihtlause – A, B, C, …, võib kasutada ka täisarvulisi indekseid A1 või B3, sümbolitest puudu ei tule
liht- või liitlause tähiseks üldiselt on metamuutuja – kasutatakse gooti või kreeka tähti
Loogikatehted :
põhieesmärk anda eeskirjad, kuidas lihtlausetest korrektselt moodustada liitlauseid

Eitus e negatsioon ~A (TILDE), ¬A, A ’pole tõsi, et’

Konjunktsioon &(AMPERSAND), ^, A & B sidesõna ’ja’ või ’ning’
Sidesõna ’ja’ või ’ning’ kasutamine ei tähenda tingimata konjunktsiooni, vahel peame vaatama lihtlausena:
Jüri ja Mari on üliõpilased.
Jüri ja Mari on sõbrad. (Jüri on sõber ja Mari on sõber – nad pole ilmtingimata omavahel sõbrad)
Jüri ja Mari vestlevad.

Disjunktsioon v (WEDGE) A v B sidesõna ’või’

Implikatsioon (ing k material conditional) – järeldusseos A  B või A  B (A implitseerib Bd) ’kui …, siis …’

Ekvivalents (ing k material biconditional) A  B või A  B ’parajasti siis’
Tehete prioriteet määratakse sulgudega , va eituse puhul, mis tehakse alati esimesena.
T – true, F – false
1) eitus – muudab tõese vääraks ja väära tõeseks; eitus nõuab, et tõe väärtus peab muutuma
eitus unaarne teha, rakendub millelegi ühele; teised binaarne , seob kahte lauset
4) implikatsioon – deduktiivne kehtivus. Tõesest eeldusest väära tegemine
5) ekvivalents – mõlemad tõesed või väärad, loetakse ekvivalentseks; kui üks tõene teine väär, loetakse mitteekvivalentseks
Truth
A sentence P of SL (sentential logic ) is truth-functionally true if and only if P is true on every truth- value assignment.
Falsity
A sentence P of SL is truth-functionally false if and only if P is false on every truth-value assignment.
Indeterminacy
A sentence P of SL is truth-functionally indeterminate if and only if P is neither truth-functionally true nor truth-functionally false.
Equivalence
Sentences P and Q of SL are truth-functionally equivalent if and only if there is no truth-value assignment on which P and Q have different truth-values.
Consistency
A set of sentences of SL (sentential logic) is truth-functionally consistent if and only if there is at least one truth-value assignment on which all the members of the set are true.
Validity
An argument of SL is truth-functionally valid if and only if there is no truth-value assignment on which all the premises are true and the conclusion is false.